2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【數(shù)學(xué)模型】建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題（解析版）

建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題知識方法精講1．一次函數(shù)的應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實(shí)際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實(shí)際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．2．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減??；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減小；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個單位，再向上或向下平移||個單位得到的．3．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．4．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時，y＝．（2）當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時，y＝．（3）確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．5．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．6．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要動手操作，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識的綜合問題，有些是以函數(shù)知識為背景考查幾何相關(guān)知識，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識建立量與量的等式．7．二次函數(shù)的應(yīng)用（1）利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題．解此類題的關(guān)鍵是通過題意，確定出二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實(shí)際問題中自變量x的取值要使實(shí)際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍．（2）幾何圖形中的最值問題幾何圖形中的二次函數(shù)問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態(tài)幾何中的最值的討論．（3）構(gòu)建二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實(shí)際問題時，要恰當(dāng)?shù)匕堰@些實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)落實(shí)到平面直角坐標(biāo)系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式可解決一些測量問題或其他問題．一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?梁溪區(qū)校級期中）如圖，在一張白紙上畫1條直線，最多能把白紙分成2部分（如圖，畫2條直線，最多能把白紙分成4部分（如圖，畫3條直線，最多能把白紙分成7部分（如圖，當(dāng)在一張白紙上畫15條直線，最多能把白紙分成的部分是A．120 B．121 C．122 D．123【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類【分析】設(shè)直線的條數(shù)為，最多能把白紙分成了部分，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以與滿足了二次函數(shù)，然后進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：設(shè)直線的條數(shù)為，最多能把白紙分成了部分，由題意得：，則，解得：，，當(dāng)時，代入得，，故選：．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷它們滿足的是什么函數(shù)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）2．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖，在中，已知，，，是線段上的一點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓交邊于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，射線交于點(diǎn)，則的最大值為32．【考點(diǎn)】圓周角定理；勾股定理【分析】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．利用相似三角形的性質(zhì)證明，設(shè)，在中，，推出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【解答】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．，，，，，，，，，設(shè)，在中，，，，時，的值最大，最大值為32，故答案為：32．【點(diǎn)評】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．3．（2021秋?蜀山區(qū)校級月考）如圖，是一個迷宮游戲盤的局部平面簡化示意圖，該矩形的長、寬分別為，，其中陰影部分為迷宮中的擋板，設(shè)擋板的寬度為，小球滾動的區(qū)域（空白區(qū)域）面積為．則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：（化簡為一般式）．【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式【分析】通過平移將空白區(qū)域轉(zhuǎn)化為長為，寬為的長方形的面積即可．【解答】解：由題意得，，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)關(guān)系式，掌握矩形面積、空白區(qū)域面積、陰影部分面積之間的關(guān)系是解決問題的前提，通過平移將空白區(qū)域轉(zhuǎn)化為長為，寬為的長方形是解決問題的關(guān)鍵．