計(jì)算物理課件

計(jì)算物理基礎(chǔ)ComputationalPhysics2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)2計(jì)算物理是以電子計(jì)算機(jī)為工具、采用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的應(yīng)用科學(xué)。本課程的目的在于對(duì)計(jì)算物理進(jìn)行一些入門指導(dǎo)，使大家在學(xué)完本課程后，在組織一些較大規(guī)模的計(jì)算時(shí)心中有數(shù)，少走彎路。課程目的2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)3掌握計(jì)算物理的概念和方法；掌握幾類計(jì)算方法的基礎(chǔ)或基本原理；了解這些方法在若干物理學(xué)分支中的具體應(yīng)用。計(jì)算物理的實(shí)踐性非常強(qiáng)，上機(jī)是本課程的一個(gè)有機(jī)組成部分本課程需具備高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)基本知識(shí)課程要求2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)4主要參考書馬紅孺，計(jì)算物理講義馬東升等，數(shù)值計(jì)算方法，機(jī)械工業(yè)出版社馬文淦，計(jì)算物理學(xué)，科學(xué)出版社湯文輝，計(jì)算物理講義國防科技大學(xué)2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)5第一章緒論(2課時(shí))第二章數(shù)值積分微分方法(6課時(shí))第三章非線性方程的數(shù)值解法(6課時(shí))第四章常微分方程的數(shù)值解法(4課時(shí))第五章插值法(4課時(shí))第六章線性方程組的數(shù)值解法(4課時(shí))第七章蒙特卡羅方法(4課時(shí))第八章有限元方法目錄2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)61.1、什么是計(jì)算物理？1.2、計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展1.3、計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算1.4、計(jì)算物理的特征1.5、計(jì)算物理的工作流程1.6、計(jì)算物理的研究方法第一章緒論2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)71.1什么是計(jì)算物理？物理學(xué)有幾大門類？傳統(tǒng)物理學(xué)分為理論物理與試驗(yàn)物理兩大分支理論物理實(shí)驗(yàn)物理計(jì)算物理？？？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)8

理論物理是分析的科學(xué)，它從一系列的基本原理和基本假設(shè)出發(fā)，列出相應(yīng)的數(shù)學(xué)方程，運(yùn)用傳統(tǒng)的或現(xiàn)在的數(shù)學(xué)方法求出問題的顯式解析解，用這些解析解的結(jié)論去解釋物理現(xiàn)象，預(yù)見新的現(xiàn)象，指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)。1.1什么是計(jì)算物理？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)9

實(shí)驗(yàn)物理是從實(shí)驗(yàn)觀測出發(fā)，發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象，為理論物理提供總結(jié)新的物理規(guī)律的素材，檢驗(yàn)理論物理的假設(shè)或理論物理預(yù)言的正確程度和適用范圍等1.1什么是計(jì)算物理？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)10計(jì)算物理是伴隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展而逐步形成的一門新興的邊緣學(xué)科。是以電子計(jì)算機(jī)為工具、采用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的應(yīng)用科學(xué)。是物理、數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)三者相結(jié)合的產(chǎn)物。1.1什么是計(jì)算物理？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)11

計(jì)算物理中的“計(jì)算”，不是上物理課做習(xí)題時(shí)進(jìn)行的那種簡單計(jì)算；不是用古典的數(shù)學(xué)物理方法來完成的計(jì)算；而是運(yùn)用計(jì)算機(jī)對(duì)復(fù)雜的物理問題所進(jìn)行的數(shù)值計(jì)算或模擬實(shí)驗(yàn)（模擬物理過程，研究物理規(guī)律，檢驗(yàn)理論預(yù)測的正確性，核實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性等等），從而探索和發(fā)現(xiàn)新的物理規(guī)律。1.1什么是計(jì)算物理？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)12

現(xiàn)在流行的數(shù)學(xué)工具軟件，如Maple，Matlab，Mathematica，已將絕大多數(shù)數(shù)值計(jì)算方法設(shè)計(jì)成簡單的函數(shù)，經(jīng)簡單的調(diào)用就可得出結(jié)果。但由于實(shí)際問題具體特性的復(fù)雜性以及算法自身的適用范圍決定了應(yīng)用中必須選擇和設(shè)計(jì)適合于自己所要解決的特定問題的算法，因而掌握數(shù)值計(jì)算方法的思想和內(nèi)容是必須的1.1什么是計(jì)算物理？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)131.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展

傳統(tǒng)的物理學(xué)：理論物理，實(shí)驗(yàn)物理，都離不開數(shù)值計(jì)算，如海王星的發(fā)現(xiàn)及其軌道計(jì)算就是一個(gè)典型例子。但早期的計(jì)算僅使用人力或簡單的計(jì)算工具，其功能和效率都極其有限。這種計(jì)算不能成為一個(gè)學(xué)科分支。2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)14

牛頓力學(xué)方程只有二體問題是可解得，三體以上的問題折磨了全世界許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家，仍然沒有解析解。量子力學(xué)的薛定諤方程，除了氫原子和簡諧振子外沒有一個(gè)真實(shí)的物理問題可以找到解析解。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)1520世紀(jì)40年代初，在由于戰(zhàn)爭的需要開始了核武器研制。涉及的問題：流體動(dòng)力學(xué)過程、核反應(yīng)過程、中子輸運(yùn)過程、光輻射輸運(yùn)過程、物態(tài)變化過程等；都是十分復(fù)雜的非線性方程組，不可能用傳統(tǒng)的解析方法求解。由于需要在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行大量復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算，從而促使了計(jì)算機(jī)的延生和新物理學(xué)科的形成。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)161944年，世界上第一臺(tái)“自動(dòng)序列受控計(jì)算機(jī)MarkI制成，主要部件是繼電器，速度僅每秒3次加法。在美國原子彈研制中起了重要作用。1946年初，世界上第一臺(tái)電子管計(jì)算機(jī)ENLAC投入運(yùn)行，速度為每秒5000次加法。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，為計(jì)算物理奠定了物質(zhì)基礎(chǔ)。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)17費(fèi)米（Fermi1901－1954）：美籍意大利物理學(xué)家，對(duì)統(tǒng)計(jì)物理、原子物理、原子核物理、粒子物理、中子物理都有重要貢獻(xiàn)。由于中子核反應(yīng)的發(fā)現(xiàn)，1938年獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。費(fèi)米是20世紀(jì)上半葉國際上最有才華的科學(xué)家之一，在第二次世界大戰(zhàn)期間，他領(lǐng)導(dǎo)建設(shè)了第一個(gè)實(shí)現(xiàn)原子核鏈鎖裂變的反應(yīng)堆。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)18

戰(zhàn)后費(fèi)米對(duì)計(jì)算機(jī)發(fā)生興趣，經(jīng)常去訪問LosAlamos，這個(gè)地方一直擁有世界上最強(qiáng)大的計(jì)算能力。他和烏勒姆(S.Ulerm)，巴斯塔(J.Pasta)等人討論計(jì)算機(jī)的未來應(yīng)用。他首先想到的是研究非線性系統(tǒng)長時(shí)間行為和大尺度性質(zhì)（這是用解析方法無法處理的問題），并于1952年夏天設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)，一年后，在當(dāng)時(shí)用來進(jìn)行氫彈設(shè)計(jì)的MANIAC計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)191954年11月，費(fèi)米逝世，他的合作者繼續(xù)工作，于1955年5月寫出LosAlamos研究報(bào)告LA-1940。這篇秘密報(bào)告歷經(jīng)多年、解密后被正式收入《費(fèi)米全集》。這篇具有重大意義的報(bào)告，被許多人認(rèn)為是計(jì)算物理的正式起點(diǎn)，因?yàn)樗岢隽嗽S多問題，帶來了當(dāng)時(shí)誰也未曾想到的重大發(fā)展。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)20從此，物理問題的計(jì)算與計(jì)算機(jī)相互促進(jìn)，開始蓬勃發(fā)展。1950年，全世界還只有15臺(tái)計(jì)算機(jī)，到1962年9月，僅美國就有了16817臺(tái)?，F(xiàn)在的計(jì)算機(jī)不計(jì)其數(shù)！1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)21

科學(xué)家們從原子彈設(shè)計(jì)中使用計(jì)算機(jī)求解復(fù)雜物理問題取得成功而得到啟示，迅速將這種方法推廣應(yīng)用到物理學(xué)的其他領(lǐng)域：天體物理、大氣物理、等離子體物理、核物理、原子分子物理、固體物理、統(tǒng)計(jì)物理和基本粒子物理等，而且還應(yīng)用到氣象預(yù)報(bào)、水利、海洋、地震、石油、化工甚至人體科學(xué)等各個(gè)科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)221963年，美國的Beini，Alder等人開始編輯出版《計(jì)算物理方法》叢書，內(nèi)容涉及統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)、流體力學(xué)、核物理、天體物理、固體物理、等離子體物理、地球物理和大氣環(huán)流等。

