山東專用2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專題闖關(guān)導(dǎo)練四熱點(diǎn)問題專練熱點(diǎn)十一排列組合二項(xiàng)式定理概率含解析

PAGE熱點(diǎn)(十一)排列組合、二項(xiàng)式定理、概率1．(排列)七人并排站成一行，假如甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是()A．3600種B．1440種C．4820種D．4800種2．(二項(xiàng)綻開式特定項(xiàng)的系數(shù))(1＋2x)(1＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)為()A．12B．14C．16D．203．[2024·山東日照校際聯(lián)考](古典概型)2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明白孿生素?cái)?shù)猜想的一個(gè)弱化形式．孿生素?cái)?shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個(gè)問題之一，可以這樣描述：存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p＋2是素?cái)?shù)．素?cái)?shù)對(duì)(p，p＋2)稱為孿生素?cái)?shù)．從10以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取2個(gè)構(gòu)成素?cái)?shù)對(duì)，其中是孿生素?cái)?shù)的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5)D.eq\f(1,6)4．(計(jì)數(shù)原理)某人設(shè)計(jì)一項(xiàng)單人嬉戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長(zhǎng)為2個(gè)單位)的頂點(diǎn)A處，然后通過擲骰子來(lái)確定棋子沿正方形的邊按逆時(shí)針方向行走的單位，假如擲出的點(diǎn)數(shù)為i(i＝1,2，…，6)，則棋子就按逆時(shí)針方向行走i個(gè)單位，始終循環(huán)下去．則某人拋擲三次骰子后棋子恰好又回到點(diǎn)A的全部不同走法共有()A．22種B．24種C．25種D．27種5．[2024·山東濰坊模擬](二項(xiàng)綻開式特定項(xiàng)系數(shù))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．1B．11C．－19D．516．(古典概型)吸煙有害健康，小明為了幫助爸爸戒煙，在爸爸包里放一個(gè)小盒子，里面隨機(jī)擺放三支香煙和三支跟香煙外形完全一樣的“戒煙口香糖”，并且和爸爸約定，每次想吸煙時(shí)，從盒子里任取一支，若取到口香糖則吃一支口香糖，不吸煙；若取到香煙，則吸一支煙，不吃口香糖，假設(shè)每次香煙和口香糖被取到的可能性相同，則“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(8,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(3,20)7．[2024·山東濟(jì)南模擬](排列組合＋古典概型)2019年1月1日，濟(jì)南軌道交通1號(hào)線試運(yùn)行，濟(jì)南軌道交通集團(tuán)面對(duì)廣闊市民開展“參觀體驗(yàn)，征求看法”活動(dòng)．市民可以通過濟(jì)南地鐵APP搶票，小陳搶到了三張?bào)w驗(yàn)票，打算從四位摯友小王、小張、小劉、小李中隨機(jī)選擇兩位與自己一起去參與體驗(yàn)活動(dòng)，則小王和小李至多一人被選中的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)8．(排列組合＋計(jì)數(shù)原理)從集合{A，B，C，D，E，F(xiàn)}和{1,2,3,4,5,6,7,8,9)中各任取2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))．則每排中字母C和數(shù)字4,7至少出現(xiàn)兩個(gè)的不同排法種數(shù)為()A．85B．95C．2040D．22809．(多選題)(二項(xiàng)綻開式)關(guān)于多項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)－x))6的綻開式，下列結(jié)論正確的是()A．各項(xiàng)系數(shù)之和為1B．各項(xiàng)系數(shù)的肯定值之和為212C．存在常數(shù)項(xiàng)D．x3的系數(shù)為4010．(多選題)[2024·山東六地市部分學(xué)校線上考試](概率)甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事務(wù)；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事務(wù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．P(B)＝eq\f(2,5)B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)C．事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨(dú)立D．A1，A2，A3是兩兩互斥的事務(wù)11．(多選題)(古典概型)設(shè)集合M＝{2,3,4}，N＝{1,2,3,4}，分別從集合M和N中隨機(jī)取一個(gè)元素m與n.記“點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝k上”為事務(wù)Ak(3≤k≤8，k∈N*)，若事務(wù)Ak的概率最大，則k的取值可能是()A．4B．5C．6D．712．(多選題)(概率)下列對(duì)各事務(wù)發(fā)生的概率推斷正確的是()A．某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是eq\f(1,3)，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為eq\f(4,27)B．三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為eq\f(1,5)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為eq\f(2,5)C．甲袋中有8個(gè)白球，4個(gè)紅球，乙袋中有6個(gè)白球，6個(gè)紅球，從每袋中各任取一個(gè)球，則取到同色球的概率為eq\f(1,2)D．設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務(wù)A發(fā)生的概率是eq\f(2,9)13．(古典概型)人的某一特征(如單雙眼皮)是由他的一對(duì)基因確定的，以D表示顯性基因，d表示隱性基因，則具有DD基因的人是顯性純合子表現(xiàn)為雙眼皮，具有dd基因的人是隱性純合子表現(xiàn)為單眼皮，具有Dd基因的人為雜合子，顯性純合子與雜合子都顯露顯性基因確定的某一特征．