第2講直線的方程(核心考點講與練)-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)考試滿分全（2020選修第一冊）原卷版

第2講直線的方程(核心考點講與練)1.直線的點斜式方程：；2.直線的斜截式方程：；3.直線的兩點式方程：；4.直線的一般式方程：.5.直線的點法向式方程：；考點一：直線的點斜式方程直線的傾斜角：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角.可見，直線的傾斜角的取值范圍是.直線的斜率：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即.所以，傾斜角是的直線沒有斜率；傾斜角不是的直線都有斜率，其取值范圍是.直線的點斜式方程：直線過點，斜率為，則直線的點斜式方程為：例1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）過點且與原點距離最大的直線方程是（）A． B．C． D．例2．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）已知三角形的三個頂點是，則邊上的高所在的直線方程為__________．例3．（2020·上海市建平中學(xué)高二期中）與直線夾角為，且過點的直線的方程為________例4．（2020·上海·格致中學(xué)高二期中）過點的直線分別與軸、軸的正半軸交于、兩點，則（為坐標原點）面積取得最小值時直線方程為____________.例5．（2020·上海師大附中高二期中）已知直線l經(jīng)過點，且和直線的夾角等于，則直線l的方程是_________．例6．（2020·上海市金山中學(xué)高二期中）矩形的兩條對角線相交于點邊所在直線的方程為，點在邊所在的直線上．（1）求邊所在直線的方程；（2）若直線平分矩形的面積，求出原點與距離的最小值．例7．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖，在道路邊安裝路燈，路面OD寬12m，燈柱OB高14m，燈桿AB與地面所成角為30°．路燈采用錐形燈罩，燈罩軸線AC與燈桿AB垂直，軸線AC，燈桿AB都在燈柱OB和路面寬線OD確定的平面內(nèi)．（1）當(dāng)燈桿AB長度為多少時，燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線？（2）如果燈罩軸線AC正好通過路面OD的中線，此時有一高2.5m的警示牌直立在C處，求警示牌在該路燈燈光下的影子長度．例8．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）在平面直角坐標系中，已知射線：，：．過點作直線分別交射線于點A，B．（1）當(dāng)?shù)闹悬c在直線上時，求直線的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時，求直線的方程；（3）當(dāng)取最小值時，求直線的方程．【鞏固訓(xùn)練】1.直線過點A(2，3)，且傾斜角正弦值為，求此直線方程________________.，斜率為2，求這條直線的點斜式方程.3.直線的傾斜角的平分線所在直線的方程是________________.的傾斜角為，且過點（1，0），則直線的方程_________________.已知直線的傾斜角比直線x2y1=0的傾斜角大45°，且在x軸上的截距為，求直線的方程.6.在平面直角坐標系中，A(0，a)、B（0，b）為y軸的正半軸上的兩定點，試在x軸的正半軸上求一點C，使得取得最大值.考點二：直線的斜截式方程直線的斜截式方程的斜率為，與y軸的交點是P(0,b)，則直線的方程為，即.我們稱b為直線在y軸上的截距，這個方程由直線的斜率和它在y軸上的截距確定，所以這個方程叫做直線的斜截式方程.例1.（2020·上海市控江中學(xué)高二期中）直線的斜率的大小為______．例2．（2020·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）若直線l經(jīng)過點P（1，2），方向向量為，則直線l的點方向式方程是______.例3．（2020·上?！とA師大二附中高二階段練習(xí)）過點且在軸上的截距是在軸上截距的4倍的直線的方程為_____________.例4．（2017·上海市寶山中學(xué)高二期中）已知的三個頂點分別為、、，求：邊上的中線所在直線的斜截式方程.例5．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線過點，且與直線和軸圍成等腰三角形，求直線的方程.【鞏固訓(xùn)練】直線ax+by+c=0經(jīng)過第一、二、三象限，則（） A.ab>0,bc>0 B.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 D.ab<0,bc<02．直線在x軸、y軸上的截距分別是() A. B. C. D.3．方程所表示的直線而構(gòu)成的圖形的面積為 ．4.是否存在這樣的直線，使其滿足條件：若點P(x,y)是直線上一點，則點Q(4x+2y,x+3y)也必在直線上？若存在，求直線的方程，若不存在，說明理由.5.求證：無論取何值，直線都經(jīng)過第一象限，并求直線不經(jīng)過第二象限時的取值范圍.考點三：直線的兩點式方程直線的兩點式方程：一般地，經(jīng)過點和點的直線的點方向式方程為：.例1．（2018·上?！じ叨谥校┮阎本€上兩點（2,3），=（1,5），則直線的點方向式方程是____________.例2．（2017·上海市高橋中學(xué)高二期中）經(jīng)過點的直線l的點方向式方程是________．例3．（2015·上?！じ叨谀┮阎娜齻€頂點分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為______．例4．