2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【數(shù)形結(jié)合】幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想（解析版）

幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想知識(shí)方法精講1．完全平方公式的幾何背景（1）運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對完全平方公式做出幾何解釋．（2）常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面積等于邊長為a和邊長為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長寬分別是a，b的長方形的面積和作為相等關(guān)系）2．平方差公式的幾何背景（1）常見驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證平方差公式）．（2）運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過程，通過幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對平方差公式做出幾何解釋．3．七巧板（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可以拼成各種具體的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號．（3）制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格．②再從左上角到右下角畫一條線．③在上面的中間連一條線到右面的中間．④再在左下角到右上角畫一條線，碰到第二條線就可以停了．⑤從剛才的那條線的尾端開始一條線，畫到最下面四份之三的位置，從左邊開始數(shù)，碰到線就可停．⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線條剪開，你就有一副全新的七巧板了．4．軸對稱的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對稱的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對稱；②如果兩個(gè)圖形成軸對稱，我們只要找到一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對稱軸．（2）軸對稱圖形的對稱軸也是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．5．坐標(biāo)與圖形變化-對稱（1）關(guān)于x軸對稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．（2）關(guān)于y軸對稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．（3）關(guān)于直線對稱①關(guān)于直線x＝m對稱，P（a，b）?P（2m﹣a，b）②關(guān)于直線y＝n對稱，P（a，b）?P（a，2n﹣b）6．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（1）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度．注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣．7．解直角三角形（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）8．簡單組合體的三視圖（1）畫簡單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過仔細(xì)觀察和想象，再畫它的三視圖．（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一個(gè)平面上．（3）畫物體的三視圖的口訣為：主、俯：長對正；主、左：高平齊；俯、左：寬相等．9．由三視圖判斷幾何體（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來考慮整體形狀．（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長、寬、高；②從實(shí)線和虛線想象幾何體看得見部分和看不見部分的輪廓線；③熟記一些簡單的幾何體的三視圖對復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助；④利用由三視圖畫幾何體與有幾何體畫三視圖的互逆過程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法．10.數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；（3）HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"線與方程的對應(yīng)關(guān)系；（4）所給的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"等式或HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。如等式。3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"不等式問題中，在求函數(shù)的HYPERLINK\t"/item/%E6%95%B0%E5%BD%A2%E7%BB%93%E5%90%88/_blank"值域、最值問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。一．選擇題（共17小題）1．（2021秋?襄汾縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中．漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．在驗(yàn)證過程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是A．函數(shù)思想 B．?dāng)?shù)形結(jié)合思想 C．分類思想 D．統(tǒng)計(jì)思想【考點(diǎn)】勾股定理的證明；數(shù)學(xué)常識(shí)【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想．2．（2021秋?金水區(qū)校級期末）如圖是一種正方形地磚的花型設(shè)計(jì)圖，為了求這個(gè)正方形地磚的邊長，可根據(jù)圖示列方程A． B． C． D．【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元一次方程【分析】根據(jù)正方形的四條邊的長度相等列出方程．【解答】解：由正方形的性質(zhì)知：．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程．3．（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長為的正方形中挖掉一個(gè)邊長為的小正方形．把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖）．通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是A． B． C． D．【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景【分析】這個(gè)圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；因?yàn)槠闯傻拈L方形的長為，寬為，根據(jù)“長方形的面積長寬”代入為：，因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；拼成的長方形的面積：，所以得出：，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)圖的陰影部分面積，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式求出拼成的長方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論．