專(zhuān)題05立體幾何（選填題）（理科專(zhuān)用）（教師版）

專(zhuān)題05立體幾何（選填題）（理科專(zhuān)用）1．【2022年新高考1卷】南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔148．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140．0km2；水位為海拔157．5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為A．1.0×109m3 B．1.2×109【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積V．棱臺(tái)上底面積S=140.0km2=140×∴V==3×320+60故選：C．

2．【2022年新高考1卷】已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

A．18,814 B．274,814【答案】C【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的高為h，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為36π，所以球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，高為h，則l2=2a所以6h=l所以正四棱錐的體積V=1所以V'當(dāng)3≤l≤26時(shí)，V'>0，當(dāng)2所以當(dāng)l=26時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為64又l=3時(shí)，V=274，l=33所以正四棱錐的體積V的最小值為274所以該正四棱錐體積的取值范圍是274故選：C.

3．【2022年新高考2卷】已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（A．100π B．128π C．144π D．192π【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑r1【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑r1,r2，所以2r1=33sin60°,2r2=43sin60°，即r1故選：A．

4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一．如圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點(diǎn)，且A，B，C在同一水平面上的投影滿(mǎn)足，．由C點(diǎn)測(cè)得B點(diǎn)的仰角為，與的差為100；由B點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為，則A，C兩點(diǎn)到水平面的高度差約為（）（

）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】【分析】通過(guò)做輔助線(xiàn)，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，借助正弦定理，求得，進(jìn)而得到答案．【詳解】過(guò)作，過(guò)作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以．所以．因?yàn)?，所以在中，由正弦定理得：，而，所以所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于如何正確將的長(zhǎng)度通過(guò)作輔助線(xiàn)的方式轉(zhuǎn)化為．

5．【2021年甲卷理科】已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.

6．【2021年新高考1卷】已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.故選：B.

7．【2021年新高考2卷】正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.

8．【2020年新課標(biāo)1卷理科】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選：C.【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題.

9．【2020年新課標(biāo)1卷理科】已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知可得等邊的外接圓半徑，進(jìn)而求出其邊長(zhǎng)，得出的值，根據(jù)球的截面性質(zhì)，求出球的半徑，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

10．【2020年新課標(biāo)2卷理科】如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三視圖，畫(huà)出多面體立體圖形，即可求得點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn).【詳解】根據(jù)三視圖，畫(huà)出多面體立體圖形，上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,直線(xiàn)上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,∴在正視圖中對(duì)應(yīng),在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,線(xiàn)段,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對(duì)應(yīng),∴點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題.

11．【2020年新課標(biāo)2卷理科】已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)球的表面積和的面積可求得球的半徑和外接圓半徑，由球的性質(zhì)可知所求距離.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問(wèn)題的求解，涉及到球的表面積公式和三角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線(xiàn)必垂直于三角形所在平面.

12．【2020年新課標(biāo)3卷理科】下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（

）A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形，求出每個(gè)面的面積，即可求得其表面積.【詳解】根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形根據(jù)立體圖形可得：根據(jù)勾股定理可得：是邊長(zhǎng)為的等邊三角形根據(jù)三角形面積公式可得：該幾何體的表面積是：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖形，考查了分析能力和空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.

13．【2020年新高考1卷（山東卷）】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為（

）

A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【解析】【分析】畫(huà)出過(guò)球心和晷針?biāo)_定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的定義判定有關(guān)截線(xiàn)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)處的緯度，計(jì)算出晷針與點(diǎn)處的水平面所成角.【詳解】畫(huà)出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線(xiàn)；是點(diǎn)處的水平面的截線(xiàn)，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€(xiàn).是晷面的截線(xiàn)，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

14．【2019年新課標(biāo)1卷理科】已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對(duì)角線(xiàn)即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點(diǎn)，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點(diǎn)，，且，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點(diǎn)，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生空間想象能力，補(bǔ)體法解決外接球問(wèn)題．可通過(guò)線(xiàn)面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長(zhǎng)，進(jìn)而補(bǔ)體成正方體解決．

15．【2019年新課標(biāo)2卷理科】設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是A．內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與平行B．內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平行C．，平行于同一條直線(xiàn)D．，垂直于同一平面【答案】B【解析】【分析】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀(guān)想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．【詳解】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線(xiàn)都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線(xiàn)都與平行，所以?xún)?nèi)兩條相交直線(xiàn)都與平行是的必要條件，故選B．【點(diǎn)睛】面面平行的判定問(wèn)題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀(guān)臆斷，如：“若，則”此類(lèi)的錯(cuò)誤．

16．【2019年新課標(biāo)3卷理科】如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則A．，且直線(xiàn)是相交直線(xiàn)B．，且直線(xiàn)是相交直線(xiàn)C．，且直線(xiàn)是異面直線(xiàn)D．，且直線(xiàn)是異面直線(xiàn)【答案】B【解析】利用垂直關(guān)系，再結(jié)合勾股定理進(jìn)而解決問(wèn)題．【詳解】如圖所示，作于，連接，過(guò)作于．連，平面平面．平面，平面，平面，與均為直角三角形．設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，易知，．，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查空間想象能力和計(jì)算能力，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．

17．【2018年新課標(biāo)1卷理科】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點(diǎn)M和點(diǎn)N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪，點(diǎn)M、N在其四分之一的矩形的對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)處，根據(jù)平面上兩點(diǎn)間直線(xiàn)段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖平鋪,可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬，圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線(xiàn)的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點(diǎn)之間的最短距離的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要明確兩個(gè)點(diǎn)在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點(diǎn)間直線(xiàn)段最短，所以處理方法就是將面切開(kāi)平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.

