專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題(典型例題題型歸類練)（原卷版）

專題07利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對(duì)于函數(shù)，把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)．（2）三個(gè)等價(jià)關(guān)系方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)函數(shù)有零點(diǎn)．2、函數(shù)零點(diǎn)的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點(diǎn)存在性定理．注意：?jiǎn)握{(diào)性+存在零點(diǎn)=唯一零點(diǎn)3、利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題（畫草圖時(shí)注意有時(shí)候需使用極限）．(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．4、利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)()后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解．二、典型例題例題1．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知函數(shù)在和處取得極值．(1)求，的值；(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，求的取值范圍．第（2）問(wèn)解題思路函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個(gè)不同交點(diǎn)，等價(jià)于：，則原題意等價(jià)于圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究的圖象：∵，∴由，解得或，由，解得，∴在時(shí)取得極大值，在時(shí)取得極小值，要滿足圖象與軸有三個(gè)交點(diǎn)，則極大值，且極小值，即：，解得，故m的取值范圍為．例題2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.第（2）問(wèn)解題思路有兩個(gè)零點(diǎn)，即：在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，可考慮變量分離法：即在上有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，等價(jià)轉(zhuǎn)化為：，兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的圖象：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（注意，一定要利用極限判定當(dāng)時(shí)，，否則就是錯(cuò)解）畫出的圖象：由圖可得要使直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)評(píng)：本例中，分離成兩個(gè)函數(shù)找交點(diǎn)的個(gè)數(shù)后，畫圖是關(guān)鍵，本例利用了極限，當(dāng)時(shí)，，如果直接由單調(diào)性畫圖，很可能造成錯(cuò)解，在利用圖象解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意巧妙地利用極限.三、題型歸類練1．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最小值；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.3．（2022·廣東·高二階段練習(xí)）已知函數(shù)在與處都取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求c的范圍.4．（2022·山西太原·三模（理））已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖像與直線相切，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.5．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，（且）.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.6．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知曲線．(1)若，過(guò)點(diǎn)作的切線，求切線的方程；(2)當(dāng)有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．7．