631平面向量的基本定理(專項(xiàng)檢測(cè))-2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)精講檢測(cè)(人教A版2019)

平面向量的基本定理專項(xiàng)檢測(cè)卷(時(shí)間：120分鐘，分值：150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說法中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）①在△ABC中，，可以作為基底；②能夠表示一個(gè)平面內(nèi)所有向量的基底是唯一的；③零向量不能作為基底．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】平面中兩個(gè)不共線的向量可以構(gòu)成基底，據(jù)此可判斷各說法的正誤.【詳解】平面中兩個(gè)不共線的向量可以構(gòu)成基底，故①正確，③正確.平面中不共線的向量有很多對(duì)，它們都可以作為基底向量，故②錯(cuò)誤.故選：C.2.已知是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：兩個(gè)向量滿足平面的一組基底，需這兩個(gè)向量不共線，由此逐一判斷可得選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；對(duì)于C：設(shè)，即，則，所以無(wú)解，所以此兩個(gè)向量不共線，可以作為一組基底；對(duì)于D：設(shè)，所以，所以此兩個(gè)向量不可以作為基底；故選：C．3.如圖，已知，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則向量

A． B． C． D．【答案】D【分析】由對(duì)應(yīng)性得是相應(yīng)線段的中點(diǎn)，由中位線定理結(jié)合向量的線性運(yùn)算可得．【詳解】解：∵，，任意點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，∴是的中位線，∴.故選：D.4.已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則與的面積之比為A． B． C．3 D．【答案】C【分析】延長(zhǎng)交于，利用三點(diǎn)共線可設(shè)，再利用三點(diǎn)共線可設(shè)，利用題設(shè)條件可計(jì)算的值，從而可計(jì)算所求面積之比.【詳解】如圖，延長(zhǎng)交于，則，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以即，所以，則，故且，又，故，所以，所以，所以，故選C.5.如圖，在中，，，和相交于點(diǎn)，則向量等于（）A．B．C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由平行線得出三角形相似，得出線段成比例，結(jié)合，，證出和，最后由平面向量基本定理和向量的加法法則，即可得和表示.解：過點(diǎn)分別作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，已知，，，則和，則：且，即：且，所以，則：，所以，解得：，同理，和，則：且，即：且，所以，則：，即，所以，即，得：，解得：，四邊形是平行四邊形，由向量加法法則，得，所以.故選：B.6.已知平面向量滿足，與的夾角為，記，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件，t+(1t)=1，可知：若起點(diǎn)相同，則其終點(diǎn)共線，采取數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行解決.【詳解】如圖，，，則，則，因?yàn)椋渲衪+(1t)=1，于是與共起點(diǎn)，且終點(diǎn)共線，即在直線AB上，于是時(shí)（即）最小，最小值為1，無(wú)最大值.故選：C.過的中線的中點(diǎn)作直線分別交?于?兩點(diǎn)，若，則A．4 B． C．3 D．1【答案】A【分析】由為的中點(diǎn)得到，設(shè)，結(jié)合，得到，再由，得到，然后利用與不共線求得m，n即可.解：由為的中點(diǎn)可知，，，設(shè)，則，，，，，與不共線，，解得，故選：.8.在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為有下列四個(gè)命題：甲：乙：丙：?。喝绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題為（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【分析】假設(shè)甲為假，則丙為真，利用面積的關(guān)系得到，利用向量的加減法得到，矛盾，判斷出甲正確；甲為真，推導(dǎo)出，得到丙真；過Q作QN//AB交CP于N，由是的中點(diǎn)，利用平行線分線段成比例定理得到邊長(zhǎng)的關(guān)系，證明出，即可得到和，可判斷出乙正確；由，得到，可判斷出不成立，故丁不正確.【詳解】假設(shè)甲為假，其余為真，所以丙為真.由丙：知，.因?yàn)?而,所以，這與甲為假矛盾，所以甲為真；同理，甲：為真時(shí)，即，所以，所以，所以，即丙為真.甲：為真時(shí)，有.過Q作QN//AB交CP于N，由是的中點(diǎn)，得到,.而，所以,所以.因?yàn)镼N//AB，所以,又，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，故乙正確；由得到，故丁錯(cuò)誤.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列有關(guān)向量命題，不正確的是（）A．若是平面向量的一組基底，則也是平面向量的一組基底B．已知點(diǎn)，，則方向上的單位向量為C．若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得D．若，，則的取值范圍【答案】AC【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念和性質(zhì)，逐項(xiàng)分析計(jì)算即可得解.【詳解】對(duì)A，，故和平行，故不是基底，A錯(cuò)誤；對(duì)B，由單位向量，故B正確；對(duì)C，若，，則不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，當(dāng)方向相反時(shí)，當(dāng)方向相同時(shí)，故D正確.故選：AC10.四邊形中，，，，，，則下列表示錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用向量的線性運(yùn)算將,用基底和表示，與選項(xiàng)比較即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A不正確；故選項(xiàng)B正確；，故選項(xiàng)C不正確，，故選項(xiàng)D正確；故選：AC.11.如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且，若，其中，，則（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則及平面向量的基本定理，可得，，又，根據(jù)題意，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得m，n的值，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】在平行四邊形中，，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，，，故選：ABC．