4．（2021?汝陽縣二模）七巧板是中國古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)．為祝賀辛丑年的到來，用一副七巧板（如圖①，拼成了“牛氣沖天”的圖案（如圖②，則圖②中A． B． C． D．【考點(diǎn)】七巧板【分析】七巧板是由七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形．由此可知七巧板中的角都是特殊的，出現(xiàn)的角是、、和，再求解即可．【解答】解：七巧板中的角都是特殊的，出現(xiàn)的角是、、和，，，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查七巧板，熟練掌握七巧板圖形的構(gòu)成特點(diǎn)，知道出現(xiàn)的角是、、和是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，于點(diǎn)，則的值等于A． B． C． D．【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形【分析】連接，由中，，，為中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可證得，再利用勾股定理，求得的長，那么在直角中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，然后根據(jù)同角的余角相等得出，于是．【解答】解：連接，中，，，為中點(diǎn)，，，，．，，，，，，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以及余角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對稱變換，若原來點(diǎn)坐標(biāo)是，則經(jīng)過第2022次變換后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C． D．【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化對稱【分析】觀察圖形可知每四次對稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4，然后根據(jù)商和余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)所在的象限，然后解答即可．【解答】解：點(diǎn)第一次關(guān)于軸對稱后在第二象限，點(diǎn)第二次關(guān)于軸對稱后在第三象限，點(diǎn)第三次關(guān)于軸對稱后在第四象限，點(diǎn)第四次關(guān)于軸對稱后在第一象限，即點(diǎn)回到原始位置，所以，每四次對稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，余2，經(jīng)過第2022次變換后所得的點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標(biāo)為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．7．（2021秋?高青縣期中）已知長方形的周長為，它兩鄰邊長分別為，，且滿足，則該長方形的面積為A． B． C． D．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】由題意可求得和，則可求得的值，此題得以求解．【解答】解：由題意得，，，，，，，，，該長方形的面積為，故選：．【點(diǎn)評】此題考查了運(yùn)用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確列式并計(jì)算．8．（2021秋?舞鋼市期中）一個(gè)幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個(gè)數(shù)，能表示該幾何體從左面看到的形狀圖是A． B． C． D．【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖；由三視圖判斷幾何體【分析】由已知條件可知，左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為2，4，3．【解答】解：左視圖有3列，每列小正方形數(shù)目分別為2，4，3，故選：．【點(diǎn)評】本題考查幾何體的三視圖畫法．以及幾何體的表面積，由幾何體的俯視圖及小正方形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字．9．（2021秋?永春縣期中）一塊三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如圖所示），假如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認(rèn)為下列說法正確的是A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、4或2、3去就可以 C．帶1、3或3、4去就可以 D．帶1、4或2、4去就可以【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用【分析】帶2、4雖沒有原三角形完整的邊，又沒有角，但延長可得出原三角形的形狀；帶1、4可以用“角邊角”確定三角形；帶3、4也可以用“角邊角”確定三角形．【解答】解：帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，帶1、4可以用“角邊角”確定三角形，帶2、4可以延長還原出原三角形，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用；確定一個(gè)三角形的大小、形狀，可以用全等三角形的幾種判定方法．做題時(shí)要根據(jù)實(shí)際問題找條件．10．（2021秋?福州期中）在中，將圓心繞著圓周上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度，使旋轉(zhuǎn)后的圓心落在上，則的值可以是A． B． C． D．【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【分析】首先依據(jù)題意畫出圖形，然后依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：如圖所示：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，為等邊三角形．．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，與△關(guān)于直線對稱，為上任一點(diǎn)不與共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A． B．與△面積相等 C．垂直平分 D．直線，的交點(diǎn)不一定在上【考點(diǎn)】三角形的面積；軸對稱的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)【分析】據(jù)對稱軸的定義，與△關(guān)于直線對稱，為上任意一點(diǎn)，可以判斷出圖中各點(diǎn)或線段之間的關(guān)系．【解答】解：與△關(guān)于直線對稱，為上任意一點(diǎn)，，△是等腰三角形，垂直平分，，這兩個(gè)三角形的面積相等，、、選項(xiàng)正確；直線，關(guān)于直線對稱，因此交點(diǎn)一定在上．錯(cuò)誤；故選：．【點(diǎn)評】本題考查軸對稱的性質(zhì)與運(yùn)用，對應(yīng)點(diǎn)的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對應(yīng)的角、線段都相等．