孩子從父母身上各得一個(gè)基因，假定父母都是雜合子，則一對(duì)雙眼皮夫婦生一個(gè)雙眼皮的男孩概率是________．14．(二項(xiàng)綻開式特定項(xiàng))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(2,x)))n的二項(xiàng)綻開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該二項(xiàng)綻開式中的常數(shù)項(xiàng)等于________．15．(排列組合)支配A，B，C，D，E，F(xiàn)六名義工照看甲、乙、丙三位老人，每?jī)晌涣x工照看一位老人．考慮到義工與老人住址距離問題，義工A擔(dān)心排照看老人甲，義工B擔(dān)心排照看老人乙，支配方法共有________種．16．(二項(xiàng)式定理＋導(dǎo)數(shù)運(yùn)算)設(shè)(1－ax)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018，若a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018＝2018a(a熱點(diǎn)(十一)排列組合、二項(xiàng)式定理、概率1．答案：A解析：第一步，先將除甲乙外的其他5人全排列，Aeq\o\al(5,5)＝5×4×3×2×1＝120種，其次步，將甲乙2人插入6個(gè)空中，Aeq\o\al(2,6)＝6×5＝30種，則不同的排法種數(shù)是Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(2,6)＝120×30＝3600種．故選A.2．答案：C解析：(1＋2x)(1＋x)4＝(1＋x)4＋2x(1＋x)4，綻開式通項(xiàng)為Tr，k＝Ceq\o\al(r,4)xr＋2xCeq\o\al(k,4)xk＝Ceq\o\al(r,4)xr＋2Ceq\o\al(k,4)xk＋1，令r＝k＋1＝3，得r＝3，k＝2，則綻開式中x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,4)＋2Ceq\o\al(2,4)＝4＋2×6＝16.故選C.3．答案：D解析：易知10以內(nèi)的素?cái)?shù)有2,3,5,7，共4個(gè)，從中任取2個(gè)構(gòu)成的素?cái)?shù)對(duì)有(2,3)，(3,2)，(2,5)，(5,2)，(2,7)，(7,2)，(3,5)，(5,3)，(3,7)，(7,3)，(5,7)，(7,5)，共12個(gè)．依據(jù)孿生素?cái)?shù)的定義，知10以內(nèi)的素?cái)?shù)構(gòu)成的孿生素?cái)?shù)有(3,5)，(5,7)，共2個(gè)，所以從10以內(nèi)的素?cái)?shù)中任取2個(gè)素?cái)?shù)，其中能構(gòu)成孿生素?cái)?shù)的概率P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，故選D.4．答案：D解析：由題意知，正方形ABCD(邊長(zhǎng)為2個(gè)單位)的周長(zhǎng)是8，拋擲三次骰子后棋子恰好又回到了A處，表示三次骰子的點(diǎn)數(shù)之和是8,16，列舉出點(diǎn)數(shù)中三個(gè)數(shù)字能夠使得和為8,16的有125；134；116；224；233；466；556，共有7種組合，前2種組合125；134，每種狀況可以排列出Aeq\o\al(3,3)＝6種結(jié)果，共有2Aeq\o\al(3,3)＝2×6＝12種結(jié)果；116；224；233；466；556各有3種結(jié)果，共有5×3＝15種結(jié)果，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有12＋15＝27種結(jié)果，故選D.5．答案：B解析：通解eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))))5，則其綻開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))k(其中k＝0,1,2,3,4,5)．要求原式的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)，需求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))k的綻開式中的常數(shù)項(xiàng).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))k的綻開式的通項(xiàng)Tr＋1＝Ceq\o\al(r,k)xk－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq\o\al(r,k)xk－2r(其中r＝0,1,2，…，k)，依據(jù)題意，令k－2r＝0，則k＝2r，即k是2的倍數(shù)，所以k＝0,2,4，所以原式的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(0,5)－Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(2,4)＝11，故選B.優(yōu)解(c＋b＋a)n綻開式的通項(xiàng)為Ceq\o\al(x,n)Ceq\o\al(y,n－x)cxbyan－x－y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)＋1))5的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為15＋Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))·13＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)x2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))2·1＝1－20＋30＝11，故選B.6．答案：D解析：由題：“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”說明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有兩次口香糖一次香煙，記香煙為A1，A2，A3，口香糖為B1，B2，B3，進(jìn)行四次取物，基本領(lǐng)件總數(shù)為：6×5×4×3＝360種．事務(wù)“口香糖吃完時(shí)還剩2支香煙”前四次取物依次分為以下三種狀況：煙、糖、糖、糖：3×3×2×1＝18種，糖、煙、糖、糖：3×3×2×1＝18種，糖、糖、煙、糖：3×2×3×1＝18種，包含的基本領(lǐng)件個(gè)數(shù)為：54.所以，其概率為eq\f(54,360)＝eq\f(3,20).故選D.7．答案：D解析：通解若小王和小李都沒被選中，則有Ceq\o\al(2,2)種方法，若小王和小李有一人被選中，則有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)種方法，故所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).優(yōu)解若小王和小李都被選中，則有1種方法，故所求概率P＝1－eq\f(1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6).8．