福建省福州市閩侯縣第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

閩侯二中2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則集合的真子集有（）個(gè).A.63 B.31 C.15 D.72.命題，，則命題的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的為（）A. B. C. D.4.已知，則“成立”是“成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.設(shè)，，則下列不等式中正確的是（）A. B. C. D.6.已知不等式對(duì)任意都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么不等式的解集是（）A. B.或C. D.或8.已知且，函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.和表示同一個(gè)函數(shù)B.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镃.函數(shù)的值域?yàn)镈.定義在R上的函數(shù)滿足，則10.下列說法正確的是（）A.若，則的最大值為B.函數(shù)的最小值為2C.已知，，，則的最小值為3D.若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是411.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足：，當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C.為R上的減函數(shù) D.為偶函數(shù)第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，則___________.13.若冪函數(shù)在上單調(diào)遞増，則實(shí)數(shù)___________.14.已知定義在R上的奇函數(shù)與偶函數(shù)滿足，，若，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）（1）求值：；（2）已知，求值：.16.（本小題15分）已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求的取值范圍.17.（本小題15分）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）解關(guān)于的不等式.18.（本小題17分）福建省人民政府辦公廳在《關(guān)于深入開展消費(fèi)扶貧助力打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)的實(shí)施意見》中提出要打造區(qū)域性特色農(nóng)產(chǎn)品品牌，推動(dòng)市縣或集中連片特殊困難地區(qū)制定區(qū)域性扶貧產(chǎn)品標(biāo)識(shí)，合力打造區(qū)域性特色農(nóng)產(chǎn)品品牌，提高貧困地區(qū)特色農(nóng)產(chǎn)品辨識(shí)度，引導(dǎo)各類媒體通過新聞報(bào)道、公益廣告等多種方式，廣泛宣傳貧困地區(qū)發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)品的經(jīng)驗(yàn)做法，推介農(nóng)產(chǎn)品品牌，某地區(qū)在政策指導(dǎo)下，根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂颉⑼临|(zhì)等條件，推廣種植某種市場暢銷水果果樹，經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)該果樹的單株產(chǎn)量P（單位：千克）與施肥量x（單位：千克）滿足函數(shù)關(guān)系：，且單株果樹的肥料成本投入為16x元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工費(fèi)等費(fèi)用）為元.已知這種水果的市場售價(jià)為21元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求，記該果樹的單株利潤為（單位：元）.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)單株施肥量為多少千克時(shí)，該果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？19.（本小題17分）“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱”的充要條件是“對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x，都有”.若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù).（i）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；（ii）若對(duì)任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

閩侯二中2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期高一期中考試數(shù)學(xué)試卷全解全析1.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求集合的元素個(gè)數(shù)，進(jìn)而求真子集個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知：集合，共5個(gè)元素，所以集合的真子集有個(gè).故選：B.2.【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】由特稱命題的否定知：命題的否定為，.故選：C.3.【答案】D【解析】【分析】逐一判斷奇偶性和單調(diào)性即可求解【詳解】對(duì)于A：的定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：的定義域?yàn)镽，且，所以為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；對(duì)于D：的定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，故D正確：故選：D.4.【答案】A【解析】【分析】分別解出不等式以及，即可得出答案.【詳解】解可得，.由可得，，解得.所以，“成立”是“成立”的充分不必要條件.故選：A.5.【詳解】對(duì)于A，由在上是增函數(shù)可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由在上是減函數(shù)可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：C.6.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)則，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而得解.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄?duì)任意都成立，當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，解得，綜上可得；故選：D7.【答案】B【分析】先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出時(shí)，的解析式.進(jìn)而分，，三種情況，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，求解不等式，即可得出答案.【詳解】，則，.又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，，所以，.由可得，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可知，滿足.綜上所述，不等式的解集是或.故選：B.8.C【分析】先判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由此列不等式組來求得的取值范圍.【詳解】由于對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以在R上單調(diào)遞增，所以，解得.故選：C9.【答案】BCD【詳解】A選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)镽，不是同一個(gè)函數(shù)，A選項(xiàng)不正確；對(duì)于B，對(duì)于，令，則，則，所以，即的定義域?yàn)?，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，因?yàn)椋裕春瘮?shù)的值域?yàn)?，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，由可得，所以由可得，D選項(xiàng)正確；故選：BCD.10.【答案】ACD【詳解】對(duì)于A：，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為3.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，所以的最小值為4.故D正確.故選：ACD.11.【詳解】令得，故A正確；，故B正確；設(shè)，則，所以，故C正確；令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12.【答案】4【詳解】，.故答案為：4.13.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性求得m.【詳解】是冪函數(shù)，所以，，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不符合題意.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合題意.所以的值為3.故答案為：314.【答案】【解析】【分析】先由函數(shù)和的奇偶性得出函數(shù)和的解析式，代入將問題轉(zhuǎn)化為.對(duì)恒成立，令，由單調(diào)性得出的范圍，再由的單調(diào)性求得的最大值，根據(jù)恒等式的思想可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，是偶函數(shù)，所以.因?yàn)椋?，即，所以?所以，對(duì)恒成立，又因?yàn)?，恒成立，因此將不等式整理得：，令，則在上單調(diào)遞增，所以，所以，根據(jù)基本不等式解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.【詳解】（1）原式；（2）由，而，則，故.16.【詳解】（1）由題設(shè)，則，或，則，（2）由，若時(shí)，，滿足；若時(shí)，；綜上，.17.【答案】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，得，經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，，所以是定義在上的奇函數(shù)，滿足題意，因?yàn)?，解得，故，，在上為增函?shù).證明如下：在上任取，，且，則，因?yàn)?，，，，所以，即，所以在上為增函?shù)；（2）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，不等式可化為，即，又在上是增函數(shù)，所以，解得，所以關(guān)于的不等式解集為.【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于中檔題.（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和代入即可得a，b的值，從而利用單調(diào)性定義即可證明；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可得，從而即可得的取值.18.【答案】（1）；（2）5千克，最大利潤是325元.【分析】（1）利用利潤公式直接求解即可；（2）分段求解，時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值；時(shí)，利用基本不等式求解最值.【詳解】（1）根據(jù)題意知，整理得；（2）當(dāng)時(shí)，，由一元二次函數(shù)圖象可知在時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，的最大值是，當(dāng)單株施肥量為5千克時(shí)，該果樹的單株利潤最大，最大利潤是325元.19.【答案】解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，令，可得.（2）（i）證明：由，得，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（i），易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不妨設(shè)在上的值域?yàn)椋瑢?duì)任意，總存在，使得成立，則，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)，即，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，所以，由，可?當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