2020年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)二次函數(shù)練習(xí)（含答案）

二次函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)練習(xí)

1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A、B(點A在點

B的左側(cè))，與y軸交于點C.

(1)求直線BC的表達式；

(2)垂直于y軸的直線1與拋物線交于點P(xi,%),Q(X2,%),與直線BC

交于點N(X3,y3);若X1VX2VX3,結(jié)合函數(shù)的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍.

2、關(guān)于x的一元二次方程X?-(k+3)x+2k+2=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一根小于1,求k的取值范圍.

3、如圖，拋物線y=ax，bx（aWO）交x軸正半軸于點A,直線y=2x經(jīng)過拋物線

的頂點M.已知該拋物線的對稱軸為直線x=2,交x軸于點B.

(1)求a,b的值.

（2）P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點，且在對稱軸的右側(cè)，連接OP,BP.設(shè)點

P的橫坐標(biāo)為m,△OBP的面積為S,記K=3.求K關(guān)于m的函數(shù)表達式及K的范

m

圍.

2

4、已知拋物線Y1=-x+mx+n,直線y2=kx+b,%的對稱軸與y?交于點A（-1,5）,

點A與％的頂點B的距離是4.

（1）求力的解析式；

（2）若y?隨著x的增大而增大，且r與y?都經(jīng)過x軸上的同一點，求y2的解析

式.

5、已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-(t-1)x+t-2=0.

(1)求證：對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根；

(2)當(dāng)t為何值時，方程的兩個根互為相反數(shù)？請說明理由.

6、如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于C點,

3

點B的坐標(biāo)為(3,0),拋物線與直線y=--x+3交于C、D兩點.連接BD、AD.

2

(1)求m的值.

(2)拋物線上有一點P,滿足SAABP=4SAABD,求點P的坐標(biāo).

X

7、已知關(guān)于x的一元二次方程/+（2m+l）x+m12-4=0

（1）當(dāng)m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？

（2）若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，求m的值.

8、學(xué)校拓展小組研制了繪圖智能機器人（如圖1）,順次輸入點P”B，Ps的坐

標(biāo)，機器人能根據(jù)圖2,繪制圖形.若圖形是線段，求出線段的長度；若圖形是

拋物線，求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式.請根據(jù)以下點的坐標(biāo)，求出線段的長度或拋

物線的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖2

(1)Pi(4,0),P2(0,0),P3(6,6)；

(2)Pi(0,0),P2(4,0),P3(6,6).

9、關(guān)于x的方程無2_(2左一l)x+左2一2左+3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求實數(shù)N的取值范圍；

(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為荀、蒞，存不存在這樣的實數(shù)A使得

聞-闖=若？若存在，求出這樣的次值；若不存在，說明理由.

10、已知關(guān)于x的一元二次方程x?+(2x+l)x+k?=0①有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)方程①的兩個實數(shù)根分別為％,X2,當(dāng)k=l時,求x；+x/的值.

11、已知關(guān)于x的一元二次方程X?-4x-m2=0

(1)求證：該方程有兩個不等的實根；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根小、X2滿足XI+2X2=9,求m的值.

12、已知關(guān)于x的一元二次方程(-(m+1)x+4(m2+l)=0有實數(shù)根.

(1)求m的值；

(2)先作y=x?-(m+1)x+1(m，l)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后將所作

圖形向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，寫出變化后圖象的解析

式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)直線y=2x+n(nNm)與變化后的圖象有公共點時，

求空-4n的最大值和最小值.

13、已知二次函數(shù)y=-2x?+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,3),B(-4,--)兩點.

162

(1)求b,c的值.

⑵二次函數(shù)y-蕃+bx+c的圖象與x軸是否有公共點,求公共點的坐標(biāo)；若

沒有，請說明情況.

14、已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(k-5)x+1-k=0,其中k為常數(shù).

(1)求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根；

(2)已知函數(shù)丫=/+。-5)*+1-1<的圖象不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍;

(3)若原方程的一個根大于3,另一個根小于3,求k的最大整數(shù)值.

22

15、已知關(guān)于x的方程x+(2k-l)x+k-1=0有兩個實數(shù)根Xi,x2.2*1?c?n?j?y

(1)求實數(shù)k的取值范圍；

(2)若x”X2滿足XS+X]=16+XIX2,求實數(shù)k的值.

2

16、已知關(guān)于x的一元二次方程x-6x+m+4=0有兩個實數(shù)根Xi,x2.

(1)求m的取值范圍；

(2)若XJX2滿足3xi=|x>+2,求m的值.

17、設(shè)a、b是任意兩個實數(shù)，用max{a,b}表示a、b兩數(shù)中較大者，例如：max{-

1,-1]=-1,max{l,2}=2,max{4,3}=4,參照上面的材料，解答下列問題：

(1)max{5,2}=,max{0,3}=；

(2)若max{3x+l,-x+l}=-x+1,求x的取值范圍；

(3)求函數(shù)y=x2-2x-4與y=-x+2的圖象的交點坐標(biāo)，函數(shù)y=x2-2x-4的圖

象如圖所示，請你在圖中作出函數(shù)y=-x+2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出max{-

x+2,x「2x-4}的最小值.

18、已知拋物線L：y=x?+x-6與x軸相交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，

并與y軸相交于點C.

