湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 含答案

2024年秋“荊?荊?襄?宜四地七校考試聯(lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題命題學(xué)校：襄陽四中命題人：胡鳳鳴審題人：韓正洪曹文君李光益聯(lián)合審題單位：圓創(chuàng)教育研究中心考試時間：2024年11月12日考試用時：120分鐘試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.保持卡面清潔，不要折疊?不要弄破?弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液?修正帶?刮紙刀.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.22.如圖，斜二測畫法的直觀圖是的面積為，那么的面積為（）A.B.C.D.3.在中，設(shè)，若是線段中點，，則（）A.B.C.D.4.如圖，三個元件正常工作的概率均為，且是相互獨立的，將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（）A.B.C.D.5.已知點，若曲線上存在兩點，使為正三角形，則稱為型曲線.給定下列三條曲線：①；②；③.其中，是型曲線的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.36.若圓臺有內(nèi)切球（與圓臺的上下底面及每條母線均相切的球），且母線與底面所成角的余弦值為，則此圓臺的表面積與其內(nèi)切球的表面積之比為（）A.B.2C.D.7.小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測試中的成績是班級第十五名（每位同學(xué)測試的成績兩兩不同），且小明同學(xué)的成績恰好是該班成績的第60百分位數(shù)，則該班的人數(shù)可能為（）A.36B.41C.46D.518.正四面體中，，點滿足，則長度的最小值為（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設(shè)是兩條不同直線，是兩個不同平面，下列命題為真命題的是（）A.若，則或B.若，則或C.若，則D.若，則10.有以下說法，其中錯誤的是（）A.互斥的事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B.互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C.事件與事件中至少有一個發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率大D.事件與事件同時發(fā)生的概率一定比與中恰有一個發(fā)生的概率小11.某四面體的棱中恰好有一條的長度大于2，則此四面體的體積可能是（）A.B.C.1D.2三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)滿足，則__________.13.如圖，在梯形中，，且，若是線段上的動點，且，則的取值范圍為__________.14.已知圓和直線，折線，若與恰有一個公共點，則實數(shù)__________；若與恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）在中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若的面積為，求的周長.16.（15分）在如圖所示的四棱錐中，底面是梯形，且面，為的中點.（1）若，證明：平面；（2）已知，斜線和平面所成角的正切值為2，求平面和平面的夾角的余弦值.17.（15分）已知橢圓的焦點為和，短軸長為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓上?下頂點分別為，過點的直線與橢圓交于兩點（不與兩點重合）.證明直線與直線交點的縱坐標(biāo)為定值，并求出該值.18.（17分）某校藝術(shù)團共有150人，男生與女生的比例是.為了解藝術(shù)團全體學(xué)生的身高，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取樣本量為30的樣本，并觀測樣本身高數(shù)據(jù)（單位：）.已知男生樣本的身高平均數(shù)為169，標(biāo)準(zhǔn)差為.下表是抽取的女生樣本的數(shù)據(jù)：抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163記抽取的第個女生的身高為，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.（1）用女生樣本的身高頻率分布情況估計藝術(shù)團女生總體的身高頻率分布情況，試估計藝術(shù)團女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)；（2）用總樣本的平均數(shù)和方差估計藝術(shù)團總體身高的平均數(shù)和方差，求的值；（3）若女生樣本數(shù)據(jù)在之外的數(shù)據(jù)稱為偏離值，剔除偏離值后，計算剩余女生樣本身高的平均數(shù)與方差.（其中，樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差.）【參考數(shù)據(jù)：.】19.（17分）球面幾何學(xué)是非歐幾何的例子，是在球表面上的幾何學(xué).對于半徑為的球，過球面上一點作兩條大圓的弧，，它們構(gòu)成的圖形叫做球面角，記作（或），其值為二面角的大小，其中點稱為球面角的頂點，大圓弧稱為球面角的邊.不在同一大圓上的三點，可以得到經(jīng)過這三點中任意兩點的大圓的劣弧，這三條劣弧組成的圖形稱為球面，這三條劣弧稱為球面的邊，三點稱為球面的頂點；三個球面角稱為球面的三個內(nèi)角.已知球心為的單位球面上有不同在一個大圓上的三點.（1）球面的三條邊相等（稱為等邊球面三角形），若，請直接寫出球面的內(nèi)角和（無需證明）；（2）與二面角類比，我們稱從點出發(fā)的三條射線組成的圖形為三面角，記為.其中點稱為三面角的頂點，稱為它的棱，稱為它的面角.若三面角的三個面角的余弦值分別為.①求球面的三個內(nèi)角的余弦值；②求球面的面積.2024年秋“荊?荊?襄?宜四地七?？