2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【分類討論】方程（組）和函數(shù)中的分類討論（解析版）

方程（組）和函數(shù)中的分類討論知識方法精講1．含絕對值符號的一元一次方程解含絕對值符號的一元一次方程要根據(jù)絕對值的性質(zhì)和絕對值符號內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對值符號得到一般形式的一元一次方程，再求解．例如：解方程|x|＝2解：去掉絕對值符號x＝2或﹣x＝2方程的解為x1＝2或x2＝﹣2．2．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：（1）探索規(guī)律型問題；（2）數(shù)字問題；（3）銷售問題（利潤＝售價﹣進價，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問題；（7）和，差，倍，分問題；（8）分配問題；（9）比賽積分問題；（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個步驟1．審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．3．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時滿足三個條件：①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；②只含有一個未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．5．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．6．函數(shù)關(guān)系式用來表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關(guān)系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y＝x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．7．動點問題的函數(shù)圖象函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．用圖象解決問題時，要理清圖象的含義即會識圖．8．一次函數(shù)的定義（1）一次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．（2）注意：①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)?其解析式為y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的形式．②一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k≠0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項b可以為任意實數(shù)．③一般情況下自變量的取值范圍是任意實數(shù)．④若k＝0，則y＝b（b為常數(shù)），此時它不是一次函數(shù)．9．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．10．一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點坐標(biāo)是（0，b）．直線上任意一點的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．11．一次函數(shù)圖象與幾何變換直線y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）①關(guān)于x軸對稱，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關(guān)于X軸對稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）②關(guān)于y軸對稱，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關(guān)于y軸對稱，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來的相反數(shù)）③關(guān)于原點對稱，就是x和y都變成相反數(shù)：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關(guān)于原點軸對稱，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)）12．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．13．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．14．拋物線與x軸的交點求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．（2）二次函數(shù)的交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．15．坐標(biāo)與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標(biāo)變化①向右平移a個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個圖形各個點的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）16.