（2018·上海市西南位育中學(xué)高二期中）兩條直線：和：相交于點，則過點，的直線方程為_______例5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖所示，三個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，邊上有10個不同的點，，…，，記，則______．例6．（2019·上海市進才中學(xué)高二期中）已知的頂點、、，試求：（1）求邊的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在直線的方程.例7．（2020·上海嘉定·高二期中）已知三角形的三個頂點是，，．（1）求邊上的中線所在直線的方程；（2）求邊上的高所在直線的方程．例8．（2016·上海市金山中學(xué)高二期中）已知的頂點，邊上的中線所在的直線方程是，AC邊上的高所在的直線方程是．求：（1）AC邊所在的直線方程；（2）AB邊所在的直線方程．例9．（2018·上?！つ蠀R縣大團中學(xué)高一期中）已知的三個頂點分別為，（1）求AB的垂直平分線所在的直線方程；（2）過點A作直線，它把的面積分成1：3兩部分，求直線的方程.例10．（2016·上?！じ叨谥校┮阎娜齻€頂點的坐標分別為.求邊上中線的長；邊上中線所在的直線方程.【鞏固訓(xùn)練】1.求經(jīng)過點和點的直線的兩點式方程．2．已知梯形ABCD，AD∥BC，它的三個頂點為A(2，3)，B(2，1)，C(6，5)，求中位線所在直線的點方向式方程.3.經(jīng)過點，且與向量平行的直線方程是（） A. B. C. D.4.求過點且平行于直線的直線的點方向式方程.5.已知光源的坐標為，光線繞光源以每分鐘的角度逆時針旋轉(zhuǎn)，已知初始光線沿方向射出，求15分鐘后光線的方程.考點四：直線的一般式方程我們已經(jīng)介紹了直線方程的幾種特殊形式，它們都是關(guān)于x和y的二元一次方程．事實上，在平面直角坐標系中，任何一個關(guān)于x，y的二元一次方程（a，b不同時為0）都表示一條直線．方程（不同時為0）叫做直線的一般式方程．我們可以將這個方程化為的形式，所以x、y的系數(shù)組成的向量是直線的一個法向量，易推得是直線的一個方向向量．例1．（2018·上海楊浦·高二期中）已知直角坐標系平面上的直線經(jīng)過第一、第二和第四象限，則，滿足（）A． B． C． D．例2．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若直線不通過第二象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例3．（2017·上海市南洋模范中學(xué)高二階段練習(xí)）下列說法正確的是（）A．表示過點且斜率為k的直線方程B．過y軸上一點的直線方程可以表示為C．若直線在x軸，y軸的截距分別為a、b，則該直線方程為D．方程表示過兩點、的一條直線例4．（2020·上?！じ叨n時練習(xí)）過點的直線的傾斜角滿足，則直線的方程是（）.A． B．C． D．例5．（2020·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí)）下列方程能表示如圖所示的直線的是（）A． B．C． D．例6．（2020·上?！じ叨n時練習(xí)）過點且與直線相交成角的直線方程是______．例7．（2020·上海·高二課時練習(xí)）點在第一象限內(nèi)，且在直線上移動，則的最大值是________.例8．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）直線的傾斜角的角平分線所在的直線的方程是________．例9．（2020·上?！じ叨n時練習(xí)）方程表示兩條直線，則的取值范圍是_______________.例10．（2019·上海青浦·高二期中）已知直線.（1）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（2）若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時l的方程.例11．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，公路圍成的是一塊頂角為的角形耕地，其中，在該塊土地中處有一小型建筑，經(jīng)測量，它到公路的距離分別為，現(xiàn)要過點修建一條直線公路，將三條公路圍成的區(qū)域建成一個工業(yè)園.（1）以為坐標原點建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⑶蟪鳇c的坐標；（2）三條公路圍成的工業(yè)園區(qū)的面積恰為，求公路所在直線方程.【鞏固訓(xùn)練】1．已知直線的方程為3x4y1=0，分別寫出直線的一個方向向量和法向量．2．已知直線與，則與的交點在第一象限的充要條件是_________________．：4x+y=6=0和直線：3x5y6=0，若直線被和截得的線段AB的中點恰為坐標原點，求直線的方程．過點作一直線，使得它夾在兩直線2xy2=0和x+y+3=0之間的線段恰被點P平分，求此直線的方程．5．已知點A(4，5)，B、C分別是x軸和直線2xy+2=0上的動點，當(dāng)△ABC的周長最小時，求B、C點坐標及周長的最小值．考點五：直線的點法向式方程直線的法向量：把與直線垂直的向量叫做直線的法向量.直線的點法向式方程：如果向量是直線的一個法向量，且過點，則直線的點法向式方程表示為：.例1．（2019·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）已知是常數(shù)且，那么表示一條直線的點法向式方程的充要條件是（）A． B． C．或 D．且例2．（2020·上海市實驗學(xué)校高二期中）過點且法向量為的直線方程是________例3．（2021·上?！とA師大二附中高二開學(xué)考試）若直線l的方程為，則直線l的一個法向量是_____________例4．（2020·上?！?fù)旦附中高二期中）若直線過點，則它的點法向式方程為____________.例5．