2021年中考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編之二次函數(shù)綜合壓軸（解析版）

2021年中考數(shù)學(xué)模擬試題分類匯編之二次函數(shù)綜合壓軸

一、解答題

1.（2021?江蘇無錫市?九年級(jí)一模）如圖，已知拋物線），=*+4依-3與x軸交于4、

B兩點(diǎn)（A在8的左側(cè)），與丁軸交于點(diǎn)C,過點(diǎn)3的直線/與拋物線另一個(gè)交點(diǎn)為O,

與y軸交于點(diǎn)E,且DE=2EB,點(diǎn)4的坐標(biāo)（一6,0）.

（2）若尸是拋物線上的一點(diǎn)，尸的橫坐標(biāo)為根過點(diǎn)尸作軸，垂足

為"，直線PH與/交于點(diǎn)

①若CM將VC"尸的面積分為h2兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)機(jī)=—2時(shí)，直線P”上是否存在一點(diǎn)。，使NQDB=45。?如果存在，求出點(diǎn)。

的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由

【答案】⑴y=-x2+x-3；（2）0（-3,--）；②存在，（―2,-1）或（—2,3）

443

【分析】

（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)（F0）代入拋物線y=a?+4or-3,得36?—24/一3=0,求出

a=-f即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

4

ONDF

（2）①如圖1,過點(diǎn)。作于點(diǎn)N,由DN//OE,W—=—=2,則

BOBE

ON=2OB=4,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-4,-3）,由。（-4,-3）和點(diǎn)3（2,。）可得03的函數(shù)

關(guān)系式為y=1了一1,點(diǎn)P的竺標(biāo)為（機(jī),1川2+加一3）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（也]〃?-1）,

242

則尸”=一（!加2+〃[-3）,點(diǎn)若CM將ACT/Q的面積分為1:2兩部分，

42

得M佬=(或黑=<，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(m二加2+團(tuán)-3)，可得方程

HM2PM24

-(—m2+/?-3)=-3(—ni-1)-(im2+/n-3)=-—(―/n-1),求出tn并檢驗(yàn)即可求解：

42422

②第一種情況如圖2,將點(diǎn)。繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得U，DD與直線PH交于點(diǎn)。，

構(gòu)造K型全等△BDRW9BS，得RD=BS=3,/?H=DS=6,得點(diǎn)。的坐標(biāo)(T6),

由。。兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線的函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2得點(diǎn)。的坐標(biāo)；第

二種情況如圖3,將點(diǎn)。繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得￡T,DD與直線PH交于點(diǎn)、Q，構(gòu)

造K型全等△BDS三Z)BR,得RD=BS=3,RB=DS=6,得點(diǎn)。的坐標(biāo)(5,-6),

由DD兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線DD的函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2得點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)(-6。代入拋物線y=o?+4o￥—3,

得癡一24.-3=0,求出。=一，

4

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x-3,

4

(2)①當(dāng)產(chǎn)0時(shí)，一%2+x—3=0>解得：％——6,x>=2,

4

如圖1,過點(diǎn)。作。N_LA3于點(diǎn)N,

?：DNIIOE,

.ONDE_

??---=------=2,

BOBE

:.ON=2OB=4,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-4,一3）,

設(shè)直線DB的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

試卷第2頁(yè)，總177頁(yè)

2攵+8=0

把。（-4,-3）和點(diǎn)仇2,0）代入得《

-4k+b=-3

k=—,b-—\>

2

DB的函數(shù)關(guān)系式為y=—1?

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(丸，〃/+加一3),

4

「?點(diǎn)M的坐標(biāo)為(肛;加一1),

PH=-(—nr+in—3)MH=-(—/n-1),

4t2

\-CM將ACHP的面積分為1:2兩部分，

.PM1.HM1

?-----=—或----=一,

HM2PM2

3

:.PH=3HM或PH=-HM,

2

解得利=0或2（都不合題意舍去），m=一3或2（2不合題意舍去）,

???點(diǎn)2的坐標(biāo)為（一3,-?）；

4

②分兩種情況，

第?種情形，如圖2,將點(diǎn)。繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得），DD與直線PH交于點(diǎn)Q，

..Riy=BS=3,RB=DS=6,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)(T，6),

設(shè)DD的函數(shù)關(guān)系式為y=履+匕，

把0(-4,-3)和。(-1,6)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

—k+b=6

得4,

[-4k+b=-3

求得左=3,b=9,

???直線DD的函數(shù)關(guān)系式為y=3%+9,

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-2,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-2,3)；

第一種情形，如圖3,將點(diǎn)。繞點(diǎn)△逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。得￡T,即與直線尸H交于點(diǎn)Q,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)(5,-6),

設(shè)。。的函數(shù)關(guān)系式為丁=履+6,

把￡>(-4,-3)和。(5,-6)兩點(diǎn)坐標(biāo)代入

5k+b=-6

得《，

\-4k^b=-3

113

求得々=一上，b=-—,

試卷第4頁(yè)，總177頁(yè)

i13

???直線DD的函數(shù)關(guān)系式為y=g*,

???點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為一2，

.??點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-Z-藍(lán)）.