三．解答題（共17小題）4．（2021秋?泗水縣期中）某商店以每件80元的價格購進(jìn)一批商品，現(xiàn)以單價100元銷售，每月可售出300件．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件商品銷售單價每上漲1元，該商品平均每月的銷售量就減少10件，設(shè)每件商品銷售單價上漲了元．（1）若在顧客得實(shí)惠的前提下，當(dāng)每件商品銷售單價上漲多少元時，該商店每月的銷售利潤為6210元？（2）寫出月銷售該商品的利潤（元與每件商品銷售單價上漲（元之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月銷售該商品的利潤最大？最大利潤為多少？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意列出一元二次方程求得答案即可；（2）把得到的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行配方得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題易得到單價定為多少元時，每月銷售該商品的利潤最大．【解答】解：（1）設(shè)銷售單價上漲元時利潤為6210，根據(jù)題意得：，解得：或，在顧客得實(shí)惠的前提下，，答：當(dāng)每件商品銷售單價上漲3元時利潤為6210元；（2），，當(dāng)時，有最大值，其最大值為6250，此時（元，單價定為105元時，每月銷售該商品的利潤最大，最大利潤為6250元．【點(diǎn)評】本題考查了利用二次函數(shù)的最值問題，解決實(shí)際問題中的最大或最小值問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題意得到二次函數(shù)關(guān)系式，然后配成頂點(diǎn)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．5．（2021秋?禪城區(qū)校級期中）在中，它的邊，高．（1）如圖1，正方形的一邊在上，其余兩個頂點(diǎn)分別在，上．問正方形的邊長是多少？（2）如圖2，點(diǎn)、分別在，上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，則當(dāng)60時，的面積最大值．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值【分析】（1）先證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出正方形的邊長；（2）設(shè)，先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用表示的長，進(jìn)而用表示的面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：四邊形為正方形，，，，，，，設(shè)正方形的邊長為，，，，解得：，正方形的邊長是48；（2），，，，，，設(shè)，，，，當(dāng)時，有最大值為1200，故答案為：60，1200．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長度是解題的關(guān)鍵．6．（2021秋?郾城區(qū)期中）下面是小麗同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行的探究過程．（1）函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．（2）列表011.5234244.2542442表格中的值為．（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個函數(shù)的圖象補(bǔ)充完整；（4）對于上面的函數(shù)，下列四個結(jié)論：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；②函數(shù)既有最大值，也有最小值；③當(dāng)時，隨的增大而減?。虎芎瘮?shù)圖象與軸有2個公共點(diǎn)．所有正確結(jié)論的序號是：．（5）結(jié)合函數(shù)圖象，解決問題：關(guān)于的方程有個不相等的實(shí)數(shù)根．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；根的判別式；二次函數(shù)的最值；拋物線與軸的交點(diǎn)；二次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】（1）由絕對值的定義得到的取值范圍；（2）將代入函數(shù)解析式求得的值；（3）根據(jù)已有函數(shù)圖象得到當(dāng)時的幾個點(diǎn)的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)連線；（4）結(jié)合函數(shù)圖象得到正確的選項(xiàng)；（5）結(jié)合函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)個數(shù)得到方程的實(shí)數(shù)根個數(shù)．【解答】解：（1）由題意得，自變量取值范圍是任意實(shí)數(shù)；故答案為：全體實(shí)數(shù)．（2）當(dāng)時，；故答案為：．（3）函數(shù)圖象如圖所示；（4）由圖象可知，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，故①正確；函數(shù)既有最大值，沒有最小值，故②錯誤；當(dāng)時，隨的增大先增大后減小，故③錯誤；函數(shù)圖象與軸有2個公共點(diǎn)，故④正確；故答案為：①④．（5）由圖象可知，函數(shù)的圖象與直線有4個交點(diǎn)，方程有4個不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)與方程間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)與對應(yīng)一元二次方程間的關(guān)系．7．某移動通訊公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話付費(fèi)0.6元．若一個月內(nèi)通話，兩種方式的費(fèi)用分別為元和元．（1）寫出、與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）一個月內(nèi)通話多少分鐘，兩種移動通訊費(fèi)用相同；（3）某人估計(jì)一個月內(nèi)通話，應(yīng)選擇哪種移動通訊合算些．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）因?yàn)橐苿油ㄓ嵐鹃_設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：“全球通”使用者先繳50元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘，再付話費(fèi)0.4元；“神州行”不繳月租費(fèi)，每通話付費(fèi)0.6元．