人教版初中數(shù)學(xué)8年級下冊全冊教學(xué)課件

16.1二次根式八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時1（1）什么叫一個數(shù)的平方根？如何表示？（2）什么是一個數(shù)的算術(shù)平方根？如何表示？

知識回顧2.如果x2=9，那么x=

.

4.如果x2=-5，那么實數(shù)x

.5.如果x2=a(a≥0)，那么x=

.1.13的平方根是

，13的算術(shù)平方根是

.知識回顧3.如果x2=0，那么x=

.

±3無解

0

正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù),0的平方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根.1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意義的條件.2.利用二次根式的概念解決具體問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)圓形噴泉的面積為70πm2,那么它的半徑是多少？這個式子有什么特點(diǎn)呢？

課堂導(dǎo)入思考

用帶有根號的式子填空，看看寫出的結(jié)果有什么共同特點(diǎn)：（1）面積為3的正方形的邊長為

，面積為

S的正方形的邊長為

.

（2）一個長方形的圍欄，長是寬的2倍，面積為130m2，則它的寬為

m.

新知探究（3）一個物體從高處自由落下，落到地面所用的時間

t（單位：s），與開始落下時離地面的高度h（單位：m）滿足關(guān)系h=5t2，如果用含有

h的式子表示t，那么

t為

.

新知探究

共同特點(diǎn)是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，根指數(shù)為2.

二次根號被開方數(shù)讀作:根號a知識點(diǎn)1：二次根式的定義新知探究a可以是非負(fù)的數(shù)或單項式、多項式、分式等

跟蹤訓(xùn)練新知探究

題中被開方數(shù)m-5,mn,-5是負(fù)數(shù)，不是二次根式

解：由x2≥0可知，x可以為任意實數(shù).由x3≥0可知，x≥0.知識點(diǎn)2：二次根式有意義的條件新知探究

被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)

分母不能為0更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下16.1節(jié)新知課

當(dāng)a是怎樣的實數(shù)時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

跟蹤訓(xùn)練新知探究被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)分母不能為0

當(dāng)二次根式的被開方數(shù)出現(xiàn)完全平方公式或能配方成完全平方公式時，其中所含字母取任意實數(shù)，二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)都有意義.隨堂練習(xí)1.

下列式子中一定是二次根式的是（

）

C

A.x≥4B.x>4

C.x≤4D.x<4D

二次根式概念含有二次根號

被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)有意義的條件

課堂小結(jié)注意隱含條件：分式的分母不能為0.

拓展提升注意：觀察題目的形式，要同時滿足兩個根號中的式子為非負(fù)數(shù)，才能使得其在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.

注意：觀察題目的形式，要注意分式的分母不能為0.

注意：觀察題目的形式，無論a為何值，a2都是非負(fù)數(shù).所以a2+5也為非負(fù)數(shù).

解：由題意，得3a-6≥0，2-a≥0，解得a≥2，a≤2，∴a=2，∴b=4.∵2+2=4，∴2,2,4不能組成三角形,∴此三角形的周長為2+4+4=10.

B

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16.1二次根式八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時2（1）什么叫二次根式？如何表示？（2）二次根式有意義的條件是什么？

知識回顧

判斷二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，就要讓根號里面的數(shù)（式子）滿足≥0的條件，本題還要注意分式中分母不為0這個條件.

1.了解并掌握二次根式的性質(zhì).2.利用二次根式的性質(zhì)解決具體問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)

課堂導(dǎo)入

知識點(diǎn)1：二次根式的性質(zhì)新知探究

文字表述：一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個數(shù)本身.

性質(zhì)3

-a（a<0），

a（a≥0）

文字表述：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值.

解：（1）原式=1.5.

（2）原式=5.