(1)求A、B、C三點的坐標(biāo)，并求AABC的面積；

(2)將拋物線L向左或向右平移，得到拋物線17,且U與x軸相交于A'、B，

兩點(點A，在點B，的左側(cè))，并與y軸相交于點5,要使AA"，L和4

ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達式.

19、如圖，AAOB的頂點A、B分別在x軸、y軸上，ZBAO=45,且AAQB的

面積為8.

（1）直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)；

（2）過點A、B的拋物線G與x軸的另一個交點為點C.

①若AABC是以BC為腰的等腰三角形，求此時拋物線的解析式;

②將拋物線G向下平移4個單位后，恰好與直線AB只有一個交點N,求點N的

坐標(biāo).

20、在平面直角坐標(biāo)系中，將一點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)

互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（-3,5）與（5,-3）是一對“互

換點”.

（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上？為什么？

（2）M、N是一對“互換點”，若點M的坐標(biāo)為（m,n）,求直線MN的表達式

（用含m、n的代數(shù)式表示）；

（3）在拋物線y=x2+bx+c的圖象上有一對“互換點”A、B,其中點A在反比例

函數(shù)y=-：的圖象上，直線AB經(jīng)過點P,求此拋物線的表達式.

21、已知拋物線Ci：y=ax2-4ax-5(a>0).

（1）當(dāng)a=l時，求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)及對稱軸;

（2）①試說明無論a為何值，拋物線C一定經(jīng)過兩個定點，并求出這兩個定點

的坐標(biāo)；

②將拋物線C沿這兩個定點所在直線翻折，得到拋物線C2,直接寫出C2的表達

式；

（3）若（2）中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,求a的值.

22、已知函數(shù)y=_（2〃?_5）X+〃?-2的圖象與x軸有兩個公共點.

（1）求用的取值范圍，寫出當(dāng)機取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式；

（2）題（1）中求得的函數(shù)記為G

①當(dāng)〃WxW—1時，》的取值范圍是3〃，求〃的值；

②函數(shù)G：y=2（x-/z）2+左的圖象由函數(shù)G的圖象平移得到，其頂點P落在以原

點為圓心，半徑為岔的圓內(nèi)或圓上.設(shè)函數(shù)G的圖象頂點為求點P與點M距

離最大時函數(shù)C2的解析式.

23、已知關(guān)于x的一元二次方程X?-（m-3）x-m=0

（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;

(2)如果方程的兩實根為％、x2,且xj+xz?-*因=7,求m的值.

24、【探究函數(shù)y=x+當(dāng)?shù)膱D象與性質(zhì)】

X

(1)函數(shù)y=x+9的自變量x的取值范圍是；

X

(2)下列四個函數(shù)圖象中函數(shù)y=x+&的圖象大致是

X

(3)對于函數(shù)y=x+&,求當(dāng)x>0時，y的取值范圍.

x

請將下列的求解過程補充完整.

解：Vx>0

22

/.y=x+-=(^/x)+)=(Vx~2+

v-信)220

7x

.

［拓展運用］

2

(4)若函數(shù)y=x"-5x+9,則丫的取值范圍

X

25、已知二次函數(shù)y=-2x?+bx+c圖象的頂點坐標(biāo)為(3,8),該二次函數(shù)圖象

的對稱軸與x軸的交點為A,M是這個二次函數(shù)圖象上的點，0是原點.

(1)不等式b+2c+8N0是否成立？請說明理由；

(2)設(shè)S是△AMO的面積，求滿足S=9的所有點M的坐標(biāo).

26、關(guān)于x的方程2x?-5xsinA+2=0有兩個相等的實數(shù)根，其中NA是銳角三角

形ABC的一個內(nèi)角.

(1)求sinA的值；

(2)若關(guān)于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的兩個根恰好是AABC的兩邊長，求

△ABC的周長.

27、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yk(x+a)(x-a-1),其中aWO.

(1)若函數(shù)弘的圖象經(jīng)過點(1,-2),求函數(shù)r的表達式；

(2)若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與力的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a,b

滿足的關(guān)系式；

(3)已知點P(X。，m)和Q(1,n)在函數(shù)0的圖象上，若m<n,求x()的取值

范圍.

二次函數(shù)基礎(chǔ)過關(guān)練習(xí)

1、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點A、B(點A在點

B的左側(cè))，與y軸交于點C.

(1)求直線BC的表達式；

(2)垂直于y軸的直線1與拋物線交于點P(xi,%),Q(X2,%),與直線BC

交于點N(x3,y3),若X1VX2VX3,結(jié)合函數(shù)的圖象，求X1+X2+X3的取值范圍.

【解答】解：(1)由y=x?-4x+3得到：y=(x-3)(x-1),C(0,3).

所以A(1,0),B(3,0),

設(shè)直線BC的表達式為：y=kx+b(kWO),

則(b=3,解得件-1,

13k+b=0Ib=3

所以直線BC的表達式為y=-x+3；

(2)由y=x2-4x+3得到：y=(x-2)2-1,

所以拋物線尸x?-4x+3的對稱軸是x=2,頂點坐標(biāo)是(2,-1).

Vyi=y2,

??Xi+X2=4.

令y=T,y=-x+3,x=4.

Vxi<x2<x3,

3<X3<4,即7VX1+X2+X3V8.

2、關(guān)于x的一元二次方程x?-(k+3)x+2k+2=0.

