數(shù)與式 知識梳理 基礎(chǔ)考點 方法技巧 易錯點中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專題01數(shù)與式目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）知識模塊一：實數(shù)的有關(guān)概念及計算知識模塊二：整式及因式分解知識模塊三：分式知識模塊四：二次根式03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點+1方法技巧）考點一：實數(shù)的分類及正負數(shù)的意義考點二：實數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法考點三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)考點四：二次根式及其運算考點五：實數(shù)的運算及大小比較（高頻）考點六：代數(shù)式及求值考點七：整式的相關(guān)概念及運算（含冪的運算）考點八：整式的化簡及求值（高頻）考點九：因式分解（高頻）考點十：分式考點十一：實數(shù)計算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（4大易錯點）易錯點1：平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別（填空題必考）易錯點2：整式的化簡求值易錯點3：分式的有關(guān)概念易錯點4：分式的化簡求值知識模塊一：實數(shù)的有關(guān)概念及計算知識點一：實數(shù)的分類1、按實數(shù)的定義分類：2、按大小分類：知識點二：實數(shù)的相關(guān)概念：正負數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)（熟記）知識點概念補充與拓展正負數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號“-”的數(shù)叫負數(shù).注意：負數(shù)前面的負號“-”不能省略.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).正負數(shù)的意義：表示具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．?dāng)?shù)軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點與實數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系.將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.在數(shù)軸上距原點n個單位長度的點有2個.數(shù)軸中點公式：數(shù)軸上有兩點A、B分別表示的數(shù)為x，y，若C是A、B兩點的中點，C所表示的數(shù)為c，則有：2c=x+y.數(shù)軸兩點距離=數(shù)軸上右側(cè)的點所表示的數(shù)-左側(cè)的點表示的數(shù)（簡稱大數(shù)-小數(shù)）.相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù).若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側(cè).正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.相反數(shù)是本身的數(shù)是0.（a+b）的相反數(shù)是-（a+b），（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.多重符號化簡口訣：數(shù)負號個數(shù)，奇負偶正.絕對值在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．兩個正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小.正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（a、b可以是多項式）.幾何意義補充：|x|=|x-0|數(shù)軸上表示x的點到原點的距離，|x-1|數(shù)軸上表示x的點與表示1的點之間的距離，|x+2|數(shù)軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離.倒數(shù)1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù)．0沒有倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）.倒數(shù)是本身的只有1和-1.乘方n個相同的因數(shù)a相乘記作an，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪.負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).規(guī)定：a0=1（a≠0）知識點三：實數(shù)的運算1、科學(xué)記數(shù)法（掌握）與近似數(shù)：知識點概念補充與拓展科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，確定a，n的值是關(guān)鍵.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.小技巧：1萬=104，1億=1萬×1萬=108.近似數(shù)近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字.一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字.2、平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)（理解）知識點概念補充與拓展算術(shù)平方根如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.記為，a叫做被開方數(shù).正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根平方根如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.立方根如果一個數(shù)的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根.正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)實數(shù)的非負性在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).非負數(shù)有三種形式：①任何一個實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a|≥0；②任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即a2≥③任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即a≥0.非負數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負數(shù)有最小值零；②非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；③幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.3、實數(shù)的運算法則及大小比較（掌握）（一）常見的實數(shù)運算（常出現(xiàn)在選擇題）運算法則乘方，零次冪負整數(shù)指數(shù)冪（，為正整數(shù)），特別地：.去絕對值符號-1的奇偶次冪三角函數(shù)30°45°60°1（二）實數(shù)的四則運算法則（穿插在各個題型中）(1)實數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).(2)實數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).(3)實數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0；②幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積是負數(shù)，當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積是正數(shù)；③幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0.(4)實數(shù)除法法則：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)；②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.(5)乘方的運算法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0.4、實數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：數(shù)軸比較法：將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.類別比較法：正數(shù)大于零；負數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小．作差比較法：若a，b是任意兩個實數(shù)，則①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b．平方比較法：①對任意正實數(shù)a，b，若a2>b2a>b；②對任意負實數(shù)a，b，若a2>b2a<b．倒數(shù)比較法：若>，ab>0，則a<b． 作商比較法：①任意實數(shù)a，b，=1a=b；②任意正實數(shù)a，b，>1a>b；<1a＜b；③任意負實數(shù)a，b，>1a<b；<1a＜b.知識模塊二：整式及因式分解知識點一：代數(shù)式、代數(shù)式的值1、代數(shù)式的概念用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式．2、代數(shù)式的值用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運算順序計算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值分兩步:第一步,代數(shù);第二步,計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.知識點二：整式的有關(guān)概念（常出現(xiàn)在選擇題、填空題）1、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．2、單項式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項式．單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式．單項式中的數(shù)字因式叫做這個單項式的系數(shù)；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)．3、多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)．多項式中單項式的個數(shù)，就是這個多項式的項數(shù)．4、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．幾個常數(shù)項也是同類項．5、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變．知識點三：整式的運算（貫穿整個代數(shù)部分）1、整式的加減運算：①概念：整數(shù)的加減本質(zhì)是合并同類項，如果有括號要先去括號，再合并同類項.②去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.③添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.2、冪的運算（多出選擇題）：正整數(shù)冪的運算性質(zhì)：；；；(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整數(shù)．3、整式的乘除運算整式的乘除運算步驟說明補充說明及注意事項單項式乘單項式①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù);

②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為積的一個因式;

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的一個因式.1）實質(zhì):乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.