-a（a<0）a（a≥0）

跟蹤訓(xùn)練新知探究

熟練掌握二次根式的性質(zhì)2和性質(zhì)3.定義：用基本運(yùn)算符號(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.知識點(diǎn)2：代數(shù)式新知探究注意：（1）代數(shù)式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等關(guān)系符號，單獨(dú)一個數(shù)或者字母也是代數(shù)式；代數(shù)式的書寫規(guī)定：（1）數(shù)與字母相乘或字母與字母相乘,通常將乘號寫作“·

”或者省略不寫.如a×b通常寫作a·b或ab.（2）數(shù)與字母相乘時，通常把數(shù)寫在前面.

（3）數(shù)字因數(shù)是

1或-1時，“1”常省略不寫.

如-1×a通常寫作-a.

（1）直接法：根據(jù)問題的語言敘述直接寫出代數(shù)式.（2）公式法：根據(jù)數(shù)學(xué)相關(guān)的公式（面積或體積等）列出代數(shù)式.（3）探究規(guī)律法：將蘊(yùn)含在一組數(shù)或一組圖形中的規(guī)律用代數(shù)式表示出來.列代數(shù)式的常用方法：1.列代數(shù)式：一個三角形的面積為S，底邊長為a，則底邊上的高為多少？

跟蹤訓(xùn)練新知探究2.用代數(shù)式表示：（1）面積為S的圓的半徑；

更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下16.1節(jié)方法幫（2）面積為S且兩條鄰邊的比為3：2的長方形的長和寬.解：設(shè)長方形的長為3x，則寬為2x.

1.下列式子中正確的是（）.

B隨堂練習(xí)

注意π與3的大小比較二次根式性質(zhì)二次根式的雙重非負(fù)性代數(shù)式用基本運(yùn)算符號（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.

課堂小結(jié)解：根據(jù)數(shù)軸顯示，a的取值范圍是2<a<5.

∴

a-2>0，a-5<0.

02a5

拓展提升∴原式=

|a-2|+|a-5|=

a-2+5-a=3.

∴(a+b)2020=（-2+1）2020=1.∴

a+2b=0,解得a=-2,

a-b+3=0,b=1,

由題意可得：2x-3≥0，即2x≥3，所以1-2x<0.

所以原式=2x-1-2x+3=2.

a3120-1-2b

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16.2二次根式的乘除八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時1二次根式的性質(zhì)1：二次根式的雙重非負(fù)性文字?jǐn)⑹觯喝魏我粋€非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方都等于這個數(shù).

知識回顧表示：（a≥0），二次根式的被開方數(shù)非負(fù)

≥0，二次根式的值非負(fù)

二次根式的性質(zhì)2：（a≥0）.

文字表述：一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個數(shù)的絕對值.

性質(zhì)3：

-a（a<0）,

a（a≥0）.

代數(shù)式：用基本運(yùn)算符號（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.當(dāng)a,x取怎樣的實數(shù)時,下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？（1）;

解：（1）由題意可得，得-5≤a≤1,

a+5≥0，1-a≥0，

所以當(dāng)-5≤a≤1時，上述式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.1.掌握二次根式的乘法法則和積的算術(shù)平方根.2.熟練進(jìn)行二次根式的乘法計算和二次根式的化簡.學(xué)習(xí)目標(biāo)探究：計算下列各式.（1）=

，=

；（2）=

，=

；（3）=

，=

；2×3=64×5=205×6=30觀察結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？課堂導(dǎo)入

文字表述：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

前提條件知識點(diǎn)1：二次根式的乘法法則新知探究

發(fā)現(xiàn)：系數(shù)相乘根式相乘系數(shù)的乘積作為結(jié)果的系數(shù)，根式的乘積按照乘法法則計算.

（1）（2）二次根式的乘法法則的推廣例1計算：（1）

（2）

解：（1）

=3.更多同類練習(xí)見RJ八下《教材XX》16.2節(jié)新知課

跟蹤訓(xùn)練新知探究

.

文字表述：積的算術(shù)平方根等于積中各個因數(shù)或因式的算術(shù)平方根的積.

注意：此公式成立的條件是a≥0，b≥0.實際上，公式中a，b的取值范圍是限制公式右邊的，對于公式左邊，只要ab≥0即可.知識點(diǎn)2：二次根式乘法法則的逆用新知探究

例2

化簡：解：

在本章中，如果沒有特別說明，所有的字母都表示正數(shù).