分類討論思想每個HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進行研究，還有些問題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會影響問題的解決，由上述幾類問題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問題根據(jù)題目的特點和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱之為分類討論思想。一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?黔西南州期末）如圖，數(shù)軸上的點和點表示的數(shù)分別是0和10，是線段上一動點．點沿以每秒2個單位長度的速度往返運動1次，是線段的中點，設(shè)點運動的時間為秒．在點運動的過程中，當(dāng)時，則點運動的時間的值為A．或 B．3或7 C．或或或 D．3或或7或【考點】一元一次方程的應(yīng)用；數(shù)軸【分析】分與兩種情況進行討論，根據(jù)列方程，求解即可．【解答】解：①當(dāng)時，動點所表示的數(shù)是，，，，或，解得或；②當(dāng)時，動點所表示的數(shù)是，，，，或，解得或．綜上所述，運動時間的值為或或或．故選：．【點評】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸上點的位置關(guān)系，根據(jù)點位置的不同正確進行分類討論，進而列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋?撫順期末）關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點】一元二次方程的定義；根的判別式【分析】由于方程有實數(shù)根，當(dāng)方程為一元二次方程時，令△，即可求出的取值范圍，要注意，．再令方程為一元一次方程，進行解答．【解答】解：當(dāng)方程為一元二次方程時，，即．關(guān)于的方程有實數(shù)根，△，解得；，當(dāng)方程為一元一次方程時，且，則，綜上，時方程有實數(shù)根．故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，注意要分類討論，對一元一次方程和一元二次方程分別解答．3．（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著運動，同時點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿著運動，其中一點到達終點，另一點也停止運動，設(shè)，時間為，則與之間的函數(shù)圖象大致為A． B． C． D．【考點】動點問題的函數(shù)圖象【分析】利用分類討論的思想方法分四種情況討論解答：①，②，③，④；依據(jù)的取值范圍畫出對應(yīng)的圖形，求出對應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)時，此時，點在上，點在上，由題意得：，．．，此時函數(shù)的圖象是以和為端點的線段；②當(dāng)時，此時點在上，點在上，如圖，由題意得：，．，．，此時函數(shù)的圖象為開口向下，對稱軸為直線的拋物線的一段；③當(dāng)時，此時點，均在線段上，此時，函數(shù)圖象為軸上以和為端點的線段；④當(dāng)時，此時點在線段上，點在線段上，如圖，由題意得：，．．．，當(dāng)時，．此時的函數(shù)的圖象是拋物線上以和為端點的一段．綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為，故選：．【點評】本題主要考查了動點問題函數(shù)的圖形，利用分類討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?江門期末）如圖，等腰直角三角形的邊和矩形的邊在軸上，，，．將矩形沿軸正方向平移個單位，所得矩形與公共部分的面積記為．將看作的函數(shù)，當(dāng)自變量在下列哪個范圍取值時，是的一次函數(shù)A． B． C． D．或【考點】一次函數(shù)的定義；等腰直角三角形；坐標(biāo)與圖形變化平移【分析】分，，，，，討論即可得出結(jié)果．【解答】解：，，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動時，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動時，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動時，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動時，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動時，，當(dāng)矩形在時范圍內(nèi)移動時，，綜上所述，矩形在或范圍內(nèi)移動時，是的一次函數(shù)，故選：．【點評】本題考查了圖形的平移、一次函數(shù)的定義，抓住一次函數(shù)的定義分類討論是解決本題的關(guān)鍵．5．（2021秋?市中區(qū)期末）定義，圖象與軸有兩個交點的函數(shù)叫做關(guān)于直線的對稱函數(shù)，它與軸負(fù)半軸交點記為，與軸正半軸交點記為．例如，如圖：直線，關(guān)于直線的對稱函數(shù)與該直線交于點，當(dāng)直線與關(guān)于直線的對稱函數(shù)有兩個交點時，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點】一次函數(shù)的性質(zhì)；兩條直線相交或平行問題；一次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】分兩種情況討論；列出關(guān)于的方程，求得的值，結(jié)合圖象即可求得的取值范圍．