1966年，JournalofComputationalPhysics在美國創(chuàng)刊；1969年，ComputerPhysicsCommunication在西歐創(chuàng)刊。

1977年，美國和西歐的學(xué)者開始編輯出版《計(jì)算物理施普林格系列叢書》，到1988年已出17本；1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)231965年，Harlow和Fromm在《ScientificAmerican》雜志發(fā)表“流體力學(xué)的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)”一文。幾乎同時(shí)，Macagno在法國《LaHaulilleBlanche》雜志上發(fā)表“水力學(xué)模擬的某些新方面”的論文。第一次提出了計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的概念。與此同時(shí)，為計(jì)算物理服務(wù)的許多程序庫和數(shù)據(jù)庫也相繼建立。這些工作迅速地推進(jìn)了計(jì)算物理的普及和發(fā)展。1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)24這些新概念的提出、新物理現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，說明計(jì)算物理的目的不僅是計(jì)算出結(jié)果，還在于理解、預(yù)言和發(fā)現(xiàn)新的物理現(xiàn)象，尋求物理規(guī)律。在這一點(diǎn)上，它與傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)物理和理論物理沒有什么不同，差別只在于工具和方法。結(jié)論：計(jì)算物理這一新的學(xué)科起源于20世紀(jì)40年代，形成于60年代。

1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)25中國的計(jì)算物理始于20世紀(jì)50年代末，開始主要用于核物理領(lǐng)域和核武器的研制工作，然后擴(kuò)展到其它領(lǐng)域。1982年8月成立中國計(jì)算物理學(xué)會(huì)，已建立了7個(gè)專業(yè)委員會(huì)和6個(gè)地方分會(huì)。1984年，中國《計(jì)算物理》雜志創(chuàng)刊。1989年，開始出版《計(jì)算物理叢書》。1991年，開始出版《科學(xué)與工程計(jì)算叢書》1.2計(jì)算物理的起源、形成與發(fā)展2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)261983年，在美國國防部、能源部、國家科學(xué)基金會(huì)和國家航天局主持下，以美國著名數(shù)學(xué)家拉克斯為首的不同學(xué)科的專家委員會(huì)向美國政府提出報(bào)告，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國家安全、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國家命脈的大事”?？茖W(xué)計(jì)算1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)271984年，美國政府大幅度增加對(duì)科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)的支持，國家科學(xué)基金會(huì)成立了“先進(jìn)科學(xué)計(jì)算辦公室”，制訂全面高級(jí)科學(xué)計(jì)算發(fā)展規(guī)劃，新建成五個(gè)國家級(jí)高級(jí)計(jì)算中心。1987年起，國家科學(xué)基金會(huì)把“科學(xué)與工程計(jì)算”、“生物工程”、“全局性的科學(xué)”作為三大優(yōu)先重點(diǎn)支持領(lǐng)域。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)281990年，美國國家研究委員會(huì)發(fā)表“振興美國數(shù)學(xué)：90年代的計(jì)劃”的報(bào)告，建議對(duì)由計(jì)算引發(fā)的數(shù)學(xué)給予特殊的鼓勵(lì)和資助。報(bào)告指出，大存儲(chǔ)量、高速計(jì)算機(jī)的使用已導(dǎo)致了科學(xué)與技術(shù)方面的兩大突出進(jìn)展1.大量用于設(shè)計(jì)工作的實(shí)驗(yàn)被數(shù)學(xué)模型逐步取代，如航天飛機(jī)設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、人工心瓣膜設(shè)計(jì)等2.能獲取和存儲(chǔ)空前大量的數(shù)據(jù)，并能提取出隱含的信息，如計(jì)算機(jī)層析X射線攝影，核磁共振等。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)291991年，以美國總統(tǒng)的名義提出“高性能計(jì)算與通信計(jì)劃”。投資重點(diǎn)(43%)是發(fā)展先進(jìn)的軟件技術(shù)與并行算法，關(guān)鍵技術(shù)是可擴(kuò)展的大規(guī)模并行計(jì)算。1993年美國總統(tǒng)發(fā)布“發(fā)展信息高速公路”的總統(tǒng)令1994年美國總統(tǒng)發(fā)布“建立國家（地球）空間數(shù)據(jù)基礎(chǔ)設(shè)施”的總統(tǒng)令。所有這些計(jì)劃，都是為大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算創(chuàng)造條件，促使科學(xué)計(jì)算高速發(fā)展。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)30戰(zhàn)略計(jì)算1995年，美國為了確保核庫存的性能、安全性、可靠性和更新需要，開始實(shí)施“加速戰(zhàn)略計(jì)算創(chuàng)新計(jì)劃”，通過逼真的建模和模擬計(jì)算來取代傳統(tǒng)的反復(fù)試驗(yàn)的工程處理方法，這主要依賴于先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算和模擬能力，應(yīng)用程序必須達(dá)到高分辨、三維、全物理和全系統(tǒng)的水平。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)31為確保戰(zhàn)略計(jì)算目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，采取五項(xiàng)策略措施在三個(gè)防務(wù)計(jì)劃實(shí)驗(yàn)室基礎(chǔ)上成立“戰(zhàn)略計(jì)劃和模擬辦公室”，由國家統(tǒng)一指揮。致力于開發(fā)高級(jí)應(yīng)用軟件致力于發(fā)展高性能計(jì)算機(jī)建立解決問題的環(huán)境促進(jìn)戰(zhàn)略聯(lián)合與協(xié)作1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)32美國為實(shí)施“戰(zhàn)略計(jì)算創(chuàng)新計(jì)劃”實(shí)施日程表：1995年8月22日能源部采購一臺(tái)世界上最快的計(jì)算機(jī)（運(yùn)算速度超過萬億次）交付Sendia實(shí)驗(yàn)室1995年10月20日，建成三個(gè)防務(wù)實(shí)驗(yàn)室之間第一個(gè)高速數(shù)據(jù)網(wǎng)絡(luò)。1996年2月20日，能源部公開招標(biāo)，采購兩臺(tái)運(yùn)算速度達(dá)3萬億次的計(jì)算機(jī)交給LosAlamos和Livermore，并競爭下一代系統(tǒng)：10萬億次。結(jié)果，2004年實(shí)現(xiàn)了100萬億次計(jì)算機(jī)。

1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)331997年，總統(tǒng)提出1.216億美元預(yù)算實(shí)施戰(zhàn)略計(jì)算。1997年8月，戰(zhàn)略計(jì)算創(chuàng)新計(jì)劃的學(xué)術(shù)戰(zhàn)略合作計(jì)劃（ASAP），通過招標(biāo)和簽訂合同方式，建立五家合作中心：斯坦福大學(xué)的湍流綜合模擬中心，加州理工學(xué)院的模擬材料動(dòng)態(tài)特性的計(jì)算中心，芝加哥大學(xué)的天體物理、熱核反應(yīng)瞬間閃光研究中心，猶他大學(xué)的意外火災(zāi)與爆炸模擬中心和伊利諾斯州州立大學(xué)的助推火箭模擬中心。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)341998年美國副總統(tǒng)戈?duì)栐诩永Ｄ醽喛茖W(xué)中心發(fā)表了題為“數(shù)字地球─21世紀(jì)認(rèn)識(shí)地球的方式”的演講，指出，“在發(fā)明計(jì)算機(jī)之前，用實(shí)驗(yàn)和理論的方法來研究都很受限制。許多實(shí)驗(yàn)科學(xué)家想研究的現(xiàn)象都很難觀察到，它們不是太小就是太大，不是太快就是太慢，有的一秒鐘之內(nèi)就發(fā)生了十億次，而有的十億多年才發(fā)生一次。另一方面純理論又不能預(yù)報(bào)復(fù)雜的自然現(xiàn)象所產(chǎn)生的結(jié)果，如雷雨或飛機(jī)上空的氣流”1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)35“有了高速計(jì)算機(jī)這個(gè)新工具，我們就可能模擬以前不可能觀察到的現(xiàn)象，同時(shí)能更準(zhǔn)確地理解觀察到的數(shù)據(jù)。這樣，計(jì)算科學(xué)使我們能超越實(shí)驗(yàn)與理論科學(xué)的局限，建模與模擬給了我們一個(gè)深入理解正在收集的有關(guān)地球的各種數(shù)據(jù)的新天地”。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)361999年初，美國總統(tǒng)信息技術(shù)顧問委員會(huì)提出一項(xiàng)題為“21世紀(jì)的信息技術(shù)：對(duì)美國未來的大膽投資”的報(bào)告。重點(diǎn)投資的三個(gè)領(lǐng)域是(1)長期信息技術(shù)研究；(2)用于科學(xué)、工程和國家的高級(jí)計(jì)算；(3)信息革命的經(jīng)濟(jì)和社會(huì)意義研究。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)37該報(bào)告設(shè)想，通過努力在超級(jí)計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)模擬、網(wǎng)絡(luò)等方面取得突破性進(jìn)展，從而開創(chuàng)一個(gè)邁向自然世界的窗口，使得計(jì)算作為科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種工具，與實(shí)驗(yàn)和理論有同等的價(jià)值。由此可見“計(jì)算”的重要性以及美國對(duì)計(jì)算的重視程度。我們也應(yīng)該注意到，這些富有挑戰(zhàn)、功能強(qiáng)大的“計(jì)算工作”是在計(jì)算物理的基礎(chǔ)上逐步發(fā)展、演變而來的。1.3計(jì)算物理的進(jìn)一步發(fā)展