1.計算：（1）（2）

跟蹤訓(xùn)練新知探究

1.計算：

隨堂練習(xí)

解：

帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)2.化簡：

二次根式的乘法法則法則逆用

課堂小結(jié)1.下列計算正確的是（）.

A.

B.

C.

拓展提升

D.

解：

1.下列計算正確的是（）.

A.

B.

C.

D拓展提升

D.

2.當(dāng)x在實數(shù)范圍內(nèi)滿足什么條件時，

有意義？

解：根據(jù)題意，同時滿足x≥0,x-2≥0,解得x≥2.3.化簡與計算：（1）;（2）

注意：在對多項式進(jìn)行化簡時，可以先將能夠開方的字母提取出來。

A謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16.2二次根式的乘除八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時2二次根式的乘法法則：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

知識回顧二次根式的乘法法則的逆用：積的算術(shù)平方根等于積中各個因數(shù)或因式的算術(shù)平方根的積.

符號表示：

計算：（1）（2）解：（1）

1.掌握二次根式的除法法則和商的算術(shù)平方根.2.熟練進(jìn)行二次根式的除法計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)探究：計算下列各式.（1）=

，=

；（2）=

，=

；（3）=

，=

.

課堂導(dǎo)入

觀察結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

文字表述：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

知識點(diǎn)1：二次根式的除法法則新知探究發(fā)現(xiàn)：

；

前提條件注意：b作為分母不能為0.系數(shù)相除根式相除系數(shù)的商作為結(jié)果的系數(shù)，根式的除法按照除法法則計算.

二次根式的除法法則的推廣（1）（1）二次根式除法法則中的a，b，既可以是一個數(shù)，也可以是其他代數(shù)式.（2）被開方數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先化為假分?jǐn)?shù)，再應(yīng)用公式化簡.（3）在二次根式的計算中，最后的結(jié)果中被開放數(shù)應(yīng)不含有能開得盡方的因數(shù)或因式，且被開方數(shù)不含分母，同時分母中不含二次根式.注意：例1計算：（1）（2）解：（1）

（3）（4）解：（3）

（4）

注意：先將帶分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)再進(jìn)行運(yùn)算.

符號表示：文字表述：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

知識點(diǎn)2：二次根式除法法則的逆用新知探究

（a≥0，b>0）.注意：此公式成立的條件是a≥0，b>0.實際上，公式中a，b的取值范圍是限制公式右邊的，對于公式左邊，只要ab≥0即可.1.二次根式除法法則的逆用也稱為商的算術(shù)平方根的性質(zhì).2.公式中的a,b既可以是一個數(shù)，也可以是其他代數(shù)式.3.利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì)可以對被開方數(shù)中含有分母的二次根式進(jìn)行化簡，化成被開方數(shù)不含分母的二次根式.說明：例2化簡：（1）（2）解：（1）

（2）

化簡：（1）;

（2）

解：（1）

（2）

跟蹤訓(xùn)練新知探究

計算：（1）（2）解：（1）

（2）

隨堂練習(xí)

（3）（4）解：（3）

（4）

二次根式的除法法則法則逆用（a≥0，b>0）

（a≥0，b>0，c>0）（a≥0，b>0）課堂小結(jié)

1.使得等式有意義的a的取值范圍是什么？

拓展提升

解：根據(jù)二次根式的除法法則可得

a-7≥0，a-3>0，解得a≥7.所以使得等式有意義的a的取值范圍是a≥7.

更多同類練習(xí)見RJ八下《教材XX》16.2節(jié)XX2.計算：注意：按照從左到右的順序，先把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算.

提示：帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)3.化簡與計算：

A謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16.2二次根式的乘除八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時3文字表述：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

拓展：

知識回顧二次根式的除法法則：

文字表述：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

注意：此公式成立的條件是a≥0，b>0.實際上，公式中a，b的取值范圍是限制公式右邊的，對于公式左邊，只要ab≥0即可.二次根式的除法法則的逆用：（a≥0，b>0）.

