專題02大題專攻（一）（統(tǒng)計統(tǒng)計案例）2022年高考數(shù)學(xué)二輪提素養(yǎng)高分進階新方案（新高考專版）

專題02大題專攻（一）（統(tǒng)計、統(tǒng)計案例）目錄題型一：用樣本估計總體題型二：獨立性檢驗題型三：線性回歸分析題型四：非線性回歸分析應(yīng)用體驗精選好題做一當十題型一：用樣本估計總體1．（2021·河南平頂山·高三月考（文））黨的十九大明確把精準扶貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一，為了堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn)，某幫扶單位要開展精準扶貧，此幫扶單位為了了解某地區(qū)貧困戶對其所提供幫扶的滿意度，隨機調(diào)查了40個貧困戶，得到貧困戶的滿意度評分如下：貧困戶編號評分貧困戶編號評分貧困戶編號評分貧困戶編號評分1781188217931932731286228332783811395237233754921476247434815951597259135846851678266636777791788278037818841882288338769631976297439851086208930824089現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣法從40個貧困戶滿意度評分中抽取容量為10的樣本，且在第一段內(nèi)隨機抽到的樣本數(shù)據(jù)為92.（1）請你列出抽到的10個樣本數(shù)據(jù)；（2）計算所抽到的10個樣本數(shù)據(jù)的均值和方差；（3）在（2）條件下，若貧困戶的滿意度評分在之間，則滿意度等級為“級”.試應(yīng)用樣本估計總體的思想，現(xiàn)從（1）中抽到的10個樣本為“級”的貧困戶中隨機地抽取2戶，求所抽到2戶的滿意度評分均“超過80”的概率（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）答案見解析；（2）均值為83，方差為33；（3）．【詳解】（1）把40戶按編號順序分成10組，每組4戶，第一段抽取的是4號，由此可得所抽取的10戶的各編號，從而得樣本數(shù)據(jù)為：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89．（2），33；（3）由（2），滿意度等級為“級”在上，共有5個：84，86，78，83，78，任取兩個，共有事件，，，，，，，，，共10個，其中都超過80的有，，三個，所求概率為．2．（2021·全國·高三專題練習(xí)）中國人民解放軍裝甲兵學(xué)院（前身蚌埠坦克學(xué)院），建校至今為我國培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學(xué)的學(xué)生中，為了加強愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學(xué)的學(xué)生中隨機的抽取了100人，對他們進行校史問卷測試，得分在45~95之間，分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中第三組的頻數(shù)為40.（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為新人學(xué)的學(xué)生校史問卷測試分數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）求；（ii）在某間寢室有6人，求這6個人中至少有1人校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，.【答案】（1），；（2）（i）；（ii）.【詳解】（1）由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，則平均數(shù)；方差.（2）（i）由（1）得，，故學(xué)生校史問卷測試分數(shù)近似服從正態(tài)分布，則.（ii），故隨機抽取一名學(xué)生，測試分數(shù)在90.8分以上的概率為0.0228.設(shè)“這6個人中至少有1入校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上”為事件，則，故這6個人中至少有1入校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上的概率為0.13.利用樣本的數(shù)字特征解決優(yōu)化決策問題的依據(jù)（1）平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;標準差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;標準差、方差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定.(2)用樣本估計總體就是利用樣本的數(shù)字特征來描述總體的數(shù)字特征.題型二：獨立性檢驗1．（2021·四川·成都七中高三期中（理））某企業(yè)有甲、乙兩條生產(chǎn)線，其產(chǎn)量之比為.現(xiàn)從兩條生產(chǎn)線上按分層抽樣的方法得到一個樣本，其部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（單位：件），且每件產(chǎn)品都有各自生產(chǎn)線的標記.產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線總計（1）請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)獨立性檢驗估計；大約有多大把握認為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)?（2）為進一步了解產(chǎn)品出現(xiàn)等級差異的原因，現(xiàn)將樣本中所有二等品逐個進行技術(shù)檢驗（隨機抽取且不放回）.設(shè)甲生產(chǎn)線的兩個二等品恰好檢驗完畢時，已檢驗乙生產(chǎn)線二等品的件數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：.【答案】（1）答案見解析；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2.（1）由題意可得，一共抽樣50個，產(chǎn)量之比為，按分層抽樣抽取，故甲生產(chǎn)線抽取，乙生產(chǎn)線抽取，故甲生產(chǎn)線抽取一等品402=38，乙生產(chǎn)線抽取二等品107=3，填表如下：產(chǎn)品件數(shù)一等品二等品總計甲生產(chǎn)線3840乙生產(chǎn)線310總計455所以，故有97.5％把握認為產(chǎn)品的等級差異與生產(chǎn)線有關(guān)（2）依題意得，檢驗順序的所有可能為甲甲乙乙乙，甲乙甲乙乙，乙甲甲乙乙，甲乙乙甲乙，乙甲乙甲乙，乙乙甲甲乙，甲乙乙乙甲，乙甲乙乙甲，乙乙甲乙甲，乙乙乙甲甲，共10種可能.的所有可能取值為：0，1，2，3.故，，，，則的分布列為：0123P所以2．（2021·河北·唐山市第十中學(xué)高三期中）學(xué)習(xí)強國是中宣部主管的一個網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺，內(nèi)容豐富，免費學(xué)習(xí)且無廣告干擾，深受廣大干部群眾喜愛．某縣教育局為了解本縣教師在學(xué)習(xí)強國上的學(xué)習(xí)情況，隨機抽取了30名男教師與30名女教師，統(tǒng)計這些教師在某一天的學(xué)習(xí)積分．得到如下莖葉圖，把得分不低于30分的教師稱為學(xué)習(xí)活躍教師，否則稱為學(xué)習(xí)不活躍教師．（1）指出這30名男教師學(xué)習(xí)積分的中位數(shù)；（2）由莖葉圖完成下面列聯(lián)表，并回答是否有90％的把握認為“是否是學(xué)習(xí)活躍教師與性別有關(guān)”；男教師女教師合計活躍不活躍合計（3）把這60名教師中學(xué)習(xí)活躍教師的頻率作為全縣教師（人數(shù)很多）學(xué)習(xí)活躍的概率，從全縣教師中隨機抽取100人，記學(xué)習(xí)活躍教師的人數(shù)為，求．參考公式：臨界值表：【答案】（1）36（2）填表見解析；沒有（3）60（1）這30名男教師學(xué)習(xí)積分的中位數(shù)為．（2）列聯(lián)表如下：男教師女教師合計活躍201636不活躍101424合計303060∵，∴沒有90％的把握認為“是否是學(xué)習(xí)活躍教師與性別有關(guān)”．（3）全縣教師學(xué)習(xí)活躍的概率為，從全縣教師中隨機抽取100人，，故．3．（2021·河南·高三月考（文））2021年某社區(qū)的服務(wù)人員在微信群中舉辦了“垃圾分類，從我做起”的生活垃圾分類大型宣傳活動，號召社區(qū)居民用實際行動為建設(shè)綠色家園貢獻一份力量，同時調(diào)查人員調(diào)查了本小區(qū)某月每戶家庭的日均垃圾分揀量（單位：斤），并得到如下的頻率分布直方圖.（1）若家庭日均垃圾分揀量在斤的恰好有32戶，則該小區(qū)共有住戶約多少戶？（2）假設(shè)該社區(qū)平均每戶有人，現(xiàn)對本社區(qū)全部居民是否了解垃圾分類進行調(diào)查，其中被調(diào)查的男性居民和女性居民人數(shù)相同，男性居民中不喜歡垃圾分類占男性居民的，女性居民中不喜歡垃圾分類占女性居民的.問：在犯錯誤的概率不超過的前提下，能否認為居民是否喜歡垃圾分類與性別有關(guān)？附：，.【答案】（1）戶（2）在犯錯誤的概率不超過的前提下，能認為居民是否喜歡垃圾分類與性別有關(guān)（1）解：依題意，由頻率分布直方圖可知，，所以，所以家庭日均垃圾分揀量在斤的頻率為，又家庭日均垃圾分揀量在斤的恰好為戶，故該社區(qū)共有住戶約戶.（2）由（1）可估計該社區(qū)的總?cè)藬?shù)為人，則列聯(lián)表如下：不喜歡人數(shù)喜歡人數(shù)合計男女合計則，故在犯錯誤的概率不超過的前提下，能認為居民是否喜歡垃圾分類與性別有關(guān).