(1)求證：方程總有兩個實數(shù)根；

(2)若方程有一根小于1,求k的取值范圍.

【解答】(1)證明：..,在方程x2-(k+3)x+2k+2=0中，△=[-(k+3)]2-4

XIX(2k+2)=k2-2k+l=(k-1)2^0,

???方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：Vx2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,

Xi=2,x2=k+l.

：方程有一根小于1,

Ak+Kl,解得：k<0,

Ak的取值范圍為kVO.

3、如圖，拋物線y=ax，bx(aWO)交x軸正半軸于點A,直線y=2x經(jīng)過拋物線

的頂點M.已知該拋物線的對稱軸為直線x=2,交x軸于點B.

(1)求a,b的值.

(2)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一點，且在對稱軸的右側(cè)，連接OP,BP.設(shè)點

P的橫坐標(biāo)為m,△OBP的面積為S,記K=§.求K關(guān)于m的函數(shù)表達式及K的范

m

圍.

【解答】解：(1)將x=2代入y=2x,得：y=4,

...點M(2,4),

--=2

由題意，得:2a

4a+2匕=4

，"=T.

'\b=4'

(2)如圖,過點P作PHJ_x軸于點H,

?.?點P的橫坐標(biāo)為m,拋物線的解析式為丫=-(+4x,

；.PH=-m2+4m,

VB(2,0)，

；.OB=2,

.?.S」OB?PH

2

=ix2X(-mz+4m)

2

=-m2+4m,

.*.K=-=-m+4,

m

由題意得A(4,0),

VM(2,4)，

.?.2<m<4,

VK隨著m的增大而減小，

.*.0<K<2.

4、已知拋物線Yi=-x2+mx+n,直線y2=kx+b,y］的對稱軸與y2父于點A(T，5)

AA與門的頂點B的距離是4.

(1)求s的解析式;

(2)若y2隨著x的增大而增大，且％與yz都經(jīng)過x軸上的同一點，求y2的解析

式.

【解答】解：(1),拋物線力=-x'+mx+n,直線y2=kx+b,yi的對稱軸與丫2交于

點A(-l,5),點A與yi的頂點B的距離是4.

AB(-1,1)或(-1,9),

2

?*--mX：彳、,二-L1rl=1或9,解得m=-2,n=0或8,

ZX"U4X(-1)

的解析式為Yi=-x,-2x或y尸-x2-2x+8；

(2)當(dāng)％的解析式為yi=-X?-2x時，拋物線與x軸得交點為頂點(-1,0),

不合題意；

當(dāng)yi=-X2+2X+8時，解-x2+2x+8=0得x=-4或2,

??,y?隨著x的增大而增大，且過點A(-1,5),

?'?yi與丫2都經(jīng)過x軸上的同一點(-4,0),

.?.泊x+緣

33

5、已知關(guān)于x的一元二次方程：x2-(t-1)x+t-2=0.

(1)求證：對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根；

(2)當(dāng)t為何值時，方程的兩個根互為相反數(shù)？請說明理由.

【解答】(1)證明：在方程X?-(t-1)x+t-2=0中，△=[-(t-1)]2-4

XIX(t-2)=t2-6t+9=(t-3)2三0,

???對于任意實數(shù)t,方程都有實數(shù)根;

(2)解：設(shè)方程的兩根分別為m、n,

.?,方程的兩個根互為相反數(shù)，.*.m+n=t-1=0,解得：t=l.

???當(dāng)t=l時，方程的兩個根互為相反數(shù).

6、如圖，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于點A、B兩點，與y軸交于C點,

3

點B的坐標(biāo)為(3,0),拋物線與直線y=--x+3交于C、D兩點.連接BD、AD.

2

(1)求m的值.

(2)拋物線上有一點P,滿足SAABP=4SAABD,求點P的坐標(biāo).

【解答】解：(1)..?拋物線y=-x2+mx+3過(3,0),

0=-9+3m+39

?\m=2

y=-x2+2x+3

(2)由

3,Q

3=-尹+3

1,,19

A-ABXyP=4X-ABX-,

224

?**|yp|=9,yp=±9,

當(dāng)y=9時,X12+2X+3=9,無實數(shù)解,

2

當(dāng)y=-9時，-X+2X+3=-9,X1-1+V13,x2=l-V13,

：.P(1+^13,-9)或-9).

7、已知關(guān)于x的一元二次方程x?+(2m+l)x+m2-4=0

(1)當(dāng)m為何值時，方程有兩個不相等的實數(shù)根？

(2)若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，求m的值.

【解答】解：(1).??方程必+(2m+l)x+m?-4=0有兩個不相等的實數(shù)根，

...△=(2m+l)2-4(m2-4)=4m+17>0,

解得：m>-普.

當(dāng)m>-不時，方程有兩個不相等的實數(shù)根.

(2)設(shè)方程的兩根分別為a、b,

根據(jù)題意得：a+b=-2m-1,ab=m2-4.

???2a、2b為邊長為5的菱形的兩條對角線的長，

a2+b2=(a+b)2-2ab=?-2(m2-4)=2m2+4m+9=52=25,

解得：m=-4或m=2.

Va>0,b>0,

a+b=-2m-l>0,

.*.m=-4.

若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，則m的值為-4.