計算：（1）；（2）方法二

解:(1)方法一

;解：（2）

計算：

；1.理解并掌握最簡二次根式的概念.2.熟練將二次根式化簡為最簡二次根式.學(xué)習(xí)目標(biāo)課堂導(dǎo)入

對比上面二次根式化簡前后的結(jié)果，被開方數(shù)發(fā)生了什么變化呢？最簡二次根式：滿足以下兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

（1）被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

知識點(diǎn)：最簡二次根式新知探究即被開方數(shù)必須是整數(shù)（式）注意：在二次根式的運(yùn)算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二次根式，并且分母中不含二次根式.解：∵

S=ab，

例設(shè)長方形的面積為S，相鄰兩邊長分別為a，b.已知S=，b=，求a.

化簡二次根式的一般方法

1.將被開方數(shù)中能開得盡方的因數(shù)或因式進(jìn)行開方.

2.化去根號下的分母

①若被開方數(shù)中含有帶分?jǐn)?shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).

②若被開方數(shù)中含有小數(shù)，應(yīng)先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù).

3.被開方數(shù)是多項式的要先進(jìn)行因式分解.

二次根式化成最簡二次根式的步驟

分：利用分解因數(shù)或分解因式的方法把被開方數(shù)的分子、分母都化成質(zhì)因數(shù)（或最簡因式）的冪的乘積的形式.移：把能開得盡方的因數(shù)（或因式）用它的算術(shù)平方根代替，移到根號外，當(dāng)把根號內(nèi)的分母中的因式移到根號外時，要注意依舊寫在分母的位置上.化：化去被開方數(shù)中的分母.約：約分，化為最簡二次根式.1.判斷:

下列各式中，哪些是最簡二次根式？

（1）（2）（3）（4）跟蹤訓(xùn)練新知探究

2.化簡：

將下列各式化簡為最簡二次根式.

（1）（2）

解：（1）∵，

∴

a≥0.

（2）

（3）（4）解：（3）

（4）

2.化簡：

將下列各式化簡為最簡二次根式.

1.下列二次根式中，最簡二次根式是（）.

A.

B.

C.D.

A

含有能開得盡方的因式被開方數(shù)含有分母含有能開得盡方的因數(shù)隨堂練習(xí)

2.把下列二次根式化成最簡二次根式.

（1）

；（2）（3）；（4）解：（1）

（2）

（3）

（4）

3.設(shè)長方形的面積為S，相鄰兩邊的長分別為a，b.已知S=16，b=，求a.

解：∵S=ab，

最簡二次根式定義化簡步驟被開方數(shù)不含分母.被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.分、移、化、約.課堂小結(jié)

拓展提升2.將下列式子化簡成最簡二次根式.

注意：要根據(jù)a

的取值范圍判斷b

的取值范圍.

.

.3.如果，那么a的取值范圍是什么？

∵

a+1≥0，綜上，a的取值范圍是-1≤a≤0.∴a≥-1.

更多同類練習(xí)見RJ八下《教材XX》16.2節(jié)方法幫謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16.3二次根式的加減八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時1最簡二次根式：滿足以下兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

（1）被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

知識回顧二次根式化成最簡二次根式的1.分：利用分解因數(shù)或分解因式的方法把被開方數(shù)的分子、分母都化成質(zhì)因數(shù)（或最簡因式）的冪的乘積的形式.2.移：把能開得盡方的因數(shù)（或因式）用它的算術(shù)平方根代替，移到根號外，當(dāng)把根號內(nèi)的分母中的因式移到根號外時，要注意依舊寫在分母的位置上.3.化：化去被開方數(shù)中的分母.

4.約：約分，化為最簡二次根式.下列二次根式中，最簡二次根式是（）

C

將下列二次根式化成最簡二次根式：

當(dāng)小數(shù)無法開方時，將它轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù).