綜上所述：點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-2,-日）或（-2,3）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)的待定系數(shù)法，K型全等等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是利

用45。構(gòu)造K型全等.

2.（2021?山東濟(jì)南市?九年級(jí)二模）如圖，已知二次函數(shù)），=標(biāo)+歷（#0）的圖象與

x軸交于4（1,0）、B（4,0）i與y軸交于點(diǎn)C,直線y=--X+2經(jīng)過3,。兩

點(diǎn)，

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)。是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)。在直線5c的下方時(shí)，ABC。的面積為4,求點(diǎn)。

的坐標(biāo)；

（3）過（2）中的點(diǎn)。作QE〃）軸，交x軸于點(diǎn)E.點(diǎn)M是拋物線x軸上方的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，是否存在以E、M、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形（其中M為直角頂點(diǎn)）與ABOC

相似？如果存在，求出滿足條件的M的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）丁=3/一_|工+2；（2）。（2,-1）；（3）存在，點(diǎn)“坐標(biāo)為3+6,

或(2-立堂卜(^15+屈)或［?,3+如、

【分析】

(1)求出點(diǎn)C坐標(biāo)，將4、B、。坐標(biāo)代入拋物線，即可求解.

(2)設(shè)出直線8C平移后的函數(shù)，令直線與拋物線函數(shù)相等，/等于零，求出。坐標(biāo)

即可.

(3)利用△A/ENS-BC,得到兩種情況NME2N0CB,NMEN=NOBC；利用

由2EMN2,tan?EMN得到M的橫坐標(biāo)的方程，解方程即可.

2

【詳解】

(1)由題意知：直線y=-gx+2經(jīng)過B,。兩點(diǎn)

二將x=0代入直線，解得y=2

/.C(0,2)

由題意知：4(1,0),8(4,0),C(0,2)代入拋物線，

\a+b+c=0

可得］16。+4Z?+c=0

fc=2

解得4,b=--,c=2

22

???拋物線解析式為)，=gf-|x+2.

(2)由題意知：設(shè)直線BC平移后的函數(shù)為y=-gx+2+m

??,直線8c平移后與拋物線有唯一公共點(diǎn)Q,

125c1

..—x-x+2=—x+2+/w

222

化簡(jiǎn)得2x-m=0

2

D=〃?4ac=4?4倉(cāng)*(-m)=0

即相=一2

???直線平移后的函數(shù)為y=--x

2

試卷第6頁(yè)，總177頁(yè)

1

-x+2=-—x

22

解得x-2,y=-l

i5、

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為--nt+2,

IZL）

???以E,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角三角形（其中M為直角頂點(diǎn)）與ABOC相似,

:.AMEN=/OBC,

過點(diǎn)M作MH_Lx軸于”，

..NEHM=90。=/BOC，

.△EHMsABOC，

EHOB

--w+2,EH=|m-2|

???。8=4,OC=2.

.tan^EMN=--—=2

,*1)5c

—nV——m+2

22

:.m=3+￡或m=2—&?

當(dāng)/w=3+>/3時(shí)，—/n2——/??+2=——

222

:.M3+瓜

當(dāng)m=2—a時(shí),—m2-—m+2=^^-?

222

2-V2,—

2

②當(dāng)△NEMs^OBC時(shí)，

|/n-2|

tanNEMN=--!—―!——

同①的方法得,125c2?

-nv——m+2

22

?.m=或/?=

2

2=3+V17,

或上夜當(dāng)或隹聲

即滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為,5+后或

21?2

fl-V17

2

試卷第8頁(yè)，總177頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一次函數(shù)平移與二次函數(shù)的綜合問題，以及一次函數(shù)平移與二次函數(shù)的

交點(diǎn)問題，正確掌握一次函數(shù)平移與二次函數(shù)的綜合問題，以及一次函數(shù)平移與二次函

數(shù)的交點(diǎn)問題的解法是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?廣東廣州市?九年級(jí)一模)如圖①，拋物線-+c經(jīng)討點(diǎn)A(4,3)

對(duì)稱軸是直線x=2.頂點(diǎn)為8.拋物線與軸交于點(diǎn)C,連接AC,過點(diǎn)A作AD_Lx

軸于點(diǎn)。，點(diǎn)E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、。兩點(diǎn)重合).