12.如圖，是線段的三等分點(diǎn)，，下列以O(shè)為起點(diǎn)的向量中，終點(diǎn)落在四邊形（含邊界）內(nèi)的向量是（）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由題設(shè)，結(jié)合平面向量的基本定理確定、、、與、的線性關(guān)系，進(jìn)而判斷終點(diǎn)落在四邊形（含邊界）內(nèi)的條件，即可知各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由題設(shè)，，，又，∴，，又，，∴，，∴對(duì)于，1、，時(shí)，終點(diǎn)落在上，2、，時(shí)，終點(diǎn)落在上，3、，，時(shí)，終點(diǎn)落在上，4、，，時(shí)，終點(diǎn)落在上，綜上，：，且、時(shí)終點(diǎn)落在（含邊界）內(nèi)，故只有A、D符號(hào)要求.故選：AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.已知向量，不共線，且平面向量，，若，則______.【答案】1【分析】由，可得，從而可求出的值【詳解】因?yàn)?，向量，不共線，所以，即，解得.故答案為：114.在△ABC中，點(diǎn)D滿足，若，則__________【答案】【分析】把作為基底，然后利用向量加減法法則和平面向量基本定理把用基底表示出來(lái)，從而可求出的值，進(jìn)而可得答案解：因?yàn)?，所?，因?yàn)?，所以，所以，故答案為?5.如圖，將直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜邊與直角三角板的角所對(duì)的直角邊重合，若，則_______，_______．【答案】【分析】由其他線段用表示，再用向量的運(yùn)算法則、向量線性運(yùn)算的幾何意義、平面向量基本定理求出所求.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)B作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，，，得，則．設(shè)，則，．由，得，解得，故．答案：16.如圖，直角梯形中，，若為三條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中正確的是__________.（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）①滿足的點(diǎn)有且只有1個(gè)；②滿足的點(diǎn)有且只有1個(gè)；③能使取最大值的點(diǎn)有且只有1個(gè)；④能使取最大值的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè).【答案】③④【分析】分類討論，求出當(dāng)在邊上，在邊上，在邊上時(shí)，的取值范圍以及的范圍，然后根據(jù)所求判斷正誤.解：當(dāng)在邊上時(shí)，如圖，取中點(diǎn)O，連接OC，則設(shè)，，，，當(dāng)在邊上時(shí)，，，當(dāng)在邊上時(shí)，設(shè)，，，，，，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)就是點(diǎn)；或，此時(shí)點(diǎn)在上，故錯(cuò)誤；②當(dāng)時(shí)，有或，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，故錯(cuò)誤；③的最大值為，此時(shí)，這樣的點(diǎn)有且只有1個(gè)，故正確；④的最大值為，當(dāng)在邊上時(shí)，恒有，這樣的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，故正確.故答案為：③④.四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）如圖，的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，設(shè)，，試用基底，表示和．【答案】，.【分析】利用平面向量的加法、減法運(yùn)算的三角形法則，及相反向量、相等向量的定義可直接求得結(jié)果.【詳解】解：∵的對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，，∴，∴，故，.18.（12分）如圖，中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，設(shè).（1）用，表示向量；（2）若點(diǎn)F在上，且，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由于點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以，，而，從而可求得結(jié)果，（2）設(shè)，從而可得，再用，表示，然后結(jié)合，可求得的值，從而可求得的值【詳解】（1）因?yàn)?，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以.（2）設(shè)，所以.又，所以，所以，所以.19.（12分）如圖，三點(diǎn)不共線，，，設(shè)，.（1）試用表示向量；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)分別為，試證明三點(diǎn)共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由，，三點(diǎn)共線，可得到一個(gè)向量等式，由，，三點(diǎn)共線可得到另一個(gè)等式，兩者結(jié)合即可解決（1）；（2）欲證三點(diǎn)共線，可先證明兩向量共線得到．解：（1），，三點(diǎn)共線，，①同理，，，三點(diǎn)共線，可得，②比較①，②，得解得，，．（2），，，，，，，，三點(diǎn)共線．20.（12分）如圖，已知的面積為14，D、分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且，AE與CD交于P．設(shè)存在和使，，，．（1）求及；（2）用，表示；（3）求的面積．【答案】（1），；（2）；（3）4．【分析】（1）用，作為基底表示出向量，，根據(jù)向量相等得到方程組，即可解得；（2）根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，計(jì)算可得；（3）先由，又，再根據(jù)可得．【詳解】（1），，，，，，，，，，又，，解得．（2）由（1）知，，．（3），，，又，．21.（12分）如圖，在直角梯形中，為上靠近B的三等分點(diǎn)，交于為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）用和表示；（2）求；（3）設(shè)，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)3；(3).【分析】(1)根據(jù)給定條件及幾何圖形，利用平面向量的線性運(yùn)算求解而得；(2)選定一組基向量，將由這一組基向量的唯一表示出而得解；(3)由動(dòng)點(diǎn)P設(shè)出，結(jié)合平面向量基本定理，建立為x的函數(shù)求解.【詳解】(1)依題意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起點(diǎn)的三向量終點(diǎn)共線的充要條件知，，則，，；(3)由已知，因P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，則令，，又不共線，則有，，在上遞增，所以，故的取值范圍是.22.（12分）在中，過重心的直線與邊交于，與邊交于，點(diǎn)不與重合.設(shè)面