若一個月內(nèi)通話，兩種方式的費(fèi)用分別為元和元，則，；（2）令，解方程即可；（3）令，分別求出、的值，再做比較即可．【解答】解：（1）；；（2）令，則，解之，得所以通話250分鐘兩種費(fèi)用相同；（3）令則；所以選擇全球通合算．【點(diǎn)評】本題需仔細(xì)分析題意，建立函數(shù)解析式，利用方程或簡單計(jì)算即可解決問題．8．（2021秋?肅州區(qū)期末）喜迎元旦，某商店銷售一種進(jìn)價為50元件的商品，售價為60元件，每星期可賣出200件，若每件商品的售價每上漲1元，則每星期就會少賣出10件．（1）假設(shè)設(shè)每件商品的售價上漲元為正整數(shù)），每星期銷售該商品的利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）每件商品的售價上漲多少元時，該商店每星期銷售這種商品可獲得最大利潤？此時，該商品的定價為多少元？獲得的最大利潤為多少？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意，得出每件商品的利潤以及商品總的銷量，即可得出與的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)健康得到結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)每件商品的售價上漲元為正整數(shù)），則每件商品的利潤為：元，總銷量為：件，商品利潤為：，，；（2）根據(jù)題意得，所以，當(dāng)時，取得最大值為2250．答：每件商品的售價上漲5元時，該商店每星期銷售這種商品可獲得最大利潤，此時，該商品的定價為65元，獲得的最大利潤為2250元．【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)解析式，根據(jù)每天的利潤一件的利潤銷售量，建立函數(shù)關(guān)系式，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題是解題關(guān)鍵．9．（2021秋?黔西南州期末）某服裝批發(fā)市場銷售一種襯衫，每件襯衫的進(jìn)貨價為50元，規(guī)定每件的售價不低于進(jìn)貨價．經(jīng)市場調(diào)查，每月的銷售量（件與每件的售價（元滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：售價（元件）556065銷售量（件700600500（1）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求自變量的取值范圍）（2）物價部門規(guī)定，該襯衫每件的利潤不允許高于進(jìn)貨價的，設(shè)銷售這種襯衫每月的總利潤為（元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)每件襯衫的售價定為多少時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)可以得到與之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）根據(jù)題意，可以得到與之間的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到售價定為多少元可獲得最大利潤，最大利潤是多少．【解答】解：（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，，解得：，即與之間的函數(shù)表達(dá)式是；（2）由題意可得：．該襯衫的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價的，每件售價不低于進(jìn)貨價，，解得：，，拋物線開口向下，當(dāng)時，取得最大值，此時，答：售價定為70元時，可獲得最大利潤，最大利潤是8000元．【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和方程的知識解答．10．我國是世界上淡水資源匱乏國家之一，北方地區(qū)的缺水現(xiàn)象更為嚴(yán)重，有些地方甚至連人畜飲水都得不到保障，為了節(jié)約用水，不少城市作出了對用水大戶限制用水的規(guī)定．北方某市規(guī)定：每一個用水大戶，月用水量不超過規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)噸時，按每噸1.6元的價格交費(fèi)，如果超過了標(biāo)準(zhǔn)，超標(biāo)部分每噸還要加收元的附加費(fèi)用．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某戶7、8兩月的用水量和交費(fèi)情況如下表：月份用水量（噸交費(fèi)總數(shù)（元7140264895152（1）求出該市規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)用水量的值；（2）寫出交費(fèi)總數(shù)（元與用水量（噸的函數(shù)關(guān)系式．【考點(diǎn)】一元二次方程的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)七月份用水量為140噸，若按每噸1.6元的價格交費(fèi)，求得交費(fèi)總數(shù)應(yīng)是224元，從而結(jié)合表格獲得信息，七月份用水量超過了標(biāo)準(zhǔn)，再根據(jù)超過了標(biāo)準(zhǔn)，超標(biāo)部分每噸還要加收元的附加費(fèi)用，得到關(guān)于的方程，求得值，再進(jìn)一步結(jié)合8月份的用水量和交費(fèi)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行取舍；（2）根據(jù)（1）中求得的值進(jìn)行分段，然后根據(jù)規(guī)定分別建立函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：（1）因七月份用水量為140噸，，（2分）所以（4分）即，得，，（6分）又8月份用水量為95噸，，故??；（7分）（2）當(dāng)時，則；當(dāng)時，則．即．（10分）【點(diǎn)評】此題考查了一次函數(shù)在實(shí)際中的運(yùn)用，能夠從表格中獲得正確信息，能夠結(jié)合表格建立分段函數(shù)關(guān)系式．11．（2021秋?前進(jìn)區(qū)期末）小明一家利用元旦三天駕車到某景點(diǎn)旅游．小汽車出發(fā)前油箱有油，行駛?cè)舾尚r后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量與行駛時間之間的關(guān)系．如圖所示．