(1)求拋物線的函數(shù)解析式和頂點(diǎn)區(qū)的坐標(biāo)；

(2)若直線跳:將四邊形AC8分成面積比為1：3的兩個(gè)四邊形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)如圖②，連接OE,作矩形DEFG,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)G落在

軸上的同時(shí)點(diǎn)尸也恰好落在拋物線上？若存在，求出此時(shí)AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說

明理由.

IQ|94

【答案】(1)y=——x2+x+3(2,4)：(2)(―?3)或(七，3)：(3)存在，—

4t553

【分析】

-1X42+4^+C=3

4\b=\

(1)由題意得出〈b.，解得｛C，得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：

--------=2c=3

2x(-4)

y=+X+3=~U-2)2+4,即可得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4)：

44

(2)求出。(0,3),設(shè)點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(根,3),求出直線砧的函數(shù)表達(dá)式為：

y=—tx+絲與，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4帆-6,0),由題意得出oc=3,AC=4,

m-2m-2

OM=4/z?-6，CE=m,則/形ACW=12,s梯形區(qū)加=歿色，分兩種情況求出山的

值即可;

⑶過點(diǎn)尸作FN4C于M則版〃CG,設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為：3,-*+43)’

則N/=3—(一1/+4+3)='/一〃，NC=-a,證=/XOGa4sA),得出

44

NENF

NE=OD=AC=4,貝ij4f=NC=-a,證AENFs^DAE,得出一=—,求出

ADAE

44

a=——或0,當(dāng)。=0時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，舍去，得出AE=NC=-4=Q,即可得

33

出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)???拋物線y=——f+法+。經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),對(duì)稱軸是直線x=2,

4

--x42+4b+c=3

4b=\

bc，解得：，

----------r=2c=3

2x(--)

4

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：)-%+，+3,

二?頂點(diǎn)5的坐標(biāo)為(2,4)；

(2)vyx2+x+3,

4

."=0時(shí)，y=3,

則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),

???A(4,3),

ACHOD,

,:AD_Lx,

二四邊形ACOD是矩形,

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(肛3),直線BE的函數(shù)表達(dá)式為：>=依+",直線班:交x軸于點(diǎn)M,

如圖1所示:

試卷第10頁(yè)，總177頁(yè)

圖1

2k+n=4

mk+〃=3

m-2

直線BE的函數(shù)表達(dá)式為：丁二二工+如《，

m-2rn-2

—1-6

令丁=----x+------=0,則上=4/〃-6,

m-2m-2

點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4/?-6,0),

???直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩部分，

???點(diǎn)M在線段。。上，點(diǎn)MK與點(diǎn)。重合，

???C(0,3),A(4,3),M(4〃L6,0),E(m,3),

OC=3,AC=4,OM=4^2-6,CE=m,

S矩％con=℃,AC=3x4=12,

S梯形改珈=:(OM+EC)OC=:(4m—6+"，)x3=^^，

Z/z

分兩種情況：

q.15川-18

①梯…即2_1,

3矩形/tcoo4-4

8

解得：加二工,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為：g,3）；

C215機(jī)一18

②27,即3

-

3矩形ACOD4IO4

解得：m=—

12

二?點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，3）；

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：g,3）或（5，3）；

（3）存在點(diǎn)G落在>軸上的同時(shí)點(diǎn)尸恰好落在拋物線上；理由如下:

由題意得：滿足條件的矩形OEPG在直線AC的下方，

過點(diǎn)尸作EN_LAC于N,則N///CG,如圖2所示：

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為：（。，一：/+4+3）,

4

則可r=3_（__-a2+a+3）=—a2-a,NC=—a?