8、學(xué)校拓展小組研制了繪圖智能機器人(如圖1),順次輸入點P”B，Ps的坐

標(biāo)，機器人能根據(jù)圖2,繪制圖形.若圖形是線段，求出線段的長度；若圖形是

拋物線，求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式.請根據(jù)以下點的坐標(biāo)，求出線段的長度或拋

物線的函數(shù)關(guān)系式.

圖1圖2

(1)Pi(4,0),P2(0,0),P3(6,6)；

(2)Pi(0,0),P2(4,0),P3(6,6).

【解答】解：(1)VP1(4,0),P2(0,0),4-0=4>0,

???繪制線段PR,PE=4；

(2)(0,0),0-0=0,

???繪制拋物線，

設(shè)y=ax(x-4),把(6,6)代入得：6=12a,解得：a=|,

...y=-1x(Zx-4八)=-1x:：2-2x.

22

9、關(guān)于x的方程無2_Q左一1"+左2一2左+3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

（1）求實數(shù)N的取值范圍；

（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為無、蒞，存不存在這樣的實數(shù)使得

㈤-⑸=石？若存在，求出這樣的/值；若不存在，說明理由.

【解答】（1）?方程無2一（2人-1"+公—2左+3=0有兩個不相等的實數(shù)根.

VA>0

(2"1)2_4僅2_2k+3)>0

4左—n〉o

,11

k>——

4

⑵方程的兩個實數(shù)根分別為不、涇，利用根與系數(shù)關(guān)系

再+兀2=2左一1>0

=左之一2k+3=(左一1)+2>0

及、%都是正數(shù)

???聞-聞=百

Xj-x2=V5

2

(%j-x2)=5

2

(x；+x2)-4X[X2=5

(2^-l)2-4(F-2Zr+3)=5

4H=5

k=4

所以存在且

10、已知關(guān)于x的一元二次方程x?+(2x+l)x+kJO①有兩個不相等的實數(shù)根.

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)方程①的兩個實數(shù)根分別為X1,X2,當(dāng)k=l時,求x「+x『的值.

【解答】解：(1)???方程有兩個不相等的實數(shù)根，

△=(2k+l)2-4k2=4k+l>0>解得：k>-■；

(2)當(dāng)k=l時，方程為x2+3x+l=0,

*.*Xi+x2=-3,XiX2=l,

222

XI+X2=(Xi+x2)-2XIX2=9-2=7.

n、已知關(guān)于x的一元二次方程x?-4x-m2=0

(1)求證：該方程有兩個不等的實根；

(2)若該方程的兩個實數(shù)根Xi、X?滿足XI+2X2=9,求m的值.

【解答】(1)證明：1在方程x2-4x-m2=0中,△=(-4)2-4XlX(-m2)

=16+4m2>0,

???該方程有兩個不等的實根；

(2)解：?.?該方程的兩個實數(shù)根分別為刈、xz,

.*.X1+X2=4(D，X1*X2=-m?②.

?；XI+2X2=9③，

聯(lián)立①③解之，得：XF-LX2=5,

2

.*.X1*X2=-5=-m,解得：m=±v5.

12、已知關(guān)于x的一元二次方程必-(m+1)x+|(m2+l)=0有實數(shù)根.

(1)求m的值；

(2)先作y=x?-(m+1)x+|(m2+l)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形，然后將所作

圖形向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，寫出變化后圖象的解析

式；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)直線y=2x+n(nNm)與變化后的圖象有公共點時，

求I?-4n的最大值和最小值.

【解答】解：(1)對于一元二次方程必-(m+1)x+1(m2+l)=0,

△=(m+1)2-2(m2+l)=-m2+2m-1=-(m-1)2,

???方程有實數(shù)根，

-(m-1)2>0,

??m=1.

(2)由(1)可知y=x2-2x+l=(x-1).

圖象如圖所示：

平移后的解析式為y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.

fy=2x+n。

(3)由(2消去y得到x2+6x+n+2=0,

y=-x-4x-2

由題意△NO,

.\36-4n-820,

，nW7,

m=l,

...lWnW7,

令y'=n2-4n=(n-2)2-4,

??.n=2時，yz的值最小，最小值為-4,

n=7時，y’的值最大，最大值為21,

...n2-4n的最大值為21,最小值為-4.

13、已知二次函數(shù)y=-3x'+bx+c的圖象經(jīng)過A(0,3),B(-4,--)兩點.

162

(1)求b,c的值.

(2)二次函數(shù)y'-^Y+bx+c的圖象與x軸是否有公共點，求公共點的坐標(biāo)；若

沒有，請說明情況.

【解答】解：(1)把A(0,3),B(-4,-：)分別代入y=-?x，bx+c,得

億，=3X16—4b+c=—2,解得『/一飛2

I162lC=3

(2)由⑴可得，該拋物線解析式為：丫=-白2+3+3.

168

△=(-)2-4X(--)X3=—>0,

81664

所以二次函數(shù)y=-^x2+bx+c的圖象與x軸有公共點.

16

,?--X2+-X+3=0的解為：XF-2,X=8

1682

??.公共點的坐標(biāo)是(-2,0)或(8,0).

14、已知關(guān)于x的一元二次方程/+(k-5)x+1-k=0,其中k為常數(shù).