——從計(jì)算物理到科學(xué)計(jì)算、戰(zhàn)略計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)381.4計(jì)算物理的特征計(jì)算物理的研究內(nèi)容（計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)）

凡是局部瞬時(shí)的物理規(guī)律已知或被假設(shè)，要想求得大范圍長時(shí)間的物理現(xiàn)象的發(fā)展過程，便屬于計(jì)算物理學(xué)的范圍。從局部關(guān)系到大范圍依賴于計(jì)算機(jī)的大容量由瞬時(shí)規(guī)律發(fā)展為長時(shí)間的過程依賴于計(jì)算機(jī)的高速度。2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)39計(jì)算物理相對(duì)于理論物理的優(yōu)越性理論物理中利用數(shù)學(xué)方程組求解物理問題時(shí)，通常將問題大加簡化，這些簡化包括：復(fù)雜問題只考慮少數(shù)主要因素：質(zhì)點(diǎn)，黑體近似等動(dòng)態(tài)過程只考慮最后達(dá)到的靜態(tài)狀況：熱平衡等將非線性因素硬作線性化處理將變系數(shù)硬作常系數(shù)處理將復(fù)雜的邊界簡化為規(guī)則的邊界等等1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)40將問題簡化到能夠求出顯式解析解，需要對(duì)事物的本質(zhì)有很深的理解和相當(dāng)高超的推導(dǎo)技巧。簡化過程中也可能拋棄一些本質(zhì)特征。計(jì)算物理利用計(jì)算機(jī)能恢復(fù)對(duì)客觀事物本質(zhì)的描述和模擬：如可以多考慮一些因素，可以模擬動(dòng)態(tài)過程，可以保持非線性特性，可以保留變系數(shù)特點(diǎn)，可以考慮較復(fù)雜的邊界條件等。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)41這些優(yōu)點(diǎn)使計(jì)算物理即可對(duì)物理過程進(jìn)行仿真，發(fā)現(xiàn)物理現(xiàn)象，提供新的信息，又可對(duì)物理問題進(jìn)行數(shù)值分析，為理論物理提供反映物理規(guī)律的數(shù)據(jù)。計(jì)算物理是用計(jì)算機(jī)作為實(shí)現(xiàn)手段的實(shí)驗(yàn)物理，同時(shí)又是用計(jì)算機(jī)武裝起來的理論物理。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)42計(jì)算物理相對(duì)于實(shí)驗(yàn)物理的優(yōu)越性第一，計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)比物理實(shí)驗(yàn)省錢省時(shí)例如大型風(fēng)洞，設(shè)備投資巨大，建設(shè)周期長，使用時(shí)耗電多，所以目前在飛機(jī)、導(dǎo)彈等設(shè)計(jì)方面大都先采用計(jì)算選型，然后再選幾個(gè)模型進(jìn)行吹風(fēng)試驗(yàn)，最后定型，這比早先單純靠風(fēng)洞吹風(fēng)的辦法要經(jīng)濟(jì)、有效得多。再如加速器實(shí)驗(yàn)，每小時(shí)耗電3萬元。新元素的合成，幾個(gè)月發(fā)生一個(gè)事件。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)43第二，計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)比物理實(shí)驗(yàn)有更大的自由度和靈活性，也很安全，它不存在物理實(shí)驗(yàn)中的測量誤差和系統(tǒng)誤差，沒有測試探頭的干擾問題，還可以較自由地選取參數(shù)。如地下核試驗(yàn)問題，由于不確定性因素太多，有些測量的誤差是很難進(jìn)行分析的。如電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)，看到電子的運(yùn)動(dòng)軌跡，就無衍射條紋1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)44第三，在物理實(shí)驗(yàn)很困難甚至不能進(jìn)行的場合，仍可進(jìn)行計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)如測量中子星的密度，測量星體內(nèi)部的溫度分布、天體演化，理想情況實(shí)驗(yàn)等。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)45計(jì)算物理的局限性：第一，計(jì)算物理主要用來求解物理理論的數(shù)學(xué)方程，得出實(shí)際問題所需要的數(shù)值結(jié)果，對(duì)物理定律的建立和物理理論的構(gòu)成可起到幫助探索的作用。但歸根結(jié)底仍取決于研究人員的實(shí)際知識(shí)水平和抽象思維的概括能力。數(shù)學(xué)方程要靠理論物理提供，計(jì)算結(jié)果的正確與否，既要由實(shí)踐來檢驗(yàn)，也要用理論物理的定律來作分析判斷。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)46第二，計(jì)算物理的數(shù)值方法雖然比理論物理和解析方法適應(yīng)性強(qiáng)，應(yīng)用面廣，更能滿足實(shí)際需要，但計(jì)算所用到的基本方程在各種具體問題中都有不同程度的簡化和近似。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)47第三，計(jì)算數(shù)學(xué)的現(xiàn)有理論，如微分方程數(shù)值解的收斂性、穩(wěn)定性理論，還遠(yuǎn)不能滿足各種復(fù)雜實(shí)際問題的需要，在求解實(shí)際問題時(shí)往往缺乏嚴(yán)格的穩(wěn)定性分析、誤差估計(jì)和收斂性證明，甚至連解的存在和唯一性問題都可能沒有嚴(yán)格的論證。因此，數(shù)值模擬可能成功也可能失敗，即使成功了，得到了較為合理的結(jié)果，仍必須由實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)48計(jì)算物理提出計(jì)算預(yù)測給出模擬結(jié)果提供計(jì)算數(shù)據(jù)提供模擬結(jié)果檢驗(yàn)計(jì)算預(yù)測提供方程實(shí)驗(yàn)物理提供實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)解釋結(jié)果理論物理檢驗(yàn)理論預(yù)測提供實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)提出理論預(yù)測給出理論解釋計(jì)算物理與傳統(tǒng)物理的聯(lián)系1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)49計(jì)算物理方法區(qū)別于計(jì)算數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)：1）計(jì)算物理從物理問題出發(fā)，以物理結(jié)論為結(jié)果，以與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比為其結(jié)束；而計(jì)算數(shù)學(xué)則是從數(shù)學(xué)方程出發(fā)，以求得方程的近似解告終。計(jì)算物理工作者選用計(jì)算方法時(shí)要考慮算法和結(jié)果的物理意義；而計(jì)算數(shù)學(xué)工作者最感興趣的是算法的逼近階，計(jì)算精度和穩(wěn)定性等問題。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)50例如：在常微分方程數(shù)值解法中，歐拉折線法是原始的低階方法，龍格庫塔法則是高階（四階）的精確方法。從計(jì)算數(shù)學(xué)的角度看，后者好；但從計(jì)算物理的角度看，實(shí)際問題中的未知函數(shù)并不總存在高階導(dǎo)數(shù)，利用高階方法計(jì)算往往得不出正確結(jié)果，更不用說精確了。而歐拉法卻有明顯的物理意義，便于分析和尋求規(guī)律性，因此常常寧可用低階的歐拉法，或者在低階方法取得一定的規(guī)律性后再用高階方法作對(duì)比計(jì)算或大規(guī)模計(jì)算。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)512）計(jì)算物理的任務(wù)是尋求物理規(guī)律，解決物理問題，因而可以不拘泥于數(shù)學(xué)方法。物理問題歸結(jié)為微分方程時(shí)，實(shí)際上是由原始的差分關(guān)系取極限得來的，原始差分關(guān)系中的每一項(xiàng)都有物理意義。從計(jì)算物理角度看，未必一定要把它變成微分方程，再人為地離散化為差分方程，它可以直接由原始差分關(guān)系編程上機(jī)計(jì)算。再比如，有些物理問題用蒙特卡羅方法求解的話，那更是直接對(duì)物理問題進(jìn)行模擬。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)523）計(jì)算物理特別重視物理問題的邊界處理，因?yàn)檫吔鐥l件是由實(shí)際物理問題得出的，對(duì)求解往往具有決定性的作用，它的處理極大地影響數(shù)值解的精確度，甚至影響數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。在計(jì)算數(shù)學(xué)中，由于邊界條件已被抽象成數(shù)學(xué)表達(dá)式，不考慮實(shí)際的物理意義，因而常常不重視邊界處理，而著重研究內(nèi)點(diǎn)差分格式。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)534）計(jì)算物理方法受物理問題本身的啟示，?？衫脤?duì)物理現(xiàn)象的直觀概念，創(chuàng)造新的計(jì)算方法。如流體動(dòng)力學(xué)的“人為粘性法”就是一個(gè)典型例子。5）在分析整理大量計(jì)算數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，計(jì)算物理工作者還常常關(guān)心構(gòu)造近似解析解，以利于科學(xué)家和工程師應(yīng)用，并且這也是尋求和反映物理規(guī)律的一種方法。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)54計(jì)算物理的推廣應(yīng)用:計(jì)算物理是計(jì)算機(jī)在自然科學(xué)的應(yīng)用中發(fā)展較早的學(xué)科之一，其研究對(duì)象是物理科學(xué)。但計(jì)算物理中一些已經(jīng)成熟的知識(shí)、研究方法的特點(diǎn)和成果都可以移植到其它自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究領(lǐng)域中去。所以計(jì)算物理的發(fā)展將對(duì)其它領(lǐng)域的計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究起重大的推動(dòng)作用。如量子分子動(dòng)力學(xué)模型的計(jì)算思想可應(yīng)用于城市交通中的交通阻塞的計(jì)算。1.4計(jì)算物理的特征2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)55

