223直線的一般式方程-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期知識點剖析講義(人教A版2019選擇性)

2.2.3直線的一般式方程1直線的一般式方程關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.解釋①任何一直線都可以表示為一個關(guān)于x,y的二元一次方程；②對于任意一個二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)也可以表示一條直線.當(dāng)B=0時，方程變形為x=-CA，它表示過點-C當(dāng)B≠0時，方程變形為y=-ABx-C③一般式Ax+By+C=0的直線一方向向量為n=(B,-A)，斜率k=-【例】把直線l的一般式方程2x-3y+6=0化為斜截式，求出直線l的斜率及其在x解析直線方程化為斜截式為y=23x+2，直線斜率為23，直線令y=0得x=-3，故直線在x軸的截距為-3，其圖形如下圖2兩直線的位置關(guān)系直線方程位置關(guān)系直線方程位置關(guān)系llll重合k1=A相交kA平行k1=A垂直kA【例】已知直線l1:2(1)若l1//l2，求a值；(2)若l解(1)若l1//l2，由(2)若l1⊥l2，由3方向向量與直線的參數(shù)方程(選學(xué)內(nèi)容)直線的參數(shù)方程&x=x0+其表示過點(x0,y解釋①證明設(shè)直線l經(jīng)過點P0x0,y0，v=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線②參數(shù)方程中的(m,n③標準式參數(shù)方程若直線的參數(shù)方程&x=x0+mt&y=y0+nt(t為參數(shù))中m,n滿足m根據(jù)t的幾何意義，有以下結(jié)論．(i)設(shè)A、B是直線上任意兩點，它們對應(yīng)的參數(shù)分別為tA則|AB(ii)線段AB的中點所對應(yīng)的參數(shù)值等于tA(直線參數(shù)方程的應(yīng)用要學(xué)到圓的方程才發(fā)揮它的威力)【例】直線的參數(shù)方程&x=解直線的參數(shù)方程&x=1+3t化為直角坐標系方程為y-2=43(x-1)直線的參數(shù)方程&x=1【題型1】一般式方程【典題1】根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．(1)斜率是3，且經(jīng)過點A(5,3)；(2)斜率為4，在y軸上的截距為-2；(3)經(jīng)過A(-1,5)，B(2,-1)兩點；(4)在x,y軸上的截距分別是-3，-1．解析(1)由點斜式方程可知，所求直線方程為y-3=3(x-5)，化為一般式為3(2)由斜截式方程可知，所求直線方程為y=4x-2，化為一般式為4x-y-2=0．(3)由兩點式方程可知，所求直線方程為y-5-1-5化為一般式方程為2x+y-3=0．(4)由截距式方程可得，所求直線方程為x-3+y【典題2】設(shè)直線l的方程是x+By－4=0傾斜角為α．若π6<α<3π解析∵直線l的方程是x+By－則α=π2時，斜率tanα不存在當(dāng)α≠π2時若π6<α<π2，若π2<α<3π綜上可得，B的取值范圍為(-3即B的范圍為(-]【典題3】已知直線l:kx-y+2k+1=0，k∈R．(1)當(dāng)k變化時，直線l恒過一定點P，求點P的坐標；(2)若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S解析(1)由直線l:kx-y+2k+1=0，k∈R．變形為：k(x+2)-y+1=0，令&x+2=0&-y+1=0，解得x=-2,y=1(2)直線l交x軸負半軸于點A-2k+1k,0，交則&-2k+1k<0&2k+1>0，設(shè)△AOB的面積為S=當(dāng)且僅當(dāng)k=1∴S的最小值為4．【鞏固練習(xí)】1.(多選)下列有關(guān)直線l：x+my-1=0(m∈R)的說法中不正確的是(A．直線l的斜率為-m B．直線l的斜率為-1C．直線l過定點(0,1) D．直線l過定點(1,0)答案ABC解析當(dāng)m≠0時，直線l的方程可變?yōu)閥=-1m(x-1)，當(dāng)m=0時，直線l的方程變?yōu)閤=1，其斜率不存在，過點故AB不正確，D將點(0,1)代入直線方程得m-1=0故只有當(dāng)m=1時直線才會過點(0,1)，即C故選：ABC．2.(多選)已知直線l：(a2+a+1)x－y+1=0，其中A．當(dāng)a=－1時，直線l與直線x+y=0B．若直線l與直線x－y=0C．直線l過定點(0,1) D．當(dāng)a=0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等答案AC解析直線l：(對于A，當(dāng)a=－1時，直線l的斜率k1=1，直線x+y=1的斜率為－1，對于B，若直線l與直線x－y=0平行，則a2+a+1=1，解得對于C，無論a取何值，當(dāng)x=0時，y=1，∴直線l過定點對于D，當(dāng)a=0時，直線l：x－y+1=0在x軸上的截距為－1當(dāng)a=0時，直線l在兩坐標軸上的截距不相等，故D錯誤．故選：AC．3.直線x+(a2+1)y答案[解析直線x+(a2+1)y且直線的斜率為k=-由a2+1≥1所以－所以－又θ∈[0,π)所以直線的傾斜角θ的取值范圍是[3π4.已知直線方程為(2+λ)x+(1-2λ)y證明(1)直線方程為(2+λ∵λ(x-2y-3)+2x+y+4=0，