2）單項式乘單項式所得結(jié)果仍是單項式.單項式乘多項式①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；

②再把所得的積相加.1）單項式乘多項式實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式.2）單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.多項式乘多項式①先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，

②再把所得的積相加．運用法則時應(yīng)注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負號.且結(jié)果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．單項式除單項式①將單項式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的除法，作為商的一個因式；③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.多項式除單項式①先把這個多項式的每一項除以這個單項式；②再把所得的商相加整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面的.知識點四：乘法公式（熟記）1、平方差公式：（注意公式逆應(yīng)用）.2、完全平方公式：（注意公式逆應(yīng)用）.知識點五：因式分解（掌握）1、定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解．2、方法：（1）提公因式法：；（2）公式法：；（3）十字相乘法：．3、分解因式的基本步驟：（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提公因式；（2）再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止．簡記為一“提”、二“套”、三“檢查．知識模塊三：分式知識點一：分式的概念與性質(zhì)1、分式的概念形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．2、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．，．(其中M是不等于零的整式)知識點二：分式的運算法則（掌握）①加減法：，；②乘法：；③除法：；④乘方：（n為正整數(shù)）．知識模塊四：二次根式知識點一：二次根式的相關(guān)概念與性質(zhì)1、二次根式的概念：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2、最簡二次根式和同類二次根式的概念最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式．3、二次根式的主要性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.知識點二：二次根式的運算（掌握）1、二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并．2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變．考點一：實數(shù)的分類及正負數(shù)的意義【典例1】（2024?涼山州）下列各數(shù)中：5，，，0，，，負數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【典例2】（2024秋?吳中區(qū)校級月考）2024年5月3日，嫦娥六號探測器開啟世界首次月球背面采樣返回之旅，月球表面的白天平均溫度是零上，記作，夜間平均溫度是零下，應(yīng)記作A． B． C． D．考點二：實數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法【典例1】（2024?雅安）2024的相反數(shù)是A．2024 B． C． D．【典例2】（2024?成都）的絕對值是A．5 B． C． D．【典例3】（2024?包頭）若，互為倒數(shù)，且滿足，則的值為A． B． C．2 D．4【典例4】（2023?鼓樓區(qū)校級三模）明朝地理學(xué)家徐霞客從小立志，朝碧海而暮蒼梧，一生志在四方，踏遍錦繡山河，編撰了60余萬字的地理名著《徐霞客游記》，其中60萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為．【典例5】（2024?蘇州）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是A． B．1 C．2 D．3【典例6】（2024?科右前旗模擬）點在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較、、大小關(guān)系正確的是A． B． C． D．【典例7】（2024秋?成華區(qū)校級月考）如圖，將一個半徑為1個單位長度的圓片上的點放在原點，并把圓片沿數(shù)軸滾動1周，點到達點的位置，則點表示的數(shù)是；若起點開始時是與重合的，則滾動2周后點表示的數(shù)是．【典例8】（2024?河北）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點，，所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，乙數(shù)軸上的三點，，所對應(yīng)的數(shù)依次為0，，12．（1）計算，，三點所對應(yīng)的數(shù)的和，并求的值；（2）當(dāng)點與點上下對齊時，點，恰好分別與點，上下對齊，求的值．考點三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)【典例1】（2024?資陽）若，則．【典例2】．“平方根”節(jié)是數(shù)學(xué)愛好者的節(jié)日，一個世紀只會出現(xiàn)9次，這一天的月份和日期的數(shù)字相同，且恰好是當(dāng)年年份最后兩位數(shù)字的算術(shù)平方根，例如2016年的4月4日，請你再寫出一個本世紀的“平方根”節(jié)，年月日（題中示例除外）．【典例3】（2024?成都）若，為實數(shù)，且，則的值為．【典例4】（2024春?西城區(qū)校級期中）【閱讀材料】善于思考的小明通過觀察下列各式的計算過程，找到了求較大數(shù)的立方根的一種方法：，，，，，，，，．（1）小明是這樣求出493039的立方根的．他先估計493039的立方根的個位上的數(shù)字，由上面各式他猜想出這個立方根的個位上的數(shù)字為，又由；猜想出493039的立方根的十位上的數(shù)字為，從而得到493039的立方根；【解決問題】（2）請你根據(jù)（1）中小明的探究方法，完成如下填空：①，②．考點四：二次根式及其運算【典例1】（2024?北京）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【典例2】（2024?淮安）計算：．【典例3】（2023春?巨野縣期末）下面是小華同學(xué)解答題目的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．計算：．任務(wù)一：以上步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是．任務(wù)二：請寫出正確的計算過程．任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就二次根式運算時還需注意的事項給其他同學(xué)提一條建議．【典例4】（2024?廣州模擬）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長，，求三角形面積的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，則邊上的高為A． B． C． D．【典例5】如果一個三角形的三邊的長分別為，，，設(shè)，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．如果一個三角形的三邊的長依次為5，6，7，利用兩個公式分別求這個三角形的面積．考點五：實數(shù)的運算及大小比較【典例1】（2024?吉林）若□的運算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)字可以為A．2 B．1 C．0 D．【典例2】（2024?重慶）估計的值應(yīng)在A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【典例3】（2024?思明區(qū)二模）如圖，在做浮力實驗時，小華用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，量筒量得溢出水的體積為，則該鐵塊棱長大小的范圍是A． B． C． D．【典例4】（2024?安徽）我國古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分數(shù)形式的近似值為．比較大?。海ㄌ睢啊被颉啊保镜淅?】（2024?陜西）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【典例6】（2024?金水區(qū)校級二模）如圖是在浦東陸家嘴明代陸深古墓中發(fā)掘出來的寶玉明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，為四階幻方（從1到16，一共十六個數(shù)目，它們的縱列、橫行與兩條對角線上4個數(shù)相加之和均為．小明探究后發(fā)現(xiàn)，這個四階幻方中的數(shù)滿足下面規(guī)律：在四階幻方中，當(dāng)數(shù)，，，有如圖1的位置關(guān)系時，均有．如圖2，已知此幻方中的一些數(shù)，則的值為．【典例7】（2024?甘肅）定義一種新運算，規(guī)定運算法則為：，均為整數(shù)，且．例：，則．【典例8】（2024?北京）聯(lián)歡會有，，，四個節(jié)目需要彩排，所有演員到場后節(jié)目彩排開始．一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始．每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：如下：節(jié)目演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目．一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）．若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目的演員的候場時間為；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排．【典例9】（2024?濟南）計算：．考點六：代數(shù)式及求值【典例1】（2024?岳麓區(qū)校級三模）中國古代《孫子算經(jīng)》中有個問題：今有四人共車，一車空；二人共車，八人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每4人乘一車，恰好剩余1輛車無人坐；若每2人共乘一車，最終剩余8個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果設(shè)有輛車，則總?cè)藬?shù)可表示為A． B． C． D．考點七：整式的相關(guān)概念及運算（含冪的運算）【典例1】（2024?湖南）下列計算正確的是A． B． C． D．【典例2】（2024?長春）單項式的次數(shù)是．【典例3】（2024?薛城區(qū)二模）現(xiàn)有邊長分別為和的類和類正方形紙片、長為寬為的類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張類紙片、1張類紙片和2張類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要類紙片的張數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10【典例4】（2024?上海）計算：．【典例5】（2024?重慶）計算：．【典例6】（2023秋?武漢期中）如果整式與整式的和為一個數(shù)值，我們稱，為數(shù)的“伙伴整式”，例如：和為數(shù)2的“伙伴整式”；和為數(shù)8的“伙伴整式”．若關(guān)于的整式與為數(shù)的“伙伴整式”，則的值為．考點八：整式的化簡及求值【典例1】（2024?甘肅）先化簡，再求值：，其中，．考點九：因式分解【典例1】（2024?甘孜州）分解因式：．【典例2】（2024?開福區(qū)校級二模）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為，請你寫出一個符合條件的多項式：．【典例3】（2024?西藏）分解因式：．【典例4】（2024?通遼）分解因式：．【典例5】（2024?