44

???四邊形DEFG與四邊形ACOD都是矩形，

:.ZDAE="EF=NN=期,EF=DG,EF//DG,AC//OD,

^NEF=NODG,^EMC=ZDGO,

'.'NF//CG,

:.ZEMC=ZEFN,

:.ZEFN=ZDGO,

在MFN和ADGO中，

NNEF=NODG

EF=DG,

/EFN=ZDGO

AEFN=ADGO(ASA),

..NE=OD=AC=4,

..AC-CE=NE-CE,即AE=NC=—a,

ZDAE=ZDEF=NN=90°,

:.ZNEF+NEFN=驕,ZNEF+ZDEA=90°,

:./EFN=/DEA,

NENF^^DAE,

，些="，即4

ADAE曠二^

3

整理得：-?2+?=o,

4

4

解得：Q=-"J或。，

試卷第12頁(yè)，總177頁(yè)

當(dāng)。=0時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，

/.a=0舍去，

八4

AE=NC=—ci——,

3

4

???當(dāng)點(diǎn)G落在）'軸上的同時(shí)點(diǎn)尸恰好落在拋物線上，此時(shí)AE的長(zhǎng)為不.

3

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)解析式的求法、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)

解析式的求法、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似

三角形的判定與性質(zhì)、梯形面積公式等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，屬于中考?jí)狠S題型.

4.（2021?廣東深圳市?九年級(jí)二模）如圖1,拋物線丁=/+陵+。與工軸交于點(diǎn)

人（一3,0）、B,與），軸交于點(diǎn)C（0,-3>

（2）在拋物線上求點(diǎn)P,使Sg=2S.BC。，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）如圖2,直線），=戈+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M,若N是拋物線y=x2+bx+c

上一點(diǎn)，旦/MAN=NOCB,求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】⑴y=x2+2x-3；(2)(-2,-3)或(3,12)；(3)'卜,/或(3,12)

【分析】

(1)直接將A、。兩點(diǎn)坐標(biāo)帶入到解析式中，解方程組，可以求得拋物線解析式；

(2)過P作BC的平行線與拋物線相交，此平行線上任意一點(diǎn)與5和C兩點(diǎn)所構(gòu)成的

三角形面積均等于3,由AMBC面積為3,可以求得M點(diǎn)坐標(biāo)，再由直線8c解析式，

可以求得直線PM的解析式，聯(lián)立直線PM與拋物線解析式，即可解決；

(3)利用△BCO,可以求得tanZBCO,從而得到tanNMAN,接聯(lián)立拋物線與直線廠:+3,

可以求得交點(diǎn)A、M坐標(biāo)，則N的位置可以分為在4M上方和AM下方，利用M為直

角頂點(diǎn)，AM為直角邊，構(gòu)造一線三等角相似，從而求得直線AN的解析式，聯(lián)立AN

與拋物線解析式，從而求得交點(diǎn)N的坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)將C(0,-3)代入到拋物線解析式中得，c=-3,

將8(-3,0)代入到拋物線解析式中得，9-38-3=0,

：.b=2t

???拋物線解析式為：產(chǎn)？+2x-3；

(2)令尸0,則］2+2X-3=0,

解得劉=-3,X2=i>

：.B(1,0),

?1八3

:,SABCO=—OB?OC=-,

22

,**SABC尸2sGBCO,

??SABCP=3?

如圖1,過尸作交4軸于M,連接MC,則S.MBLSA8b=3,

試卷第14頁(yè)，總177頁(yè)

.」MB?0C=3,

2

:?MB=2,

：.M(-1,0),

設(shè)直線BC為產(chǎn)kix-3,

代入點(diǎn)8(1,0)得，h=3,

J直線BC為：y=3x-3f

則直線PM設(shè)為：y=3x+b,

代入點(diǎn)M(-1,0)得，b=3,

???直線PM為：y=3x+3,

y=3x4-3

聯(lián)立《

y=x2+2x-3

=3X2二-2

解得

7.=12.%=一3

:?P(3,12)或(-2,一3)；

(3)???直線尸x+3交拋物線于第一象限的點(diǎn)M,

y=x+3

???聯(lián)立，

[y=x2+2x-3

X=-3X=2

解得2

y=0、%=5

?M(-3,0),M(2,5),

在RthOBC中，tanNOCB=---=—,

OC3

1

：.um/MAN=lan/OCB=-，

3

①如圖2,當(dāng)N在AM下方時(shí)，過A作)，軸平行線，過M作x軸平行線，兩線交于點(diǎn)G

過M作MQrAM交4N于Q,過。作y軸平行線交GM于H,

：.ZAGM=ZMHQ=90Q,

/.NAMG+NGAM=90°,

又AM_LMQ,

/.NAMQ=90°,

:.NAMG+N”M0=9O。,

：.ZGAM=ZHMQf

又ZAGM=ZMHQ=9Q0,

:?/\AGMs叢MHQ,

.MHHQ_MQ

tan?MAN

?石一~GM~~AM3

VA(-3,0),M(2,5),

???AG=5,GM=5,

5

：.MH=HQ=-,

“J,

33

設(shè)直線AQ為：y=k2(A+3),

代入點(diǎn)Q,得22=-t

13

:.直線AQ為y=萬(wàn)x+］，

13

y=-x+—

聯(lián)立《22

y=x2+2x-3

化簡(jiǎn)得，2?+3x-9=0,

試卷第16頁(yè)，總177頁(yè)

3

解得尸一或一3(舍去)，

2

39

當(dāng)戶一時(shí)，y=—,

24

39

**?N(一,一),

24

②當(dāng)％在AM上方時(shí)，

同理可得，N(3,12),

39

?*?N(一,一)或(3,12).