獨立性檢驗的步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成列聯(lián)表;(2)由公式計算(3)比較與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計推斷題型三：線性回歸分析1．（2021·全國·高三月考）擊鼓傳花，也稱傳彩球，是中國民間游戲，數(shù)人或幾十人圍成圓圈坐下，其中一人拿花（或一小物件）；另有一人背著大家或蒙眼擊鼓（桌子、黑板或其他能發(fā)出聲音的物體），鼓響時眾人開始傳花（順序不定），至鼓停止為止．此時花在誰手中（或其座位前），誰就上臺表演節(jié)目，某單位組織團建活動，9人一組，共10組，玩擊鼓傳花，（前五組）組號與組內(nèi)女性人數(shù)統(tǒng)計結(jié)果如表：1234522334（Ⅰ）女性人數(shù)與組號（組號變量依次為1，2，3，4，5，…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；參考公式：（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，從10組中隨機抽取3組，求若3組中女性人數(shù)不低于5人的有組，求的分布列與期望；（Ⅲ）游戲開始后，若傳給相鄰的人得1分，間隔人傳得2分，每擊一次鼓傳一次花，得1分的概率為0.2，得2分的概率為0.8．記鼓聲停止后得分恰為分的概率為，求．【答案】（Ⅰ）從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）.【詳解】（Ⅰ）由題可得，，．則，，∴，當時，，∴預(yù)測從第8組開始女性人數(shù)不低于男性人數(shù)．（Ⅱ）由題可知的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，則的分布列為0123∴.（Ⅲ）在得分為分的基礎(chǔ)上再傳一次，則得分可能為分或分，記“合計得分”為事件，“合計得分”為事件，事件與為對立事件．∵，，∴，∴．2．（2021·全國·模擬預(yù)測）2020年全面建成小康社會取得偉大歷史成就，決戰(zhàn)脫貧攻堅取得決定性勝利．某市積極探索區(qū)域特色經(jīng)濟，引導(dǎo)商家利用多媒體的優(yōu)勢，對本地特產(chǎn)進行廣告宣傳，取得了社會效益和經(jīng)濟效益的雙豐收，某商家統(tǒng)計了7個月的月廣告投入（單位：萬元）與月銷量（單位：萬件）的數(shù)據(jù)如表所示：月廣告投入/萬元1234567月銷量/萬件28323545495260（1）已知可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明，并求關(guān)于的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，預(yù)計月廣告投入大于多少萬元時，月銷量能突破70萬件．參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）相關(guān)系數(shù)，線性回歸模型能夠很好地擬合與的關(guān)系；；（2）9.04萬元．【詳解】（1）由題意，知，∴．結(jié)合，可得，相關(guān)系數(shù)，顯然與的線性相關(guān)程度相當高，從而線性回歸模型能夠很好地擬合與的關(guān)系．易知，，∴．∴關(guān)于的線性回歸方程為．（2）若月銷量突破70萬件，則，解得．故當月廣告投入大于9.04萬元時，月銷量能突破70萬件．3．（2021·全國·高三專題練習(xí)）某工廠引進新的生產(chǎn)設(shè)備，為對其進行評估，從設(shè)備生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/5859616263646566676869707173合計件數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本的平均值，標準差，以頻率值作為概率的估計值.（1）為評估設(shè)備對原材料的利用情況，需要研究零件中某材料含量和原料中的該材料含量之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取了8對觀測值，求與的線性回歸方程.附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，；②參考數(shù)據(jù)：，，，.（2）為評判設(shè)備生產(chǎn)零件的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為，并根據(jù)以下不等式進行評判(表示相應(yīng)事件的概率)；①；②；③.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備的性能等級.（3）將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.從樣本中隨意抽取2件零件，再從設(shè)備的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，計算其中次品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望【答案】（1）；（2）設(shè)備M的性能等級為丙級；（3）.