答案：C解析：依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①：先在兩個(gè)集合中選出4個(gè)元素，要求字母C和數(shù)字4,7至少出現(xiàn)兩個(gè)，若字母C和數(shù)字4,7都出現(xiàn)，須要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出1個(gè)字母，有5種選法，若字母C和數(shù)字4出現(xiàn)，數(shù)字7不出現(xiàn)，須要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出1個(gè)字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1個(gè)數(shù)字，有5×7＝35種選法，若字母C和數(shù)字7出現(xiàn)，數(shù)字4不出現(xiàn)，須要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出1個(gè)字母，在1、2、3、5、6、8、9中選出1個(gè)數(shù)字，有5×7＝35種選法，若數(shù)字4,7出現(xiàn)，字母C不出現(xiàn)，須要在字母A，B，D，E，F(xiàn)中選出2個(gè)字母，有Ceq\o\al(2,5)＝10種選法，則有5＋35＋35＋10＝85種選法，②：將選出的4個(gè)元素全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24種狀況，則一共有85×24＝2040種不同排法，故選C.9．答案：BCD解析：由題意可知，各項(xiàng)系數(shù)之和為26，各項(xiàng)系數(shù)的肯定值之和為212.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x)－x))6＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)－x))))6，易知該多項(xiàng)式的綻開式中肯定存在常數(shù)項(xiàng)．由題中的多項(xiàng)式可知，若出現(xiàn)x3，可能的組合只有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))0·(－x)3和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)))1·(－x)4，結(jié)合排列組合的性質(zhì)可得x3的系數(shù)為Ceq\o\al(3,6)×13×Ceq\o\al(3,3)×20×(－1)3＋Ceq\o\al(5,6)×11×Ceq\o\al(4,5)×21×(－1)4＝40.故選BCD.10．答案：BD解析：由題意A1，A2，A3是兩兩互斥的事務(wù)，P(A1)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，P(A2)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(A3)＝eq\f(3,10)，P(B|A1)＝eq\f(PBA1,PA1)＝eq\f(\f(1,2)×\f(5,11),\f(1,2))＝eq\f(5,11)，故B正確；P(B)＝P(B·A1)＋P(B·A2)＋P(B·A3)＝eq\f(5,10)×eq\f(5,11)＋eq\f(2,10)×eq\f(4,11)＋eq\f(3,10)×eq\f(4,11)＝eq\f(9,22)，故A，C不正確；A1，A2，A3是兩兩互斥的事務(wù)，故D正確．故選BD.11．答案：BC解析：由題意，點(diǎn)P(m，n)的全部可能狀況為(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12個(gè)基本領(lǐng)件，則事務(wù)A3：點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝3上，包含其中(2,1)共1個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A3)＝eq\f(1,12)；事務(wù)A4：點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝4上，包含其中(2,2)、(3,1)共2個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A4)＝eq\f(1,6)；事務(wù)A5：點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝5上，包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A5)＝eq\f(1,4)；事務(wù)A6：點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝6上，包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A6)＝eq\f(1,4)；事務(wù)A7：點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝7上，包含其中(3,4)、(4,3)共2個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A7)＝eq\f(1,6)；事務(wù)A8：點(diǎn)P(m，n)落在直線x＋y＝8上，包含其中(4,4)共1個(gè)基本領(lǐng)件，所以P(A8)＝eq\f(1,12).綜上可得，當(dāng)k＝5或6時(shí)，P(Ak)max＝P(A5)＝P(A6)＝eq\f(1,4).故選BC.12．答案：AC解析：對(duì)于A，該生在第3個(gè)路口首次遇到紅燈的狀況為前2個(gè)路口不是紅燈，第3個(gè)路口是紅燈，所以概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27)，故A正確；對(duì)于B，用A、B、C分別表示甲、乙、丙三人能破譯出密碼，則P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,3)，P(C)＝eq\f(1,4)，“三個(gè)人都不能破譯出密碼”發(fā)生的概率為eq\f(4,5)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5)，所以此密碼被破譯的概率為1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5)，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)“從甲袋中取到白球”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，設(shè)“從乙袋中取到白球”為事務(wù)B，則P(B)＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故取到同色球的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，故C正確；對(duì)于D，易得P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，即P(A)·P(eq\x\to(B))＝P(B)P(eq\x\to(A))，即P(A