新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)大題優(yōu)練6 立體幾何（教師版）

立體幾何立體幾何大題優(yōu)練6優(yōu)選例題優(yōu)選例題例1．已知四邊形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0邊折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，平面SKIPIF1<0將三棱錐SKIPIF1<0分成兩部分，SKIPIF1<0． （1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等邊三角形，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0﹐連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．例2．如圖，四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，將三角形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；（2）若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：因?yàn)槊鍿KIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接OP，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0方向?yàn)镾KIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的一個法向量，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例3．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0；（2）有三個條件；①SKIPIF1<0；②直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0；③二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．請你從中選擇一個作為條件，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）選任何一個，結(jié)果均為SKIPIF1<0．【解析】（1）取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)相交直線，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0．選①，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0（即平面SKIPIF1<0）所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．選②，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0（即SKIPIF1<0）與平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以下同選①．選③，作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0，即二面角SKIPIF1<0的平面角，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，以下同選①．

模擬優(yōu)練模擬優(yōu)練1．在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意，SKIPIF1<0為等邊三角形且SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為中位線，由（1）知：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為h，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．2．如圖，在五面體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如圖，取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．易知SKIPIF1<0三條直線兩兩垂直，分別以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由圖可知二面角SKIPIF1<0為鈍角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．3．如圖①，在等腰三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0折起到SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如圖②所示的四棱錐SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）如圖，在棱SKIPIF1<0上取點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．由題意，知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如圖，分別取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意，知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值為SKIPIF1<0．4．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）如圖，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形，且SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角．在等邊三角形SKIPIF1<0中，易得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．5．如圖所示的多面體中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（2）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（3）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析；（3）SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的平面角，∴SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．（3）由（2），以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸正方向，建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；設(shè)面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又二面角SKIPIF1<0為銳角，∴二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．6．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值為SKIPIF1<0，若存在，求出的SKIPIF1<0值；不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）如圖，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIP