期末專題02平面向量大題綜合

期末專題02平面向量大題綜合1．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知，是夾角為的單位向量，設．(1)求；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據平面向量的數(shù)量積計算即可.（2）根據向量的模長公式計算，在求的最小值.【詳解】（1）由向量，是夾角為的單位向量，可得．

且．（2），

，．

當且僅當時等號成立，的最小值為．2．（2022春·四川遂寧·高一遂寧中學統(tǒng)考期末）已知，，．(1)當時，求的值；(2)若，求實數(shù)的值．【答案】(1)9(2)【分析】（1）利用平面向量的運算法則和數(shù)量積運算法則進行計算；（2）由向量垂直得到等量關系，求出實數(shù)的值.(1)當時，，故，(2)，，因為，所以，解得：.所以實數(shù)的值為.3．（2022春·四川樂山·高一統(tǒng)考期末）已知O為坐標原點，．(1)若，求x的值；(2)若A、B、C三點共線，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，由向量垂直得到方程，求出；（2）求出，由向量平行得到方程，求出x的值.【詳解】（1）∵∴，解得：（2）由（1）可知∵A、B、C三點共線，∴與共線，即，解得：4．（2022春·四川宜賓·高一統(tǒng)考期末）已知向量，．(1)設向量，若，求實數(shù)a的值；(2)設向量，若，的夾角為銳角，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)或；(2)且．【分析】（1）由向量垂直的坐標表示求解；（2）由，數(shù)量積大于0，然后去除共線的情形即得．【詳解】（1）∵，∴，解得或；（2），的夾角為銳角，則，且兩向量不共線，所以，又兩向量共線時，時，，所以，綜上，的范圍是且．5．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知，是夾角為60°的單位向量，設.(1)求；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據數(shù)量積定義直接計算可得；（2）利用性質，將所求問題轉化為關于t的二次函數(shù)最值問題.(1)由向量，為夾角為60°的單位向量，可得，.所以.(2)∵，∴，∴.當且僅當時等號成立，∴的最小值為.6．（2022春·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，是單位向量，．(1)求與的夾角；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據數(shù)量積的運算求夾角（2）平方法計算得解.【詳解】（1）由得：，因為是單位向量，所以，故：與的夾角為（或）．（2）由，得：7．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，與垂直.(1)求的值；(2)求向量與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，根據數(shù)量積的運算律計算可得；（2）首先求出、，再根據夾角公式計算可得.（1）解：因為，且與垂直，所以，即，即，解得.（2）解：，，設向量與的夾角為，所以.8．（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，D為線段中點，E為線段中點．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由，利用數(shù)量積運算求解；（2）利用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算得到，利用數(shù)量積運算求解；【詳解】（1）因為，D為線段中點，所以，，.（2）因為E為線段中點．所以，，,，所以，，.9．（2021春·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）設，是兩個相互垂直的單位向量，且，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據平面向量共線定理建立關系可求解；（2）利用向量垂直可得，即可求出.【詳解】解：（1）若，且，則存在唯一實數(shù)，使，即，∵不共線，∴，∴；（2）若，則，即，即，∵是兩個相互垂直的單位向量，則，∴.10．（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知點，分別在邊，上，且，．(1)用向量，表示；(2)設，，，求角的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）結合平面向量的線性運算來求得正確答案.（2）利用平方的方法來求得的大小.(1).(2)由兩邊平方得：，，，，由于，所以.11．（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，(1)求；(2)，當時，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據向量夾角的坐標公式求解即可；（2）根據垂直的坐標公式，結合平面向量的線性運算求解即可(1)由題意，，，故(2)，又，故，即，解得12．（2021春·四川樂山·高一統(tǒng)考期末）已知，，，，且.(1)求的值；(2)求向量與向量夾角的余弦.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題意求出的坐標，由向量平行的判斷方法可得關于的方程，即可得到結果；（2）設與的夾角為，由向量夾角公式計算即可得到結果.