根據(jù)圖象回答下列問題：（1）小汽車行駛3后加油，中途加油；（2）求加油前油箱余油量與行駛時間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如果小汽車在行駛過程中耗油量速度不變，加油站距景點(diǎn)，車速為，要到達(dá)目的地，油箱中的油是否夠用？請說明理由．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以直接得到小汽車行駛幾小時后加油，中途的加油量是多少；（2）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得小汽車每小時的耗油量，從而可以得到加油前油箱余油量與行駛時間的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以的計(jì)算出油箱中的油最多可以行使多少千米，然后與300比較大小即可解答本題．【解答】解：（1）由圖可得，小汽車行駛后加油，中途加油，故答案為：3，24；（2）由圖可得，小汽車每小時耗油：，則；（3）油箱中的油不夠用，理由：，油箱中的油不夠用．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．12．（2021秋?任城區(qū)期末）桿秤是我國傳統(tǒng)的計(jì)重工具，如圖，秤鉤上所掛的不同重量的物體使得秤砣到秤紐的水平距離不同．稱重時，秤鉤所掛物重為（斤時，秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為（厘米）．如表中為若干次稱重時所記錄的一些數(shù)據(jù)，且是的一次函數(shù)．（斤00.751.001.502.253.25（厘米）1247注：秤桿上秤砣在秤紐左側(cè)時，水平距離（厘米）為正，在右側(cè)時為負(fù)．（1）根據(jù)題意，完成上表；（2）請求出與的關(guān)系式；（3）當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤？【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)每增加1厘米，重物增加0.25斤，從而可以計(jì)算出當(dāng)對應(yīng)的的值和當(dāng)時對應(yīng)的的值；（2）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以求出與的關(guān)系式；（3）將代入（2）中的關(guān)系式，即可得到當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15厘米時，秤鉤所掛物重是多少斤．【解答】解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可得，每增加1厘米，重物增加0.25斤，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故答案為：1.50，11；（2）設(shè)與的關(guān)系式為，點(diǎn)，在該函數(shù)圖象上，，解得，即與的關(guān)系式為；（3）當(dāng)時，，解得，即當(dāng)秤桿上秤砣到秤紐的水平距離為15厘米時，秤鉤所掛物重是4.25斤．【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．13．（2021秋?錦江區(qū)校級期末）元旦節(jié)期間，某天小王和小明都乘車從成都到重慶，成都、重慶兩地相距約為300千米，小王先乘車從成都出發(fā)，小明坐動車先以80千米小時速度追趕小王．如圖，線段表示小王離成都的距離（千米）與時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系；折線表示小明離成都的距離（千米）與（小時）之間的函數(shù)關(guān)系．請根據(jù)圖象解答下列問題：（1）小明到達(dá)重慶后，小王距重慶還剩多少千米？（2）求線段和對應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）求小明從成都出發(fā)后多長時間與小王相遇．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象可得小王的速度，進(jìn)而得出小明到達(dá)重慶后，小王距重慶的路程；（2）求得直線和的解析式，求得交點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論列方程組解答即可．【解答】解：（1）由題意可得，小王的速度為：（千米時），故小明到達(dá)重慶后，小王距重慶還剩：（千米）；（2）設(shè)線段的解析式是，根據(jù)題意得：，解得：，則線段的解析式是：，設(shè)的解析式是：，根據(jù)題意得：，解得：，則函數(shù)解析式是：；（3）根據(jù)題意得：，解得：，（小時），即小明從成都出發(fā)2.4小時后與小王相遇．【點(diǎn)評】此題為一次函數(shù)的應(yīng)用，解答一次函數(shù)的應(yīng)用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實(shí)際問題有意義．14．（2021秋?武漢期末）個體戶小陳新進(jìn)一種時令水果，成本為20元，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來40天內(nèi)的日銷售量與時間（天的關(guān)系如表：時間（天1351036日銷售量9490867624未來40天內(nèi)，前20天每天的價格（元與時間（天的函數(shù)關(guān)系式為且為整數(shù)），后20天每天的價格（元與時間（天的函數(shù)關(guān)系式為且為整數(shù)）．（1）直接寫出與時間（天之間的關(guān)系式；（2）請預(yù)測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？（3）在實(shí)際銷售的前20天中，個體戶小陳決定每銷售水果就捐贈元利潤且為整數(shù)）給貧困戶，通過銷售記錄發(fā)現(xiàn)，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間（天的增大而增大，求前20天中個體戶小陳共捐贈給貧困戶多少錢？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）從表格可看出每天比前一天少銷售2件，所以判斷為一次函數(shù)關(guān)系式；（2）日利潤日銷售量每件利潤，據(jù)此分別表示前20天和后20天的日利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最大值后比較得結(jié)論；（3）列式表示前20天中每天扣除捐贈后的日銷售利潤，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍，確定的值，算出總的銷量可得答案．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)為，將和代入一次函數(shù)中，有，．．