(1)求證：無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根；

(2)已知函數(shù)丫=乂2+。-5)*+1-1<的圖象不經(jīng)過第三象限，求k的取值范圍;

(3)若原方程的一個根大于3,另一個根小于3,求k的最大整數(shù)值.

【解答】(1)證明：：△=(k-5)2-4(1-k)=k?-6k+21=(k-3)2+12>0,

???無論k為何值，方程總有兩個不相等實數(shù)根；

(2)解：???二次函數(shù)y=x?+(k-5)x+1-k的圖象不經(jīng)過第三象限，

???二次項系數(shù)a=l,

拋物線開口方向向上，

：△=(k-3)2+12>0,

???拋物線與x軸有兩個交點，

設(shè)拋物線與x軸的交點的橫坐標(biāo)分別為X”X2，

.,.XI+X2=5-k>0,Xi*x2=l-k>0,解得k<l,

即k的取值范圍是k<l；

(3)解：設(shè)方程的兩個根分別是％,x2,

根據(jù)題意，得(Xi-3)(x2-3)<0,

即Xi*x2-3(Xi+x2)+9<0,

e

又XI+X2=5-k,Xix2=l-k,

代入得，1-k-3(5-k)+9V0,解得

則k的最大整數(shù)值為2.

22

15、已知關(guān)于x的方程x+(2k-l)x+k-1=0有兩個實數(shù)根Xi,x2.2*1*c*n*j*y

(1)求實數(shù)k的取值范圍；

(2)若Xi,X2滿足X『+X2、16+XIX2,求實數(shù)k的值.

【解答】解：(1)???關(guān)于x的方程乂2+(2卜1)乂+1<2-1=0有兩個實數(shù)根小，x2,

(2k-1)2-4(k2-1)=-妹+5N0,解得：kW反，

4

???實數(shù)k的取值范圍為kW5.

4

(2)???關(guān)于x的方程Y+(2k-1)x+k?-1=0有兩個實數(shù)根如xz，

??Xi+x2-112k,Xi*X2-k-1.

222,,

XI+X2=(Xi+x2)-2XIX2=16+XIX2,

/.(1-2k)2-2X(k2-1)=16+(k2-1),IPk2-4k-12=0,

解得：卜=-2或1<=6(不符合題意，舍去).

實數(shù)k的值為-2.

16、已知關(guān)于x的一元二次方程x?-6x+m+4=0有兩個實數(shù)根％,x2.

(1)求m的取值范圍；

(2)若xjxz滿足3XI=|X21+2,求m的值.

【解答】解：(1)關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有兩個實數(shù)根Xi,X2,

(-6)2-4(m+4)=20-4mN0,解得：mW5,

???m的取值范圍為mW5.

(2),關(guān)于x的一元二次方程x?-6x+m+4=0有兩個實數(shù)根Xi,x2,

.*.XI+X2=6@,Xi*x2=m+4(2).

,.,3X1=x21+2,

當(dāng)XzNO時，有3xi=Xz+2③，

聯(lián)立①③解得：xi=2,X2=4,

...8=m+4,m=4；

當(dāng)X2VO時,有3x「-x/2④,

聯(lián)立①④解得：x1=-2,X2=8(不合題意，舍去).

???符合條件的m的值為4.

17、設(shè)a、b是任意兩個實數(shù)，用max{a,b}表示a、b兩數(shù)中較大者，例如：max{-

1,-1]=-1,max{l,2}=2,max{4,3}=4,參照上面的材料，解答下列問題：

(1)max{5,2}=,max{0,3)=；

(2)若max{3x+l,-x+l}=-x+1,求x的取值范圍；

(3)求函數(shù)y=x,-2x-4與y=-x+2的圖象的交點坐標(biāo)，函數(shù)y=x2-2x-4的圖

象如圖所示，請你在圖中作出函數(shù)y=-x+2的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出max{-

x+2,x?-2x-4}的最小值.

』1一

X

4-3-2-'1卬2P456

-4

【解答】解：（1）max{5,2}=5,max{0,3}=3.

故答案為：5；3.

（2）Vmax{3x+l,-x+l}=-x+1,

?,.3x+lW-x+1,解得：xWO.

（3）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，

0Y“二一X-3

尸X-2X-4,解得：12

尸-x+2〔了1=4

y2=-l

二交點坐標(biāo)為（-2,4）和（3,-1）.

畫出直線y=-x+2,如圖所示，

觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)x=3時，max{-x+2,x?-2x-4}取最小值-1.

18、已知拋物線L：y=x，x-6與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），

并與y軸相交于點C.

（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)，并求AABC的面積；

（2）將拋物線L向左或向右平移，得到拋物線「，且『與x軸相交于A'、B，

兩點（點A，在點的左側(cè)），并與y軸相交于點L,要使AA"，）和4

ABC的面積相等，求所有滿足條件的拋物線的函數(shù)表達式.

2

【解答】解：（1）當(dāng)y=0時，x+x-6=0,解得XL-3,x2=2,

AA（-3,0）,B（2,0）,

當(dāng)x=0時，y=x2+x-6=-6,

AC(0,-6),

,△ABC的面積=1?AB?OC=：X(2+3)X6=15；

(2)?.?拋物線L向左或向右平移，得到拋物線一，

：.k'B'=AB=5,

VAA,B,C和AABC的面積相等，

/.0C/=0C=6,即C'(0,-6),

設(shè)拋物線廠的解析式為y=x?+bx-6,

設(shè)A'(m,0)、B'(n,0),則m、n為方程x，bx-6=0的兩根,

m+n=-b,mn=-6,

|n-m|=5,

(n-m)J25,

(m+n)2-4mn=25,

Ab2-4X(-6)=25,解得b=l或-1,

，拋物線L'的解析式為y=x2+x-6或y=x2-x-6.