重慶）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減數(shù)”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以19余數(shù)為1，且為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為．【典例6】（2024?鹿城區(qū)校級一模）“字母表示數(shù)”的系統(tǒng)化闡述是16世紀提出的，被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，從而大大推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展．經(jīng)過初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道了用字母表示數(shù)可以分析從特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，字母與數(shù)一樣，也可以參與運算．請同學(xué)們觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；（1）請用此方法拆分．（2）請你用上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含的等式表示，為正整數(shù)）并運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．考點十：分式【典例1】（2024?雅安）已知．則A． B．1 C．2 D．3【典例2】（2024?綏化）化簡：．【典例3】（2024?北京）已知，求代數(shù)式的值．【典例4】（2024?遂寧）先化簡：，再從1，2，3中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【典例5】（2024?惠農(nóng)區(qū)模擬）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是單項式，請寫出單項式，并將該例題的解答過程補充完整．例：先化簡，再求值：，其中解：原式考點十一：實數(shù)計算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）觀察法：通過觀察數(shù)列或圖形的變化規(guī)律，找出共同點或不同點，再將數(shù)列或圖形的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為代數(shù)，通過代數(shù)運算得出結(jié)果.【典例1】（2024?綿陽）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個數(shù)為2，第二行有2個數(shù)為4，6，第行有個數(shù)．探究其中規(guī)律，你認為第行從左至右第3個數(shù)不可能是A．36 B．96 C．226 D．426【典例2】（2024?德州）觀察下列等式：；；；則的值為．【典例3】（2024?鹽城模擬）如圖是三角形數(shù)陣，，則：若，相等，則用含的式子表示，．【典例4】（2024?河北）“鋪地錦”是我國古代一種乘法運算方法，可將多位數(shù)乘法運算轉(zhuǎn)化為一位數(shù)乘法和簡單的加法運算．淇淇受其啟發(fā)，設(shè)計了如圖1所示的“表格算法”，圖1表示，運算結(jié)果為3036．圖2表示一個三位數(shù)與一個兩位數(shù)相乘，表格中部分數(shù)據(jù)被墨跡覆蓋，根據(jù)圖2中現(xiàn)有數(shù)據(jù)進行推斷，正確的是A．“20”左邊的數(shù)是16 B．“20”右邊的“■”表示5 C．運算結(jié)果小于6000 D．運算結(jié)果可以表示為【典例5】（2024?重慶）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質(zhì)，如圖是這類物質(zhì)前四種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結(jié)構(gòu)模型中氫原子的個數(shù)是A．20 B．22 C．24 D．26【典例6】（2024?涼山州）閱讀下面材料，并解決相關(guān)問題：如圖是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個點，第二行有2個點，，第行有個點，容易發(fā)現(xiàn)，三角點陣中前4行的點數(shù)之和為10．（1）探索：三角點陣中前8行的點數(shù)之和為，前15行的點數(shù)之和為，那么，前行的點數(shù)之和為．（2）體驗：三角點陣中前行的點數(shù)之和（填“能”或“不能”為500．（3）運用：某廣場要擺放若干種造型的盆景，其中一種造型要用420盆同樣規(guī)格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，，第排盆的規(guī)律擺放而成，則一共能擺放多少排？【典例7】（2024?鹽城）發(fā)現(xiàn)問題小明買菠蘿時發(fā)現(xiàn)，通常情況下，銷售員都是先削去菠蘿的皮，再斜著鏟去菠蘿的籽．提出問題銷售員斜著鏟去菠蘿的籽，除了方便操作，是否還蘊含著什么數(shù)學(xué)道理呢？分析問題某菠蘿可以近似看成圓柱體，若忽略籽的體積和鏟去果肉的厚度與寬度，那么籽在側(cè)面展開圖上可以看成點，每個點表示不同的籽．該菠蘿的籽在側(cè)面展開圖上呈交錯規(guī)律排列，每行有個籽，每列有個籽，行上相鄰兩籽、列上相鄰兩籽的間距都為，均為正整數(shù)，，，如圖1所示．小明設(shè)計了如下三種鏟籽方案．方案1：圖2是橫向鏟籽示意圖，每行鏟的路徑長為，共鏟行，則鏟除全部籽的路徑總長為；方案2：圖3是縱向鏟籽示意圖，則鏟除全部籽的路徑總長為；方案3：圖4是銷售員斜著鏟籽示意圖，寫出該方案鏟除全部籽的路徑總長．解決問題在三個方案中，哪種方案鏟籽路徑總長最短？請寫出比較過程，并對銷售員的操作方法進行評價．易錯點1：平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別（填空題必考）1、平方根：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一個正數(shù)有兩個平方根，這兩個平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負數(shù)沒有平方根．2、算術(shù)平方根：一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根．非負數(shù)a的算術(shù)平方根a有雙重非負性：①被開方數(shù)a是非負數(shù)；②算術(shù)平方根a本身是非負數(shù)．3、立方根：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0，負數(shù)的立方根是負數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．【典例1】（2024?內(nèi)江）16的平方根是A．2 B． C．4 D．【典例2】（2024?常州）16的算術(shù)平方根是．【典例3】（2024?大慶）．易錯點2：整式的化簡求值先按運算順序把整式化簡，再把對應(yīng)字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合運算中，要按照先乘方后乘除的順序運算，其運算順序和有理數(shù)的混合運算順序相似．同時注意平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用.1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代數(shù)式計算求值.2、間接代入法：將已知的代數(shù)式化簡后，再將已知字母的值代入化簡后的代數(shù)式中計算求值.3、整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系.②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進行變形，使它們成倍分關(guān)系.③把已知代數(shù)式看成一個整式代入所求代數(shù)式中計算求值．4、賦值求值法：指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數(shù)式的值的一種方法．這是一種開放型題目，答案不唯一.在賦值時，要注意取值范圍，選擇合適的代數(shù)式的值．5、隱含條件求值法：先通過隱含條件求出字母值，然后化簡再求值．例如：①若幾個非負數(shù)的和為0，則每個非負數(shù)的值均為0.②已知兩個單項式為同類項，通過求次數(shù)中未知數(shù)的值，進而帶入到代數(shù)式中計算求值.6、配方法：若已知條件含有完全平方式，則可通過配方，把條件轉(zhuǎn)化成幾個平方和的形式，再利用非負數(shù)的性質(zhì)來確定字母的值，從而求得結(jié)果．7、平方法：在直接求值比較困難時，有時也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后結(jié)果的符號．8、設(shè)參法：遇到比值的情況，可對比值整體設(shè)參數(shù)，把每個字母用參數(shù)表示，然后代入計算即可．9、利用根與系數(shù)的關(guān)系求解：如果代數(shù)式可以看作某兩個“字母”的輪換對稱式，而這兩個“字母”又可能看作某個一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值．10、利用消元法求值：若已知條件以比值的形式出現(xiàn)，則可利用比例的性質(zhì)設(shè)比值為一個參數(shù)，或利用一個字母來表示另一個字母．【典例1】（2024?長沙）先化簡，再求值：，其中．【典例2】（2024?南充）先化簡，再求值：，其中．【典例3】（2024?常州）先化簡，再求值：，其中．【典例4】（2024?甘肅）先化簡，再求值：，其中，．易錯點3：分式的有關(guān)概念分式有意義的條件是分母不等于零．分式無意義的條件是分母等于零．分式的值為正數(shù)的條件是分子、分母同號．分式的值為負數(shù)的條件是分子、分母異號．分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．【典例1】（2024?青秀區(qū)校級三模）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【典例2】（2024?濟南）若分式的值為0，則實數(shù)的值為．易錯點4：分式的化簡求值先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．【典例1】（2024?深圳）先化簡，再代入求值：，其中．【典例2】（2024?哈爾濱）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．【典例3】（2024?淮安）先化簡，再求值：，其中．【典例4】（2024?西藏）先化簡，再求值：，請為選擇一個合適的數(shù)代入求值．專題01數(shù)與式目錄01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。 02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識梳理）知識模塊一：實數(shù)的有關(guān)概念及計算知識模塊二：整式及因式分解知識模塊三：分式知識模塊四：二次根式03究·考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點+1方法技巧）考點一：實數(shù)的分類及正負數(shù)的意義考點二：實數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法考點三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)考點四：二次根式及其運算考點五：實數(shù)的運算及大小比較（高頻）考點六：代數(shù)式及求值考點七：整式的相關(guān)概念及運算（含冪的運算）考點八：整式的化簡及求值（高頻）考點九：因式分解（高頻）考點十：分式考點十一：實數(shù)計算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）04辨·易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（4大易錯點）易錯點1：平方根、算術(shù)平方根、立方根的區(qū)別（填空題必考）易錯點2：整式的化簡求值易錯點3：分式的有關(guān)概念易錯點4：分式的化簡求值知識模塊一：實數(shù)的有關(guān)概念及計算知識點一：實數(shù)的分類1、按實數(shù)的定義分類：2、按大小分類：知識點二：實數(shù)的相關(guān)概念：正負數(shù)、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)（熟記）知識點概念補充與拓展正負數(shù)大于0的數(shù)叫做正數(shù).