24

【點(diǎn)睛】

此題考查的是二次函數(shù)綜合題，考查了面積問題和角的存在性問題，面積問題，通過構(gòu)

平行線轉(zhuǎn)化，角的存在性問題，利用已知點(diǎn)構(gòu)造一線三等角相似來求解，數(shù)形結(jié)合，一

定要注意分類討論.

5.(2021?廣東廣州市?九年級(jí)一模)如圖，拋物線)，=/+法過點(diǎn)4(1,0)、點(diǎn)

B(-5,0),點(diǎn)尸是拋物線上x軸下方部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接過點(diǎn)A作AQ_LPA

交拋物線于點(diǎn)。，作直線PQ.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(-3,-8),求點(diǎn)。坐標(biāo)；

(3)判斷在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過程中，直線尸。是否過定點(diǎn)？若存在定點(diǎn)，則求出定點(diǎn)坐標(biāo);

若不存在，請(qǐng)說明理由.

1113

【答案】(1)y=x+4x—5；(2)Q(—■—)；(3)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(—5,1).

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A8的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可得:

（2）如圖（見解析），設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為。（m，〃/+45）,先根據(jù)相似三角形的判定

可得APAE?再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得空=空，從而可得加的值，

AEPE

由此可得出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）如圖（見解析），設(shè)直線PQ解析式為〉=。氏+4，P（xp,yp）,Q（xQ,yQ）f先根

據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)立、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得小+々=〃-4,

xPxQ=-5-qf再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得竺=竺，由此可得〃+4=0

AEPE

或4-5〃-1=0,然后據(jù)此分兩種情況討論即可得出答案.

【詳解】

解：（1）???拋物線y=/+以+c過點(diǎn)A（I,O）、點(diǎn)趴一5,0）,

*\+b+c=0

??125-58+。=0'

8=4

解得〈「，

c=-5

則拋物線的解析式為y=x2+4x-5：

（2）如圖，設(shè)。（外加？+4m一5）,過點(diǎn)P作尸E_LA8于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作Q尸，48于

點(diǎn)F,

/.ZAEP=ZAFQ=90°,QF=m2+4m-5,AF=l—tn?

?.?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-3,-8),

???PE=8,AF=l-(-3)=4,

試卷第18頁(yè)，總177頁(yè)

VAQLPAt

：.ZPAQ=90°,

...NQ4E+NQA斤=90。，

???ZAQF+NQAF=180°-ZAFQ=90°,

???NPAE=ZAQF,

ZPAE=ZAQF

在/VVIE和"Q/中，?

ZAEP=ZAFQ=90°

/.^PAE,

.QFAFm2+4in-5\-m

??---=----,即------------=-----,

AEPE48

解得〃2=-1■或帆=1（此時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，不符題意，舍去），

2

力11葉2/11?,f1013

當(dāng)機(jī)=--時(shí)，tn+4w-5=----+4x---------5=c一,

212；12；4

???Q（-我）；

乙r*

（3）點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過程中，直線尸。過定點(diǎn)（-5,1）,求解過程如下：

設(shè)直線PQ解析式為〉=*+9，產(chǎn)（%,力），。（勺，＞0）,

貝|J%=Pa=吸+4，

VP（xpiyp）,。（%,%）是直線尸。與拋物線丁=/+4］一5的交點(diǎn)，

:.XP，XQ是方程f+4x-5=px+q,即爐+（4-〃）工一5-4=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

：.xp+xQ=p-4txPxQ=-5-q,

如圖，過點(diǎn)P作尸石_LAB于點(diǎn)E，過點(diǎn)。作。尸，AB于點(diǎn)E

則AE=l_x°,PE=-yP,AF=l-xQ,QF=yQ,

同(2)可證：LPAE^LAQF.

