數(shù)學(xué)學(xué)案：距離（選學(xué)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B選修2-1第三章3。2。5距離（選學(xué))1．理解圖形F1與圖形F2的距離的概念．2．掌握四種距離的概念．3．會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的距離問(wèn)題．1．距離的概念一個(gè)圖形內(nèi)的任一點(diǎn)與另一圖形內(nèi)的任一點(diǎn)的距離中的________，叫做圖形與圖形的距離．此概念中的圖形不僅僅是平面圖形,也包括空間圖形．【做一做1】空間直角坐標(biāo)系中，已知A（2，3，4）,B(－2,1,0），C（1，1,1），則C到AB中點(diǎn)的距離為(）A．1B．eq\r（3)C．2D．eq\r(5）2．點(diǎn)到平面的距離一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)________的距離,叫做點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．求點(diǎn)到平面的距離時(shí)，一般是過(guò)該點(diǎn)作平面的垂線，也可利用等積法求解．【做一做2】在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離為()A．a(chǎn)B．eq\f（1,2)aC．eq\f（\r（3），4）aD．eq\f（\r（2)，2)a3．直線與它的平行平面的距離一條直線上的任一點(diǎn),與它平行的平面的距離，叫做直線與這個(gè)平面的距離．求線面距離時(shí),注意在l上所取一點(diǎn)的位置，通常借助于面面垂直的性質(zhì)過(guò)這一點(diǎn)作平面的垂線,從而轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離求解．【做一做3】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則BC到AB1C1D的距離為（）A．1B．eq\f（\r（2）,2)C．eq\r(2）D．eq\r（3)4．兩個(gè)平行平面的距離(1）和兩個(gè)平行平面________的直線，叫做兩個(gè)平面的公垂線．（2）公垂線________平行平面間的部分，叫做兩個(gè)平面的公垂線段．（3)兩平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩平行平面的距離．兩平行平面的公垂線段就是在一個(gè)平面內(nèi)取一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線段,這樣公垂線段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離，所以兩平行平面的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，可以用點(diǎn)到平面的距離求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空間一點(diǎn)到α的距離是4，到平面β的距離是2，則平面α與平面β的距離是（)A．2B．6C．2或6D．以上都錯(cuò)如何求點(diǎn)到平面的距離？剖析：如圖，BO⊥平面α,垂足為O，則點(diǎn)B到平面α的距離就是線段BO的長(zhǎng)度．若AB是平面α的任一條斜線段，則在Rt△BOA中,|｜＝|｜·cos∠ABO.如果令平面α的法向量為n,考慮到法向量的方向，可以得到點(diǎn)B到平面α的距離為｜｜＝。因此要求一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，可以分以下幾步完成：（1）求出該平面的一個(gè)法向量；(2)找出從該點(diǎn)出發(fā)到平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量;（3）求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模,即可求出點(diǎn)到平面的距離．由于eq\f（n,｜n|)＝n0可以視為平面的單位法向量,所以點(diǎn)到平面的距離實(shí)質(zhì)就是平面的單位法向量與從該點(diǎn)出發(fā)的斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值,即d＝｜eq\x\to（AB)·n0｜。線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．題型一用向量求兩點(diǎn)間的距離【例1】已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′,AB＝4，AD＝3，AA′＝5,∠BAD＝90°,∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求A與C′的距離．分析：解答本題可先用基底表示′,然后平方求|′|。反思：空間距離本質(zhì)上是點(diǎn)與點(diǎn)的距離，求空間兩點(diǎn)的距離常常轉(zhuǎn)化為求向量的模；點(diǎn)與直線的距離可以運(yùn)用三垂線定理作直線的垂線，再運(yùn)用解三角形求．題型二求點(diǎn)到平面的距離【例2】直三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱AA1＝eq\r(3)，在底面△ABC中，∠C＝90°,AC＝BC＝1，求點(diǎn)B1到平面A1BC的距離．分析：直接作平面的垂線較難，故可考慮建立平面直角坐標(biāo)系求解．