【解答】解：令，解得或，故點、的坐標(biāo)分別為、，函數(shù)與軸負(fù)半軸交點為，與軸正半軸交點記，則；從圖象看，時，，故點．當(dāng)直線與關(guān)于的對稱函數(shù)有兩個交點時，當(dāng)時，點，將點的坐標(biāo)代入得：，解得；，當(dāng)時，，解得，．又，．綜上所述：的取值范圍是．故選：．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，分類討論是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）6．（2021秋?昌江區(qū)校級期中）若關(guān)于的方程有唯一解，則的取值范圍是．【考點】含絕對值符號的一元一次方程【分析】分類討論確定，再由題意求的范圍即可．【解答】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，有唯一解，，故答案為：．【點評】本題考查含絕對值符號的一元一次方程，根據(jù)絕對值的性質(zhì)，分類討論確定的取值范圍是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?利津縣期中）已知函數(shù)是常數(shù)）的圖象與軸只有一個交點，則．【考點】拋物線與軸的交點【分析】此題要分兩種情況進行討論：（1）當(dāng)時，此函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與軸只有一個交點；（2）當(dāng)時，此函數(shù)為二次函數(shù)，當(dāng)△時，圖象與軸只有一個交點，分別計算即可．【解答】解：（1）當(dāng)時，直線與軸只有一個交點，則；（2）當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點則，，，，故答案為：．【點評】此題主要考查了拋物線與軸交點，關(guān)鍵是注意分類討論，不要漏解．8．（2020秋?江門期末）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個交點，則的值為或或1．【考點】拋物線與軸的交點【分析】分該函數(shù)是一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況求解，若為二次函數(shù)，由拋物線與軸只有一個交點時，據(jù)此求解可得．【解答】解：當(dāng)，即時，函數(shù)解析式為，與軸只有一個交點；當(dāng)，即時，根據(jù)題意知，，整理，得：，解得：或；綜上，的值為或或1．故答案為：或或1．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點：求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標(biāo)，令，即，解關(guān)于的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．二次函數(shù)，，是常數(shù)，的交點與一元二次方程根之間的關(guān)系，△決定拋物線與軸的交點個數(shù)：△時，拋物線與軸有2個交點；△時，拋物線與軸有1個交點；△時，拋物線與軸沒有交點．9．（2021?德州模擬）若函數(shù)的圖象與軸只有一個交點，那么的值為0或2或．【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點【分析】當(dāng)時，函數(shù)為一次函數(shù)與軸有一個交點，當(dāng)時，△時，拋物線與軸只有一個交點．【解答】解：當(dāng)時，函數(shù)為，其圖象與軸只有一個交點．當(dāng)時，△，即．解得：．當(dāng)，或時，函數(shù)的圖象與軸只有一個交點．故答案為：0或2或．【點評】本題主要考查的是拋物線與軸的交點問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，分類討論是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共16小題）10．（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上，點表示數(shù)，點表示數(shù)，、滿足．（1）點表示的數(shù)為．點表示的數(shù)為．（2）數(shù)軸上有一個點，且，則點表示的點為．（3）、都是數(shù)軸上的點，點從點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向右運動，點從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向左運動，設(shè)點、同時出發(fā)，運動時間為秒．①點、出發(fā)幾秒后相遇？②點、出發(fā)幾秒后相距4個單位長度？【考點】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；數(shù)軸；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)絕對值的非負(fù)性，可求出，的值；（2）分點在線段上和線段的延長線上兩種情況討論即可求解；（3）①設(shè)點，出發(fā)秒后相遇．列方程求解即可；②點，出發(fā)秒后相距3個單位長度，分兩種情況討論即可求解【解答】解：（1），，，，．故答案為：；1；（2）設(shè)數(shù)軸上點表示的數(shù)為．，，即．，點不可能在的延長線上，則點可能在線段上和線段的延長線上．