正數(shù)前面加上符號“-”的數(shù)叫負數(shù).注意：負數(shù)前面的負號“-”不能省略.0既不是正數(shù)，也不是負數(shù).正負數(shù)的意義：表示具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，通常先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．?dāng)?shù)軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸上的點與實數(shù)具有一一對應(yīng)的關(guān)系.將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.在數(shù)軸上距原點n個單位長度的點有2個.數(shù)軸中點公式：數(shù)軸上有兩點A、B分別表示的數(shù)為x，y，若C是A、B兩點的中點，C所表示的數(shù)為c，則有：2c=x+y.數(shù)軸兩點距離=數(shù)軸上右側(cè)的點所表示的數(shù)-左側(cè)的點表示的數(shù)（簡稱大數(shù)-小數(shù)）.相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)稱為互為相反數(shù).若a、b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）.互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側(cè).正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)；負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)；0的相反數(shù)是0.相反數(shù)是本身的數(shù)是0.（a+b）的相反數(shù)是-（a+b），（a-b）的相反數(shù)是-（a-b）或b-a.多重符號化簡口訣：數(shù)負號個數(shù)，奇負偶正.絕對值在數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離叫做a的絕對值，記為|a|．兩個正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大；兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小.正數(shù)的絕對值是它本身；0絕對值是0；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)若|a|=a（或|a|-a=0），則a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），則a≤0.若a=b或a=-b，則|a|=|b|（反之亦成立）.若|a|+|b|=0，則a=0且b=0（a、b可以是多項式）.幾何意義補充：|x|=|x-0|數(shù)軸上表示x的點到原點的距離，|x-1|數(shù)軸上表示x的點與表示1的點之間的距離，|x+2|數(shù)軸上表示x的點與表示-2的點之間的距離.倒數(shù)1除以一個不等于零的實數(shù)所得的商，叫做這個數(shù)的倒數(shù)．0沒有倒數(shù).若a、b互為倒數(shù)，則ab=1互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負數(shù)）.倒數(shù)是本身的只有1和-1.乘方n個相同的因數(shù)a相乘記作an，其中a為底數(shù)，n為指數(shù)，乘方的結(jié)果叫做冪.負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù).規(guī)定：a0=1（a≠0）知識點三：實數(shù)的運算1、科學(xué)記數(shù)法（掌握）與近似數(shù)：知識點概念補充與拓展科學(xué)記數(shù)法科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，確定a，n的值是關(guān)鍵.當(dāng)原數(shù)絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1.當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數(shù)左邊第一個非零的數(shù)字前的所有零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的零）.小技巧：1萬=104，1億=1萬×1萬=108.近似數(shù)近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度通常用精確度來表示，近似數(shù)一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.近似數(shù)小數(shù)點后的末位數(shù)是0的，不能去掉0.一個近似數(shù)從左邊第一位非0的數(shù)字起，到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)字.一個近似數(shù)有幾個有效數(shù)字，就稱這個近似數(shù)保留幾個有效數(shù)字.2、平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)（理解）知識點概念補充與拓展算術(shù)平方根如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根.記為，a叫做被開方數(shù).正數(shù)只有一個算術(shù)平方根，且恒為正；0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根平方根如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù).0的算術(shù)平方根為0；負數(shù)沒有算術(shù)平方根.立方根如果一個數(shù)的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根.正數(shù)只有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)只有一個負的立方根．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根互為相反數(shù)實數(shù)的非負性在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù).非負數(shù)有三種形式：①任何一個實數(shù)a的絕對值是非負數(shù)，即|a|≥0；②任何一個實數(shù)a的平方是非負數(shù)，即≥0；③任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即≥0.非負數(shù)具有以下性質(zhì)：①非負數(shù)有最小值零；②非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；③幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.3、實數(shù)的運算法則及大小比較（掌握）（一）常見的實數(shù)運算（常出現(xiàn)在選擇題）運算法則乘方，零次冪負整數(shù)指數(shù)冪（，為正整數(shù)），特別地：.去絕對值符號-1的奇偶次冪三角函數(shù)30°45°60°1（二）實數(shù)的四則運算法則（穿插在各個題型中）(1)實數(shù)加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).(2)實數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù).(3)實數(shù)乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.任何數(shù)與0相乘，都得0；②幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積是負數(shù)，當(dāng)負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積是正數(shù)；③幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0，那么積等于0.(4)實數(shù)除法法則：①除以一個不等于0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù).0不能作除數(shù)；②兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0.(5)乘方的運算法則：正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；0的任何正整數(shù)次冪都是0.4、實數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：數(shù)軸比較法：將兩個數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大.類別比較法：正數(shù)大于零；負數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而?。鞑畋容^法：若a，b是任意兩個實數(shù)，則①a-b>0óa(chǎn)>b；②a-b=0óa(chǎn)=b；③a-b<0óa(chǎn)<b．平方比較法：①對任意正實數(shù)a，b，若a2>b2óa(chǎn)>b；②對任意負實數(shù)a，b，若a2>b2óa(chǎn)<b．倒數(shù)比較法：若>，ab>0，則a<b． 作商比較法：①任意實數(shù)a，b，=1óa(chǎn)=b；②任意正實數(shù)a，b，>1óa(chǎn)>b；<1óa(chǎn)＜b；③任意負實數(shù)a，b，>1óa(chǎn)<b；<1óa(chǎn)＜b.知識模塊二：整式及因式分解知識點一：代數(shù)式、代數(shù)式的值1、代數(shù)式的概念用基本運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式．2、代數(shù)式的值用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運算順序計算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值分兩步:第一步,代數(shù);第二步,計算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.知識點二：整式的有關(guān)概念（常出現(xiàn)在選擇題、填空題）1、整式：單項式與多項式統(tǒng)稱為整式．2、單項式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項式．單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式．單項式中的數(shù)字因式叫做這個單項式的系數(shù)；一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)．3、多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項．多項式里，次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)．多項式中單項式的個數(shù)，就是這個多項式的項數(shù)．4、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．幾個常數(shù)項也是同類項．5、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變．知識點三：整式的運算（貫穿整個代數(shù)部分）1、整式的加減運算：①概念：整數(shù)的加減本質(zhì)是合并同類項，如果有括號要先去括號，再合并同類項.②去括號法則：如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.③添括號法則：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.2、冪的運算（多出選擇題）：正整數(shù)冪的運算性質(zhì)：；；；(a≠0，m＞n)．其中m、n都是正整數(shù)．3、整式的乘除運算整式的乘除運算步驟說明補充說明及注意事項單項式乘單項式①將單項式系數(shù)相乘作為積的系數(shù);

②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為積的一個因式;

③單獨出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的一個因式.1）實質(zhì):乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.

