2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章不等式1.1不等關(guān)系1.2不等關(guān)系與不等式講義教案北師大版必修5

PAGE1-第3章不等式§1不等關(guān)系1．1不等關(guān)系1．2不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的不等關(guān)系．2．了解不等式(組)的實(shí)際背景．(難點(diǎn))3．能用作差法比較大?。?重點(diǎn))1．通過相識(shí)不等關(guān)系及不等符號(hào)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過對(duì)兩數(shù)(式)比較大小，提升邏輯推理素養(yǎng)．1．不等式中的數(shù)字符號(hào)閱讀教材P69～P71“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式常用以下數(shù)學(xué)符號(hào)連接：“＝”“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”．文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語言數(shù)學(xué)符號(hào)大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤思索：(1)限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，用不等式如何表示？[提示]v≤40km/h．(2)如何用不等式表示“a與b的差是非負(fù)數(shù)”？[提示]a－b≥0．2．比較大小閱讀教材P72～P73“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．(1)作差法比較兩實(shí)數(shù)大小依據(jù)假如a－b＞0，那么a＞b．假如a－b＜0，那么a＜b．假如a－b＝0，那么a＝b結(jié)論確定隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b的大小關(guān)系，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系(2)不等式的性質(zhì)①對(duì)稱性：若a＞b，則b＜a；若b＜a，則a＞b．②傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．③同向可加性：若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d．④乘法法則：若a>b，c>0，則ac>bc；若a>b，c<0，則ac<bc．⑤同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd．⑥乘方法則：若a＞b＞0，則an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．⑦開方法則：若a＞b＞0，則eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N＋，且n≥2)．⑧同號(hào)取倒數(shù)反序性：若a＞b，ab＞0，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)．思索：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立嗎？[提示]不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，則ac＜bd．(2)“若an＞bn，(n∈N＋，且n≥2)，則a＞b”肯定成立嗎？[提示]不肯定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2．1．假如a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正確的是()A．eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．eq\r(－a)＜eq\r(b)C．a(chǎn)2＜b2 D．|a|＞|b|A[A正確，B、C、D可舉反例解除，如對(duì)B、C，設(shè)a＝－9，b＝1，對(duì)D，設(shè)a＝－1，b＝2即可．]2．當(dāng)x＞2時(shí)，x2與2x的大小關(guān)系為．x2＞2x[x2－2x＝x(x－2)，因?yàn)閤＞2，故x(x－2)＞0，即x2＞2x．]3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，則b2－4ac的值的符號(hào)為．正[因?yàn)閍＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，所以b2＝a2＋c2＋2ac．所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2．因?yàn)閍>c，所以(a－c)2>0．所以b2－4ac>0，即b2－4ac的符號(hào)為正．]4．已知a>b>c，則eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)的值為(填“正數(shù)”“非正數(shù)”“非負(fù)數(shù)”)．正數(shù)[因?yàn)閍>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0．所以eq\f(1,a－b)>0，eq\f(1,b－c)>0，eq\f(1,a－c)<eq\f(1,b－c)，所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)－eq\f(1,a－c)>0，所以eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(1,c－a)為正數(shù)．]用不等式(組)表示不等關(guān)系【例1】配制A，B兩種藥劑，須要甲，乙兩種原料．已知配一劑A種藥需甲料3克，乙料5克；配一劑B種藥需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B兩種藥至少各配一劑，設(shè)A，B兩種藥分別配x，y劑(x，y∈N＋)，請(qǐng)寫出x，y所滿意的不等關(guān)系．[解]依據(jù)題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋5y≤20，,5x＋4y≤25，,x≥1，x∈N＋，,y≥1，y∈N＋.))1將不等關(guān)系表示成不等式組的思路①讀懂題意，找準(zhǔn)不等關(guān)系所聯(lián)系的量；②用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接；,③若有多個(gè)不等關(guān)系，依據(jù)狀況用不等式組表示.2用不等式組表示不等關(guān)系時(shí)應(yīng)留意的問題,在用不等式組表示不等關(guān)系時(shí)，應(yīng)留意必需是具有相同性質(zhì)，可以進(jìn)行比較時(shí)，才可用，沒有可比性的兩個(gè)或幾個(gè)量之間不能用不等式組來表示.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再加入m克糖(m>0)，則糖水更甜了，試依據(jù)這個(gè)事實(shí)寫出一個(gè)不等式．解：由題意得eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)．比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小【例2】比較下列各式的大?。?1)當(dāng)x≤1時(shí)，比較3x3與3x2－x＋1的大?。?2)當(dāng)x，y，z∈R時(shí)，比較5x2＋y2＋z2與2xy＋4x＋2z－2的大?。