數(shù)學學案：課堂導學用數(shù)學歸納法證明不等式

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一，用放縮法證明不等式【例1】證明1+++…+<2-(n≥2）。證明：當n=2時，左邊=1+=，右邊=.左<右，成立。②假設(shè)n=k時成立,即1+++…+〈2-.當n=k+1時,1+++…++〈2—+<2—+=2—（1-）<2-。溫馨提示觀察所證式子與已知條件，可以發(fā)現(xiàn)采用此法是較簡單的.二,證明數(shù)列不等式【例2】設(shè)數(shù)列｛an}滿足an+1=an2-nan+1,(1)當a1=2時，求a2，a3，a4,并猜想an的通項公式；（2）當a1≥3時,證明對所有n≥1有an≥n+2.解:(1）由a1=2得a2=a12—a1+1=3；由a2=3得a3=a22-2a2由a3=4得a4=a32—3a3由此猜想an的一個通項公式為an=n+1（n≥1)。(2）當n=1時,a1≥3=1+2，不等式成立。假設(shè)當n=k時不等式成立,即ak≥k+2，那么ak+1=ak（ak-k)+1≥(k+2)（k+2-k)+1≥k+3?！鄋=k+1時,ak+1≥（k+1）+2.∴當n≥1時，an≥n+2.溫馨提示從已知條件入手，尋求它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而找出證明的途徑，充分利用不等式的性質(zhì)進行放縮證明。三，運用柯西不等式證明【例3】+≥.證明：［+］2=（x1-x3）2+(y1-y3)2+（x2—x3)2+（y2—y3)2+2·≥(x1-x3）2+(y1—y3)2+（x2-x3）2+(y2—y3）2+2=(x1-x3)2+（x2—x3)2+(y1—y3）2+(y2-y3）2+2|(x1—x3）（x2-x3)+（y1-y3）（y2—y3)｜≥(x1—x3)2+（x2-x3)2+（y1—y3）2+（y2-y3)2+2（x1-x3）(x3—x2)+2(y1—y3）（y3—y2)=（x1—x3+x3-x2）2+（y1—y3+y3-y2）2=(x1-x2)2+（y1—y2）2?！嘣坏仁匠闪?溫馨提示柯西不等式是一個重要不等式，是與高等數(shù)學的結(jié)合點，要靈活應用.各個擊破類題演練1用數(shù)學歸納法證明不等式2n≥n2時，n應取的第一個值為(）A。1 B.2 C.3 D.4解析：計算可知.答案：D變式提升1用數(shù)學歸納法證明1+++…+〈n（n∈N*,n〉1)時,在第二步證明從n=k到n=k+1成立時,左邊增加的項數(shù)是（)A.2k B。2k—1 C。2k—1 D。2k+1解析：增加項為++…+共2k項。答案:A類題演練2設(shè)a0為常數(shù)，且an=3n—1-2an-1（n∈N*),證明對任意的n≥1,an=[3n+（—1）n—1·2n］+（-1)n2na0。證明:①當n=1時，a1=1—2a0②假設(shè)當n=k(k≥1)時,等式成立,即ak=［3k+（—1）k—1·2k］+（—1）k·2ka0，那么ak+1=3k-2ak=3k-［3k+（—1)k-1·2k]-(-1）k·2k+1a0=[3k+1+(—1）k·2k+1]+（-1）k+1·2k+1a0,也就是說,當n=k+1時，等式也成立。根據(jù)①和②可知,等式對任何正數(shù)n成立.變式提升2用數(shù)學歸納法證明++…+≥時，由n=k到n=k+1時,左邊增加項為__________。解析:當n=k+1時,左邊=++…++，∴增加式子為+—=-.答案：-類題演練3求函數(shù)的最大值.解：函數(shù)定義域為［6，7]，且y〉0?！?當且僅當4=,即x=時函數(shù)取最大值。變式提升3已知a2