數學學案：距離（選學）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數學人教B選修2-1第三章3。2。5距離（選學)1．理解圖形F1與圖形F2的距離的概念．2．掌握四種距離的概念．3．會解決一些簡單的距離問題．1．距離的概念一個圖形內的任一點與另一圖形內的任一點的距離中的________，叫做圖形與圖形的距離．此概念中的圖形不僅僅是平面圖形,也包括空間圖形．【做一做1】空間直角坐標系中，已知A（2，3，4）,B(－2,1,0），C（1，1,1），則C到AB中點的距離為(）A．1B．eq\r（3)C．2D．eq\r(5）2．點到平面的距離一點到它在一個平面內________的距離,叫做點到這個平面的距離．求點到平面的距離時，一般是過該點作平面的垂線，也可利用等積法求解．【做一做2】在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點A1到平面BB1D1D的距離為()A．aB．eq\f（1,2)aC．eq\f（\r（3），4）aD．eq\f（\r（2)，2)a3．直線與它的平行平面的距離一條直線上的任一點,與它平行的平面的距離，叫做直線與這個平面的距離．求線面距離時,注意在l上所取一點的位置，通常借助于面面垂直的性質過這一點作平面的垂線,從而轉化為點到面的距離求解．【做一做3】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2,則BC到AB1C1D的距離為（）A．1B．eq\f（\r（2）,2)C．eq\r(2）D．eq\r（3)4．兩個平行平面的距離(1）和兩個平行平面________的直線，叫做兩個平面的公垂線．（2）公垂線________平行平面間的部分，叫做兩個平面的公垂線段．（3)兩平行平面的公垂線段的長度，叫做兩平行平面的距離．兩平行平面的公垂線段就是在一個平面內取一點作另一個平面的垂線段,這樣公垂線段的長就是點到平面的距離，所以兩平行平面的距離，可轉化為點到平面的距離，可以用點到平面的距離求解．【做一做4】已知平面α∥平面β，空間一點到α的距離是4，到平面β的距離是2，則平面α與平面β的距離是（)A．2B．6C．2或6D．以上都錯如何求點到平面的距離？剖析：如圖，BO⊥平面α,垂足為O，則點B到平面α的距離就是線段BO的長度．若AB是平面α的任一條斜線段，則在Rt△BOA中,|｜＝|｜·cos∠ABO.如果令平面α的法向量為n,考慮到法向量的方向，可以得到點B到平面α的距離為｜｜＝。因此要求一個點到平面的距離，可以分以下幾步完成：（1）求出該平面的一個法向量；(2)找出從該點出發(fā)到平面的任一條斜線段對應的向量;（3）求出法向量與斜線段向量的數量積的絕對值再除以法向量的模,即可求出點到平面的距離．由于eq\f（n,｜n|)＝n0可以視為平面的單位法向量,所以點到平面的距離實質就是平面的單位法向量與從該點出發(fā)的斜線段向量的數量積的絕對值,即d＝｜eq\x\to（AB)·n0｜。線面距、面面距均可轉化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．題型一用向量求兩點間的距離【例1】已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′,AB＝4，AD＝3，AA′＝5,∠BAD＝90°,∠BAA′＝∠DAA′＝60°，求A與C′的距離．分析：解答本題可先用基底表示′,然后平方求|′|。反思：空間距離本質上是點與點的距離，求空間兩點的距離常常轉化為求向量的模；點與直線的距離可以運用三垂線定理作直線的垂線，再運用解三角形求．題型二求點到平面的距離【例2】直三棱柱ABC－A1B1C1的側棱AA1＝eq\r(3)，在底面△ABC中，∠C＝90°,AC＝BC＝1，求點B1到平面A1BC的距離．分析：直接作平面的垂線較難，故可考慮建立平面直角坐標系求解．反思：點到平面的距離的求法：①定義法即直接求所作公垂線段的長；②等體積轉化法;③利用法向量求一個點到平面的距離可用點到平面的距離公式d＝|·n0|＝，其中d為點P到平面的距離，A為平面內的一點，n0為平面的單位法向量，n為平面的法向量．題型三求平行平面的距離【例3】正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為a，求平面AB1D1與平面BDC1的距離．