?QFAFnn%」一總

??--=----，即------=------，

AEPE\-xp-yp

A(1-Xp)(l-xQ)=-yPyQ=~(pxp+q}(pxQ+q),

22

整理得：1+(W-l)(xP+xG)+(p+l)XpXQ+q=0,

???1+(〃4-1)(〃-4)+(〃2+1)1-5-4)+d=0,

，(P+4)(夕一5〃-1)=0,

解得p+q=0或=0,

①當(dāng)〃+4=0,即〃=一夕時(shí)，

直線PQ解析式為〉=〃比一〃，

當(dāng)x=l時(shí)，y=p-p=0t

此時(shí)直線尸。過定點(diǎn)(1,0),即經(jīng)過點(diǎn)A,與題意不符，舍去；

②當(dāng)夕一5p—1=0,即q=5p+l時(shí)，

直線P。解析式為丁=〃氏+5〃+1,

當(dāng)”二—5時(shí)，y=-5p+5p+\=\,

此時(shí)直線PQ過定點(diǎn)(一5,1),

綜上，在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過程中，直線尸。過定點(diǎn)(-5,1).

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是

試卷第20頁(yè)，總177頁(yè)

題(3),利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出p+4=0或夕—5〃-1=0是解題關(guān)鍵.

6.(2021?吉林長(zhǎng)春市?九年級(jí)一模)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)

y=-x2-2x+a2-}(。工0,且。為常數(shù))的圖象記為G.

a

(1)當(dāng)點(diǎn)。在圖象G上時(shí)，求。的值.

(2)當(dāng)圖象G的對(duì)稱軸與直線x=-2之間的部分的函數(shù)值y隨x增大而減小時(shí)(直線

工=一2與對(duì)稱軸不重合)，求。的取值范圍.

(3)當(dāng)圖象G的部分的圖象的最低點(diǎn)到x軸的距離是.r<2“部分圖象的最低點(diǎn)

到x軸的距離的2倍時(shí)，求。的值.

(4)以點(diǎn)A(0,-l)為對(duì)稱中心，以|44為邊長(zhǎng)作正方形，使該正方形的邊與坐標(biāo)軸平

行或垂直.若圖象G與該正方形的某條邊只有兩個(gè)交點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為同，

直接寫出。的值.

【答案】(1)±1;(2)當(dāng)—2或。>0;(3)。=5+\/26或〃=-1+5/2；(4)U=—

4

-U

或。二一

4

【分析】

(1)把原點(diǎn)0(0,0)代入)=,/-2%+42-1即可求解；

a

(2)分4〉0和a<0兩種情況討論，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求

解；

(3)根據(jù)圖象G的4之4々部分的圖象有最低點(diǎn)，知a〉0.分別求得圖象G的

部分和xv2a部分的最低點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)題意列方程求解即可；

(4)如解圖，G與正方形某邊有兩個(gè)交點(diǎn)，只可能與BE或CD相交出兩個(gè)交點(diǎn)，分a>0

和avO兩種情況討論，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解.

【詳解】

解：(1)???點(diǎn)。在圖象G上，

——2x+a?-1=0?即a?—1=0.

a

解得％=1,a2=-1.

的值為±1.

（2）拋物線了=一/一2X+〃2-I的對(duì)稱軸是直線x=

a

當(dāng)。＞0時(shí)，拋物線開口向上，

.?.當(dāng)。＞0時(shí)，直線工一。與直線x=-2之間的部分的函數(shù)值），隨A增人而減小.

當(dāng)。＜0時(shí)，拋物線開口向下，

???當(dāng)。V-2時(shí)，直線4=。與直線x=一2之間的部分的函數(shù)值y隨%增大而減小.

，當(dāng)。＜一2或。＞0時(shí)，直線與直線x=-2之間的部分的函數(shù)值y隨x增大而減

小.

（3）???圖象G的xN4a部分的圖象有最低點(diǎn)，

，。＞0.

圖象G的xN4a部分的圖象有最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（4〃，/+8。一1）.

而xv2a部分圖象的最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（〃，a2-a-Y）.

?a2+8。-1=2（/一。一1）

解得4=5+V26,a2=5—V26（舍去）.

②/+8。-1=-2（/

q=—1+五，4=-1-立（舍去）.

③當(dāng)圖象G的％之4。部分的圖象最低點(diǎn)與xv勿部分圖象的最低點(diǎn)均在x軸下方，不

符合題意.

綜上所述，。的值為a=5+或4=一1+J5.