2）單項式乘單項式所得結(jié)果仍是單項式.單項式乘多項式①先用單項式和多項式的每一項分別相乘；

②再把所得的積相加.1）單項式乘多項式實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式.2）單項式乘多項式的結(jié)果是多項式，積的項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.多項式乘多項式①先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，

②再把所得的積相加．運用法則時應(yīng)注意以下兩點：

①相乘時，按一定的順序進行，必須做到不重不漏；②多項式與多項式相乘，多項式的每一項都應(yīng)該帶上它前面的正負號.且結(jié)果仍是多項式，在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)等于原多項式的項數(shù)之積．單項式除單項式①將單項式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的除法，作為商的一個因式；③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.多項式除單項式①先把這個多項式的每一項除以這個單項式；②再把所得的商相加整式的混合運算的運算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號時先算括號里面的.知識點四：乘法公式（熟記）1、平方差公式：（注意公式逆應(yīng)用）.2、完全平方公式：（注意公式逆應(yīng)用）.知識點五：因式分解（掌握）1、定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解．2、方法：（1）提公因式法：；（2）公式法：；（3）十字相乘法：．3、分解因式的基本步驟：（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提公因式；（2）再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止．簡記為一“提”、二“套”、三“檢查．知識模塊三：分式知識點一：分式的概念與性質(zhì)1、分式的概念形如的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零．2、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．，．(其中M是不等于零的整式)知識點二：分式的運算法則（掌握）①加減法：，；②乘法：；③除法：；④乘方：（n為正整數(shù)）．知識模塊四：二次根式知識點一：二次根式的相關(guān)概念與性質(zhì)1、二次根式的概念：形如(a≥0)的式子叫做二次根式．2、最簡二次根式和同類二次根式的概念最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式．3、二次根式的主要性質(zhì)（1）；（2）；（3）；（4）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；（5）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.知識點二：二次根式的運算（掌握）1、二次根式的加減：二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并．2、二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變．考點一：實數(shù)的分類及正負數(shù)的意義【典例1】（2024?涼山州）下列各數(shù)中：5，，，0，，，負數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)正數(shù)和負數(shù)的定義判斷即可，注意：0既不是負數(shù)也不是正數(shù)．【解答】解：，是正數(shù)；，是負數(shù)；，是負數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；，是負數(shù)；，是正數(shù)；負數(shù)有，，，共3個．故選：．【點評】本題考查了對正數(shù)和負數(shù)定義的理解，難度不大，注意0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．【典例2】（2024秋?吳中區(qū)校級月考）2024年5月3日，嫦娥六號探測器開啟世界首次月球背面采樣返回之旅，月球表面的白天平均溫度是零上，記作，夜間平均溫度是零下，應(yīng)記作A． B． C． D．【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【解答】解：“正”和“負”相對，所以，2024年5月3日，嫦娥六號探測器開啟世界首次月球背面采樣返回之旅，月球表面的白天平均溫度是零上，記作，夜間平均溫度是零下，應(yīng)記作．故選：．【點評】此題主要考查了正負數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．考點二：實數(shù)的相關(guān)概念及科學(xué)記數(shù)法【典例1】（2024?雅安）2024的相反數(shù)是A．2024 B． C． D．【分析】根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進行解答即可得．【解答】解：2024的相反數(shù)是，故選：．【點評】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2024?成都）的絕對值是A．5 B． C． D．【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解．【解答】解：根據(jù)負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，得．故選：．【點評】此題主要考查的是絕對值的性質(zhì)：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．【典例3】（2024?包頭）若，互為倒數(shù)，且滿足，則的值為A． B． C．2 D．4【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可得，然后求出的值，即可得出的值．【解答】解：與互為倒數(shù)，，，，．故選：．【點評】本題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【典例4】（2023?鼓樓區(qū)校級三模）明朝地理學(xué)家徐霞客從小立志，朝碧海而暮蒼梧，一生志在四方，踏遍錦繡山河，編撰了60余萬字的地理名著《徐霞客游記》，其中60萬用科學(xué)記數(shù)法可表示為．【分析】把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學(xué)記數(shù)法，由此即可得到答案．【解答】解：60萬．故答案為：．【點評】本題考查科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)，關(guān)鍵是掌握用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)的方法．【典例5】（2024?蘇州）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是A． B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)，，，，而，可知1與原點距離最近．【解答】解：，，，，而，與原點距離最近，故選：．【點評】本題考查的是數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上點的分布特點是解題的關(guān)鍵．【典例6】（2024?科右前旗模擬）點在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較、、大小關(guān)系正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖示，可得：，據(jù)此判定出、、大小關(guān)系即可．【解答】解：，，，．故選：．【點評】本題考查了數(shù)軸，有理數(shù)大小比較，理清的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵．【典例7】（2024秋?成華區(qū)校級月考）如圖，將一個半徑為1個單位長度的圓片上的點放在原點，并把圓片沿數(shù)軸滾動1周，點到達點的位置，則點表示的數(shù)是；若起點開始時是與重合的，則滾動2周后點表示的數(shù)是．