【詳解】（1）根據題意，，，，，則，因為，則有，解得（2）由（1）可知，設與的夾角為，則13．（2022秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在△中，為中線上一點，且，過點的直線與邊，分別交于點，.(1)用向量，表示；(2)設向量，，求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據，結合向量的線性運算，再用，表達即可；（2）用，表達，結合三點共線即可求得.【詳解】（1）∵為中線上一點，且，∴；（2）∵，，，∴，又，，三點共線，∴，解得，故的值為.14．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知向量，，.(1)若，求的值；(2)若，求與的夾角.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先求出，再由向量共線的坐標公式求解即可；（2）先求出，由向量垂直的坐標公式求出，再由夾角公式求出與的夾角即可.（1）易得，又，則，解得；（2）易得，又，則，解得，即，則，又，故與的夾角為.15．（2022春·四川宜賓·高一四川省高縣中學校?？计谀┮阎矫嫔先齻€向量，，其中(1)若且，求的坐標；(2)若，且，求與的夾角的余弦值.【答案】(1)或；(2).【分析】（1）利用向量共線的坐標表示及向量的模長公式即得；（2）由題可得，然后利用向量夾角公式即得.(1)因為，所以設，則，解得，所以或.(2)因為，，所以，∴，∴.16．（2022春·四川遂寧·高一遂寧中學?？计谀┮阎蛄颗c的夾角為，且，．(1)求，；(2)若與共線，求k.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用向量數(shù)量積的定義和模的計算公式直接求解.（2）利用共線向量定理表示出向量之間的關系，再列方程求解.【詳解】（1），．（2）若與共線，則存在，使得即，又因為向量與不共線，所以，解得，所以．17．（2022春·四川南充·高一統(tǒng)考期末）已知非零向量與不共線，，，．(1)若，求λ、μ的值；(2)若A、B、C三點共線，求λ、μ應滿足的關系式．【答案】(1)λ＝2，μ＝3(2)λ＋u＝1【分析】（1）利用已知條件代入化簡,得到，則2－λ＝0，3－μ＝0，從而求出λ、μ的值（2）三點共線轉化為向量共線，即，然后將等式轉化為，則解方程即可求出答案.【詳解】（1）∵，∴，∴，因為，不共線，∴2－λ＝0，3－μ＝0∴λ＝2，μ＝3；（2）∵A、B、C三點共線，且，∴存在唯一實數(shù)m使，∴即，∵與不共線，∴，消m得λ＋u＝1．18．（2022春·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）已知非零向量，夾角為，且．(1)當時，求；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量數(shù)量積運算公式和夾角余弦公式進行求解；（2）根據向量垂直得到，再求出，進而求出(1)當時，，所以，∵，∴；(2)∵，∴，即∴，∵，∴∴19．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知平面四邊形中，，向量的夾角為.(1)求證：；(2)點是線段中點，求的值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）畫出示意圖，根據邊的關系可得，因而．（2）以B為原點建立平面直角坐標系，寫出各個點坐標，進而根據平面向量數(shù)量積的坐標運算即可求出結果．【詳解】（1）根據題意，畫出示意圖如下圖所示由題意可知，，所以三角形ABD為等邊三角形，則，又，所以，即為直角三角形，且，所以，所以；（2）根據題意，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，因為點是線段中點，所以，則，所以，20．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，，且，．(1)求向量、；(2)若，，求向量，的夾角的大小.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意結合向量平行及垂直的坐標表示可求，，進而可求；（2）設向量，的夾角的大小為．先求出，，然后結合向量夾角的坐標公式可求．【詳解】（1）解：因為，，，且，，所以，，所以，，所以，；（2）解：設向量，的夾角的大小為．由題意可得，，，所以，因為，所以．21．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知，是夾角為60°的單位向量，設．(1)若，且，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知，再根據，結合向量數(shù)量積的運算律求解即可；（2）根據向量模的計算公式得，再結合二次式求最值即可.【詳解】（1）解：由向量，是夾角為60°的單位向量，可得，．所以，．因為，所以，即，解得．所以（2）解：∵，∴，∴，當且僅當時等號成立，∴的最小值為22．（2022春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）已知，是夾角為的單位向量，設．(1)若，且，求的值；(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據垂直向量數(shù)量積為0，結合數(shù)量積的公式求解即可；（2）將兩邊平方，根據二次函數(shù)的最值求解即可(1)由向量，是夾角為的單位向量，可得．