【詳解】（1），，；（2），，，，，，，，，設(shè)備M的性能等級為丙級；（3）樣本中直徑小于等于的共有2件，直徑大于的零件共有4件，所以樣本中次品共6件，可估計設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.由題意可知從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨意抽取2件零件，其中次品數(shù)設(shè)為Y1，則，于是；從樣本中隨意抽取2件零件其次品數(shù)設(shè)為Y2，由題意可知Y2的分布列為：Y2012P故.則次品總數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.題型四：非線性回歸分析1．（2021·福建·泉州科技中學(xué)高三月考）數(shù)獨是源自18世紀瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲，玩家需要根據(jù)盤面上的已知數(shù)字，推理出所有剩余空格的數(shù)字，并滿足每一行?每一列?每一個粗線宮（）內(nèi)的數(shù)字均含1﹣9，不重復(fù).數(shù)獨愛好者小明打算報名參加“絲路杯”全國數(shù)獨大賽初級組的比賽.（1）賽前小明在某數(shù)獨APP上進行一段時間的訓(xùn)練，每天的解題平均速度（秒）與訓(xùn)練天數(shù)（天）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如表的數(shù)據(jù)：（天）1234567（秒）990990450320300240210現(xiàn)用作為回歸方程模型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，并預(yù)測小明經(jīng)過100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為多少秒？（2）小明和小紅在數(shù)獨APP上玩“對戰(zhàn)賽”，每局兩人同時開始解一道數(shù)獨題，先解出題的人獲勝，兩人約定先勝4局者贏得比賽.若小明每局獲勝的概率為，已知在前3局中小明勝2局，小紅勝1局.若不存在平局，請你估計小明最終贏得比賽的概率.參考數(shù)據(jù)（其中）18450.370.55參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.【答案】（1），經(jīng)過100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為140秒；（2）.【詳解】（1）由題意，，令，設(shè)關(guān)于的線性回歸方程為，則，則.∴，又，∴關(guān)于的回歸方程為，故時，.∴經(jīng)過100天訓(xùn)練后，每天解題的平均速度約為140秒.（2）設(shè)比賽再繼續(xù)進行局小明最終贏得比賽，則最后一局一定是小明獲勝，由題意知，最多再進行4局就有勝負.當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴；當時，小明勝，∴.∴小明最終贏得比賽的概率為.2．（2021·陜西渭南·高三月考（理））某保險公司根據(jù)官方公布的歷年營業(yè)收入，制成表格如下：表1年份2011201220132014201520162017201820192020年份序號x12345678910營業(yè)收入y（億元）0.529.3633.6132352571912120716822135由表1，得到下面的散點圖：根據(jù)已有的函數(shù)知識，某同學(xué)選用二次函數(shù)模型（b和a是待定參數(shù)）來擬合和的關(guān)系.這時，可以對年份序號做變換，即令，得，由表1可得變換后的數(shù)據(jù)見表2.表21491625364964811000.529.3633.6132352571912120716822135（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到個位數(shù)）；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程估計2021年的營業(yè)收入，以及營業(yè)收入首次超過4000億元的年份.附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）；（2）估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元，估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份為2024年.【詳解】（1），，故回歸方程為.（2）2021年對應(yīng)的t的值為121，營業(yè)收入，所以估計2021年的營業(yè)收入約為2518億元.依題意有，解得，故.因為，所以估計營業(yè)收入首次超過4000億元的年份序號為14，即2024年.3．