【分析】先求出圓的周長，再根據(jù)數(shù)軸的特點進行解答即可．【解答】解：圓的半徑為1個單位長度，此圓的周長，當(dāng)圓片向左滾動一周時，點表示的數(shù)是；當(dāng)圓片向右滾動一周時，點表示的數(shù)是，若起點開始時是與重合的，圓片向左滾動2周時，則表示的數(shù)是；圓片向右滾動2周時，表示的數(shù)是，故答案為：或；或．【點評】本題考查的是實數(shù)與數(shù)軸的特點，熟知實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．【典例8】（2024?河北）如圖，有甲、乙兩條數(shù)軸．甲數(shù)軸上的三點，，所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，乙數(shù)軸上的三點，，所對應(yīng)的數(shù)依次為0，，12．（1）計算，，三點所對應(yīng)的數(shù)的和，并求的值；（2）當(dāng)點與點上下對齊時，點，恰好分別與點，上下對齊，求的值．【分析】（1）計算即可，根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式先求出、的長，再計算比值即可；（2）先求出、的長，根據(jù)題意列出，然后計算即可．【解答】解：（1）點，，所對應(yīng)的數(shù)依次為，2，32，，，三點所對應(yīng)的數(shù)的和為，，，；（2）由數(shù)軸得，，，由題意得，，，．【點評】本題考查了數(shù)軸，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離公式是解題的關(guān)鍵．考點三：平方根、算術(shù)平方根、立方根與非負數(shù)的性質(zhì)【典例1】（2024?資陽）若，則．【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出方程求出未知數(shù)的值，再代入所求代數(shù)式計算即可．【解答】解：，，，，，，故答案為：2．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)．初中階段有三種類型的非負數(shù)：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術(shù)平方根）．當(dāng)它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．【典例2】．“平方根”節(jié)是數(shù)學(xué)愛好者的節(jié)日，一個世紀只會出現(xiàn)9次，這一天的月份和日期的數(shù)字相同，且恰好是當(dāng)年年份最后兩位數(shù)字的算術(shù)平方根，例如2016年的4月4日，請你再寫出一個本世紀的“平方根”節(jié)，年月日（題中示例除外）．【分析】讀懂題意按照題目的方式找一組年月日符合題意的即可．【解答】解：例如1981年9月9日，故答案為：1981，9，9．【點評】本題考查了新定義，做題關(guān)鍵是認真讀懂題意．【典例3】（2024?成都）若，為實數(shù)，且，則的值為．【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)列出方程，求出方程的解得到與的值，代入原式計算即可得到結(jié)果．【解答】解：，為實數(shù)，且，，，解得，，．故答案為：1．【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．【典例4】（2024春?西城區(qū)校級期中）【閱讀材料】善于思考的小明通過觀察下列各式的計算過程，找到了求較大數(shù)的立方根的一種方法：，，，，，，，，．（1）小明是這樣求出493039的立方根的．他先估計493039的立方根的個位上的數(shù)字，由上面各式他猜想出這個立方根的個位上的數(shù)字為，又由；猜想出493039的立方根的十位上的數(shù)字為，從而得到493039的立方根；【解決問題】（2）請你根據(jù)（1）中小明的探究方法，完成如下填空：①，②．【分析】（1）根據(jù)，，，，，，，，的個位數(shù)字所呈現(xiàn)的規(guī)律，得到493039立方根的個位數(shù)字是9，再根據(jù)，得到493039立方根的十位數(shù)字是7，進而得出答案；（2）①由238328的個位數(shù)字是8可知238328的立方根的個位數(shù)字是2，再由，，而得到238328的立方根的十位數(shù)字是6即可；②仿照①的方法求出，再由求出答案即可．，【解答】解：（1）由上面各式可得這個立方根的個位上的數(shù)字為9，又由；猜想出493039的立方根的十位上的數(shù)字為7，從而得到493039的立方根是79，故答案為：9，7；（2）①由于238328的個位數(shù)字是8，由，，，，，，，，可知，238328的立方根的個位數(shù)字是2，，，而，的立方根的十位數(shù)字是6，，故答案為：；②由于571787的個位數(shù)字是7，由，，，，，，，，可知，238328的立方根的個位數(shù)字是3，，，而，的立方根的十位數(shù)字是8，，，故答案為：0.83．【點評】本題考查立方根，理解立方根的定義，掌握一個數(shù)立方根的個位數(shù)字所呈現(xiàn)的規(guī)律是正確解答的關(guān)鍵》考點四：二次根式及其運算【典例1】（2024?北京）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：．【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2024?淮安）計算：．【分析】本題需先對二次根式進行化簡，再根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算即可求出結(jié)果．【解答】解：，，．故答案為：2．【點評】本題主要考查了二次根式的乘除法，在解題時要能根據(jù)二次根式的乘法法則，求出正確答案是本題的關(guān)鍵．【典例3】（2023春?巨野縣期末）下面是小華同學(xué)解答題目的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．計算：．任務(wù)一：以上步驟中，從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是．任務(wù)二：請寫出正確的計算過程．任務(wù)三：除糾正上述錯誤外，請你根據(jù)平時的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就二次根式運算時還需注意的事項給其他同學(xué)提一條建議．【分析】直接利用完全平方公式將原式化簡，再利用二次根式的混合運算法則計算得出答案．【解答】解：任務(wù)一：一，沒有將帶分數(shù)化為假分數(shù)再化簡，故答案為：一，沒有將帶分數(shù)化為假分數(shù)再化簡，任務(wù)二：原式，任務(wù)三：二次根號內(nèi)是帶分數(shù)，需要先化為假分數(shù)，再化簡．【點評】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．【典例4】（2024?廣州模擬）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長，，求三角形面積的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，則邊上的高為A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意把，，代入求得的面積，再利用面積公式即可求解．【解答】解：由題意得，，，，，邊上的高為，故選：．【點評】本題考查了二次根式的知識，掌握二次根式計算方法是解題關(guān)鍵．【典例5】如果一個三角形的三邊的長分別為，，，設(shè)，則有下列面積公式：（海倫公式）；（秦九韶公式）．如果一個三角形的三邊的長依次為5，6，7，利用兩個公式分別求這個三角形的面積．【分析】把、、的值分別代入海倫公式和秦九韶公式，計算即可．【解答】解：．；．【點評】本題考查了二次根式的運算，掌握二次根式的運算法則和二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．考點五：實數(shù)的運算及大小比較【典例1】（2024?吉林）若□的運算結(jié)果為正數(shù)，則□內(nèi)的數(shù)字可以為A．2 B．1 C．0 D．【分析】將選項代入，得出運算結(jié)果即可．【解答】解：，故選項錯誤；，故選項錯誤；，故選項錯誤；，故選項正確；故選：．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2024?重慶）估計的值應(yīng)在A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【分析】先將式子化簡，再根據(jù)，得出式子的值的范圍．