反思：點(diǎn)到平面的距離的求法：①定義法即直接求所作公垂線段的長(zhǎng)；②等體積轉(zhuǎn)化法;③利用法向量求一個(gè)點(diǎn)到平面的距離可用點(diǎn)到平面的距離公式d＝|·n0|＝，其中d為點(diǎn)P到平面的距離，A為平面內(nèi)的一點(diǎn)，n0為平面的單位法向量，n為平面的法向量．題型三求平行平面的距離【例3】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求平面AB1D1與平面BDC1的距離．反思：求兩平面之間的距離首先要判定兩平面的位置關(guān)系即證明它們平行然后再求．面面距離通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離來(lái)求．1在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中,M是AA1的中點(diǎn),則點(diǎn)A1到平面MBD的距離為（)A．eq\f（\r(6),3)aB．eq\f(\r（3)，6）aC．eq\f(\r（3），4）aD．eq\f(\r（6）,6)a2已知矩形ABCD的一邊CD在平面α內(nèi),AC與α所成角為60°，若AB＝2，AD＝4,則AB到α的距離為（)A．eq\r(15）B．eq\r（5）C．eq\r(10)D．33已知正四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，側(cè)面與下底面所成的角為45°,則兩底面的距離為()A．eq\r（2）B．1C．2D．2eq\r(2）4把邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B－AD－C,則點(diǎn)A到直線BC的距離等于________．5平面α內(nèi)的∠MON＝60°,PO是α的斜線段，PO＝3，且∠POM＝∠PON＝45°,則點(diǎn)P到α的距離為_(kāi)_______．答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．最小值【做一做1】B用空間兩點(diǎn)間的距離公式可求得距離為eq\r(3).2．正射影【做一做2】D設(shè)B1D1中點(diǎn)為O，則A1O即為點(diǎn)A1到平面BB1D1D的距離．可求得A1O＝eq\f（\r(2)，2)a.【做一做3】C設(shè)AB1中點(diǎn)為O，則BO即為BC到AB1C1D的距離．4．(1)同時(shí)垂直（2）夾在【做一做4】C這一點(diǎn)可能在兩平面之間也可能在兩平面的外側(cè)．典型例題·領(lǐng)悟【例1】解:如圖，因?yàn)閑q\o（AC，\s\up6(→）)′＝＋＋eq\o(AA,\s\up6（→)）′，所以｜eq\o（AC′,\s\up6（→))｜2＝(＋＋eq\o（AA，\s\up6(→))′）·（＋＋eq\o(AA,\s\up6(→)）′)＝||2＋｜｜2＋|eq\o（AA,\s\up6(→)）′｜2＋2（·＋·eq\o(AA,\s\up6（→)）′＋·eq\o（AA,\s\up6（→)）′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此｜eq\o（AC，\s\up6（→）)′|＝eq\r(85）?！纠?】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得直棱柱各頂點(diǎn)坐標(biāo)如下:A(1，0，0)，B(0，1，0），C（0,0，0)，A1（1,0，eq\r（3）），B1(0，1，eq\r（3）),C1（0，0，eq\r(3)）．則eq\o（BC,\s\up6(→)）＝(0，－1，0），eq\o（A1C，\s\up6（→))＝(－1,0，－eq\r(3））．設(shè)平面A1BC的法向量為n＝(x,y，z)，則n·eq\o（A1C，\s\up6（→))＝0，n·eq\o（BC,\s\up6(→）)＝0，即－x－eq\r(3）z＝0,－y＝0，令x＝－eq\r（3），則y＝0，z＝1，所以平面A1BC的一個(gè)法向量為n＝(－eq\r（3），0,1）．所以點(diǎn)B1到平面A1BC的距離d＝eq\f（｜n·\o（A1B1，\s\up6(→）)|，|n|)＝eq\f(\r（3），2)?！纠?】解：建立坐標(biāo)系如圖,則A（a，0,0）,B(a，a，0)，D（0,0,0），C1(0，a，a），D1(0,0，a），B1(a，a,a）．∴eq\o（AB1,\s\up6（→））＝（0,a，a)，eq\o（AD1，\s\up6（→)）＝(－a,0,a),eq\o(BC1，\s\up6(→）)＝（－a，0，a)，eq\o(DC1，\s\up6（→））＝（0,a，a)．設(shè)n＝(x，y，z）為平面AB1D1的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o（AB1，\s\up6（→）)＝ay＋z＝0，，n·\o(AD1，\s\up6（→)）＝a－x＋z＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－z，,x＝z。))取z＝1,則n＝（1,－1，1)．又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1,AD1∩AB1＝A,DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1?！鄡善矫骈g的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C1到平面AB1D1的距離d.∵eq\o（C1B1,\s\up6(→））＝（a，0,0），平面AB1D1的法向量為n＝（1,－1,1)，∴d＝eq\f（|\o（C1B1,\s\up6(→））·n｜