（2021·重慶市實驗中學(xué)高三開學(xué)考試）某電器企業(yè)統(tǒng)計了近年的年利潤額（千萬元）與投入的年廣告費用（十萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點圖如圖，對數(shù)據(jù)作出如下處理：令，，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：1515（1）從①；②；③三個函數(shù)中選擇一個作為年廣告費用和年利潤額的回歸類型，判斷哪個類型符合，不必說明理由；（2）根據(jù)（1）中選擇的回歸類型，求出與的回歸方程；（3）預(yù)計要使年利潤額突破億，下一年應(yīng)至少投入多少廣告費用？結(jié)果保留到萬元參考數(shù)據(jù)：參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為【答案】（1）選擇回歸類型更好；（2）；（3）下一年應(yīng)至少投入萬元廣告費用．【詳解】（1）由散點圖知，年廣告費用和年利潤額的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇回歸類型更好．（1）對兩邊取對數(shù)，得：，即，由表中數(shù)據(jù)得：，，，年廣告費用和年利潤額的回歸方程為．（3）由（2）知：，令得：，解得：，，（十萬元），十萬元萬元下一年應(yīng)至少投入萬元廣告費用．應(yīng)用體驗精選好題做一當十一、解答題1．（2021·全國·模擬預(yù)測）2021年7月24日，中國選手楊倩在東京奧運會女子10米氣步槍決賽中，為中國代表團攬入本界奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織200名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊技能分數(shù)（單位：分），將所得數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這200名射擊愛好者中射擊技能分數(shù)低于60分的人數(shù)；（2）從樣本中射擊技能分數(shù)在的射擊愛好者中采用分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進一步進行射擊訓(xùn)練，記抽取的3人中射擊技能分數(shù)不低于70分的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：（1）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分數(shù)低于60分的頻率為，所以這200名射擊愛好者中射擊技能分數(shù)低于60分的人數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖可知，射擊技能分數(shù)在，，的頻率分別為0.2，0.4，0.2，由分層抽樣的知識知抽取的8名射擊愛好者中，射擊技能分數(shù)不低于70分的人數(shù)為，則射擊技能分數(shù)低于70分的人數(shù)為.所以X的所有可能取值為1，2，3，；；；X的分布列為X123P所以.2．（2021·四川成都·高三月考（理））書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）（2）若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；（3）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】（1）74；（2）；（3）分布列見解析；期望為．【詳解】解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意知，．（3）由于，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機變量的取值可以為0、1、2、3，，，，，的分布列為：01233．（2021·全國·高三月考）距離高考還有不到四十天的時間，不少學(xué)校取消了高三的體育課，并且每個星期將考試安排的滿滿當當.當然，有不少同學(xué)老師覺得在緊張備考的沖刺階段上上體育課流一身汗可以達到身心放松?擁有更飽滿的精力投入學(xué)習(xí)的效果，因此他們認為補充回體育課是非常有必要的.另外也有部分老師學(xué)生認為應(yīng)該適當減少考試次數(shù)讓學(xué)生多有針對性的填補考試中發(fā)現(xiàn)的知識點漏洞.諸位領(lǐng)導(dǎo)對此議論紛紛.（1）現(xiàn)校長對老師同學(xué)們進行“是否想上體育課與希望減少考試次數(shù)的關(guān)系”的調(diào)查，以隨機抽樣的方法，抽取人.請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)，補全下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為想上體育課與希望減少考試次數(shù)有關(guān)；想考試不想考試合計想上體育課不想上體育課合計（2）將（1）中頻率視為概率，若從高三年級師生中隨機抽取人，設(shè)其中“不想上體育課且要考試”的人數(shù)為隨機變量，求的分布列與期望.