1.掌握合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式的方法.2.熟練運(yùn)用二次根式的加、減運(yùn)算法則進(jìn)行計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)化簡下列兩組二次根式，每組化簡后有什么共同特點(diǎn)？

第二組被開方數(shù)都是x第一組被開方數(shù)都是3課堂導(dǎo)入

同類二次根式：將二次根式化成最簡二次根式，若被開方數(shù)相同的幾個二次根式叫做同類二次根式.

合并的方法：合并二次根式的方法與合并同類項類似，將根號外的因數(shù)或因式相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)是分配律的逆向運(yùn)用.

知識點(diǎn)1：同類二次根式新知探究

B跟蹤訓(xùn)練新知探究

化簡成最簡二次根式以后再去找同類二次根式，故本題只有B選項符合題意.問題現(xiàn)有一塊長7.5dm，寬5dm的木板，能否采用如圖所示的方式，在這塊木板上截出兩個面積分別是8dm2和18dm2的正方形木板？

7.5dm5dm18dm28dm2面積為8dm2

和18dm2的正方形的邊長分別是多少？

兩個正方形的邊長和小于木板的長，所以可以用這塊木板截出面積為8dm2

和18dm2的兩個正方形.二次根式的加減：一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

知識點(diǎn)2：二次根式的加減新知探究注意：（1）化成最簡二次根式后，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并；（2）對于不能合并的二次根式，一定不要漏寫，要保持不變，它們也是結(jié)果的一部分.二次根式加減運(yùn)算的一般步驟1.化：將每個二次根式都化成最簡二次根式；2.找：找出被開方數(shù)相同的二次根式；3.合：將被開方數(shù)相同的二次根式合并成一項.二次根式的乘除法與二次根式的加減法的運(yùn)算二次根式的乘除法二次根式的加減法系數(shù)被開方數(shù)化簡系數(shù)相乘除.系數(shù)相加減.被開方數(shù)相乘除.被開方數(shù)不變.結(jié)果化為最簡二次根式.先化為最簡二次根式，再合并同類二次根式.

注意：一定要將不能開方的數(shù)字和字母作為結(jié)果的一部分保留.1.下列計算正確的是（）.

C

跟蹤訓(xùn)練新知探究2.計算：

B

隨堂練習(xí)

2.下列各式不成立的是（）.

C

3.計算：

更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下16.3節(jié)XX二次根式的加減加減法則條件：被開方數(shù)相同.運(yùn)算：分配律的逆向運(yùn)算.先化簡為最簡二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式.課堂小結(jié)合并二次根式

2

拓展提升注意：一定要將二次根式化為最簡二次根式，再使兩個被開方數(shù)相等，便可以得出結(jié)果.

3.計算.

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16.3二次根式的加減八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時2

知識回顧

知識回顧

二次根式的加減：一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

注意：（1）化成最簡二次根式后，被開方數(shù)不同的二次根式不能合并；（2）對于不能合并的二次根式，一定不要漏寫，要保持不變，它們也是結(jié)果的一部分.計算：

1.理解并掌握二次根式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則.2.熟練運(yùn)用二次根式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)

課堂導(dǎo)入二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)該怎樣計算？1.二次根式的混合運(yùn)算種類：二次根式的加、減、乘、除、乘方（或開方）的混合運(yùn)算.

2.二次根式的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號），與整式的混合運(yùn)算順序相同.

知識點(diǎn)：二次根式的混合運(yùn)算新知探究注意：一定要注意二次根式的運(yùn)算順序.3.二次根式的混合運(yùn)算依據(jù):有理數(shù)的運(yùn)算律（交換律、結(jié)合律、分配律）、多項式乘法法則和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的運(yùn)算中仍然適用.

運(yùn)用類比的思想，將二次根式的混合運(yùn)算類比成整式的混合運(yùn)算.4.二次根式混合運(yùn)算的幾種常見類型及計算方法

一般來說，沒有特別說明就將字母默認(rèn)為大于等于零的數(shù)字或式子.二次根式的混合運(yùn)算的重點(diǎn)1.二次根式的混合運(yùn)算結(jié)果一定要化成最簡形式；2.在進(jìn)行二次根式的計算時，能用乘法公式的要盡量使用乘法公式，同時要注意公式的正用和逆用，以及簡化運(yùn)算過程.