【解答】解：，，，，，故選：．【點評】本題考查了無理數(shù)的大小估算，二次根式的混合運算，利用平方法估算無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．【典例3】（2024?思明區(qū)二模）如圖，在做浮力實驗時，小華用一根細線將一個正方體鐵塊拴住，完全浸入盛滿水的圓柱形燒杯中，量筒量得溢出水的體積為，則該鐵塊棱長大小的范圍是A． B． C． D．【分析】運用立方根知識進行估算求解．【解答】解：由題意得，該鐵塊棱長是，，，該鐵塊棱長大小的范圍是，故選：．【點評】此題考查了無理數(shù)的估算能力，關(guān)鍵是能準確理解并運用平方根知識進行求解．【典例4】（2024?安徽）我國古代數(shù)學(xué)家張衡將圓周率取值為，祖沖之給出圓周率的一種分數(shù)形式的近似值為．比較大小：（填“”或“”．【分析】先計算出：，，而，因此．【解答】解：，，，，故答案為：．【點評】本題考查的是實數(shù)大小比較，熟練掌握其比較方法是解題的關(guān)鍵．【典例5】（2024?陜西）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數(shù)分別填在五個小正方形內(nèi)，使橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，則填入中間位置的小正方形內(nèi)的數(shù)可以是（寫出一個符合題意的數(shù)即可）【分析】根據(jù)題意，填寫數(shù)字即可．【解答】解：解法一：由題意，填寫如下：，，滿足題意，故答案為：0．解法二：由題意，填寫如下：，，滿足題意，故答案為：．解法三：由題意，填寫如下：，，滿足題意，故答案為：2．【點評】本題考查了有理數(shù)的運算，根據(jù)橫向三個數(shù)之和與縱向三個數(shù)之和相等，進行填寫即可得出結(jié)果．【典例6】（2024?金水區(qū)校級二模）如圖是在浦東陸家嘴明代陸深古墓中發(fā)掘出來的寶玉明白玉幻方．其背面有方框四行十六格，為四階幻方（從1到16，一共十六個數(shù)目，它們的縱列、橫行與兩條對角線上4個數(shù)相加之和均為．小明探究后發(fā)現(xiàn)，這個四階幻方中的數(shù)滿足下面規(guī)律：在四階幻方中，當(dāng)數(shù)，，，有如圖1的位置關(guān)系時，均有．如圖2，已知此幻方中的一些數(shù)，則的值為．【分析】根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，將四階幻方分解為三階幻方進行研究，右圖中給出數(shù)據(jù)，在實線的三階區(qū)域內(nèi)有右下角對應(yīng)的是，在虛線的三階區(qū)域內(nèi)，2對應(yīng)右下角的數(shù)是15，再根據(jù)每列和是34，即可求解；【解答】解：如圖，根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)，在實線的三階區(qū)域內(nèi)有右下角對應(yīng)的是，在虛線的三階區(qū)域內(nèi)，2對應(yīng)右下角的數(shù)是15，在第四列中，四個數(shù)分別是，，，15，，；故答案為1．【點評】本題考查代數(shù)式的加減法；能夠通過三階幻方的規(guī)律解決四階幻方，合理的進行分割幻方是解題的關(guān)鍵．【典例7】（2024?甘肅）定義一種新運算，規(guī)定運算法則為：，均為整數(shù)，且．例：，則．【分析】根據(jù)，可以求得所求式子的值．【解答】解：，，故答案為：8．【點評】本題考查有理數(shù)的混合運算、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用新定義解答．【典例8】（2024?北京）聯(lián)歡會有，，，四個節(jié)目需要彩排，所有演員到場后節(jié)目彩排開始．一個節(jié)目彩排完畢，下一個節(jié)目彩排立即開始．每個節(jié)目的演員人數(shù)和彩排時長（單位：如下：節(jié)目演員人數(shù)102101彩排時長30102010已知每位演員只參演一個節(jié)目．一位演員的候場時間是指從第一個彩排的節(jié)目彩排開始到這位演員參演的節(jié)目彩排開始的時間間隔（不考慮換場時間等其他因素）．若節(jié)目按“”的先后順序彩排，則節(jié)目的演員的候場時間為；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按的先后順序彩排．【分析】根據(jù)候場時間定義計算即可，若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按：順序排序．【解答】解：根據(jù)題意，節(jié)目的演員的候場時間為：；若使這23位演員的候場時間之和最小，則節(jié)目應(yīng)按：順序排序，即，故答案為：60；．【點評】本題考查的是有理數(shù)的混合運算，熟練掌握其運算方法是解題的關(guān)鍵．【典例9】（2024?濟南）計算：．【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)進行化簡，然后根據(jù)實數(shù)運算法則進行計算即可【解答】解：原式．【點評】本題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點六：代數(shù)式及求值【典例1】（2024?岳麓區(qū)校級三模）中國古代《孫子算經(jīng)》中有個問題：今有四人共車，一車空；二人共車，八人步，問人與車各幾何？這道題的意思是：今有若干人乘車，每4人乘一車，恰好剩余1輛車無人坐；若每2人共乘一車，最終剩余8個人無車可乘，問有多少人，多少輛車？如果設(shè)有輛車，則總?cè)藬?shù)可表示為A． B． C． D．【分析】由4人乘一車，恰好剩余1輛車無人坐，求總?cè)藬?shù)為；若每2人共乘一車，最終剩余8個人無車可乘，求總?cè)藬?shù)為；依此即可求解．【解答】解：有輛車，總?cè)藬?shù)為或．故選：．【點評】本題考查列代數(shù)式，能夠根據(jù)題意，列出代數(shù)式是求解的關(guān)鍵．考點七：整式的相關(guān)概念及運算（含冪的運算）【典例1】（2024?湖南）下列計算正確的是A． B． C． D．【分析】分別根據(jù)合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘法與除法法則，冪的乘方與積的乘方法則對各選項進行逐一判斷即可．【解答】解：、，原計算錯誤，不符合題意；、，正確，符合題意；、，原計算錯誤，不符合題意；、，原計算錯誤，不符合題意．故選：．【點評】本題考查的是合并同類項，同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方與積的乘方，熟知以上運算法則是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2024?長春）單項式的次數(shù)是．【分析】直接利用單項式的次數(shù)確定方法分析得出答案．【解答】解：單項式的次數(shù)是：3．故答案為：3．【點評】本題考查了單項式的知識，掌握單項式的次數(shù)的確定方法是關(guān)鍵．【典例3】（2024?薛城區(qū)二模）現(xiàn)有邊長分別為和的類和類正方形紙片、長為寬為的類矩形紙片若干張．如圖所示要拼一個邊長為的正方形，需要1張類紙片、1張類紙片和2張類紙片．若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要類紙片的張數(shù)為A．7 B．8 C．9 D．10【分析】用長乘寬，列出算式，根據(jù)多項式乘多項式的運算法則展開，然后根據(jù)、、類卡片的形狀可得答案．【解答】解：，若要拼一個長為、寬為的矩形，則需要類紙片的張數(shù)為7張．故選：．【點評】本題考查了多項式乘多項式在幾何圖形問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并明確多項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)鍵．【典例4】（2024?上海）計算：．【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可．【解答】解：，故答案為：．【點評】本題考查平方差公式，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．【典例5】（2024?重慶）計算：．【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪計算可得．【解答】解：原式，故答案為：3．【點評】本題主要考查零指數(shù)冪和負整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握，為正整數(shù)）及．