附：，其中.【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，沒有的把握認為想上體育課與希望減少考試次數(shù)有關(guān)；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.【詳解】（1）根據(jù)題意，可得列聯(lián)表如下：想考試不想考試合計想上體育課不想上體育課合計可得，所以沒有的把握認為想上體育課與希望減少考試次數(shù)有關(guān).（2）由（1）列聯(lián)表知：不想上體育課且想考試的同學(xué)占樣本總數(shù)的頻率為，既概率為，可得隨機變量，且，所以，，，，所以的分布列為：所以.4．（2021·河南·高三月考（文））某社區(qū)對居民參加體育活動進行隨機調(diào)查，參與調(diào)查的歲以下和歲以上的（含歲）人數(shù)如下表：歲以下歲以上（含歲）男性居民女性居民（1）判斷能否有的把握認為參加體育活動與性別有關(guān)；（2）用分層抽樣方法，在歲以上（含歲）的居民中抽取人，再從這人中隨機抽取人，求所抽取的人中男性和女性各人的概率.附：，其中.【答案】（1）有的把握認為參加體育活動與性別有關(guān)；（2）.【詳解】解：（1）由已知得列聯(lián)表：歲以下歲以上（含歲）總計男性居民女性居民總計所以.所以有的把握認為參加體育活動與性別有關(guān).（2）記“所抽取的人中男性和女性各人”為事件用分層抽樣方法，在歲以上（含歲）的居民中抽取人，男性居民應(yīng)抽取人，記作，，，，女性居民應(yīng)抽取人，記作，.含有的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共個，其中男?女各人的基本事件有，，，，，，，共個，由古典概型的概率公式.5．（2021·湖南·高三月考）近年來，我國肥胖人群的規(guī)模急速增長，肥胖人群有很大的心血管安全隱患.目前，國際上常用身體質(zhì)量指數(shù)(，縮寫)來衡量人體胖瘦程度以及是否健康，其計算公式是中國成人的數(shù)值標準為：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖.為了解某公司員工的身體質(zhì)量指數(shù)，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，抽取了8名員工(編號)的身髙和體重數(shù)據(jù)，并計算得到他們的值(精確到0.1)如下表：編號12345678(近似值)22.323.228.320.323.523.725.516.6（1）現(xiàn)從這8名員工中選取2人進行復(fù)檢，記抽取到值為“正?！眴T工的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）某調(diào)查機構(gòu)分析發(fā)現(xiàn)公司員工的身高和體重之間有較強的線性相關(guān)關(guān)系，調(diào)查員甲對這8人的體檢數(shù)據(jù)進行分析，計算得出該組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，且根據(jù)回歸方程預(yù)報一名身高為的員工體重為，計算得到的其他數(shù)據(jù)如下：，（i）求的值及抽取8人體重數(shù)據(jù)的平均值；（ii）調(diào)查員乙代替甲繼續(xù)數(shù)據(jù)處理時，發(fā)現(xiàn)編號為8的員工體重數(shù)據(jù)有誤，應(yīng)增加，其身高數(shù)據(jù)無誤，請你根據(jù)調(diào)查員乙更正的數(shù)據(jù)重新計算線性回歸方程，并據(jù)此預(yù)報一名身高為的員工的體重.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為：，.【答案】（1）分布列見解析，期望為；（2）（i），（ii），.【詳解】（1）由表格中的的數(shù)據(jù)可知，8名員工中數(shù)值為“正常”的員工由5人，所以隨機變量的可能取值為，可得，所以隨機變量的分布列為：012所以期望為.（2）（i）根據(jù)回歸方程的預(yù)估一名身高為的員工的體重為，所以，可得，所以線性回歸方程為，因為樣本中心一定在回歸直線上，可得.（ii）由（i）知更正前的數(shù)據(jù)為，因為，所以，更正后的數(shù)據(jù)為，所以，，所以，所以，故更正后的線性回歸方程為，當時，可得，所以重新預(yù)估一名身高為的員工的體重為.6．（2021·全國全國·高三月考）某公司研發(fā)了一種幫助家長解決孩子早教問題的萌寵機器人．萌寵機器人的語音功能讓它像孩子的小伙伴一樣和孩子交流，記憶功能還可以記住寶寶的使用習(xí)慣，很快找到寶寶想聽的內(nèi)容，它同時提供快樂兒歌、國學(xué)經(jīng)典、啟蒙英語等早期教育內(nèi)容，且云端內(nèi)容可以持續(xù)更新，萌寵機器人一投放市場就受到了很多家長歡迎．