12．（2021秋?三元區(qū)期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中，，，，則A．25 B．20 C．9 D．5【考點(diǎn)】勾股定理【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．【解答】解：如圖，根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：；即；故選：．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．13．（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)、兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作，交邊于點(diǎn)．若，當(dāng)滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)時(shí)，則的值為A．2 B．2.5 C．3 D．4【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】先證明；利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，進(jìn)而建立關(guān)于的一元二次方程，再判別式，建立方程求解，即可得出結(jié)論．【解答】解：是等邊三角形，，，，，，，；，，，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，△，．故選：．【點(diǎn)評】此題是相似形綜合題，主要考查了等式的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．14．（2021春?雁塔區(qū)期末）對于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如，利用圖1可以得到，那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等式為A． B． C． D．【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景【分析】圖2的面積可表示為一個(gè)大的正方形的面積或所分成的9個(gè)圖形的面積之和．【解答】解：圖2的面積可表示為：或則有：故選：．【點(diǎn)評】本題考查了整式的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，15．（2021秋?海曙區(qū)校級期中）如圖，所有矩形都是正方形，設(shè)最大正方形的邊長是最小正方形邊長的倍，則的值為A． B．8 C． D．9【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)【分析】如圖，、、、為正方形的頂點(diǎn)，作，交大正方形的邊于點(diǎn)，于是得到，而這兩個(gè)相似三角形的相似比恰好是，再設(shè)最小正方形的邊長為，可以列方程求出的值，得出答案．【解答】解：如圖，、、、為正方形的頂點(diǎn)，作，交大正方形的邊于點(diǎn)，，，，，設(shè)最小正方形的邊長為，則，，，，，解得，故選：．【點(diǎn)評】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是通過作輔助線構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出相等關(guān)系．16．（2021春?羅湖區(qū)校級期中）在邊長為的正方形中挖掉一個(gè)邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，則這個(gè)等式是A． B． C． D．【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景【分析】這個(gè)圖形變換可以用來證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；因?yàn)槠闯傻拈L方形的長為，寬為，根據(jù)“長方形的面積長寬”代入為：，因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為；拼成的長方形的面積：，所以得出：，故選：．【點(diǎn)評】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)圖的陰影部分面積，進(jìn)而根據(jù)長方形的面積計(jì)算公式求出拼成的長方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論．17．（2018春?太原期末）如圖，小明用長為的10個(gè)全等的小長方形拼成一個(gè)無重疊，無縫隙的大長方形，這個(gè)大長方形的面積為A． B． C． D．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】結(jié)合圖形分析出小長方形的寬，從而計(jì)算大長方形的面積即可．【解答】解：設(shè)小長方形的寬為，結(jié)合圖形可得，；結(jié)合圖形得大長方形的長為，寬為大長方形的面積為故選：．【點(diǎn)評】這道題主要考查整式的乘法，難度較低，數(shù)形結(jié)合是解決此題的關(guān)鍵．二．填空題（共7小題）18．（2021秋?平昌縣期末）三國時(shí)期，數(shù)學(xué)家趙爽繪制了“勾股圓方圖”，又叫“趙爽弦圖”，如圖所示，、、和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形和四邊形都是正方形，如果，，那么四邊形的面積等于100．【考點(diǎn)】勾股定理的證明；數(shù)學(xué)常識(shí)【分析】在直角三角形中，利用勾股定理求出的長，則可得出答案．【解答】解：，，四邊形都是正方形，，，在直角三角形中，由勾股定理得到：，四邊形的面積．故答案為：100．【點(diǎn)評】此題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是得到直角三角形的兩直角邊的長度．19．（2021秋?沂水縣期末）有兩個(gè)正方形、，現(xiàn)將放在的內(nèi)部得圖甲，將、并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和10，則正方形，的面積之和為11．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，由圖形得出關(guān)系式求解即可．【解答】解：設(shè)正方形的邊長為，正方形的邊長為，由圖甲得即，由圖乙得，，所以，故答案為：11．【點(diǎn)評】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出數(shù)量關(guān)系．20．（2021秋?雁塔區(qū)校級月考）如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為．【考點(diǎn)】解直角三角形【分析】過作于，根據(jù)正切函數(shù)的定義求解可得．【解答】解：過作于，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建直角三角形并掌握正切函數(shù)的定義．21．（2021秋?朝陽區(qū)校級月考）如圖，在中，，，，且，則．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【分析】由條件可先求得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得即可．【解答】解：，，，，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．22．（2021秋?秦都區(qū)月考）已知幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為．