甗解](1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．因?yàn)閤≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0．所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1．(2)因?yàn)?x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)且z＝1時(shí)取到等號(hào)．比較大小的方法1作差法：比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，可以依據(jù)它們的差的符號(hào)進(jìn)行推斷，一方面留意題目本身供應(yīng)的字母的取值范圍，另一方面通常將兩代數(shù)式的差進(jìn)行因式分解轉(zhuǎn)化為多個(gè)因式相乘，或通過配方轉(zhuǎn)化為幾個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)之和，然后推斷正負(fù).,作差法的一般步驟：作差——變形——判號(hào)——定論.2作商法：作商比較通常適用于兩代數(shù)式同號(hào)的情形，然后比較它們的商與1的大小.,作商法的一般步驟：作商——變形——與1比較大小——定論.3單調(diào)性法：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，通常先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，再利用單調(diào)性進(jìn)行推斷.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知a>b>0，試比較aabb與abba的大?。甗解]因?yàn)閑q\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up24(a-b)，因?yàn)閍>b>0，所以a－b>0，eq\f(a,b)>1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up24(a-b)>1，故aabb>abba．不等式的性質(zhì)及應(yīng)用[探究問題]1．“若a＞0，b＞0，則ab＞0，a＋b＞0”成立嗎？反之成立嗎？[提示]成立，反之也成立，即“若ab＞0，a＋b＞0，則a＞0，b＞0”．2．“若a＞1，b＞1，則ab＞1，a＋b＞2”成立嗎？反之成立嗎？[提示]成立，但反之不成立，即“若ab＞1，a＋b＞2，則a＞1，b＞1”不成立，反例：a＝4，b＝eq\f(1,2)，滿意ab＞1，a＋b＞2，但不滿意a＞1，b＞1．3．如何用a＋b和a－b表示2a－3b?[提示]設(shè)2a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，即2a－3b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2,x－y＝－3))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝\f(5,2)，))故2a－3b＝－eq\f(1,2)(a＋b)＋eq\f(5,2)(a－b)．【例3】設(shè)f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范圍．思路探究：用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范圍求f(－2)的取值范圍．[解]由f(x)＝ax2＋bx得，f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，即5≤f(－2)≤10，∴f(－2)的取值范圍是[5,10]．(變結(jié)論)例3的條件不變，求f(2)的取值范圍．[解]由例3的解答可知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，又f(2)＝4a＋2b，設(shè)4a＋2b＝x(a－b)＋y(a＋b)，即4a＋2b＝(x＋y)a＋(y－x)b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,－x＋y＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))則4a＋2b＝(a－b)＋3(a＋b)，即f(2)＝f(－1)＋3f(1)，由1≤f(－1)≤2,6≤3f(1)≤12，兩式相加得7≤f(－1)＋3f(1)≤14．即f(2)的取值范圍是[7,14]．利用性質(zhì)求范圍問題的基本要求1利用不等式性質(zhì)時(shí)，要特殊留意性質(zhì)成立的條件，猶如向不等式相加，不等號(hào)方向不變，兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能相乘等.2要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，留意變形的等價(jià)性.[提示]本例中假如由1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4得到a，b的取值范圍，再求f－2的取值范圍，那么得到的結(jié)果不是正確答案.這是因?yàn)榍蟮玫腶，b的取值范圍與已知條件不是等價(jià)關(guān)系.1．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要探討它們的差就可以了．a(chǎn)－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b．2．不等式的性質(zhì)(1)留意不等式性質(zhì)的運(yùn)用條件，例如，只有同向不等式才可以相加．(2)不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎(chǔ)，對(duì)不等式變形時(shí)要依據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行．1．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a＞b，則ac＞bc． ()(2)a2肯定大于a． ()(3)若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)． ()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)錯(cuò)誤，當(dāng)c＝0時(shí)，ac＝bc；當(dāng)c＜0時(shí)，ac＜bc；(2)錯(cuò)誤，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，a2≤a；(3)錯(cuò)誤，反例2＞－1，但eq\f(1,2)＞－1．2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－eq\f(c,a)>－eq\f(d,b)，則()A．bc<ad B．bc>adC．eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) D．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)A[∵ab>0，∴在－eq\f(c,a)＞－eq\f(d,b)兩側(cè)乘ab不變號(hào)，即－bc>－ad，即bc<ad．]3．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系為．M＞N[M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1