且．由，可得，即，解得．(2)，

，．當且僅當時等號成立，的最小值為．23．（2021春·四川成都·高一統(tǒng)考期末）如圖,在中，已知點分別在邊上，且，.（1）用向量、表示；（2）設,,,求線段的長.【答案】（1）;（2）.

【詳解】試題分析:（1）現(xiàn)將轉換為，然后利用題目給定的比例，將其轉化為以為起點的向量的形式.（2）由（1）將向量兩邊平方，利用向量的數(shù)量積的概念，可求得.試題解析：（1）由題意可得：

（2）由可得：.故.

24．（2021春·四川雅安·高一統(tǒng)考期末）設兩個向量，，滿足，.（1）若，求，的夾角；（2）若，夾角為60°，向量與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由平面向量數(shù)量積的運算律計算求得，再由數(shù)量積的定義求得夾角；（2）由去除它們反向的情形即可得．【詳解】（1），，即，，所以（2），且與不共線，，，且25．（2021春·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）已知，，，為坐標原點．（1），求的值；（2）若，且，求與的夾角．【答案】（1）0；（2）．【分析】（1）由數(shù)量積的坐標表示計算，平方后利用正弦的二倍角公式可得；（2）由向量模的坐標表示計算出后由向量夾角公式計算可得．【詳解】（1），所以，平方得，．（2），，又，所以，，，而，所以．即與的夾角為．26．（2022春·四川自貢·高一統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，點E是BC邊上的中點，點F在邊CD上.（1）若點F是CD上靠近C的三等分點，設，求的值；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用向量的線性運算得到，再表示出，求出，最后求出；（2）建立直角坐標系，利用向量的坐標運算得到，再利用二次函數(shù)求出函數(shù)的最值即可得解.【詳解】（1）因為E是BC邊的中點，點F是CD上靠近C的三等分點，所以，在矩形ABCD中，，，，即，則（2）以AB，AD分別為x，y軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則，，設，；，；的取值范圍為：.【點睛】點睛：向量的運算有兩種方法，一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標運算比較簡單）．27．（2022春·四川綿陽·高一統(tǒng)考期末）已知平面向量滿足，且．(1)求與的夾角；(2)求向量在向量上的投影．【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩邊平方，求出，再根據數(shù)量積得定義即可得解；（2）根據數(shù)量積的運算律求出，再根據向量在向量上的投影為即可得解.【詳解】（1）解：∵，∴，即，又，∴，∴，又向量夾角范圍是，∴與的夾角為；（2）解：∵，∴向量在向量上的投影為．．28．（2022春·四川甘孜·高一統(tǒng)考期末）已知向量?.(1)當?時，求向量?與?的夾角;(2)求?的最大值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）求出兩向量的數(shù)量積，再根據?即可得解；（2）求出坐標，再根據向量的模的坐標表示結合輔助角公式及三角函數(shù)的性質即可得出答案.【詳解】（1）解：當?時，?，?，設?與?的夾角為?，則?，而?，，即?與?的夾角為?；（2）解：?，?，?當時，取等號，?的最大值為?.29．（2022春·四川成都·高一成都七中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校矫嫦蛄?，，的夾角為．(1)求；(2)若，求在方向上的投影的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用轉化法，即可求模.(2)根據投影公式即可求解.（1）．所以．（2）．30．（2022春·四川成都·