∴由&x-2y-3=0&2x+y+4=0得：&x=-1&y=-2，

∴直線l恒過定點M(-1，-2)．

(2)當(dāng)斜率不存在時，不合題意；

當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求直線l1的方程為y+2=k(x+1)，

直線l1【題型2】直線的位置關(guān)系【典題1】求滿足下列條件的直線l的方程：(1)與直線3x+4y-12=0平行，且與直線2x+3y+6=0在y軸上的截距相同；(2)與直線x+2y-1=0垂直，且與直線x+2y-4=0在x軸上的截距相同．解析(1)由3x+4y-12=0，得y=-34x+3．∵直線∴直線l的斜率為-34．由2x+3y+6=0，得∵直線l與直線2x+3y+6=0在y軸上的截距相同，∴直線l在y軸上的截距為-2．∴直線l的方程為y=-34x-2(2)∵直線l與直線x+2y-1=0垂直，∴直線l的斜率為2．由x+2y-4=0，得x∵直線l與直線x+2y-4=0在x軸上的截距相同，∴直線經(jīng)過點(4,0)．∴直線l的方程為y=2(x-4)，即2x-y-8=0．[來【鞏固練習(xí)】1.若直線x+2ay-1=0與a-1x-ay+1=0平行，則a的值為(A．12B．12或0C．0D答案A解析當(dāng)a=0時，兩直線平行；當(dāng)a≠0時，由1a-1=2a2.經(jīng)過點A(2,1)，且與直線2x+y-10=0垂直的直線l的方程為_______．答案x－解析與2x+y－10=0垂直的直線l為又過點A(2,1)，則2-2+c=0，即c=0，即直線方程為x－3.(1)已知直線l1：2x+(m+1)y+4=0與直線l(2)當(dāng)a為何值時，直線l1：(a+2)x+(1－a)y－1=0(3)求與直線3x+4y+1=0平行且過點(1,2)的直線l的方程．答案(1)2或-3(2)a=1或a=-1(3)3x+4y-11=0解析(1)由2×3-m(m+1)=0，得m=－3或當(dāng)m=-3時，l1：x-y+2=0顯然l1與l2不重合，同理當(dāng)m=2時，l1：2x+3y+4=0，l2：2x+3y－∴m的值為2或-3．(2)由直線l1∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1．故當(dāng)a=1或a=-1時，直線l1(3)設(shè)與直線3x+4y+1=0平行的直線l的方程為3x+4y+m=0．∵l經(jīng)過點(1,2)，∴3×1+4×2+m=0，解得m=-11．∴所求直線方程為3x+4y-11=0．【題型3】直線的參數(shù)方程(選學(xué)內(nèi)容)【典題1】已知直線l經(jīng)過點M(-1,2)，且傾斜角為π6，則直線l的一個參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))A．&x=-1+12t&y=2+C．&x=2+12t解析∵直線l經(jīng)過點M(-1,2)，且傾斜角為π6∴k=33則直線l的一個參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))即&x=-1+3故選：B．【典題2】已知直線&x=3+4t&y=-4+3t(t為參數(shù))A．直線經(jīng)過點(7,-1) B．直線的斜率為34C．直線不過第二象限 D．|t|是定點M0(3,-4)到該直線上對應(yīng)點解析根據(jù)題意，&x=3+4t&y=-4+3t(t為參數(shù)依次分析選項：對于A、令3+4t=7解得t=1，y=-4+3t=-1，故直線經(jīng)過點(7,-1)，A正確；對于B、直線的方向向量為(4,3)，其斜率k=34，對于C、直線過定點(3,-4),且斜率k=34，故直線不經(jīng)過第二象限，對于D、直線&x=3+4t&y=-4+3t(t為參數(shù))不是標準式，故Dt'=|5t|才是定點M0故選：D．【鞏固練習(xí)】1.以t為參數(shù)的方程&x=1-12t&y=-2+A．過點(1,-2)且傾斜角為π3的直線 B．過點(-1,2)且傾斜角為π3C．過點(1,-2)且傾斜角為2π3的直線 D．過點(-1,2)且傾斜角為2π答案C解析根據(jù)題意，以t為參數(shù)的方程&x=1-12t表示為過點(1,-2)且傾斜角為2π3的直線，故選：C2.下列直線中，與曲線C:&x=1+2t&y=-2+4t(t為參數(shù)A．2x+y=0 B．2x+y-4=0 C．2x-y=0 D．2x-y-4=0答案C解析曲線C:&x=1+2t&y=-2+4t(t為參數(shù))的斜率k=2其直角坐標方程為2x-y-4=0，選項中斜率為2的直線為C，D，而D與曲線C重合，有無數(shù)個公共點，排除．故選：C．3.下列點不在直線&x=-1+22t&y=2+22A．(-1,2) B．(-3,2) C．(1,4) D．(2,5)答案B解析直線&x=-1+22t&y=2+22t由于ACD三個坐標滿足該方程，故該點在直線上，點B的坐標不滿足該直