計(jì)算物理與工程計(jì)算有關(guān)的科學(xué)一樣，遵循一條普遍共同的規(guī)律，其求解過程有四個(gè)環(huán)節(jié)－馮康物理機(jī)理：如各種物理量的守恒規(guī)律、運(yùn)動(dòng)規(guī)律等，也包括具體的條件，如參數(shù)、幾何形狀和其它原始資料。數(shù)學(xué)提法：通常表示為連續(xù)形式的微分(積分)方程和相應(yīng)的定解條件。離散模型：通常表示為離散形式的代數(shù)方程，如差分方程。算法程序：即離散方程求解的算術(shù)步驟。1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)56這四個(gè)環(huán)節(jié)再加上“上機(jī)計(jì)算”和“結(jié)果分析”就構(gòu)成了計(jì)算物理的整個(gè)工作流程，其流程圖如下由此可見，計(jì)算物理的發(fā)展需要不同性質(zhì)的科學(xué)工作者的大力協(xié)同，共同努力。物理機(jī)理數(shù)學(xué)提法離散模型算法程序結(jié)果分析上機(jī)計(jì)算1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)571.物理問題階段由于人們對(duì)自然規(guī)律認(rèn)識(shí)的局限性，加上外界條件的多變性，物理學(xué)家在形成物理模型時(shí)，只能抓住其主要矛盾和矛值的主要方面，必然要進(jìn)行各種近似。計(jì)算物理工作者應(yīng)對(duì)所建立或所采用的物理模型做到心中有數(shù)，至少對(duì)數(shù)量變化范圍有粗估結(jié)果。1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)582.數(shù)學(xué)模型階段有時(shí)寧可保留守恒型的微分（積分）方程，不必進(jìn)一步簡化，以利于離散化后能保持守恒的性質(zhì)。為了便于探索各種物理機(jī)理，邊界條件應(yīng)盡可能考慮到各種可能性，不致于發(fā)生為計(jì)算不同的模型而經(jīng)常修改程序－大型程序修改非常復(fù)雜1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)593.離散模型階段要注意根據(jù)不同的實(shí)際問題選擇不同的計(jì)算方法?？偟脑瓌t是：較弱的穩(wěn)定性限制、較高的精度、便于編寫程序、較高的計(jì)算效率，不要片面追求逼近階太高，以致邏輯復(fù)雜。但是，如果邏輯太簡單，可能穩(wěn)定性要求太嚴(yán)，以致機(jī)器計(jì)算機(jī)時(shí)間太多。計(jì)算格式的選取應(yīng)以物理機(jī)理為背景，以能否正確反映微分方程所描述的物理現(xiàn)象為依據(jù)。

1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)604.算法程序階段實(shí)際包括邏輯設(shè)計(jì)和程序編制兩大部分，是一件十分細(xì)致和繁瑣的工作。應(yīng)考慮到程序的易讀性和通用性，采用“結(jié)構(gòu)化”的方法編制程序，以利于大型程序的編寫和未來發(fā)展?？茖W(xué)計(jì)算程序大多采用FORTRAN語言編制。1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)61(5)上機(jī)計(jì)算階段實(shí)際上應(yīng)包括程序調(diào)試和正式計(jì)算兩步。程序調(diào)試過程中要和已有的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。(6)結(jié)果分析階段首先要對(duì)計(jì)算結(jié)果的合理性和可信性作出判斷，其次要對(duì)結(jié)果作出物理解釋，需要旁敲側(cè)擊，斟酌再三。1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)62綜上所述，計(jì)算物理研究的全過程，應(yīng)該包括提出和分析問題、建立物理模型和數(shù)學(xué)模型、選擇計(jì)算方法、誤差估計(jì)、收斂性和穩(wěn)定性論證、編寫和調(diào)試程序、上機(jī)計(jì)算、計(jì)算出結(jié)果，對(duì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)等一系列環(huán)節(jié)。最后強(qiáng)調(diào)，由于實(shí)際問題的復(fù)雜性，計(jì)算物理的全過程是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、漸趨正確的過程。計(jì)算物理工作者既要有嚴(yán)謹(jǐn)、清晰的分析方法，又要有耐心細(xì)致的工作作風(fēng)。1.5計(jì)算物理的工作流程2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)63自然界千變?nèi)f化，近代科學(xué)技術(shù)問題十分復(fù)雜，任何一種科學(xué)研究都不可能、也不必要包羅萬象地去考慮一切因素的影響，而總是抓住一些主要因素，忽略多種次要因素，去研究問題的實(shí)質(zhì)?？茖W(xué)研究總是在這樣那樣的假設(shè)條件下進(jìn)行的。1.6計(jì)算物理的研究方法1.6.1物理模型和數(shù)學(xué)模型的建立2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)64對(duì)復(fù)雜的物理現(xiàn)象進(jìn)行分析，概括和抽象，提出反映現(xiàn)象本質(zhì)的一些因素，形成物理模型，這是計(jì)算物理的首要任務(wù)，只有在物理模型的基礎(chǔ)上，才能建立數(shù)學(xué)方程，進(jìn)行求解。建立物理模型是計(jì)算物理的首要任務(wù)！物理模型的建立，概括地說有兩大類基本模型：離散模型；連續(xù)模型。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)65離散體模型離散模型把物體看作是由大量具有確定物理性質(zhì)(如質(zhì)量、電荷等)，彼此又相互作用而聚集在一起的幾何點(diǎn)(質(zhì)點(diǎn))的集合組成。最突出的例子是原子模型，其基本定律由量子力學(xué)描述；但是在許多問題中，牛頓力學(xué)仍然適用。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)66設(shè)有N個(gè)質(zhì)點(diǎn)（例如核子），在遠(yuǎn)程力（核力）作用下的運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)N體問題，當(dāng)N≥3時(shí)沒有解析解，其困難在于對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，所有其它的質(zhì)點(diǎn)對(duì)它都有作用。N個(gè)質(zhì)點(diǎn)共有(N－1)個(gè)相互作用，即使用每秒上億次的計(jì)算機(jī)，要計(jì)算象銀河系（約有1019顆星星）的問題，仍然是不可能的，所以，這種模型還得繼續(xù)簡化。

1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)67連續(xù)模型是用場的概念去描述物體的幾何點(diǎn)，不必去區(qū)分構(gòu)成該物體的各粒子間的差異。用場來確定任一質(zhì)點(diǎn)受到其它外來因素對(duì)它作用的總和，而不在具體區(qū)分是哪個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)它的作用。如對(duì)原子核反應(yīng)的描述。平均場：H=T+V