荚嚶?lián)盟”高二期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案及評分細(xì)則題號1234567891011答案AADCDCACABACDABC1.【答】A【解析】，故共軛復(fù)數(shù)為.2.【答案】A【解析】由，則，如圖，作出還原后，則，故，所以.3.【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以.4.【答案】C【解析】記正常工作為事件正常工作為事件，記正常工作為事件，則，電路不發(fā)生故障，即正常工作且至少有一個正常工作，不發(fā)生故障即至少有一個正常工作的概率，所以整個電路不發(fā)生故障的概率為.5.【答案】D【解析】對于①，到直線的距離為，若直線上存在兩點，使為正三角形，則，以為圓心，以為半徑的圓的方程為，聯(lián)立，可求解出兩解，所以曲線①是型曲線.對于②，化為，圖形是半圓（包括端點），則由為頂點的角兩邊能與半圓找到交點，故曲線②也是型曲線，對于③，以為圓心作圓，存在圓，當(dāng)該圓與曲線相交于兩點時，滿足，所以曲線③是型曲線.6.【答案】C【解析】設(shè)上底面半徑為，下底面半徑為，如圖，取圓臺的軸截面，作，垂足為，設(shè)內(nèi)切球與梯形兩腰分別切于點，可知，由題意可知：母線與底面所成角為，則，可得，即，可得，可知內(nèi)切球的半徑，可得，所以.7.【答案】A【解析】設(shè)班級的人數(shù)為，由題意，解得.8.【答案】C【解析】（在平面內(nèi)），所以長度的最小值，即為長度的最小值，即點到平面的距離.9.【答案】AB【解析】對于A，若，則或，故A正確；對于B，若，則或，故B正確；對于C，若，則平行或相交或異面，故C不正確；對于D，若，當(dāng)，則，故D不正確.10.【答案】ACD【解析】選項A錯誤，兩個判斷都是錯誤的.投一枚骰子，事件表示擲出的點數(shù)為2，事件B表出的點數(shù)為3，則事件和互斥，但不是對立事件.互為對立的事件一定互斥.選項B正確；選項C錯誤，當(dāng)兩個事件和互斥時，事件和事件至少有一個發(fā)生的概率與和中恰有一個發(fā)生的概率相等，他們都等于；選項D錯誤，考慮投擲一個骰子的試驗，樣本空間為，記事件，事件，事件和同時發(fā)生的概率，和恰好有一個發(fā)生的概率為.11.【答案】ABC【解析】設(shè)四面體，棱，而其余每條棱長都，設(shè)到底面的高為，在中，到的距離為，則.若是的高，則中有一條的長度，（設(shè)的長為）.于是，從而.類似地，在中，點到的距離，所以.所以，.故選：ABC12.【答案】6【解析】表示復(fù)平面內(nèi)到點的距離是1的點的軌跡，是圓，所以最大值為與的距離加上半徑，.13.【答案】【解析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，則，設(shè)，則（其中），，，所以，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時取得最大值21.14.【答案】【解析】由題意可知：圓可化為表示圓心為，半徑為的圓，故若與恰有一個公共點，則，解得；因為與均關(guān)于直線對稱，注意到與直線的交點為，若與恰有兩個公共點，等價于與在內(nèi)只有1個公共點，且不過，此時，聯(lián)立方程，消去得，即關(guān)于方程在僅有一解，且解不為2，則，或解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（第（2）問另解，點在圓內(nèi)，則）15.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得，所以所以，整理得，因為，所以，因此，所以，所以.（2）由的面積為，得，解得，又，則由余弦定理得，解得，所以的周長為.16.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】（1）因為平面平面，可知，在中，為的中點，則，因為，所以，所以，即，又因為平面平面，所以平面.（2）由題意可知：平面，所以是斜線在平面上的射影，即為和平面所成的角，在中，，所以.又因為，故兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。粡亩芍?，所以平面和平面的夾角的余弦值為.17.【答案】（1）（2）4.【解析】（1）根據(jù)題意可得，，則，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因為直線過點，且與橢圓的交點不與重合，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：，因為，可得直線，直線，所以.（另解：也可由代入得）即，解得，所以直線的交點在直線上.18.【答案】（1）20（2）（3）平均數(shù)為159，方差為.【解析】（1）因女生樣本中，身高在范圍內(nèi)的占比為，故合唱團女生總體身高在范圍內(nèi)的人數(shù)估計為；（2）記總樣本的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，由題意，男生樣本（20人）的身高平均數(shù)為，方差為，女生樣本（10人）的身高平均數(shù)為，方差則，故；（3）因，則，即，約為，由樣本數(shù)據(jù)知，，為離群值.剔除169后，女生樣本（9人）的身高平均數(shù)為：；由可得，，則剔除169后，女生樣本（9人）的身高的方差為：.【另解】由分層抽樣方差公式可得.19.【答案】（1）（2）①；②【解析】（1）由可知在兩個互相垂直（即交點處切線垂直）的大圓上，從而，故.設(shè)，則，從而.注意到到直線的距離均為，故.所以由知，所以，即，這得到.從而，又在兩個互相垂直的大圓上，故，從而兩兩垂直.從而由在平面內(nèi)交于點，可知垂直于平面，而在平面和平面內(nèi)，故平面垂直于平面，同理平面垂直于平面，平面垂直于平面，所以三個平面兩兩垂直.故由球面角的定義知，所以球面的內(nèi)角和是.（2）①由已知條件，可設(shè).如圖，以為原點，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，則.不妨設(shè).設(shè)，則由可知.故.不妨設(shè)，則，所以有.設(shè)平面的法向量分別為，并設(shè).則即.從而，故可以取所以我們有.故球面的三個內(nèi)角的余弦值分別為.（注：沒統(tǒng)一作答不扣分）【另解】幾何法：①由已知條件，可設(shè).所以，所以.取中點，則，所以平面.作于點，又，所以平面.所以，作于點，則平面，所以，所以為二面角的平面角.