（結(jié)果保留【考點(diǎn)】由三視圖判斷幾何體【分析】根據(jù)三視圖確定該幾何體是圓錐，再根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算圓錐的體積即可求解．【解答】解：這個(gè)幾何體的體積為，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查三視圖，關(guān)鍵是根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算圓錐的體積．23．（2021秋?思明區(qū)校級期中）4張長為、寬為的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個(gè)邊長為的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．（1）若，，則11．（2）若，求與滿足關(guān)系：．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景；完全平方式【分析】（1）根據(jù)題目條件計(jì)算5部分空白面積的和即可；（2）由題意列式并整理即可．【解答】解：（1）由題意得，，當(dāng)，時(shí)，，故答案為：11；（2）由（1）結(jié)果，可得，，整理得，，即，，故答案為：．【點(diǎn)評】此題考查了運(yùn)用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確列式，并運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算．24．（2021秋?襄汾縣月考）有若干個(gè)大小形狀完全相同的小長方形，現(xiàn)將其中4個(gè)如圖1擺放，構(gòu)造出一個(gè)正方形，其中陰影部分面積為35；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造出一個(gè)長方形，其中陰影部分面積為102（各個(gè)小長方形之間不重疊不留空），則每個(gè)小長方形的面積為8．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】設(shè)小長方形的長為，寬為，由圖1可得，由圖2可得，從而可求得，則可計(jì)算出每個(gè)小長方形的面積為8．【解答】解：設(shè)小長方形的長為，寬為，由圖1可得，，由圖2可得，，，從而可求得，解得，故答案為：8．【點(diǎn)評】此題考查了利用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能結(jié)合圖形列出算式并計(jì)算．三．解答題（共11小題）25．（2021秋?東?？h期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點(diǎn)．已知點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，我們稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)，請解決下列問題：（1）在點(diǎn)，，，中，不是點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的是；（只填寫對應(yīng)字母）（2）若點(diǎn)從逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到，試求點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長；（3）若在直線上存在點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)，求的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，且，將，，，分別畫到圖中，由圖形可直觀觀察到不是點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的是，（2）當(dāng)點(diǎn)從逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到，點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)從點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即運(yùn)動(dòng)了圓，所以運(yùn)動(dòng)路徑長為：．（3）根據(jù)題意可知，臨界狀態(tài)為：直線與相切，如下圖所示：①直線與相切時(shí)，②直線與相切時(shí)，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)可分別求出和的值，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示：當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是，且，將，，，分別畫到圖中，由圖可知，不是點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)的是，故答案為：．（2）當(dāng)點(diǎn)從逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到，點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)從點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，即運(yùn)動(dòng)了圓，運(yùn)動(dòng)路徑長為：．（3）根據(jù)題意可知，臨界狀態(tài)為：直線與相切，如下圖所示：①直線與相切時(shí)，可知，，，，，代入解析式可得，②直線與相切時(shí)，可知，，，，，代入解析式可得，若在直線上存在點(diǎn)關(guān)于的反射點(diǎn)，的取值范圍為．【點(diǎn)評】本題考查圓綜合題、切線的判定和性質(zhì)、軸對稱變換、中心對稱等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用特殊點(diǎn)，特殊位置解決問題，學(xué)會(huì)畫出圖形解決問題，屬于中考壓軸題．26．（2021春?蕭山區(qū)期中）兩個(gè)邊長分別為和的正方形如圖放置，其未疊合部分（陰影）面積為，若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為的小正方形（如圖，兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積．（1）用含，的代數(shù)式分別表示，；（2）若，，求的值；（3）當(dāng)時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】（1）根據(jù)面積公式的和差關(guān)系可得答案；（2）利用整式的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案；（3）根據(jù)面積公式的和差關(guān)系可得答案．【解答】（1）由圖可得，．（2）．，，．（3）由圖可得，，．【點(diǎn)評】此題考查的是完全平方公式，掌握整式的運(yùn)算法則是解決此題關(guān)鍵．27．（2021春?臨渭區(qū)期末）數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．（1）請寫出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式．（2）用4個(gè)全等的長和寬分別為、的長方形拼擺成一個(gè)如圖4的正方形，請你寫出這三個(gè)代數(shù)式、、之間的等量關(guān)系．（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問題：①當(dāng)，時(shí)，則的值為．②設(shè)，，計(jì)算：的結(jié)果．【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】（1）根據(jù)圖形面積直接得出即可；（2）用兩種方法表示陰影部分的面積可得結(jié)論；（3）①根據(jù)（2）中的等量關(guān)系代入計(jì)算可得結(jié)論；②同理根據(jù)（2）中的公式代入可得結(jié)論．