運(yùn)動(dòng)方程：p'=-?H/?r;r'=-?H/?p

1.6計(jì)算物理的研究方法連續(xù)模型2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)68大多數(shù)物理過程是個(gè)復(fù)雜的過程，這給求解帶來很大困難，實(shí)際數(shù)值計(jì)算時(shí)，不得不再作這樣或那樣的近似處理。所以計(jì)算物理的主要方法之一就是在簡化物理模型的基礎(chǔ)上，對(duì)各式各樣的微分方程（或微分積分方程等）進(jìn)行數(shù)值求解。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)69下面列舉兩個(gè)國防科學(xué)技術(shù)的例子，具體說明物理模型的建立。例1：假設(shè)一顆核彈在空中爆炸，求離爆點(diǎn)某一距離上的地下掩蔽室的破壞情況。這是防御核戰(zhàn)爭的重要問題。許多人對(duì)地下工事是否安全心中無數(shù)，但只要我們掌握計(jì)算物理的基本方法，進(jìn)行實(shí)際計(jì)算，就不難對(duì)此問題作出回答。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)70已知核武器殺傷破壞分為：沖擊波、光輻射、貫穿輻射、放射性沾染。對(duì)于地下掩蔽室來說，主要是沖擊波。如果我們能求得爆炸沖擊波沿地面的傳播規(guī)律，并結(jié)合設(shè)計(jì)掩蔽室的抗壓強(qiáng)度等進(jìn)行綜合考慮，即可知道它是否安全。第一，核彈本身的重量和體積與它所釋放的巨大能量和作用距離相比，可以忽略不計(jì)。因此可以把核爆炸看作是從一個(gè)點(diǎn)源上瞬時(shí)爆發(fā)的－點(diǎn)爆炸。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)71第二，核爆炸所產(chǎn)生的沖擊波是通過大氣傳播的。在真實(shí)大氣中，有氣溫、氣壓、密度、溫度、風(fēng)云等多方面因素的影響，我們可先對(duì)這些因素一概不予考慮，把大氣看作是均勻的理想氣體，用理想氣體的物態(tài)方程描述其性質(zhì)。這樣構(gòu)成的模型，稱之為“理想點(diǎn)爆”模型。在這種模型下，爆炸沖擊波的傳播規(guī)律可用一維球?qū)ΨQ流體動(dòng)力學(xué)方程組和理想氣體物態(tài)方程求解。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)72這只是研究核爆炸沖擊波的最簡單的物理模型，核爆炸是個(gè)極端復(fù)雜的物理過程，“理想點(diǎn)爆”模型只是個(gè)粗糙的簡化近似，但是核試驗(yàn)的實(shí)踐證明，即使是這種最簡單的模型，計(jì)算所得的結(jié)果，經(jīng)適當(dāng)修正，也能相當(dāng)好地與實(shí)測結(jié)果一致。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)73例2：假設(shè)敵方發(fā)來一枚導(dǎo)彈，我們能否在100km以上的高空爆炸一顆百萬噸級(jí)的氫彈將它攔截?zé)龤?，這就是反導(dǎo)問題。下面簡要分析這個(gè)問題的物理模型。已知百萬噸級(jí)的氫彈在高空爆炸時(shí)產(chǎn)生的X射線占總當(dāng)量的60-70%，由于高空大氣稀薄，X射線的平均自由程可達(dá)數(shù)十到數(shù)百公里，而且軟X射線極易被物質(zhì)吸收。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)74當(dāng)X射線到達(dá)殼體表面時(shí)，能量大量沉積，溫度可高達(dá)上萬度，壓力高達(dá)數(shù)十萬大氣壓，可把表面熔化成流體，同時(shí)在殼體中形成熱擊波，向殼體內(nèi)部傳播。隨著壓力和溫度的下降，材料呈現(xiàn)彈塑性特點(diǎn)。當(dāng)熱擊波到達(dá)自由表面時(shí)，反射稀疏波，產(chǎn)生拉力。拉力足夠大，可使材料斷裂。按這種設(shè)想構(gòu)成模型，稱為“流體—彈塑性”模型。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)75

數(shù)學(xué)模型的建立建立物理模型之后，可根據(jù)基本原理（如三大守恒定律）列出基本的數(shù)學(xué)方程組，并結(jié)合實(shí)際情況給出定解條件（初值和邊值）?；痉匠探M和定解條件一起構(gòu)成了一個(gè)物理問題的數(shù)學(xué)模型1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)76

數(shù)學(xué)模型應(yīng)有以下特點(diǎn)把每個(gè)求解的數(shù)學(xué)問題用計(jì)算機(jī)所能處理的四則運(yùn)算和有限形式的公式表示出來每個(gè)數(shù)值方法要保證收斂性，還要保持穩(wěn)定性數(shù)值方法有良好的計(jì)算復(fù)雜性：即運(yùn)算次數(shù)要少，所需存儲(chǔ)量要小1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)77對(duì)一個(gè)問題，如果1.對(duì)輸入數(shù)據(jù)的每個(gè)容許集，這個(gè)問題有一個(gè)解(解的存在性);而且至多有一個(gè)解(解的唯一性)2.輸入數(shù)據(jù)一個(gè)充分小的擾動(dòng)，引起解的一個(gè)微小改變(對(duì)數(shù)據(jù)的連續(xù)依賴性)

則我們說這個(gè)問題是適定的。對(duì)于適定問題，一個(gè)合理的算法將產(chǎn)生好的答案。對(duì)于不適定問題，可能對(duì)任何一個(gè)算法都不會(huì)產(chǎn)生好的答案

1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)781.6.2計(jì)算方法的選取建立了數(shù)學(xué)模型以后，采用什么方法來求解，這是計(jì)算數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，也是計(jì)算物理的基礎(chǔ)。盡管電子計(jì)算機(jī)功能很強(qiáng)，速度很快，但如果計(jì)算方法選取不當(dāng)，也會(huì)算不出結(jié)果，或者算出完全錯(cuò)誤的結(jié)果；即使能算出近似的結(jié)果，也還有精度高低，計(jì)算工作量大小之差別。所以，選取好的計(jì)算方法是至關(guān)重要的。下面舉例進(jìn)行說明。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)79

例1：求線性代數(shù)方程組的求解計(jì)算物理中的許多問題常常最終歸結(jié)為線性代數(shù)方程組的求解問題?？疾烊缦路匠探M：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn其中aij，bi（i,j=1,2,…,n）為常數(shù)。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)80由線性代數(shù)知識(shí)，只要系數(shù)行列式滿足下式，方程組有唯一解：xj=Dj/D。D=≠01.6計(jì)算物理的研究方法Dj是將D中第j列用右端b代替所構(gòu)成的行列式。這是著名的克萊姆法則，但如果按行列式展開的方法進(jìn)行計(jì)算，將會(huì)是什么結(jié)果呢？2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)81

n階行列式展開時(shí)含有n!項(xiàng)，每一項(xiàng)含n個(gè)因子，計(jì)算一個(gè)n階行列式需要做(n-1)n!次乘法。這里需要計(jì)算n+1個(gè)行列式，需要的乘法次數(shù)為

N=(n-1)(n+1).n!=(n2-1).n!當(dāng)n=20時(shí)，N≈1021。若采用每秒億次的巨型電子計(jì)算機(jī)，要連續(xù)工作幾百萬年才能完成計(jì)算！這個(gè)理論盡管完美，但在實(shí)際計(jì)算中卻毫無價(jià)值。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)82當(dāng)然一個(gè)簡單的線性方程組也不可能讓你用費(fèi)用昂貴的巨型機(jī)來計(jì)算，這里數(shù)值方法表現(xiàn)出它巨大的威力：如果用數(shù)值方法（如高斯消去法）進(jìn)行計(jì)算，小小的20階線性方程組，在小型機(jī)上只需幾秒鐘即可完成求解。從這個(gè)例子可以看出，采用不同的計(jì)算方法，計(jì)算工作量相差很大，所以計(jì)算方法的選擇很重要。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)83例2：利用遞推法求解積分[1.1]容易求得：1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)84于是可建立下列遞推關(guān)系式：(1)

按公式（1）算得的結(jié)果如表1?，F(xiàn)在要問，計(jì)算結(jié)果可靠嗎？由定積分的基本概念，所求積分具有特性：In

>0；In＜In-1

1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)85但是，從表1可看出，I6＜0，往后的In值，正負(fù)號(hào)交替出現(xiàn)，其絕對(duì)值不斷遞增，從而理論分析與計(jì)算結(jié)果嚴(yán)重不符。下面改用另一種計(jì)算方案：1.6計(jì)算物理的研究方法In>0；In＜In-1由公式(1)2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)86作為一種近似，可取然后按下列遞推關(guān)系進(jìn)行遞推按這個(gè)遞推關(guān)系得到的結(jié)果也一并列在表1中(2)1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)87n公式(1)In