（4）取正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別為B8E,

B、E的縱坐標(biāo)為-1+2同，

C、O的縱坐標(biāo)為一1一2同，

G與正方形某邊有兩個(gè)交點(diǎn)，只可能與3E或8相交出兩個(gè)交點(diǎn),

試卷第22頁(yè)，總177頁(yè)

當(dāng)。>0時(shí)，B、七縱坐標(biāo)為一1+2〃可得:

a

整理得：x2-2ax-^a3-2a2=0?

i2

設(shè)方程的兩根為王、x2,則七-±=2〃，xix2=a-2a1-x2=a,

2

-/J=/，貝iJ&+x2）-=/，

解得：a=~；

4

當(dāng)與CO邊相交時(shí)，C、。邊縱坐標(biāo)為一1-2跖

—1—2a=-—2x+。2—1,且％]—%2=。，

a

無解；

當(dāng)"0時(shí)，6、￡縱坐標(biāo)為一1一2?,

—1~2cl=-x2-2x+a""一[且x-%=〃，

a

解得：a=一~-.

4

當(dāng)與C。邊相交時(shí)，C、?？v坐標(biāo)為一l+2a,

1>,

-1+2a=—x--2x+a,且看一%=。，

a

無解.

綜上：a=—或。=—.

44

【點(diǎn)睛】

本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、解一

元二次方程、分類討論等知識(shí)；熟練掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?天津九年級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=-2/+/+3的

4

對(duì)稱軸是直線X=2,與x軸相交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)），與）'軸交于點(diǎn)C.

(I)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(IDM為第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN_Lx軸于點(diǎn)N,交5c于

點(diǎn)。，連接CM,當(dāng)線段CM=C。時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(IH)以原點(diǎn)。為圓心，A。長(zhǎng)為半徑作。。，點(diǎn)P為。。上的一點(diǎn)，連接8尸，CP,

求2PC+3PB的最小值.

【答案】(1)、=-：(x-2)2+4,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)；(H)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4)；

(III)2PC+3PB的最小值為2病.

【分析】

(1)根據(jù)對(duì)稱軸公式可求得拋物線的解析式，再寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可

(2)先寫出A、B、C的坐標(biāo)再寫出直線BC的解析式，利用兩點(diǎn)之間的距離公式列方

程即可求解；

⑶先證明△尸OGS.COP,再由當(dāng)6,p,G三點(diǎn)共線時(shí)，尸8十?G的值最小，最

小值即為BG的值，利用勾股定理即可

【詳解】

b-1

(I)Vx-.......=2,a=—,

2a4

:?b=l.

???拋物線的解析式為丁=-：/+x+3.

4

:.y=--x2+x+3=-—(X-2)2+4,

44

???拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4)；

(II)連接CM,過點(diǎn)。作CE_LMN于點(diǎn)E，

Vy=~x2+x+3,令x=0,貝i」y=3,

4

???C(0,3).

1)

令y=0,即——x~+x+3=0,

4

試卷第24頁(yè)，總177頁(yè)

解得Xj=6,x2=-2.

：.A(-2,0),3(6,0).

設(shè)直線BC的解析式為y=依+b,

將8(6,0),C(0,3)代入)，=履+6,

⑹:+6=0k=--

得修，解得2,

b=3

:.直線BC的解析式為y=-;x+3.

???點(diǎn)M在拋物線上，點(diǎn)。在5C上，MNJLx軸，

工設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(機(jī),一；加2+根+3),點(diǎn)O坐標(biāo)為w,-^m+3

?qm1，o(1八123

4I2J42

'：CM=CD,OC=EN=3,

：.MD=2ED=2x3—(一；加+3)]=相,

I3

又?:MD=——m2+—m,

42

13八

/.—m2+—m=m即m(m-T)=0,

42f

解得帆=2或帆=0(不合題意，舍去)，

:.機(jī)=2,

當(dāng)m=2時(shí)，y=——x22+2+3=4,

4

，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,4).

(III)如圖，連接OP,在OC上截取OG，

使得變二絲二2

OPOC3

連接PG,BG,此時(shí)OG=g,G(O,g

?.OGOP

/P0G=4C0P,

'~OP~~OC

A^POG^LCOP.

2PC+3PB=3-PC+PB=3(PB+PG).

3

，當(dāng)5,P,G三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PG的值最小，最小值即為BG的值.

。'2

???BG=NOG?+OB?=J+6=^Y-^

???2PC+3尸8的最小值為2屈.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)、有拋物線的對(duì)稱軸，相似三角形、最值問題、勾股

定理，一元二次方程，熟練進(jìn)行等角的轉(zhuǎn)換是關(guān)鍵

8.（2021?山東淄博市?九年級(jí)二模）如圖（1）,拋物線》=-爐+加:+c,與x軸交于點(diǎn)

4（5,0）、點(diǎn)C（&,0）,且王，占滿足%+%2=2,%?42=-3,與）'軸交于點(diǎn)

B.￡（機(jī)0）是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)七.作石P_Lx軸于點(diǎn)七，交拋物線于點(diǎn)尸.