①當(dāng)點在線段上時，則有，得，解得；②當(dāng)點在線段的延長線上時，則有，得，解得．故當(dāng)時，或，故答案為：或6；（3）①設(shè)點，出發(fā)秒后相遇，依題意，得，解得，答：點，出發(fā)秒后相遇；②設(shè)點，出發(fā)秒后相距4個單位長度，當(dāng)點在點左邊時，，解得，當(dāng)點在點右邊時，，解得，答：點，出發(fā)2秒或秒后相距4個單位長度．【點評】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點間的距離，有一定難度，運用分類討論思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?重慶期末）已知：如圖1，點、、依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點沿順時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時射線繞點沿逆時針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為秒秒）．（1）則度，度（用含的代數(shù)式表示）；（2）在運動過程中，當(dāng)達到時，求的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得，如果存在，直接寫出的值；如果不存在，請說明理由．【考點】角的計算；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意進行求解即可；（2）分兩種情況進行討論：①當(dāng)與重合前；②當(dāng)與重合后，列出相應(yīng)的方程求解即可；（3）分兩種情況進行討論：①當(dāng)與重合前；②當(dāng)與重合后，列出相應(yīng)的方程求解即可．【解答】解：（1）由題意得：，，故答案為：，；（2）①當(dāng)與重合前，有：，解得：，②當(dāng)與重合后，有：，解得：，故的值為11秒或29秒；（3）①當(dāng)與重合前，有：，解得：，②當(dāng)與重合后，有：，解得：，故的值為15秒或30秒．【點評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，找到等量關(guān)系列出方程．12．（2021秋?重慶期末）已知數(shù)軸上有，，三點，分別表示數(shù)，，，并且滿足，與互為相反數(shù)，兩只小蝸牛甲、乙分別從，兩點同時沿數(shù)軸相向而行，甲的速度為2個單位長度秒，乙的速度為3個單位長度秒．（1）求，，的值；（2）運動多少秒時，甲、乙在數(shù)軸上相遇？設(shè)相遇點為點，請求出點所表示的數(shù)；（3）設(shè)點在數(shù)軸上表示的數(shù)為，且點滿足．若甲運動到點時（此時甲、乙還沒有相遇）立即掉頭返回，問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點所表示的數(shù)；若不能，請說明理由．【考點】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）首先由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得，；然后由相反數(shù)的定義求得；（2）令運動秒時，甲、乙在數(shù)軸上相遇．則有等量關(guān)系是：，解方程即可；（3）由于甲運動到點時，甲乙未相遇，則分和兩種情況討論即可求解．【解答】解：（1），，，解得，．又與互為相反數(shù)，；（2）設(shè)運動秒時，甲、乙在數(shù)軸上相遇．則依題意得：，解得，則表示的數(shù)為：；（3）由于甲運動到點時，甲乙未相遇，則：①當(dāng)時，由，得，解得，即點在數(shù)軸上所表示的數(shù)是．設(shè)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇，相遇點所表示的數(shù)是．則依題意，得，，解得．即甲、乙還能在數(shù)軸上相遇，相遇點在數(shù)軸上所表示的數(shù)是，②當(dāng)時，由，得，解得（不合題意舍去）．綜上所述，甲、乙還能在數(shù)軸上相遇，相遇點在數(shù)軸上所表示的數(shù)是．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．本題在解答第二問注意分類思想的運用．13．（2020秋?巴中期末）如圖，點、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是、，其中、滿足，點與點之間的距離表示為．（1）5；（2）若點從點出發(fā)向右運動，在運動過程中，當(dāng)、、三點中有一點是以另兩點為端點的線段的中點時，點表示的數(shù)是；（3）點、是數(shù)軸上兩動點，點以每秒3個單位長度的速度從點出發(fā)，點以每秒2個單位長度的速度從點出發(fā)，若點、同時出發(fā)，運動時間為秒，當(dāng)運動多少秒時，點、兩點間的距離為12個單位長度．【考點】一元一次方程的應(yīng)用；數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，從而可求的長；（2）分兩種情況進行討論：①點是的中點；②點是的中點，從而可求解；（3）分四種情況進行討論：①、同時向左運動；②、同時向右運動；③、相向運動；④向左運動，向右運動；【解答】解：（1），，，解得：，，，故答案為：5；（2）①點是的中點時，有：，，點的位置為：；②點是的中點時，有：，點的位置為；故答案為：0.5或8；（3）①當(dāng)、同時向左運動時，有：，解得：；②當(dāng)、同時向右運動時，有：，解得：；③當(dāng)、相向運動時，有：，解得：；④當(dāng)向左運動，向右運動時，有：，解得：，綜上所述：當(dāng)、同時向左運動7秒時，當(dāng)、同時向右運動17秒時，當(dāng)、相向運動3.4秒時，當(dāng)向左運動，向右運動1.4秒時，、兩點間的距離為12個單位長度．