公式(2)In00.0099503310.0099503310.0049669150.0049669150.0033085000.0033085370.0024833330.0024801240.0016666670.0019876100.0333333330.001654277-3.1666633330.001416182316.80919040.001238988-31680.794040.0011012023168079.5150.000990954-316807451.40.000904590返回2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)88計(jì)算發(fā)現(xiàn)，按(2)式算出的I0與ln101－ln100的值一樣。這說明，采用公式（1）遞推，雖然采用了八位有效數(shù)字，但越往后，越不可靠。而公式（2），盡管取了近似值I10，但按逆序遞推，卻能反映In的基本特性，且最后得出的I0很準(zhǔn)確。這個(gè)例子表明，采用不同的算法，結(jié)果可能是大不一樣的，而正確的結(jié)果只有一個(gè)，是不依賴于算法的，因此再次說明算法的重要性。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)89例3：已知方程9x2=sinx+1在x=0.4附近有根，試用迭代法求出此根。[1.2]迭代法是計(jì)算數(shù)學(xué)的重要方法，它除了可用作方程和方程組的求根外，還可用來解微分方程，它的基本思想是通過迭代公式形成近似解序列，去逼近方程的真解。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)90對(duì)于這個(gè)求根問題，可通過下面迭代公式逐步求得要求的根。首先將原方程改寫為然后改造出如下迭代關(guān)系式9x2=sinx+1(3)1.6計(jì)算物理的研究方法其解序列為x0＝.4,x1=.3929,x2=.391985,x3=.391865,x4=.391848,x5=.391847,x6=.3918472023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)91如果按6位有效數(shù)字，方程的根就是x=.391847原方程也可變形為(4)因而可構(gòu)造出迭代公式1.6計(jì)算物理的研究方法無論如何也得不到收斂的序列｛xn｝，所以迭代公式（4）是不可取的。2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)92這就產(chǎn)生一個(gè)問題，即怎樣把給定的方程f(x)=0變形為x=j(x)，并使迭代公式收斂。這個(gè)問題留給后面再作研究。這個(gè)例子說明，雖然迭代法是計(jì)算數(shù)學(xué)的常用方法，但不同的迭代方法得到的結(jié)果可能是不一樣的，計(jì)算量一般也會(huì)不一樣。以上三個(gè)例子從不同角度說明，選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法進(jìn)行計(jì)算是非常重要的。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)93對(duì)于具體的計(jì)算物理問題，除了算法的重要性，計(jì)算效率的問題也是至關(guān)重要的。一個(gè)物理的程序往往需要算上幾天甚至一兩個(gè)月的時(shí)間，所以如何提高效率成了計(jì)算物理急需解決的問題，除了采用效率高的算法，還需注意一些問題:如加法比乘法效率高，乘法比乘方和除法效率高[1.3]

2a－>a+a,a2－>a*a,a/4－>a*0.251.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)94計(jì)算物理，往往給人們以不嚴(yán)格、不精確或不完美的誤解。但無論是實(shí)驗(yàn)物理還是理論物理近似都非常普遍，誤差也是不可避免的，根本不存在絕對(duì)的嚴(yán)格和精確。計(jì)算物理中的誤差來自四個(gè)方面:模型誤差、觀測誤差、方法誤差、舍入誤差。1.6.3計(jì)算物理中的誤差1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)95（a）模型誤差。將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題時(shí)，總要忽略一些主觀上認(rèn)為是次要的因素，附加若干限制。例如點(diǎn)粒子近似。人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)是逐步深入的，這樣建立的“理想化”的數(shù)學(xué)模型，雖然具有“精確”而“完美”的外表，實(shí)質(zhì)卻只是客觀現(xiàn)象的近似而粗糙的描述，這種近似描述就隱含著誤差，這就是模型誤差。如自由落體運(yùn)動(dòng)忽略了空氣的阻力。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)96（b）觀測誤差。在數(shù)學(xué)模型中，往往包含有若干參變量，如物體密度，物態(tài)方程與本構(gòu)方程參數(shù)，熱量交換系數(shù)等等。這些參量一般是通過實(shí)驗(yàn)觀測確定的，因而不可避免會(huì)存在觀測誤差。如自由落體運(yùn)動(dòng)中的時(shí)間和重力加速度就是觀測值。觀測值的精度依賴于儀器和人的操作。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)97（c）方法誤差。在實(shí)際解題過程中，數(shù)學(xué)模型常常比較復(fù)雜，不能獲得精確解。另外，有些運(yùn)算只能用極限過程來定義，而計(jì)算機(jī)卻只能進(jìn)行有限次運(yùn)算，這就造成計(jì)算結(jié)果與方程的實(shí)際解有差別。需要建立一套有效的計(jì)算方法（即數(shù)值方法）。模型的準(zhǔn)確解和數(shù)值方法的準(zhǔn)確解之差稱為方法誤差，或叫截?cái)嗾`差。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)98例如：指數(shù)函數(shù)ex可展開成下列冪級(jí)數(shù)形式但在實(shí)際計(jì)算時(shí)，不可能計(jì)算無窮多項(xiàng)，只能截取有限項(xiàng)：用Sn(x)作為ex的近似值，其截?cái)嗾`差為1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)99（d）舍入誤差。實(shí)際計(jì)算受計(jì)算機(jī)字長限制，只能按有限個(gè)有效數(shù)字進(jìn)行(計(jì)算機(jī)中的實(shí)數(shù)都是近似的)，每步計(jì)算都可能有舍入，這種誤差稱為舍入誤差。少量運(yùn)算的舍入誤差微不足道，但一般計(jì)算物理所要求解的問題都要進(jìn)行千千萬萬次運(yùn)算，舍入誤差的積累可能是驚人的。如(1.0/3.0)*3.0<>1[1.4]1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)100減小運(yùn)算誤差的若干原則計(jì)算物理中出現(xiàn)的誤差，有時(shí)會(huì)嚴(yán)重“泛濫”，完全“淹沒”所要求的真值，所以對(duì)任何一項(xiàng)計(jì)算，都必須考慮精度，選取或設(shè)計(jì)好的計(jì)算方法。但并不是精度越高越好，精度高意味著運(yùn)算時(shí)間長。對(duì)于具體的問題，運(yùn)算次數(shù)數(shù)以千萬。盡管每一步計(jì)算都可能發(fā)生誤差，但要對(duì)每一步所產(chǎn)生的誤差都去分析是不可能做到的，因此人們針對(duì)一些普遍性問題提出若干注意事項(xiàng)，以提高計(jì)算的可靠性。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)101（a）兩個(gè)相近的近似數(shù)相減時(shí)，有效數(shù)字會(huì)嚴(yán)重?fù)p失，實(shí)際計(jì)算時(shí)要盡量避免。[1.5]例如，當(dāng)x充分大時(shí)，計(jì)算下面表達(dá)式的值。設(shè)x＝1000，取4位有效數(shù)字：結(jié)果只有1位有效數(shù)字。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)102如果將表達(dá)式變形為可見計(jì)算公式寫成不同的形式，對(duì)運(yùn)算誤差可能有很大影響。仍為4位有效數(shù)字1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)103常見的公式變換：x1和x2接近時(shí)：lgx1-lgx2=lg(x1/x2)當(dāng)x接近于0時(shí):(1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx)當(dāng)x充分大時(shí)：arctan(x+1)-arctanx=arctan[1/(1+x2+x)]1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)104（b）避免數(shù)量級(jí)相差很大的數(shù)相加減。在數(shù)值計(jì)算時(shí)，要避免小的數(shù)字被大的數(shù)字“吃掉”。例如，要對(duì)A、B、C三個(gè)數(shù)進(jìn)行加法運(yùn)算，若A＝1015，B＝10，C≈－A。如果按(A+B)+C的次序進(jìn)行計(jì)算，取八位有效數(shù)字，則A吃掉了B，結(jié)果近似為0；但如果按按(A+C)+B的次序進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果會(huì)接近于10，從而保護(hù)了B。所以在編寫程序時(shí)，要事先預(yù)計(jì)各變量的數(shù)量級(jí)，并對(duì)程序語句進(jìn)行合理安排。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)105（c）絕對(duì)值太小的數(shù)不宜做除數(shù)。數(shù)值計(jì)算中，除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值，將會(huì)使商的數(shù)量級(jí)增加，甚至造成‘溢出’錯(cuò)誤；而且當(dāng)除數(shù)稍有一點(diǎn)誤差，就會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成很大的誤差。如3.1416/0.001＝3141.6，當(dāng)分母有了0.0001的誤差時(shí)，也就是變?yōu)?.0011則商變?yōu)?.1416/0.0011＝2856，商的誤差已經(jīng)變的非常巨大1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)106如果直接運(yùn)算需作n(n+1)/2次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算。將表達(dá)式改寫為下式只需作n次乘法和n次加法。（d）注意計(jì)算步驟的簡化，減少算術(shù)運(yùn)算的次數(shù)。例如，計(jì)算多項(xiàng)式[1.6]1.6計(jì)算物理的研究方法一般來說，在一個(gè)物理問題中，通過計(jì)算方式的簡化，既可以減少工作量，又可減小累計(jì)誤差。2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)107收斂性與穩(wěn)定性是計(jì)算方法的理論問題。穩(wěn)定性是指在數(shù)值計(jì)算中，誤差的傳播能否得到控制這樣一個(gè)性質(zhì)。收斂性是指通過數(shù)值計(jì)算得到的近似解是否逼近數(shù)學(xué)模型的的真解這樣一個(gè)性質(zhì)。一個(gè)計(jì)算方法的好壞成敗，除了與計(jì)算格式的簡練緊湊有關(guān)外，最本質(zhì)的核心問題就是收斂性與穩(wěn)定性問題。（4）收斂性與穩(wěn)定性1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)108定積分有兩個(gè)遞推公式(1)(2)穩(wěn)定性分析實(shí)例1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)109從數(shù)學(xué)上看，它們的是等價(jià)的，但結(jié)果卻完全不同，為什么？大家知道，計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行算術(shù)運(yùn)算，這里我們?nèi)“宋粩?shù)字進(jìn)行運(yùn)算。因在計(jì)算機(jī)中必然是個(gè)近似數(shù)，因而有誤差，我們不妨把它當(dāng)作初始誤差。下面我們來分析這個(gè)初始誤差的傳播。