解：（1）

解：（1）

跟蹤訓(xùn)練新知探究

1.計算：

隨堂練習(xí)

更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下16.3節(jié)XX

解：（1）原式=

（2）

3.計算：

（2）

二次根式的混合運(yùn)算加、減、乘、除、乘方（或開方）先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）有理數(shù)的運(yùn)算律、多項式乘法法則和乘法公式課堂小結(jié)種類依據(jù)順序1.計算.

拓展提升

解：（2）

易錯警示：運(yùn)用多項式相乘的法則時，需注意：一是不要漏乘，二是需注意每一項前面的性質(zhì)符號.

解：（1）

注意:含有三項的多項式進(jìn)行運(yùn)算時，可將其中兩項用括號括起來看成是一個整體.

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16二次根式小結(jié)八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時1二次根式概念

有意義的條件

知識梳理二次根式性質(zhì)

拓展

1.二次根式的概念

二次根號被開方數(shù)根號a注意：在實數(shù)范圍內(nèi)開平方時，被開方數(shù)只能是正數(shù)或0.2.二次根式有意義的條件

3.二次根式的性質(zhì)（1）二次根式的雙重非負(fù)性：

用基本運(yùn)算符號（基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫做代數(shù)式.4.代數(shù)式注意：(1)代數(shù)式中不能含有“=”“>”“<”“≥”“≤”等關(guān)系符號，單獨(dú)一個數(shù)或者字母也是代數(shù)式；(2)將兩個代數(shù)式用以上關(guān)系符號連接起來的式子叫做關(guān)系式.下列式子中是二次根式的有哪些？請說明原因.

序號結(jié)論理由①②③④⑤是不是不一定不是是含有二次根號，且被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).不是二次根號.被開方數(shù)是負(fù)數(shù).被開方數(shù)可能為負(fù)數(shù)，也可能為非負(fù)數(shù).

重難點(diǎn)1：二次根式的概念重點(diǎn)解析

當(dāng)a取何值時，下列式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？重難點(diǎn)2：二次根式有無意義的條件重點(diǎn)解析根號下式子非負(fù)同時分母不為0同時滿足兩個根號下式子非負(fù)根號下式子非負(fù)同時分母不為0

解：（1）由a+2≥0且a-5≠0，得a≥-2且a≠5.

（2）由a-1≥0且3-a≥0，得1≤a≤3.

類型

舉例式子有意義的條件單個二次根式多個二次根式相加二次根式作為分式的分母二次根式與分式相加二次根式與零指數(shù)冪相加

重難點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)重點(diǎn)解析

列代數(shù)式：一個直角三角形的面積為S，一直角邊長為a，則另外一直角邊長為

.

重難點(diǎn)4：代數(shù)式重點(diǎn)解析

AA.x≥2且x≠7B.x≥2C.x>2且x≠7D.x<2解得x≥2且x≠7.深化練習(xí)

-3

技巧點(diǎn)撥：解答本類問題時，常先依據(jù)“若幾個非負(fù)數(shù)的和為0，那么這幾個非負(fù)數(shù)都為0”列出方程組，然后解方程組求出字母的值，再把字母的值代入相關(guān)式子求值.

5.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下16.1節(jié)XX

解：由題意可得8-n≥0且n≥0，所以0≤n≤8，所以0≤8-n≤8.

所以當(dāng)8-n=0時，解得n=8；當(dāng)8-n=1時，解得n=7；當(dāng)8-n=4時，解得n=4.綜上，自然數(shù)n的值為8或7或4.