【點評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，絕對值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，分類討論各種情況．14．（2021秋?濟寧月考）為節(jié)約用水，某市居民生活用水實行按級收費，居民用水價格（含污水處理費）按用水量分為三級，如表是某市目前實行的水費收費標(biāo)準(zhǔn)：級別用水量（單位：立方米）水價（含污水處理費）第一級不超過17立方米部分3.4元立方米第二級超過17立方米至30立方米部分5.32元立方米第三極超過30立方米部分7元立方米（1）若某用戶用水量為16立方米，則該用戶需交水費54.4元；若用水量為27立方米，則該用戶需交水費元．（2）若用水量為立方米，則請用含的代數(shù)式表示需交的水費．（3）十月份，小王、小胡兩家用水情況如下：①小王家用水量比小胡家少；②兩家用水量達到的級別不同，小王家的用水量在第二級；③兩家用水量總共60立方米；④水費共270.72元．請根據(jù)以上信息，算一算：小王、小胡兩家用水量分別是多少立方米？【考點】有理數(shù)的混合運算；列代數(shù)式；代數(shù)式求值；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）由，，根據(jù)總價單價數(shù)量建立式子求出其解即可；（2）由條件可以得出需交的水費第一級17立方米的水費第二級13立方米的水費超過30立方米部分的水費，列出代數(shù)式化簡即可；（3）設(shè)小江家的用水量是立方米，則小北家的用水量是立方米，分情況討論：當(dāng)和，由小江家的水費小北家的水費元建立方程求出其解，進一步求解．【解答】解：（1）（元；（元．故若某用戶用水量為15立方米，則該用戶需交水費51元；若用水量為27立方米，則該用戶需交水費111元．故答案為：54.4；111；（2）元．故需交的水費是元；（3）設(shè)小王家的用水量是立方米，則小胡家的用水量是立方米，根據(jù)題意得：當(dāng)時，，解得，所以．故小王家的用水量是20立方米，小胡家的用水量是40立方米．【點評】本題考查了列代數(shù)式，列一元一次方程解實際問題的運用，分類討論思想的運用，解答時根據(jù)總費用各部分費用之和建立方程是關(guān)鍵．15．（2021秋?瑞安市月考）甲乙兩家店，在雙十一期間的優(yōu)惠活動方案如下表：甲乙一次性購買不足200元打標(biāo)價的9折無優(yōu)惠一次性購買滿200元不滿500元打標(biāo)價的8折共減30元一次性購買滿500元不滿1000元打標(biāo)價的7折共減元（1）當(dāng)天在甲乙兩店分別購買標(biāo)價300元的商品，問：共支付多少元？（2）已知兩次在乙店購買標(biāo)價均為400元的商品，發(fā)現(xiàn)比在該店一次性購買這兩件商品要多支付30元．①求的值．②若小明當(dāng)天在甲乙兩店各購買一件商品，兩件商品總標(biāo)價合計700元，且在甲店購買的商品標(biāo)價小于乙店，實際共支付605元，問小明在甲乙兩店購買的商品標(biāo)價分別是多少？【考點】一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)甲乙兩家店的優(yōu)惠活動方案分別求得消費總額，然后求和即可；（2）①根據(jù)題意列出方程，并解答；②設(shè)小明在甲店購買的商品售價是元，在乙店購買的商品售價是元，需要對的取值范圍進行分類討論．【解答】解：（1）（元．答：共支付510元；（2）①根據(jù)題意，列得方程：．解得；②設(shè)小明在甲店購買的商品售價是元，在乙店購買的商品售價是元，當(dāng)，時，，此時，即．當(dāng)，時，，此時，即．答：小明在甲店購買的商品售價50元，乙店650元；或在甲店購買的商品售價325元，乙店375元．【點評】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是小明當(dāng)天在甲乙兩店各購買一件商品可能有兩種情況，需要討論清楚．本題要注意不同情況的不同算法，要考慮到各種情況，不要丟掉任何一種．16．（2021秋?黔西南州月考）甲、乙兩地相距，一輛小轎車和一輛貨車分別沿同一條路線從甲地出發(fā)駛往乙地．已知貨車的速度為，小轎車的速度為，貨車先出發(fā)后小轎車再出發(fā)．（1）小轎車出發(fā)多長時間后追上貨車？（2）在兩車的行駛過程中，小轎車行駛多長時間后與貨車相距？【考點】一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）小轎車追上貨車則兩車的路程相等，設(shè)時間為未知數(shù)列方程求解即可；（2）小轎車出發(fā)后與貨車相距，在整個運動過程中存在三種情況：小轎車在追上貨車之前；小轎車超過貨車且未到地之前；小轎車到達地后在原地等貨車相距；根據(jù)三種情況利用兩車路程之間的關(guān)系列方程即可求得．【解答】解：（1）設(shè)小轎車出發(fā)小時追上貨車，由題意得：，解得．故小轎車出發(fā)2小時追上貨車．（2）小轎車出發(fā)后小時與貨車相距，存在以下三種情況：①小轎車出發(fā)后在追上貨車之前，兩車相距，則有：，解得；②小轎車超過甲車且未到地之前，兩車相距，則有：，解得；③小轎車到達地后在原地等貨車相距，則有：，解得．故小轎車出發(fā)小時、小時、小時與貨車相距．【點評】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，行程問題為很常見的一元一次方程應(yīng)用題型，關(guān)鍵在于理解清楚題目中路程的等量關(guān)系，才能列出方程求解．17．（2021秋?