專題01集合的運(yùn)算-《2023年高考數(shù)學(xué)命題熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展》

專題01集合的運(yùn)算【熱點(diǎn)聚焦】從考查內(nèi)容看，集合主要考查三個(gè)方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本運(yùn)算；三是集合關(guān)系或集合運(yùn)算下的求參數(shù)（范圍）問題．由于集合中元素具有廣泛性，因此，其最易與簡單不等式的解法（數(shù)軸）、函數(shù)、方程、簡單曲線（點(diǎn)集）等相結(jié)合.【重點(diǎn)知識(shí)回眸】一、集合的表示法①列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.②描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.③區(qū)間法：④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.二、集合的分類①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().三、集合間的基本關(guān)系1.子集、真子集、集合相等名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖子集（或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)若且，則(4)若且，則或真子集AB（或BA），且B中至少有一元素不屬于A（1）（A為非空子集）(2)若且，則集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA2.?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3．已知集合有個(gè)元素，則它有個(gè)子集，它有個(gè)真子集，它有個(gè)非空子集，它有非空真子集.四、集合的基本運(yùn)算1.交集、并集、補(bǔ)集名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖交集且（1）（2）（3），并集或（1）（2）（3），補(bǔ)集（1）（2）2．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B．五、常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實(shí)數(shù)集，C表示復(fù)數(shù)集.【典型考題解析】熱點(diǎn)一基本運(yùn)算問題【典例1】（2022·全國·高考真題（文））設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以．故選：A.【典例2】（2022·全國·高考真題（理））設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，，所以,所以.故選：D.【典例3】（2022·全國·高考真題（理））設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對(duì)比選項(xiàng)知，正確,錯(cuò)誤故選:【典例4】（2020·全國·高考真題（理））已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.【規(guī)律方法】（1）認(rèn)清元素的屬性．解決集合問題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解的兩個(gè)先決條件．（2）若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸（區(qū)間）表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．熱點(diǎn)二集合中的含參數(shù)問題【典例5】（2020·全國·高考真題（理））設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結(jié)合交集的結(jié)果得到關(guān)于a的方程，求解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【典例6】（2017·全國·高考真題（理））設(shè)集合，．若，則

(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】∵集合，，∴是方程的解，即

∴

∴，故選C【典例7】已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(－∞，2]【解析】A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝?，滿足B?A，此時(shí)2－a≥1＋a，即a≤.②若B≠?，由B?A得，解得＜a≤2.由①②知a的取值范圍為(－∞，2]．【總結(jié)提升】（1）已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．（2）空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有B?A時(shí)，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種情況討論，確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入驗(yàn)證，否則易增解或漏解．（3）在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致錯(cuò)誤．熱點(diǎn)三集合中的“新定義”問題【典例8】（2020·浙江·高考真題）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個(gè)元素，且S，T滿足：①對(duì)于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對(duì)于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（

）A．若S有4個(gè)元素，則S∪T有7個(gè)元素B．若S有4個(gè)元素，則S∪T有6個(gè)元素C．若S有3個(gè)元素，則S∪T有5個(gè)元素D．若S有3個(gè)元素，則S∪T有4個(gè)元素【答案】A【解析】【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時(shí)，包含4個(gè)元素，排除選項(xiàng)C；若取，則，此時(shí)，包含5個(gè)元素，排除選項(xiàng)D；若取，則，此時(shí)，包含7個(gè)元素，排除選項(xiàng)B；下面來說明選項(xiàng)A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時(shí)，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時(shí).若，則，故，故，即，故，此時(shí)即中有7個(gè)元素.故A正確.故選：A.【典例9】（山東·高考真題）集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運(yùn)算：且．假設(shè)集合，，，其中實(shí)數(shù)，，，，，滿足：（1），；；（2）；（3）．計(jì)算____________________________________．【答案】或【解析】【分析】由題設(shè)條件求，，，，，的大小關(guān)系，再根據(jù)集合運(yùn)算新定義求即可.【詳解】，得；，得；∴，；同理，∴．由(1)(3)可得．∴，，．或．故答案為：或【總結(jié)提升】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.【精選精練】一、單選題1．（2022·天津·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出，再根據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故，故選：D.2．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.3．（2022·全國·高考真題）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D4．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出以為球心，5為半徑的球與底面的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故.因?yàn)?，故，故的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，故的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為故選：B5．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：.故選：B.6．（2021·全國·高考真題（理））已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出結(jié)論.【詳解】任取，則，其中，所以，，故，因此，.故選：C.10．（2020·全國·高考真題（文））已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B11．（2018·全國·高考真題（理））已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以共有9個(gè)，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對(duì)概念理解與識(shí)別.12．（2017·全國·高考真題（理））已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】【詳解】試題分析：集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合A表示以為圓心，為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合B表示直線上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓與直線相交于兩點(diǎn)，，則中有2個(gè)元素.故選B.【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.13．（2022·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知集合，集合（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出集合由交集的運(yùn)算可得答案.【詳解】集合，，.故選：C．14．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）已知全集U，集合A，B為其子集，若，則（

）A． B． C．A D．B【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，判斷集合A，B的關(guān)系，再利用并集的定義計(jì)算作答.【詳解】全集U，集合A，B為其子集，因，則有，所以.故選：C.二、雙空題15．（天津·高考真題（理））已知集合，集合且則m=__________，n=__________.【答案】1,1【解析】【詳解】且是方程的根，故【考點(diǎn)定位】本題考查絕對(duì)值不等式、二次不等式的解法，考查學(xué)生利用轉(zhuǎn)化思想的解題能力三、填空題16．（2017·江蘇·高考真題）已知集合，，若則實(shí)數(shù)的值為________【答案】1【解析】【詳解】由題意，顯然，所以，此時(shí)，滿足題意，故答案為1．17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)正整數(shù)m，n，定義某種運(yùn)算“⊙”如下，當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝mn，則在此定義下，集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}中元素的個(gè)數(shù)是_____.【答案】13【解析】【分析】根據(jù)定義可求M，從而可求其含有的元素的個(gè)數(shù).【詳解】∵當(dāng)m，n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝m+n；當(dāng)m，n中一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)時(shí)，m⊙n＝mn，∴集合M＝{（p，q）|p⊙q＝10，，}＝{（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），