1002

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。16二次根式小結(jié)八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時2二次根式的運(yùn)算乘法法則

法則逆用

知識梳理二次根式的運(yùn)算除法法則

法則逆用

二次根式的運(yùn)算最簡二次根式被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式加減法則合并二次根式：被開方數(shù)相同二次根式加減時，先化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.二次根式的運(yùn)算混合運(yùn)算加、減、乘、除、乘方、開方混合先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先去掉括號.靈活運(yùn)用運(yùn)算律、多項式乘法法則和乘法公式.1.二次根式的乘法法則文字表述：二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.

文字表述：積的算術(shù)平方根等于積中各個因數(shù)或因式的算術(shù)平方根的積.

1.二次根式的乘法法則2.二次根式的除法法則文字表述：二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.

2.二次根式的除法法則文字表述：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根.

3.最簡二次根式最簡二次根式：滿足以下兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.

（1）被開方數(shù)不含分母.（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

4.二次根式的加減二次根式的加減：一般地，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.

可以合并的二次根式：將二次根式化成最簡二次根式，若被開方數(shù)相同，則這樣的二次根式可以合并.

5.二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算種類：二次根式的加、減、乘、除、乘方（或開方）的混合運(yùn)算.

二次根式的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的(或先去掉括號).

二次根式的混合運(yùn)算依據(jù)：有理數(shù)的運(yùn)算律、多項式乘法法則和乘法公式.

1.計算下列式子：

重難點(diǎn)1：二次根式的乘法法則重點(diǎn)解析

將二次根式下的帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).2.化簡下列各式子：

計算下列式子：重難點(diǎn)2：二次根式的除法法則重點(diǎn)解析把下列二次根式化成最簡二次根式：

重難點(diǎn)3：最簡二次根式重點(diǎn)解析計算下列式子：

重難點(diǎn)4：二次根式的加減法重點(diǎn)解析計算下列式子：

重難點(diǎn)5：二次根式的混合運(yùn)算重點(diǎn)解析

更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下16.2節(jié)XX1.計算：

深化練習(xí)

二次根式乘除混合運(yùn)算的方法（1）將式子中的除法轉(zhuǎn)化為乘法；（2）利用乘法運(yùn)算律轉(zhuǎn)化為系數(shù)和被開方數(shù)的運(yùn)算；（3）將系數(shù)和被開方數(shù)分別相乘；（4）結(jié)果化成最簡二次根式（或整式）.

分析：本題可以采用“0”點(diǎn)取值法，即令要討論的代數(shù)式值為0，求出代數(shù)式的值為0時字母的值，然后進(jìn)行分類討論.分類討論時要做到不重復(fù)、不遺漏.

綜上可知，原式=

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。17.1勾股定理八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時1一般三角形1.三角形內(nèi)角和為180?.

2.兩邊之和大于第三邊，

兩邊之差小于第三邊.

直角三角形1.三角形內(nèi)角和為180?.

2.兩邊之和大于第三邊，

兩邊之差小于第三邊.

3.斜邊中線等于斜邊一半.

4.兩銳角互余.知識回顧1.探索并掌握勾股定理的證明過程.2.熟練運(yùn)用勾股定理解決數(shù)學(xué)問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)3.通過利用勾股定理解決簡單問題，體會數(shù)形結(jié)合的思想.相傳2500多年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.課堂導(dǎo)入請你觀察一下地面的圖案，從中發(fā)現(xiàn)了什么？思考1

圖中三個正方形的面積有什么關(guān)系？

知識點(diǎn)：勾股定理的認(rèn)識與證明新知探究兩個小正方形的面積之和等于大正方形的面積.S1=S2+S3你是如何得到呢？思考2等腰直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.c2=a2+b2abc你能說一下思路嗎？探究等腰直角三角形有上述性質(zhì)，其他的直角三角形也有這個性質(zhì)嗎？

如圖，每個小方格的面積均為1，請分別算出圖中正方形A，B，C，A'

，B'

，C'

的面積，看看能得出什么結(jié)論？ABCA'

B'

C'

面積/格434259139你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？我發(fā)現(xiàn)SA+SB=SC，SA'+SB'=SC'