【解答】解：（1）圖；圖；圖，（2）圖；（3）①由（2）知：，，，，，，故答案為：；②，，．【點(diǎn)評】本題是完全平方式的實(shí)際應(yīng)用，完全平方式經(jīng)常與正方形的面積公式和長方形的面積公式聯(lián)系在一起，要學(xué)會(huì)觀察圖形．28．（2020秋?延邊州期末）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到，基于此，請解答下列問題：（1）根據(jù)圖2，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若，，則．（3）小明同學(xué)用圖3中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張寬、長分別為、的長方形紙片拼出一個(gè)面積為長方形，則．【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個(gè)邊長為的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個(gè)代數(shù)恒等式：．【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景；完全平方式；認(rèn)識(shí)立體圖形【分析】（1）依據(jù)正方形的面積；正方形的面積，可得等式；（2）依據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）依據(jù)所拼圖形的面積為：，而，即可得到，，的值．（4）根據(jù)原幾何體的體積新幾何體的體積，列式可得結(jié)論．【解答】解：（1）由圖2得：正方形的面積；正方形的面積，，（2分）故答案為：；（2），，，，，故答案為：30；（4分）（3）由題意得：，，，，故答案為：9；（6分）（4）原幾何體的體積，新幾何體的體積，．故答案為：．（8分）【點(diǎn)評】本題主要考查的是整式的混合運(yùn)算，利用直接法和間接法分別求得幾何圖形的體積或面積，然后根據(jù)它們的體積或面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．29．（2020春?邗江區(qū)期末）如圖1是一個(gè)長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖（1）觀察圖2請你寫出、、之間的等量關(guān)系是；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若，，則；（3）拓展應(yīng)用：若，求的值．【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景【分析】（1）由圖可知，圖1的面積為，圖2中白色部分的面積為，根據(jù)圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等可得答案；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可知，將，代入計(jì)算即可得出答案；（3）將等式兩邊平方，再根據(jù)已知條件及完全平方公式變形可得答案．【解答】解：（1）由圖可知，圖1的面積為，圖2中白色部分的面積為，圖1的面積和圖2中白色部分的面積相等，，故答案為：；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，可知，，，，，故答案為：；（3），，，，；．【點(diǎn)評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練運(yùn)用完全平方公式并數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．30．（2021秋?鼓樓區(qū)校級期中）我們將進(jìn)行變形，如：，等．根據(jù)以上變形解決下列問題：（1）已知，，則4．（2）已知，若滿足，求的值．（3）如圖，長方形，，，，，連接，，若，則圖中陰影部分的面積為．【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景【分析】（1）由可計(jì)算此題結(jié)果；（2）由可計(jì)算此題結(jié)果；（3）設(shè)，，根據(jù)可計(jì)算圖中陰影部分的面積為．【解答】解：（1）由題意得，，故答案為：4；（2）由得，；（3）設(shè)，，根據(jù)可得，圖中陰影部分的面積為：，故答案為：10．【點(diǎn)評】此題考查了利用完全平方公式的幾何背景解決問題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)完全平方公式的變形解決相關(guān)問題．31．（2021秋?光澤縣期中）如圖所示，已知長方形的長為米，寬為米，半圓半徑為米．（1）這個(gè)長方形的面積等于平方米；（2）用代數(shù)式表示陰影部分的面積；（3）當(dāng)，，時(shí)，求陰影部分的面積（結(jié)果保留．【考點(diǎn)】列代數(shù)式；代數(shù)式求值【分析】本題應(yīng)根據(jù)長方形和圓的面積公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：（1）因?yàn)殚L方形面積長寬，故長方形的面積平方米．（2）因?yàn)閳A的面積，故平方米．（3）當(dāng)，，時(shí)，平方米．【點(diǎn)評】本題必須熟練掌握長方形和圓的面積計(jì)算公式，然后準(zhǔn)確計(jì)算．32．（2021秋?南安市期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是邊長為的正方形，種紙片是長為，寬為的長方形．并用種紙片一張，種紙片一張，種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．利用圖2正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：．（1）類似的，請你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：，請畫出圖形．（2）已知：，，求的值；（3）已知，求的值；（4）已知，求的值．【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景【分析】（1）結(jié)合算式拼圖即可；（2）由可推導(dǎo)出進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由代入計(jì)算即可；（4）設(shè)，，則，由，可推得，代入即可計(jì)算出結(jié)果為31．【解答】解：（1）如圖，可以驗(yàn)證：；（2），，又，，；（3）設(shè)，，則，，，，，即；（4）設(shè)，，則，，，，，．【點(diǎn)評】此題考查了利用完全平方公式的幾何背景解決整式計(jì)算的能力，關(guān)鍵是能利用幾何圖形列出、推理整式并進(jìn)行運(yùn)算．33．（2021秋?西城區(qū)校級期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究代數(shù)問題時(shí)，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以很直觀地推導(dǎo)出公式．以下三個(gè)構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請嘗試解決問題．構(gòu)圖一，小函同學(xué)從邊長為的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長為的小正方形后，將其裁成四個(gè)相同的等腰梯形（如圖（1），然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖（2），那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為．．．．．構(gòu)圖二、小云同學(xué)在數(shù)學(xué)課