1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)110按公式(1)，I0的誤差傳播到I1，I1的誤差傳播給I2，…，記Ii的計(jì)算近似值為準(zhǔn)確的理論遞推式兩式相減有

實(shí)際運(yùn)算的遞推式1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)111若與I0之間的誤差為ε，這個(gè)誤差將隨遞推而繼續(xù)影響到后續(xù)各項(xiàng)，依此推得：這說明，每遞推一次，誤差值增大100倍，當(dāng)有初始誤差ε

時(shí)，In的誤差為(-1)n100ne

。顯然當(dāng)n充分大時(shí)，計(jì)算結(jié)果必將將嚴(yán)失真。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)112對(duì)公式（2）進(jìn)行同樣的分析有準(zhǔn)確的理論遞推式：

實(shí)際運(yùn)算的遞推式：從而有1.6計(jì)算物理的研究方法可以看出誤差的傳播越來越小,計(jì)算的結(jié)果是可靠的。我們稱(1)式是不穩(wěn)定的，(2)式是穩(wěn)定的。2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)113收斂性分析實(shí)例求方程9x2=sinx+1在x=0.4附近的根。這個(gè)方程可用下面遞代公式求根：n=0,1,…

(3)1.6計(jì)算物理的研究方法(4)把給定方程式f(x)=0變成迭代形式xn+1=j(xn)求解，如何才能使解序列{xn}收斂呢？

2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)114設(shè)a是方程f(x)=0一個(gè)根，由微分中值定理：若在a的某一鄰域內(nèi)|j(x)|≤1，則由迭代公式所產(chǎn)生的解序列xn一定收斂于a；反之若在a附近，|j(x)|＞1，則解序列xn一定不收斂。對(duì)于方程（4），j(x)=arcsin(9x2-1)，在0.4附近，|j(x)|＞1，所以解序列不可能收斂。對(duì)于方程（3），j(x)=，|j(x)|≤1/6＜1，因而迭代結(jié)果收斂。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)115粗略說來，收斂性主要是研究方法誤差問題，而穩(wěn)定性則更關(guān)注舍入誤差問題。在一定條件下，兩者又可以是關(guān)聯(lián)的、等價(jià)的。由于計(jì)算物理的復(fù)雜性，要弄清楚所采用的方法的收斂性和穩(wěn)定性，往往相當(dāng)困難。如果都要等解決了理論問題再去計(jì)算，計(jì)算物理這個(gè)工作就難以發(fā)展了。我們不能等待解決了收斂性、穩(wěn)定性之后再去計(jì)算，而是要在計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行解決。但另一方面，我們又必須對(duì)計(jì)算方法的收斂性、穩(wěn)定性問題有所了解，以利于對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)116計(jì)算結(jié)果正確與否，一般來說，與下列因素有關(guān)：物理模型和數(shù)學(xué)模型是否合適？計(jì)算方法是否正確？程序設(shè)計(jì)是否有誤？機(jī)器運(yùn)行是否正常？如果計(jì)算方法、程序、機(jī)器等正常，問題可能發(fā)生在物理模型和數(shù)學(xué)模型上。由于實(shí)際物理問題十分復(fù)雜，能否抓住主要因素構(gòu)成合適的物理模型并列出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方程，并不是輕而易舉的事。1.6.4計(jì)算結(jié)果的分析與結(jié)論1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)117而且即使基本的物理模型是正確的，在一些復(fù)雜的邊界條件下，在某些具體條件的影響下，如何給出符合實(shí)際的定解條件，也還需作認(rèn)真細(xì)致的研究。結(jié)果的判斷？如何判斷計(jì)算結(jié)果是否正確，并作出恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論？實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)、理論分析、與其它計(jì)算結(jié)果相比較1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)118(1)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果是否正確，最主要的是要看它與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否相符合，若大體相符，就說明計(jì)算結(jié)果基本可靠；如果相差較大，就應(yīng)該檢查物理模型、數(shù)學(xué)模型，計(jì)算方法等是否存在問題，進(jìn)行改進(jìn)。當(dāng)然，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)有差錯(cuò)，需要分析，這是實(shí)驗(yàn)物理的任務(wù)。作為計(jì)算物理工作者首先應(yīng)該檢查自己工作中的問題。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)119(2)理論分析計(jì)算結(jié)果是否正確，也可用基本物理原理來分析判斷，作出定性解釋。物理原理是前人在大量實(shí)踐的基礎(chǔ)上總結(jié)提煉出來的客觀規(guī)律，計(jì)算結(jié)果應(yīng)該符合基本物理定律。歸根到底，計(jì)算結(jié)果應(yīng)該符合客觀規(guī)律?；疚锢碓肀葌€(gè)別實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更能反映事物的本質(zhì)，是檢驗(yàn)結(jié)果是否正確的一面鏡子。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)120(3)與其它計(jì)算結(jié)果相比較這是一種旁證的辦法。如果我們的計(jì)算結(jié)果與采用不同數(shù)學(xué)模型或不同計(jì)算方法的結(jié)果一致；或雖有出入，但在理論上可作出合理解釋，則在某種意義上可以說明計(jì)算結(jié)果具有一定的客觀性，雖不能象前面兩種方法那樣作出明確的結(jié)論，但可做到心中有數(shù)。在實(shí)際工作中，常常對(duì)同一問題采用多種辦法進(jìn)行計(jì)算，比較其結(jié)果，從而逐步得出正確的結(jié)論。1.6計(jì)算物理的研究方法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)121第二章數(shù)值積分微分方法2.1引言2.2梯形積分和辛普森積分2.3反常積分2.4高斯積分2.5高維積分2.6數(shù)值微分2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)1222.1引言

函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)且其原函數(shù)為F(x),則可用牛頓－萊布尼茲公式求解其定積分：這種方法雖然在理論上沒有什么問題，可是實(shí)際問題要復(fù)雜的多，它并不能完全解決定積分的問題。2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)123

理論上任何可積函數(shù)都有原函數(shù)，可是有些形式上十分簡單的函數(shù)，其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示成有限的形式，對(duì)這類函數(shù)，牛頓－萊布尼茲公式無能為力。例如：2.1引言2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)124

有些并不復(fù)雜的函數(shù)雖然可以用初等函數(shù)表示成有限的形式，但表達(dá)式非常復(fù)雜，一般也不用牛頓－萊布尼茲公式求解：2.1引言2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)125

在物理上，經(jīng)常是從實(shí)驗(yàn)上獲取一系列的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，而沒有具體的被積函數(shù)解析表達(dá)式；或者分析引用別人文章圖表中的曲線，只有曲線的形狀而無函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于這類情況牛頓－萊布尼茲函數(shù)也無能為力。2.1引言2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)126