（2019·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二期中）過點，且與直線垂直的直線的點法向式方程為______；例6．（2021·上海市長征中學(xué)高二期中）過點A(1，5)且以(2，1)為法向量的直線方程為______________．例7．（2020·上?！じ叨n時練習(xí)）已知直線與過點的直線垂直，且過線段的中點，點的坐標為，點的坐標為，求直線的點法向式方程．例8.（2020·上海市建平中學(xué)高二期中）已知△的三個頂點分別是，，.（1）求邊上的高所在直線的點法向式方程；（2）如圖，若四邊形是平行四邊形，求點的坐標.【鞏固訓(xùn)練】和點，求線段AB的垂直平分線的點法向式方程.2.、和點是三角形的三個頂點，求：（1）BC邊所在直線的方程；（2）BC邊上的高AD所在直線的方程.上一點，若為鈍角，求點P的橫坐標的取值范圍.4.直線過點（2,3），它的法向量是直線xy=0的方向向量，求直線的方程.5.已知在△ABC中，90°，點B、C的坐標分別為（4,2）、（2，8），向量，且與AC邊平行，求△ABC的兩條直角邊所在的直線的方程.6.已知點M(2，4)、N(5，4)，點P在y軸上，且90°，則點P的坐標為___________.7.若原點在直線上的射影為，求直線的方程?？键c六：直線方程的綜合應(yīng)用三點共線，其中，求的值以及該直線的點法向式方程．例2.，的平分線所在的直線方程為，若B(1，2),求點A、C的坐標．，頂點A(0，6)，求斜邊AB和直角邊AC所在的直線方程．【鞏固訓(xùn)練】1．已知實數(shù)滿足，，試求的最大值和最小值．2．已知實數(shù)滿足，試求的最大值和最小值．3．直線過，且斜率為，將直線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得直線，若直線和直線分別與軸交于點，則當(dāng)為何值時，的面積最?。坎⑶蟪雒娣e的最小值．一、單選題1．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如下圖，直線的方程是（）A． B．C． D．2．（2021·上海市洋涇中學(xué)高二階段練習(xí)）當(dāng)實數(shù)變化時，方程表示無數(shù)條直線，對某些點，它在且只在這些直線中的某一條上，假設(shè)這些點組成集合，則點、與的關(guān)系為（）A．， B．，C．， D．，3．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）直線的一個方向向量可以是（）A．(2，3) B．(，3) C．(3，2) D．(，2)4．（2021·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）如圖，平面上過點P(1，2)的直線與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B.過點P分別作直線垂直于x軸與y軸，垂足分別為M，N.則滿足的直線有（）條A．0 B．1 C．2 D．35．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）經(jīng)過點，且方向向量為的直線方程是（）A． B．C． D．6．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如果且，那么直線不通過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)是直線:的一個方向向量，是直線的一個法向量.設(shè)向量與向量的夾角為，則為（）A． B．C． D．二、填空題8．（2021·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí)）過點，且方向向量為的直線的點方向式方程為_______________.9．（2020·上海市中國中學(xué)高三期中）動直線，恒過的定點是________10．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直線過點，直線的一個方向向量是，則直線的點方向式方程是___________.11．（2021·上海市第五十四中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線，直線的方向向量為，若，則的值為________.12．（2022·上海·高三專題練習(xí)）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為定值），則的一個法向量為___________.13．（2021·上?！?fù)旦附中青浦分校高二階段練習(xí)）過點A（1，5）且以=（2，1）為法向量的直線方程為__________14．（2021·上海·高二專題練習(xí)）直線l的一個方向向量為，則l與直的的夾角的大小為__________.（結(jié)果用反三角表示）.三、解答題15．（2020·上海市進才中學(xué)高二期中）已知平面上的直線，.（1）直線恒過定點的坐標；（2）直線與軸負半軸和軸正半軸坐標軸圍成的三角形面積為，求的值.16．（2020·上海師大附中高二期中）為了綠化城市，準備在如圖所示的區(qū)域內(nèi)修建一個矩形的草坪，其中，點Q在上，且，，經(jīng)測量，，，．（1）如圖建立直角坐標系，求線段所在直線的方程；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪的占地面積最大，確定此時點Q的坐標并求出此最大面積（精確到）17．（2020·上海市奉賢區(qū)奉城高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知的三個頂點是.求（1）邊所在直線的一般式方程;（2）邊上的高所在直線的一般式方程.18．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）直線l過定點P(0,1)，且與直線l1：x－3y＋10＝0