為了更好的服務(wù)廣大家長，該公司對萌寵機器人的某個性能指數(shù)()與孩子的喜愛程度()進行統(tǒng)計調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)表：345670.450.500.600.650.70（1）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程：（2）計算變更，的相關(guān)系數(shù)（計算結(jié)果精確到0.01），并回答是否可以認為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強，（，，相關(guān)性很強，，，相關(guān)性一般，，，相關(guān)性很弱）參考數(shù)據(jù)：，，．參考公式：，，相關(guān)系數(shù)．【答案】（1）；（2），可以認為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強．【詳解】（1）由表知，．，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為．（2）由（1）知，，，因為，所以，所以．由此可以認為該性能指數(shù)與孩子的喜愛程度相關(guān)性很強．7．（2021·全國·高三專題練習(xí)）“十四五”是我國全面建成小康社會、實現(xiàn)第一個百年奮斗目標之后，乘勢而上開啟全面建設(shè)社會主現(xiàn)代化國家新征程、向第二個百年奮斗目標進軍的第一個五年，實施時間為2021年到2025年．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備加大研發(fā)資金投入，為了解年研發(fā)資金投入額（單位：億元）對年盈利額（單位：億元）的影響，通過對“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展10年期間年研發(fā)資金投入額和年盈利額數(shù)據(jù)進行分析，建立了兩個函數(shù)模型：；，其中，，，均為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)令，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，問：（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合度更好？（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立，關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）（3）若希望2021年盈利額y為500億元，請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額為多少億元？（結(jié)果精確到0.01）附：①相關(guān)系數(shù)r＝回歸直線中：，參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）模型的擬合程度更好；（2）；（3）億元．【詳解】（1）為了判斷兩個函數(shù)模型：；，擬合程度，只需要判斷兩個函數(shù)模型，擬合程度即可．設(shè)和的相關(guān)系數(shù)為，和的相關(guān)系數(shù)為，由題意，，顯然，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好．（2）先建立關(guān)于的線性回歸方程，由得，，即，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，即，所求回歸方程為：，（3）若2021年盈利額為500億元，即為，，，解得：，所以2021年的研發(fā)資金投入量約為億元．8．（2021·山東肥城·模擬預(yù)測）我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃．某企業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強科技創(chuàng)新，準備增加研發(fā)資金．現(xiàn)該企業(yè)為了了解年研發(fā)資金投入額(單位：億元)對年盈利額(單位：億元)的影響，研究了“十二五”和“十三五”規(guī)劃發(fā)展期間近年年研發(fā)資金投入額和年盈利額的數(shù)據(jù)．通過對比分析，建立了兩個函數(shù)模型：①；②，若對于任意一點，過點作與軸垂直的直線，交函數(shù)的圖象于點，交函數(shù)的圖象于點，定義：，，若則用函數(shù)來擬合與之間的關(guān)系更合適，否則用函數(shù)來擬合與之間的關(guān)系．（1）給定一組變量，對于函數(shù)與函數(shù)，試利用定義求，的值，并判斷哪一個更適合作為點中的與之間的擬合函數(shù)；（2）若一組變量的散點圖符合圖象，試利用下表中的有關(guān)數(shù)據(jù)與公式求與的回歸方程，并預(yù)測當時，的值為多少．表中的，附：對于一組數(shù)據(jù)，，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為，【答案】（1）；；函數(shù)更適合；（2）；．【詳解】（1）對于函數(shù)，當分別取時對應(yīng)的函數(shù)值為，此時對于函數(shù)，