（1）求拋物線解析式.

（2）如圖（2）,直線樣交直線A3于點(diǎn)￡），連接尸8.

①點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若△尸3。是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②點(diǎn)￡在大軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，若NPBD+NCBO=45。，請(qǐng)求出川的值.

試卷第26頁(yè)，總177頁(yè)

（3）如圖（3）,點(diǎn)Q是直線所上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CQ,將線段C。繞點(diǎn)Q逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)120。，得到線段。尸，當(dāng)機(jī)=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出P尸的最小值.

7

【答案】（1）丁=一12+21+3；（2）①（2,0）,（1,0）,（3-應(yīng),0）；②相=§或帆=5；

（3）2+8

【分析】

（1）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得4c的值，進(jìn)而即可得到答案；

（2）①先求出NPO8=45。，再分三種情況：a）當(dāng)PB=PD時(shí)，b）當(dāng)時(shí)，c）當(dāng)

時(shí),分別求出結(jié)果，即可；②分兩種情況：。）當(dāng)點(diǎn)P在工軸上方時(shí)，b）當(dāng)點(diǎn)

。在上軸下方時(shí)，分別求出機(jī)的值，即可；

（3）在尸E上取一點(diǎn)M,使得加（1,點(diǎn)~）,連接CM,AM,可證明△CMQs^CAE,

3

從而得點(diǎn)。在直線EP上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)尸在過點(diǎn)A的特定直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)且僅當(dāng)PFJ_GF

時(shí)，P尸取得最小值，進(jìn)而即可求解.

【詳解】

解：（1）.??拋物線yn-d+bx+c與x軸交于點(diǎn)/4（5,0）、點(diǎn)。（々,0）,且X],W滿

足X+%=2,x,=-3,

?,bc.

??%+W=--=2,-x2=—=-3,

/.h=2,c=3,

???拋物線表達(dá)式為：y=-x2+2x+J；

（2）①???OA=O3=3,

：.ZOAB=45°t

又???PE_Lx軸，

???ZADE=ZOAB=45°,

???NPDB=45。,

a）當(dāng)P3:PD時(shí)，NPBD=NPDB=45。,則NBPD=90°,

??.8P〃工軸，

???丁夕=）%=3，即：-X2+2X+3=3＞解得：m2或0（舍去），

??.*2,0),

h)當(dāng)P/V8。時(shí)，貝|JNP8Q=9O°,

，直線8P的解析式為：y=x+3,

，聯(lián)立《y=x+3

,解得:A=1或0(舍去),

[y=-X2+2X+3

:.七2。，。)，

c)當(dāng)PD=BO時(shí)，過點(diǎn)8作BFJ_P。，則△8FD是等腰直角三角形,

：.PD=BD=y/2BF,

：-41x=-x2+2x+3-(-x+3),解得：戶3-0或0(舍去)，

???￡(3-60)，

綜上所述：E的坐標(biāo)為(2,0),(1,0),(3-72,0)；

@VC(-1,0),8(0,3)

???直線C8的解析式為：y=3x+3,

a)當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖2,

VZOBA=45°fNP8D+NC8g5。，

：.BP±CBt

，直線3P的解析式為：y=--x+3t

3

i7

—m+3=-nv+2m+3,解得：一或加=0(舍去);

33

b)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，設(shè)5P交k軸于點(diǎn)N,

???NO8A=45°,即：ZPBD+ZOBN=45°

又??,/PBD+/CBO=45。,

：.NOBN=NCBO,

":NBOC二NBON=90。,OB=OB,

；?△BOCABON，

：.ON=OC=\,即：N(l,0),

試卷第28頁(yè)，總177頁(yè)

???由待定系數(shù)法可得，直線3尸的解析式為：）=3x+3,

聯(lián)立一根2+2根+3=-3m+3，解得：機(jī)=5或陽(yáng)=0（舍去）,

7

綜上所述：，〃二一或5：

3

(3)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，E(l,0),P(L4),

VA(3,0),C(?l,0),

：.CE-AE-2,

在PE上取一點(diǎn)M,使得M（l,冬叵），連接CM,AM,

3

:.CM=2ME,

???NMCA二NMAG30。，CA二石CM，

...NCMA=120。，ZCA/E=ZA/WE=30°,

;線段CQ