平陽縣期中）2021年十一國慶期間，鰲江銀泰商場打出促銷廣告，如下表所示：優(yōu)惠條件一次性購物不超過200元一次性購物超過200元，但不超過600元一次性購物超過600元優(yōu)惠辦法沒有優(yōu)惠全部按九折優(yōu)惠其中600元扔按九折優(yōu)惠，超過600元部分按八折優(yōu)惠用代數(shù)式表示（所填結(jié)果需化簡）（1）設(shè)一次性購買的物品原價為元，當(dāng)原價超過200元，但不超過600元時，實際付款為元；當(dāng)原價超過600元時，實際付款為元．（2）若甲購物時一次性付款580元，則所需物品的原價是多少元？（3）若乙分兩次購物，兩次所購物品的原價之和為1200元（第二次所購物品的原價高于第一次），兩次實際付款共1068元，則乙兩次購物時，所需物品的原價分別是多少元？【考點】一元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式【分析】（1）根據(jù)給出的優(yōu)惠辦法，用含的代數(shù)式表示出實際付款金額即可；（2）設(shè)甲所購物品的原價是元，先求出購買原價為580元商品時實際付款金額，比較后可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）由第二次所購物品的原價高于第一次，可得出第二次所購物品的原價超過600元且第一次所購物品的原價低于600元，設(shè)乙第一次所購物品的原價是元，則第二次所購物品的原價是元，分、兩種情況列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時，實際付款元；當(dāng)時，實際付款元．故答案為：；．（2）甲一次性付了580元元．甲購物享受了600元按9折優(yōu)惠，超過部分8折優(yōu)惠．設(shè)甲所購物物品原價為元，根據(jù)題意，得元，解得：．所需物品的原價為650元．（3）因為第二次購物物品原價高于第一次，故第二次所購物品的原價超過600元，第一次所購物品原價低于600元．設(shè)第二次所購物品原價為元，則第一次所購物品的原價為元，①若第一次所購物品原價不超過200元，則：，解得，此時，不符合題意，舍去．②若第一次所購物品原價超過200元但不超過600元，則，解得，，符合題意．乙兩次購物原價分別為480元和720元．【點評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)優(yōu)惠政策，列出代數(shù)式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）分、兩種情況列出關(guān)于的一元一次方程．18．（2021秋?新洲區(qū)期中）已知數(shù)軸上、兩點對應(yīng)的數(shù)分別為、，且．（1）求點、兩點對應(yīng)的有理數(shù)是、；、兩點之間的距離是．（2）若點到點的距離剛好是6，求點所表示的數(shù)應(yīng)該是多少？（3）若點所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以2個單位每秒的速度向左運動，經(jīng)過多少秒時，到的距離剛好等于到的距離的2倍？（4）若點所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以2個單位每秒的速度向右運動，若運動的時間為秒，的值不隨時間的變化而改變，求的值．【考點】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；列代數(shù)式；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）兩個非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個數(shù)分別為0，據(jù)此可求，的值，從而可求、的距離；（2）令點所表示的數(shù)為，結(jié)合（1）中的值，可列式求解；（3）設(shè)經(jīng)過秒時，到的距離剛好等于到的距離的2倍，據(jù)題意列方程求解即可；（4）根據(jù)題意列出相應(yīng)的式子求解即可．【解答】解：（1），，，解得：，，對應(yīng)的有理數(shù)為，對應(yīng)的有理數(shù)為3，、兩點的距離為：，故答案為：，3，4；（2）令點所表示的數(shù)為，依題意得：，解得：或，則點所表示的數(shù)應(yīng)該是5或；（3）設(shè)經(jīng)過秒時，到的距離剛好等于到的距離的2倍，依題意得：，整理得：，當(dāng)點在的右側(cè)時，則，有，解得：，當(dāng)點在、之間時，則，有，解得：；當(dāng)點在的左側(cè)時，則，有，解得：（不符合題意舍去），綜上所述：經(jīng)過0.5秒或秒時，到的距離剛好等于到的距離的2倍；（4）由題意得：，，，的值不隨時間的變化而改變，，解得：．【點評】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，明確兩個非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個數(shù)分別為0；對點的位置進行討論．19．（2021秋?徐匯區(qū)校級月考）已知常數(shù)為實數(shù)，討論關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)情況．【考點】根的判別式【分析】分類討論：當(dāng)，即時，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，所以有一個根；當(dāng)，即時，先計算△，△，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；△，原方程有兩個相等的實數(shù)根；△，原方程沒有實數(shù)根；分別可求出對應(yīng)的的值或取值范圍，最后綜合表述即可．