【典例6】（2023秋?武漢期中）如果整式與整式的和為一個數(shù)值，我們稱，為數(shù)的“伙伴整式”，例如：和為數(shù)2的“伙伴整式”；和為數(shù)8的“伙伴整式”．若關(guān)于的整式與為數(shù)的“伙伴整式”，則的值為．【分析】根據(jù)“友好整式”的定義，整式與相加二次項和一次項系數(shù)為0，即可算出的值，即可算出的值．【解答】解：根據(jù)題意可得，，因為，所以，則，所以．故答案為：2．【點評】本題主要考查代數(shù)式求值，讀懂題目的所給的概念是解決本題的關(guān)鍵．考點八：整式的化簡及求值【典例1】（2024?甘肅）先化簡，再求值：，其中，．【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并同類項，最后計算除法，然后代入，，求出答案即可．【解答】解：原式，當(dāng)，時，原式．【點評】本題主要考查整式的混合運算—化簡求值，熟練掌握整式的混合運算順序和法則及代數(shù)式的求值是解題的關(guān)鍵．考點九：因式分解【典例1】（2024?甘孜州）分解因式：．【分析】由提公因式，可直接得出結(jié)論．【解答】解：公有因式為，原式，故答案為：．【點評】本題考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2024?開福區(qū)校級二模）一個多項式，把它因式分解后有一個因式為，請你寫出一個符合條件的多項式：．【分析】根據(jù)題意，可以寫出分解因式中含有的一個多項式，本題答案不唯一，符合題意即可．【解答】解：，符合條件的一個多項式是，故答案為：（答案不唯一）．【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，寫出符合題意的一個多項式．【典例3】（2024?西藏）分解因式：．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：．【點評】本題主要考查利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：．【典例4】（2024?通遼）分解因式：．【分析】先提取公因式，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解．【解答】解：，，，故答案為：．【點評】此題主要考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．【典例5】（2024?重慶）我們規(guī)定：若一個正整數(shù)能寫成，其中與都是兩位數(shù)，且與的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為8，則稱為“方減數(shù)”，并把分解成的過程，稱為“方減分解”．例如：因為，25與23的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字5與3的和為8，所以602是“方減數(shù)”，602分解成的過程就是“方減分解”．按照這個規(guī)定，最小的“方減數(shù)”是．把一個“方減數(shù)”進行“方減分解”，即，將放在的左邊組成一個新的四位數(shù)，若除以19余數(shù)為1，且為整數(shù)），則滿足條件的正整數(shù)為．【分析】設(shè)，則，根據(jù)最小的“方減數(shù)”可得，，即可求解；根據(jù)除以19余數(shù)為1，且為整數(shù)），得出為整數(shù)，是完全平方數(shù)，在，，逐個檢驗計算，即可求解．【解答】解：①設(shè)，則，由題意得：，，要使“方減數(shù)”最小，需，，，，當(dāng)時，最小為82；②設(shè)，則，，除以19余數(shù)為1，能被19整除，為整數(shù)，又為整數(shù)），是完全平方數(shù)，，，最小為49，最大為256，即，設(shè)，為正整數(shù)，則，（Ⅰ）當(dāng)時，，則，是完全平方數(shù)，又，，此時無整數(shù)解，（Ⅱ）當(dāng)時，，則，是完全平方數(shù)，又，，此時無整數(shù)解，（Ⅲ）當(dāng)時，，則，是完全平方數(shù)，若，，則，，，，此時，，，故答案為：82，4564．【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，涉及新定義，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含字母的式子表示相關(guān)的數(shù)．【典例6】（2024?鹿城區(qū)校級一模）“字母表示數(shù)”的系統(tǒng)化闡述是16世紀提出的，被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，從而大大推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展．經(jīng)過初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道了用字母表示數(shù)可以分析從特殊到一般的數(shù)學(xué)規(guī)律，字母與數(shù)一樣，也可以參與運算．請同學(xué)們觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；（1）請用此方法拆分．（2）請你用上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含的等式表示，為正整數(shù)）并運用有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【分析】依據(jù)材料中的規(guī)律解答即可，利用式子的規(guī)律和已知解答．【解答】解：（1）由題意可知：，，，；．答：．（2）根據(jù)題意，含有字母的等式表示為：．左邊，右邊，左邊右邊．答：．【點評】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，數(shù)學(xué)常識以及列代數(shù)式等．正確指出等式所反映的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點十：分式【典例1】（2024?雅安）已知．則A． B．1 C．2 D．3【分析】由已知條件可得，將其代入中計算即可．【解答】解：，，，，故選：．【點評】本題考查分式的加減，分式的值，結(jié)合已知條件求得是解題的關(guān)鍵．【典例2】（2024?綏化）化簡：．【分析】先算括號內(nèi)的減法，把除法變成乘法，再根據(jù)分式的乘法法則進行計算即可．【解答】解：原式，故答案為：．【點評】本題考查了分式的混合運算，能正確運用分式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運算順序．【典例3】（2024?北京）已知，求代數(shù)式的值．【分析】先將分式的分子、分母分別分解因式，約分化為最簡結(jié)果，然后代入求值即可．【解答】解：，，．【典例4】（2024?遂寧）先化簡：，再從1，2，3中選擇一個合適的數(shù)作為的值代入求值．【分析】先化簡分式，再將代入求出結(jié)果．【解答】解：，，，，，當(dāng)時，原式．【點評】本題考查了分式的化簡，要注意分母不為0．【典例5】（2024?惠農(nóng)區(qū)模擬）下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中是單項式，請寫出單項式，并將該例題的解答過程補充完整．例：先化簡，再求值：，其中解：原式【分析】根據(jù)題意得出單項式的值，再由分式混合運算的法則把原式進行化簡，把的值代入進行計算即可．【解答】解：由題意得，單項式為，原式，當(dāng)時，原式．【點評】本題考查的是分式的化簡求值及單項式，熟知分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．考點十一：實數(shù)計算中的規(guī)律問題的解決方法（方法技巧）觀察法：通過觀察數(shù)列或圖形的變化規(guī)律，找出共同點或不同點，再將數(shù)列或圖形的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為代數(shù)，通過代數(shù)運算得出結(jié)果.【典例1】（2024?綿陽）如圖，將全體正偶數(shù)排成一個三角數(shù)陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有1個數(shù)為2，第二行有2個數(shù)為4，6，第行有個數(shù)．探究其中規(guī)律，你認為第行從左至右第3個數(shù)不可能是A．36 B．96 C．226 D．426【分析】根據(jù)所給排列方式，發(fā)現(xiàn)每行最后一個數(shù)可表示為兩個