命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.通過上面的思考和探究，我們可以猜想：是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？這就需要我們對一般的直角三角形進(jìn)行證明．有哪些證明方法呢？證法一：趙爽弦圖

bbaaccab邊長分別為a，b的兩個正方形分割成四個直角三角形和一個小正方形.四個直角三角形和一個小正方形拼接成邊長為c的大正方形.bbaacacb如圖，左邊圖形的面積=

a2+b2，右邊圖形的面積=c2.∵右邊圖形由左邊圖形拼接而成，∴得到a2+b2=c2.證法二：加菲爾德總統(tǒng)拼圖bbaacc┐┌┌

∴a2+b2=c2.證法三：畢達(dá)哥拉斯拼圖bbbbaaaaccccbbbbaabaacc分別計算左右兩個正方形的面積，你能得出什么結(jié)論？bbbbaaaaccccbbbbaabaacc

證法四：劉徽“青朱出入圖”

abc青出青出青入青入朱入朱出青方朱方BCAa（勾）c（弦）b（股）勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.BCAa（勾）c（弦）b（股）

注意：1.勾股定理是直角三角形的特殊性質(zhì)，所以其適用的前提是直角三角形.2.運(yùn)用勾股定理時，一定要分清直角邊和斜邊，若沒有明確哪條邊是斜邊，則需要分類討論，寫出所有可能的情況，以避免漏解或者錯解.如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長分別為12，16，9，12，求最大正方形E的面積.

跟蹤訓(xùn)練新知探究與正方形A，B，C，D有何關(guān)系？

1.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，∠C=90?.已知a：b=1:2，c=5，求b.解：∵∠C=90?，a：b=1:2，∴b=2a.

隨堂練習(xí)

更多同類練習(xí)見《教材XX》數(shù)學(xué)RJ八下17.1節(jié)XX2.如圖，每個小正方形的邊長均為1，求三角形ABC的三邊長.

ABC3.已知直角三角形的兩條邊長為2，4，則第三條邊長為多少？未說明已知的兩條邊長是直角邊還是斜邊，在解答的時候要注意分情況討論，且要滿足三角形的三邊關(guān)系.解：（1）當(dāng)2，4均為直角邊時；

（2）當(dāng)2為直角邊，4為斜邊時；

勾股定理證明定理

劉徽“青朱出入圖”加菲爾德總統(tǒng)拼圖畢達(dá)哥拉斯拼圖趙爽弦圖課堂小結(jié)

解析：因為∠B=90?，所以b是斜邊，a，c是直角邊.

A拓展提升2.（2021?山西中考）在勾股定理的學(xué)習(xí)過程中，我們已經(jīng)學(xué)會了運(yùn)用如圖圖形，驗證著名的勾股定理，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學(xué)公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A.統(tǒng)計思想 B.分類思想 C.數(shù)形結(jié)合思想 D.函數(shù)思想C3.某直角三角形一直角邊長為3，另一直角邊和斜邊的和為9，求斜邊的長為多少？解：設(shè)斜邊長為x，則另一直角邊長為9-x.由勾股定理，得

化簡得

∴斜邊長為5.解得，.

謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進(jìn)入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀(jì)律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護(hù)公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。17.1勾股定理八年級下冊RJ初中數(shù)學(xué)課時2

勾股定理的4種證明方法：趙爽弦圖劉徽“青朱出入圖”加菲爾德總統(tǒng)拼圖畢達(dá)哥拉斯拼圖知識回顧1.學(xué)會利用勾股定理的數(shù)學(xué)思想解決生活中的實際問題.2.能熟練將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算.學(xué)習(xí)目標(biāo)這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用勾股定理解決實際問題.波平如鏡一湖面，3尺高處出紅蓮.亭亭多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊.離開原處6尺遠(yuǎn)，花貼湖面像睡蓮.請君動腦想一想，湖水在此深幾尺？課堂導(dǎo)入例1一個門框的尺寸如圖所示.（1）一塊長3m，寬1.5m的薄木板，能否從門框中通過？若能應(yīng)該如何通過？（2）一塊長3m，寬2.2m的薄木板呢？（3