反思：求兩平面之間的距離首先要判定兩平面的位置關系即證明它們平行然后再求．面面距離通常轉化為點面距離來求．1在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中,M是AA1的中點,則點A1到平面MBD的距離為（)A．eq\f（\r(6),3)aB．eq\f(\r（3)，6）aC．eq\f(\r（3），4）aD．eq\f(\r（6）,6)a2已知矩形ABCD的一邊CD在平面α內,AC與α所成角為60°，若AB＝2，AD＝4,則AB到α的距離為（)A．eq\r(15）B．eq\r（5）C．eq\r(10)D．33已知正四棱臺ABCD－A1B1C1D1的上、下底面邊長分別為2和4，側面與下底面所成的角為45°,則兩底面的距離為()A．eq\r（2）B．1C．2D．2eq\r(2）4把邊長為a的正三角形ABC沿高AD折成60°的二面角B－AD－C,則點A到直線BC的距離等于________．5平面α內的∠MON＝60°,PO是α的斜線段，PO＝3，且∠POM＝∠PON＝45°,則點P到α的距離為________．答案：基礎知識·梳理1．最小值【做一做1】B用空間兩點間的距離公式可求得距離為eq\r(3).2．正射影【做一做2】D設B1D1中點為O，則A1O即為點A1到平面BB1D1D的距離．可求得A1O＝eq\f（\r(2)，2)a.【做一做3】C設AB1中點為O，則BO即為BC到AB1C1D的距離．4．(1)同時垂直（2）夾在【做一做4】C這一點可能在兩平面之間也可能在兩平面的外側．典型例題·領悟【例1】解:如圖，因為eq\o（AC，\s\up6(→）)′＝＋＋eq\o(AA,\s\up6（→)）′，所以｜eq\o（AC′,\s\up6（→))｜2＝(＋＋eq\o（AA，\s\up6(→))′）·（＋＋eq\o(AA,\s\up6(→)）′)＝||2＋｜｜2＋|eq\o（AA,\s\up6(→)）′｜2＋2（·＋·eq\o(AA,\s\up6（→)）′＋·eq\o（AA,\s\up6（→)）′)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85，因此｜eq\o（AC，\s\up6（→）)′|＝eq\r(85）?！纠?】解：如圖，建立空間直角坐標系，由已知得直棱柱各頂點坐標如下:A(1，0，0)，B(0，1，0），C（0,0，0)，A1（1,0，eq\r（3）），B1(0，1，eq\r（3）),C1（0，0，eq\r(3)）．則eq\o（BC,\s\up6(→)）＝(0，－1，0），eq\o（A1C，\s\up6（→))＝(－1,0，－eq\r(3））．設平面A1BC的法向量為n＝(x,y，z)，則n·eq\o（A1C，\s\up6（→))＝0，n·eq\o（BC,\s\up6(→）)＝0，即－x－eq\r(3）z＝0,－y＝0，令x＝－eq\r（3），則y＝0，z＝1，所以平面A1BC的一個法向量為n＝(－eq\r（3），0,1）．所以點B1到平面A1BC的距離d＝eq\f（｜n·\o（A1B1，\s\up6(→）)|，|n|)＝eq\f(\r（3），2)?！纠?】解：建立坐標系如圖,則A（a，0,0）,B(a，a，0)，D（0,0,0），C1(0，a，a），D1(0,0，a），B1(a，a,a）．∴eq\o（AB1,\s\up6（→））＝（0,a，a)，eq\o（AD1，\s\up6（→)）＝(－a,0,a),eq\o(BC1，\s\up6(→）)＝（－a，0，a)，eq\o(DC1，\s\up6（→））＝（0,a，a)．設n＝(x，y，z）為平面AB1D1的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o（AB1，\s\up6（→）)＝ay＋z＝0，，n·\o(AD1，\s\up6（→)）＝a－x＋z＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－z，,x＝z。))取z＝1,則n＝（1,－1，1)．又∵AD1∥BC1，AB1∥DC1,AD1∩AB1＝A,DC1∩BC1＝C1，∴平面AB1D1∥平面BDC1。∴兩平面間的距離可轉化為點C1到平面AB1D1的距離d.∵eq\o（C1B1,\s\up6(→））＝（a，0,0），平面AB1D1的法向量為n＝（1,－1,1)，∴d＝eq\f（|\o（C1B1,\s\up6(→））·n｜