19、如圖，AAOB的頂點A、B分別在x軸、y軸上，ZBAO=45,且AAOB的

面積為8.

(1)直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)；

(2)過點A、B的拋物線G與x軸的另一個交點為點C.

①若AABC是以BC為腰的等腰三角形，求此時拋物線的解析式；

②將拋物線G向下平移4個單位后，恰好與直線AB只有一個交點N,求點N的

坐標(biāo).

y

B

【解答】解：（1）A（4,0）B（0,4）

（2）①設(shè)拋物線的解析式為y=ax?+左

由題意知C（-4,0）

把A（4,0）和B（0,4）帶入y=/+左得=左，解得。

4=〃x0+kI

拋物線的解析式為丁=-工/+4

4

②拋物線y=-工犬+4向下平移4個單位后,解析式變?yōu)閥=--x2

4'4

設(shè)直線AB表達式為y=kx+b

Q=4"+hk=-1

把A（4,0）B（0,4）帶入表達式得,解得

4=b[b=4

直線AB表達式為y=-x+4

由拋物線和直線AB表達式組成方程組>=一公好+4,解得尸=4

y=—x+4b=°

點N的坐標(biāo)（4,0）

20、在平面直角坐標(biāo)系中，將一點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)

互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（-3,5）與（5,-3）是一對“互

換點”.

（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上？為什么？

（2）M、N是一對“互換點”，若點M的坐標(biāo)為（m,n）,求直線MN的表達式

（用含m、n的代數(shù)式表示）；

（3）在拋物線y=x2+bx+c的圖象上有一對“互換點”A、B,其中點A在反比例

函數(shù)y=-g的圖象上，直線AB經(jīng)過點P,求此拋物線的表達式.

【解答】解：（1）不一定，

設(shè)這一對“互換點”的坐標(biāo)為（a,b）和（b,a）.

①當(dāng)ab=O時，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，

②當(dāng)abWO時，由b空可得a*,即(a,b)和(b,a)都在反比例函數(shù)打四(k

abx

W0)的圖象上；

(2)由M(m,n)得N(n,m),設(shè)直線MN的表達式為y=cx+d(cWO).

則有［mc+f=n解得￡=-l,

lnc+d=m{d=irri-n

直線MN的表達式為y=-x+m+n；

(3)設(shè)點A(p,q),則

D

?直線AB經(jīng)過點P(1,1),由(2)得卜/p+q,

.?P+Q=1,

p-^-=l，解并檢驗得：p=2或p=-1,

D

q=-1或q=2,

這一對“互換點”是(2,-1)和(-1,2),

將這一對“互換點”代入y=x?+bx+c得，

??.f-b+c=2解得「=-2,

I4+2b+c=-l1c=-l

???此拋物線的表達式為y=x2-2x-1.

21、已知拋物線Ci：y=ax2-4ax-5(a>0).

(1)當(dāng)a=l時，求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)及對稱軸；

(2)①試說明無論a為何值，拋物線C一定經(jīng)過兩個定點，并求出這兩個定點

的坐標(biāo)；

②將拋物線G沿這兩個定點所在直線翻折，得到拋物線Cz，直接寫出C2的表達

式；

(3)若(2)中拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,求a的值.

【解答】解：(1)當(dāng)a=l時，拋物線解析式為y=x2-4x-5=(x-2)2-9,

???對稱軸為y=2；

當(dāng)y=0時，x-2=3或-3,即x=-l或5；

??.拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-1,0)或(5,0)；

(2)①拋物線G解析式為：y=ax2-4ax-5,

整理得：y=ax(x-4)-5；

當(dāng)ax(x-4)=0時，y恒定為-5；

???拋物線G一定經(jīng)過兩個定點(0,-5),(4,-5)；

②這兩個點連線為y=-5；

將拋物線C沿y=-5翻折，得到拋物線C?,開口方向變了，但是對稱軸沒變;

.,?拋物線C2解析式為：y=-ax2+4ax-5,

(3)拋物線C2的頂點到x軸的距離為2,

則x=2時，y=2或者-2；

7

當(dāng)y=2時，2=-4a+8a-5,解得，a=-；

當(dāng)y=-2時，-2=-4a+8a-5,解得，a=-；

._7Y3

?追石或不

22、已知函數(shù)丁=如2-（2〃7一5）x+〃7-2的圖象與x軸有兩個公共點.

（1）求機的取值范圍，寫出當(dāng)機取范圍內(nèi)最大整數(shù)時函數(shù)的解析式；

（2）題（1）中求得的函數(shù)記為G

①當(dāng)1時，y的取值范圍是3〃，求〃的值；

②函數(shù)C?：y=2（x-"）2+上的圖象由函數(shù)3的圖象平移得到，其頂點P落在以原

點為圓心，半徑為岔的圓內(nèi)或圓上.設(shè)函數(shù)3的圖象頂點為M,求點P與點M距

離最大時函數(shù)C2的解析式.