18．【2018年新課標(biāo)1卷理科】已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線(xiàn)與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長(zhǎng)是面的對(duì)角線(xiàn)的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)相互平行的直線(xiàn)與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線(xiàn)所成的角是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線(xiàn)所成角都是相等的，同理平面也滿(mǎn)足與正方體的每條棱所在的直線(xiàn)所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長(zhǎng)為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問(wèn)題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過(guò)六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.

19．【2018年新課標(biāo)2卷理科】在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線(xiàn)線(xiàn)角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線(xiàn)面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

20．【2018年新課標(biāo)3卷理科】中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A． B．C． D．【答案】A【解析】【詳解】詳解：由題意知，題干中所給的是榫頭，是凸出的幾何體，求得是卯眼的俯視圖，卯眼是凹進(jìn)去的，即俯視圖中應(yīng)有一不可見(jiàn)的長(zhǎng)方形，且俯視圖應(yīng)為對(duì)稱(chēng)圖形故俯視圖為故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查空間幾何體的三視圖，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．

21．【2018年新課標(biāo)3卷理科】設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】【詳解】分析：作圖，D為MO與球的交點(diǎn)，點(diǎn)M為三角形ABC的中心，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大，然后進(jìn)行計(jì)算可得．詳解：如圖所示，

點(diǎn)M為三角形ABC的中心，E為AC中點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大此時(shí)，,點(diǎn)M為三角形ABC的中心中，有故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由M為三角形ABC的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到OM，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型．

22．【2022年新高考1卷】已知正方體ABCD-A1B1C1DA．直線(xiàn)BC1與DA1所成的角為90° B．直線(xiàn)BC．直線(xiàn)BC1與平面BB1D1D所成的角為45°【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接B1C、BC1，因?yàn)镈A1//B1因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C為正方形，則B1C⊥BC1連接A1C，因?yàn)锳1B1⊥平面BB因?yàn)锽1C⊥BC1，A1又A1C?平面A1B1連接A1C1，設(shè)A因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C因?yàn)镃1O⊥B1D1，所以∠C1BO為直線(xiàn)B設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則C1O=22，所以，直線(xiàn)BC1與平面BB1D因?yàn)镃1C⊥平面ABCD，所以∠C1BC為直線(xiàn)BC1與平面故選：ABD

23．【2022年新高考2卷】如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED,AB=ED=2FB，記三棱錐E-ACD，F(xiàn)-ABC，F(xiàn)-ACE的體積分別為V1,VA．V3=2VC．V3=V【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計(jì)算V1,V2，連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM,FM，由V【詳解】設(shè)AB=ED=2FB=2a，因?yàn)镋D⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，則V1V2=13?FB?S△ABC=13?a?又ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC，又ED∩BD=D，ED,BD?平面BDEF，則AC⊥平面BDEF，又BM=DM=12BD=2a，過(guò)F作FG⊥DE于G則EM=2a2+EM2+FM2=EF則V3=VA-EFM+VC-EFM=13AC?S△EFM=2a3故選：CD.

24．【2021年新高考1卷】在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線(xiàn)，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A(yíng)，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線(xiàn)段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段．設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．

25．【2021年新高考2卷】如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線(xiàn)構(gòu)造所考慮的線(xiàn)線(xiàn)角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A(yíng)，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.

26．【2020年新課標(biāo)3卷理科】已知圓錐的底面半徑為1，母線(xiàn)長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題，然后結(jié)合截面確定其半徑即可確定體積的值.【詳解】易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示，其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，由于，故，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則：，解得：，其體積：.故答案為：.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.

27．【2020年新高考1卷（山東卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)已知條件易得，側(cè)面，可得側(cè)面與球面的交線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離為，可得側(cè)面與球面的交線(xiàn)是扇形的弧，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)?，所以?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線(xiàn)上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線(xiàn)是扇形的弧，因?yàn)椋?，所以根?jù)弧長(zhǎng)公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線(xiàn)與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問(wèn)題，考查了扇形中的弧長(zhǎng)公式，屬于中檔題.

28．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)，則三棱錐ANMD1的體積為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn)所以故答案為：【點(diǎn)睛】在求解三棱錐的體積時(shí)，要注意觀(guān)察圖形的特點(diǎn)，看把哪個(gè)當(dāng)成頂點(diǎn)好計(jì)算一些.

29．【2019年新課標(biāo)2卷理科】中國(guó)有悠久