【解答】解：當(dāng)，即時，方程變?yōu)椋海獾茫?dāng)，即時，△，若，即時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；若，即時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；若，即時，原方程沒有實數(shù)根．綜上所述得：當(dāng)時，原方程沒有實數(shù)根；當(dāng)時，原方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)且時，原方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有一個實數(shù)根．【點評】本題考查了一元二次方程，，，為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△，方程沒有實數(shù)根．20．（2021秋?秦都區(qū)月考）作為世界蘋果最佳優(yōu)生區(qū)，洛川蘋果備受市場青睞！蘋果產(chǎn)業(yè)已成為縣城經(jīng)濟的發(fā)展和農(nóng)民增收致富奔小康的主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)．小李想在洛川縣某果園購買一些蘋果，經(jīng)了解，該果園蘋果的定價為5元斤，如果一次性購買10斤以上，超過10斤部分的蘋果的價格打8折．設(shè)小李在該果園購買蘋果斤，付款金額為元，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若小李想在該果園購買130元的蘋果送給朋友，請你算一算，小李一共能購買多少斤蘋果？【考點】函數(shù)關(guān)系式【分析】（1）利用分類討論的思想依據(jù)題意付款金額單價數(shù)量解答即可；（2）將代入函數(shù)解析式中計算對應(yīng)的的值即可．【解答】解：（1）由題意得：當(dāng)時，，當(dāng)時，．（2）令，則，解得：．答：小李一共能購買30斤蘋果．【點評】本題主要考查了函數(shù)的關(guān)系式，利用分類討論的方法依據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋?鐵西區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是坐標(biāo)原點，直線與軸交于點，與軸交于點，與直線交于點．（1）求點的坐標(biāo)；（2）點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作平行于軸的直線，分別交直線，于點，點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．①求線段的長（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點，，三點中有一個點是另兩個點構(gòu)成線段的中點時，請直接寫出的值；（3）過點作軸于點，點在線段上且不與點重合，點在線段上，，連接，，是否存在最小值？如果存在，請直接寫出最小值；如果不存在，請說明理由．【考點】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）聯(lián)立方程組：，解得：，即可求解；（2）①點的橫坐標(biāo)為，由軸，得點、三點橫坐標(biāo)都為，點坐標(biāo)為，得；②，先表示出，，三點坐標(biāo)，分兩種情況第一種情形：點是的中點時，第二種情形：點是的中點時，根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可求解；（3）在上取點，使得，連接，先證，，，當(dāng)最小，即、、三點共線時，最小，即可求解．【解答】解：（1）直線與直線交于點，聯(lián)立方程組：，解得：，點的坐標(biāo)為；（2）①點的橫坐標(biāo)為，軸，點、三點橫坐標(biāo)都為，當(dāng)時，，，點坐標(biāo)為，；②當(dāng)時，，點坐標(biāo)為，而點坐標(biāo)為，第一種情形：點是的中點時，，解得：；第二種情形：點是的中點時，，解得：；綜上，或；（3）存在最小值，在上取點，使得，連接，，，，，，，點坐標(biāo)為，垂直平分，，，，，，，，，，，當(dāng)最小，即、、三點共線時，最小，此時最小值．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，中點坐標(biāo)公式的運用，全等三角形的性質(zhì)與判定，最值問題，解題關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)把的值轉(zhuǎn)化為的值．22．（2021秋?洪洞縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線和直線交于軸上的點，且分別交軸于點，．（1）求的面積；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）已知點為射線上一動點，過點作于點，連結(jié)，如圖．是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）由題意可求出點、、的坐標(biāo)，從而得出、的長度；（2）由坐標(biāo)可知，，，利用勾股定理的逆定理即可判斷；（3）分當(dāng)點在線段上和點在線段的延長線上，兩種情形，分別畫出圖形，證明，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可解決問題．【解答】解：（1）由題意得，，，令，得，令，得，，，，；（2）是直角三角形，理由如下：由（1）知，，，，，，，，，，，是直角三角形；（3）存在，，，，，，，，，，為等腰三角形，，分