0,95

解：（1）由題意可得：\r-.2解得：m<一，且加w0,

［一（2加—5）丁—4"z（m-2）>0.12

當(dāng)ni=2時，函數(shù)解析式為：y=2x2+x.

（2）函數(shù)丁=2爐+》圖象開口向上，對稱軸為》=一!

4

.?.當(dāng)X<—」時，y隨x的增大而減小.

4-

?當(dāng)〃〈龍W—1時，y的取值范圍是l<y4—3”，

/.2〃2+〃=—3n.

???幾=—2或〃=0（舍去）.

n=-2.

（3）:y=2x?+x=+—",

圖象頂點”的坐標(biāo)為由圖形可知當(dāng)P為射線MO與圓的交點時,

距離最大.

???點P在直線0M上，由0(0,0),"(-士-2)可求得直線解析式為：y=-x,,

482

設(shè)P(a,b),則有a=2b,根據(jù)勾股定理可得「。2=(232+尸

求得a=2,6=1?

?,.PM最大時的函數(shù)解析式為y=2(x-2y+l.

23、已知關(guān)于x的一元二次方程(-(m-3)x-m=0

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)如果方程的兩實根為X1、X2，且xr+x/-*因=7,求m的值.

【解答】(1)證明：：x2-(m-3)x-m=0,

-(m-3)]-_4X1X(-m)=nr-2m+9=(m-1)"+8>0>

方程有兩個不相等的實數(shù)根；

2

(2)*.*x-(m-3)x-m=0,方程的兩實根為％、x2,且xj+x??-*兇=7,

?*lX[+*2)-x[x2=7，

(m-3)2-3X(-m)=7,

解得，nh=l,m2=2,即m的值是1或2.

24、【探究函數(shù)y=x+&的圖象與性質(zhì)】

X

(1)函數(shù)y=x+2的自變量x的取值范圍是；

X

(2)下列四個函數(shù)圖象中函數(shù)y=x+9的圖象大致是；

（3）對于函數(shù)y=x+9>求當(dāng)x>0時，y的取值范圍.

x

請將下列的求解過程補充完整.

解：Vx>0

y=x+y=（A/X）2+?=（Vx_2-|_

（4-品）2》0

.,.y》.

［拓展運用］

2

（4）若函數(shù)y=x-5x+9,則y的取值范圍

X

【解答】解：（1）函數(shù)y=x+當(dāng)?shù)淖宰兞縳的取值范圍是xWO；

X

（2）函數(shù)y=x+&的圖象大致是C；

X

（3）解：Vx>0

?，?y=x+g=（Vx）2+2=（4-/"）?+4

:"舟，2’0

.??y24?

2

(4)y=x-5x+9=x+l_5_(4)2+2.5=(4+2)2+13

xXvxVx

,**<Vx-/)220,

.?.y213.

故答案為：xWO,C,4,4,y213,

25、已知二次函數(shù)y=-2x?+bx+c圖象的頂點坐標(biāo)為(3,8),該二次函數(shù)圖象

的對稱軸與x軸的交點為A,M是這個二次函數(shù)圖象上的點，0是原點.

(1)不等式b+2c+8N0是否成立？請說明理由；

(2)設(shè)S是△AMO的面積，求滿足S=9的所有點M的坐標(biāo).

【解答】解：(1)由題意拋物線的頂點坐標(biāo)(3,8),

二拋物線的解析式為y=-2(x-3)2+8=-2x2+12x-10,

.*.b=12,c=-10,

b+2c+8=12-20+8=0,

.?.不等式b+2c+820成立.

(2)設(shè)M(m,n),由題意|n|=9,

n=±6,

①當(dāng)n=6時，6=-2m2+12m-10,解得m=2或4,

②當(dāng)n=-6時，-6=-2m2+12m-10,解得m=3±、R,

???滿足條件的點M的坐標(biāo)為(2,6)或(4,6)或(3+折，-6)或(3-V7-

-6).

26、關(guān)于x的方程2x2-5xsinA+2=0有兩個相等的實數(shù)根，其中NA是銳角三角

形ABC的一個內(nèi)角.

(1)求sinA的值；

(2)若關(guān)于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的兩個根恰好是AABC的兩邊長，求

△ABC的周長.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得△=25sir?A-16=0,

,sin2A嗤

sinA=±g或I，

VZA為銳角，

sinA=-；

5

(2)由題意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個實數(shù)根,則△N0,

/.100-4(k2-4k+29)20,

-(k-2),NO,

I.(k-2)'WO,

又?:(k-2)220,

，k=2,

把k=2代入方程，得y2-10y+25=0,解得y尸y?=5,

???△ABC是等腰三角形，且腰長為5.

分兩種情況：

當(dāng)NA是頂角時：如圖，過點B作BDLAC于點D,在Rt^ABD中，AB=AC=5

sinA=-4,

AAD=3,BD=4.\DC=2,

.*.BC=2V5.

AABC的周長為10+2西；

當(dāng)NA是底角時：如圖，過點B作BDLAC于點D,在Rt^ABD中，AB=5,

sinA=-4,

，AD=DC=3,

.\AC=6.

AABC的周長為16,

綜合以上討論可知：AABC的周長為10+2遙或16.

B

27、在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)yk(x+a)(x-a-1),其中aWO.