數(shù)值積分的思想:用插值的方法找到一個(gè)足夠精確的簡單函數(shù)P(x)(例如:代數(shù)多項(xiàng)式)代替原有積分f(x),就有:由于代數(shù)多項(xiàng)式有解析解,其結(jié)果可以近似代替原有積分的結(jié)果.2.1引言2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)127

積分分為定積分和不定積分兩種，我們這里只討論定積分，不定積分的計(jì)算可以作為變上限的定積分來計(jì)算考慮定積分它表示f(x)曲線下的面積2.1引言2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)1282.2梯形法和辛普森法2.2梯形法和辛普森方法

在微積分中，我們知道積分是求和的極限定義，這就是第一種計(jì)算積分的方法：梯形法，把積分區(qū)間[a,b]分成一些子區(qū)間[a=x0<x1<x2<...<xn=b],則積分可近似為：

2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)129在實(shí)際計(jì)算中，常采用等間距分法，即xi＋1-xi=h=(b-a)/n為一常數(shù)，公式可簡化為2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)130為節(jié)約工作量實(shí)際使用的計(jì)算公式為（中矩形法,左矩形法,右矩形法）2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)131上述方法還可以改進(jìn)，如果我們從n＝1開始計(jì)算，每次把區(qū)間增加一倍，通過比較連續(xù)兩次計(jì)算結(jié)果之差是否小于給定的誤差來結(jié)束計(jì)算->變步長積分2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)132例:求積分的值,誤差小于0.0012.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)133首先給出編寫程序的流程圖：1.確定區(qū)間寬度h2.計(jì)算各子區(qū)間的面積和I13.區(qū)間寬度h減小一倍4.計(jì)算各子區(qū)間的面積和I25.如果I1-I2的絕對(duì)值小于0.001->6

如果I1-I2的絕對(duì)值大于0.001->36.輸出I2的值2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)134下面給出Fortron編寫的變步長梯形法程序

I=0I1=0h=0.1dox=0,1,hx1=x+hI=I+h*(x*sin(x)+x1*sin(x1))/2enddo2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)135if(abs(i1-i).lt.0.001)goto20I1=II=0goto1020write(*,*)Iend2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)136

梯形方法實(shí)際上把每一個(gè)子區(qū)間近似為線性函數(shù)ax+b,然后計(jì)算積分值,再把結(jié)果加起來.,所以說梯形方法是具有線性代數(shù)精度的方法.下面介紹具有二次代數(shù)精度的方法:辛普森方法

2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)137

先考慮積分區(qū)間[a,b]分為兩個(gè)子區(qū)間,分點(diǎn)為(a,a+h,b+2h=b),h=(b-a)/2在區(qū)間上把被積函數(shù)用二次函數(shù)來近似,即:2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)138經(jīng)過簡單計(jì)算可以得到

這就是有名的辛普森公式,顯然它具有二次精度2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)139實(shí)際計(jì)算中先把區(qū)間[a,b]分為N個(gè)子區(qū)間,然后在每個(gè)子區(qū)間中用辛普森求積公式計(jì)算,再把結(jié)果加起來:2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)140上式可以化簡為辛普森是實(shí)際計(jì)算中常用的方法,它對(duì)于一般的有限區(qū)間積分都能給出較好的正確結(jié)果.(循環(huán)變量必須是整型數(shù))2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)141例:用辛普森方法求解積分,誤差小于0.0012.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)142I=0

I1=0h=0.1k=0dox=0,1,hk=k+12.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)143if(k.eq.0)thenaa=1if((k.mod.2).eq.1)thenaa=4if((k.mod.2).eq.0)thenaa=2if(k.eq.1/h)thenaa=1I=I+aa*h*x*sin(x)/3enddo

2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)144if(abs(I1-I).lt.0.001)goto20I1=II=0goto10write(*,*)Iend2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)145**分析討論**a.單次積分公式精度分析:2.2梯形法和辛普森法F(x)x4x3x2x1解析解6.442.6722梯形數(shù)值解168422辛普森數(shù)值解6.6742.6722

可見梯形公式具有1次代數(shù)精度,辛普森公式具有3次代數(shù)精度.更高階精度越高????2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)146單次等間距插值求積公式:牛頓-柯特斯公式一階:梯形公式二階:辛普森公式四階:再高階求積公式因?yàn)榉€(wěn)定性差,一般不再采用2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)147單次積分公式因?yàn)榉€(wěn)定性差和插值公式不宜求解,所以一般采用把積分區(qū)間分成若干小的區(qū)間,在每個(gè)區(qū)間中采用低階的牛頓-柯特斯公式這就是我們前面采用的方法:復(fù)化求積法->復(fù)化牛頓-柯特斯公式2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)148b.變步長分析:

變步長公式可以進(jìn)一步改進(jìn):如第一次計(jì)算的節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,步長加倍后可以不用再計(jì)算.2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)149單次梯形積分誤差可由積分中值定理給出復(fù)化梯形積分誤差公式:所以:2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)150龍貝格算法:逐次分半加速法由前面誤差估計(jì)式變形可以得到:可以用兩次計(jì)算結(jié)果的線性組合作為新的數(shù)值解2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)151c.其它分析取等值區(qū)間的缺點(diǎn)是對(duì)于在部分區(qū)間變化劇烈而在其他地方變化平緩的被積函數(shù)效率不高.該如何解決?????

計(jì)算定積分還有很多方法,不一一介紹.2.2梯形法和辛普森法2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)152

2.3反常積分的計(jì)算反常積分分為兩類.一類是積分區(qū)間有限,在積分區(qū)間內(nèi)被積函數(shù)有奇點(diǎn),另一類積分區(qū)間為無限,對(duì)于兩者兼而有之的積分,可以分為兩個(gè)或多個(gè)積分來處理.2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)153

(1)積分區(qū)間內(nèi)含有奇點(diǎn)的積分可去奇點(diǎn)例:sin(x)/x在x=0有可去積分([0,1]精確解0.9460831)但x->0時(shí),sin(x)/x=1-x*x/6+……

IF(abs(x).lt.1.0E-4)thenF=1.0-X*X/6.0ElseF=sin(x)/xEndif2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)154極限方法例:已知x0為奇點(diǎn)定義一個(gè)收斂于x0的序列:b>r1>r2>r3>……>rn其中rn=x0+2-n2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)155

積分可寫成如上形式,其中每個(gè)積分都為正常積分當(dāng)時(shí),終止計(jì)算2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)156消除奇點(diǎn)作變量替換x=t2,dx=2tdt,則有或把積分寫為:2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)157

(2)積分區(qū)間為無限的積分只討論形式為如下的積分因?yàn)?2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)158變量替換法例:令x=-ln(t),dx=-dt/t,則有如果g(t)/t在t=0的鄰域內(nèi)有界,則上式積分成為一個(gè)正常的積分,尤其在解決e-kx形式的積分效果最好2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)1592.3反常積分的計(jì)算常用的變換還有:2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)160極限法定義一個(gè)趨向于無窮大的序列0<r1<r2<……rn例rn=2n,積分可寫為下式2.3反常積分的計(jì)算2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)161

2.4高斯積分方法前面的積分公式(梯形公式和辛普森公式)的代數(shù)精度都較低,能否構(gòu)造一個(gè)高代數(shù)精度的公式?這就是高斯積分公式.

由于高斯積分公式的理論,較為復(fù)雜,所以只簡單介紹其思想,給出有關(guān)的計(jì)算公式.2.4高斯積分2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)162

矩形法????插值求積公式,任意給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn),至少有n次代數(shù)精度.例:辛普森方法有3個(gè)節(jié)點(diǎn),所以代數(shù)精度至少為2階,梯形法有兩個(gè)節(jié)點(diǎn),代數(shù)精度至少為1階.我們設(shè)想插值多項(xiàng)式有n+1個(gè)節(jié)點(diǎn),n+1個(gè)求積系數(shù),適當(dāng)選取這些系數(shù),就可以構(gòu)造有2n+1次代數(shù)精度的多項(xiàng)式—高斯積分2.4高斯積分2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)163例如有四個(gè)未知參數(shù),至少可以構(gòu)造出具有3次代數(shù)精度的插值公式.令上式對(duì)f(x)=1,x,x2,x3精確成立,可以得到四個(gè)方程:2.4高斯積分2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)164解方程得到:得到具有3次代數(shù)精度插值積分公式對(duì)比中矩形公式:2.4高斯積分2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)165例:(精確解)中矩形公式得到的解為I=2.414214高斯公式給出的結(jié)果為I=2.401848可見在計(jì)算量相同的情況下,高斯公式的代數(shù)精度要遠(yuǎn)高于矩形公式.2.4高斯積分2023/6/26計(jì)算物理基礎(chǔ)