(1)若函數(shù)》的圖象經(jīng)過點(1,-2),求函數(shù)1的表達式；

(2)若一次函數(shù)y2=ax+b的圖象與弘的圖象經(jīng)過x軸上同一點，探究實數(shù)a,b

滿足的關(guān)系式；

(3)已知點P(xo，m)和Q(1,n)在函數(shù)1的圖象上，若m<n,求x()的取值

范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)弘的圖象經(jīng)過點(1,-2),得

(a+1)(-a)=-2,解得a=-2,a=l,

函數(shù)yi的表達式丫=(x-2)(x+2-l),化簡，得y=x?-x-2；

函數(shù)yi的表達式丫=(x+1)(x-2)化簡，得y=x,-x-2,

綜上所述：函數(shù)yi的表達式y(tǒng)=x2-x-2；

(2)當(dāng)y=0時x?-x-2=0,解得Xi=-1,x2=2,

》的圖象與x軸的交點是(-1,0)(2,0),

當(dāng)y2=ax+b經(jīng)過(T,0)時，-a+b=O,即a=b；

當(dāng)yz=ax+b經(jīng)過(2,0)時，2a+b=0,即b=-2a；

(3)當(dāng)P在對稱軸的左側(cè)時，y隨x的增大而增大,

(1,n)與(0,n)關(guān)于對稱軸對稱，

由m<n,得x0<0；

當(dāng)時P在對稱軸的右側(cè)時，y隨x的增大而減小，

由m<n,得x0>l,

綜上所述：m<n,求X。的取值范圍Xo<O或Xo>l.

二次函數(shù)培優(yōu)練習(xí)

1、已知拋物線y=ax，bx+c過點A(0,2).

(1)若點(-五,0)也在該拋物線上，求a,b滿足的關(guān)系式；

(2)若該拋物線上任意不同兩點M(xi,yi),N(X2,y2)都滿足：當(dāng)Xi<X2<0

時，(xi-x2)(yi-y2)>0；當(dāng)0<Xi<X2時，(xi-x2)(yi-y2)<0.以原

點0為心，0A為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B,C,且AABC有一個內(nèi)角

為60。.

①求拋物線的解析式；

②若點P與點0關(guān)于點A對稱，且0,M,N三點共線，求證：PA平分NMPN.

2、如圖，已知二次函數(shù)y=ax?+2x+c的圖象經(jīng)過點C(0,3),與x軸分別交于

點A,點B(3,0).點P是直線BC上方的拋物線上一動點.

(1)求二次函數(shù)y=ax，2x+c的表達式；

(2)連接P0,PC,并把△P0C沿y軸翻折，得到四邊形POP'C.若四邊形POP'

C為菱形，請求出此時點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點P運動到什么位置時，四邊形ACPB的面積最大？求出此時P點的坐標(biāo)

和四邊形ACPB的最大面積.

3、已知拋物線y=x2+mx-2m-4(m>0).

(1)證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

(2)設(shè)該拋物線與x軸的兩個交點分別為A,B(點A在點B的右側(cè))，與y軸

交于點C,A,B,C三點都在。P上.

①試判斷：不論m取任何正數(shù)，OP是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定

點的坐標(biāo)；若不是，說明理由；

②若點C關(guān)于直線x=-￡的對稱點為點E,點D(0,1),連接BE,BD,DE,△

BDE的周長記為1,(DP的半徑記為r,求曲勺值.

T

4、如圖，已知頂點為C(0,-3)的拋物線y=ax2+b(aWO)與x軸交于A,B

兩點，直線y=x+m過頂點C和點B.

(1)求m的值；

(2)求函數(shù)yuax'+b(aWO)的解析式；

(3)拋物線上是否存在點M,使得NMCB=15°?若存在，求出點M的坐標(biāo)；若

不存在，請說明理由.

5、如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A(-1,0),B(3,0)

兩點，與y軸相交于點C(0,-3).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若P是第四象限內(nèi)這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH±x軸于點H,與

BC交于點M,連接PC.

①求線段PM的最大值；

②當(dāng)4PCM是以PM為一腰的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo).

6、如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點，拋物線y=-x?+bx+c

與直線y=c分別交y軸的正半軸于點C和第一象限的點P,連接PB,得APCB注

△B0A(0為坐標(biāo)原點).若拋物線與x軸正半軸交點為點F,設(shè)M是點C,F間

拋物線上的一點(包括端點)，其橫坐標(biāo)為m.

(1)直接寫出點P的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

(2)當(dāng)m為何值時，AMAB面積S取得最小值和最大值？請說明理由；

(3)求滿足NMP0=NP0A的點M的坐標(biāo).

備用圖

7、如圖，已知拋物線y=ax?+bx+C(aWO)的對稱軸為直線x=-l,且拋物線與x

軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中A(1,0),C(0,3).

(1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點，求直線BC和拋物成的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距

離之和最小，求出點M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點，求使4BPC為直角三角形

的點P的坐標(biāo).

8、如圖，已知拋物線經(jīng)過點A(-1,0),B(4,0),C(0,2)三點，點D

與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0),過

點P做x軸的垂線1交拋物線于點Q,交直線于點M.

(1)求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達式；

(2)已知點F(0,1),當(dāng)點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF

是平行四邊形？

(3)點P在線段AB運動過程中，是否存在點