經(jīng)檢驗(yàn)，其它點(diǎn)的坐標(biāo)均適合以上解析式，故所求函數(shù)解析式為；（2）設(shè)前20天日銷售利潤為元，后20天日銷售利潤為元．由，，當(dāng)時，有最大值578（元．由．，此函數(shù)對稱軸是，函數(shù)在上，在對稱軸左側(cè)，隨的增大而減?。?dāng)時，有最大值為（元．，故第14天時，銷售利潤最大，為578元；（3）對稱軸為．，當(dāng)時，隨的增大而增大，又每天扣除捐贈后的日利潤隨時間的增大而增大，，．又為整數(shù)，，40天的總銷量，小陳共捐贈給貧困戶元．答：前20天中個體戶小陳共捐贈給貧困戶4500元．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握各函數(shù)的性質(zhì)和圖象特征，針對所給條件作出初步判斷后需驗(yàn)證其正確性，最值問題需由函數(shù)的性質(zhì)求解時，正確表達(dá)關(guān)系式是關(guān)鍵．15．（2021?青島）科研人員為了研究彈射器的某項(xiàng)性能，利用無人機(jī)測量小鋼球豎直向上運(yùn)動的相關(guān)數(shù)據(jù)．無人機(jī)上升到離地面30米處開始保持勻速豎直上升，此時，在地面用彈射器（高度不計(jì)）豎直向上彈射一個小鋼球（忽略空氣阻力），在1秒時，它們距離地面都是35米，在6秒時，它們距離地面的高度也相同．其中無人機(jī)離地面高度（米與小鋼球運(yùn)動時間（秒之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示；小鋼球離地面高度（米與它的運(yùn)動時間（秒之間的函數(shù)關(guān)系如圖中拋物線所示．（1）直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）小鋼球彈射1秒后直至落地時，小鋼球和無人機(jī)的高度差最大是多少米？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）先設(shè)出一次函數(shù)的解析式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（3）當(dāng)時小鋼球在無人機(jī)上方，因此求，當(dāng)時，無人機(jī)在小鋼球的上方，因此求，然后進(jìn)行比較判斷即可．【解答】解：（1）設(shè)與之間的函數(shù)關(guān)系式為，函數(shù)圖象過點(diǎn)和，則，解得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）時，，的圖象是過原點(diǎn)的拋物線，設(shè)，點(diǎn)，在拋物線上，，解得：，，答：與的函數(shù)關(guān)系式為；（3）設(shè)小鋼球和無人機(jī)的高度差為米，由得，或，①時，，拋物線開口向下，又，當(dāng)時，的最大值為；②時，，，拋物線開口向上，又對稱軸是直線，當(dāng)時，隨的增大而增大，，當(dāng)時，的最大值為70，，高度差的最大值為70米．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際情況判斷無人機(jī)和小鋼球的高度差．16．（2021?廣西模擬）新冠疫情期間，某網(wǎng)店銷售的消毒用紫外線燈很暢銷，該網(wǎng)店店主結(jié)合店鋪數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，日銷量（件是售價（元件）的一次函數(shù)，其售價、日銷售量、日銷售純利潤（元的四組對應(yīng)值如表：售價（元件）150160170180日銷售量（件200180160140日銷售純利潤（元8000880092009200另外，該網(wǎng)店每日的固定成本折算下來為2000元．注：日銷售純利潤日銷售量（售價進(jìn)價）每日固定成本（1）①求關(guān)于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；②該商品進(jìn)價是100元件，當(dāng)售價是元件時，日銷售純利潤最大，最大純利潤是元．（2）由于疫情期間，每件紫外線燈的進(jìn)價提高了元，且每日固定成本增加了100元，但該店主為響應(yīng)政府號召，落實(shí)防疫用品限價規(guī)定，按售價不高于170元件銷售，若此時的日銷售純利潤最高為7500元，求的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）①用待定系數(shù)法即可求解；②根據(jù)日銷售純利潤日銷售量（售價進(jìn)價）每日固定成本，求出進(jìn)價；由題意得：，利用函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)的最大值；（2）由題意得，函數(shù)的對稱軸為，時，，即可求解．【解答】解：（1）①設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)、代入上式得，解得，故關(guān)于的函數(shù)解析式為；②日銷售純利潤日銷售量（售價進(jìn)價）每日固定成本，將第一組數(shù)值150，200，8000代入上式得，進(jìn)價），解得：進(jìn)價（元件），由題意得：，，故有最大值，當(dāng)（元件）時，的最大值為9250（元；故答案為100，175，9250；（2）由題意得：，，故有最大值，函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而增大，而，故當(dāng)時，有最大值，即時，，解得．【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，重點(diǎn)是掌握求最值的問題．注意：數(shù)學(xué)應(yīng)用題來源于實(shí)踐，用于實(shí)踐，在當(dāng)今社會市場經(jīng)濟(jì)的環(huán)境下，應(yīng)掌握一些有關(guān)商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數(shù)求最值．17．（2021秋?朝陽區(qū)期末）如圖，某矩形花園一邊靠墻，墻長，另外三邊用長為的籬笆圍成，其中一邊開有一扇寬為的門（不包括籬笆）．設(shè)矩形花園垂直于墻的一邊長為，面積為．（1）的長為（用含的代數(shù)式表示）．（2）求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．（3）求花園面積的最大值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)垂直于墻的一邊長為時，則另一邊的長度為；（2）根據(jù)矩形的面積公式寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并根據(jù)題意寫出自變量的取值范圍；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值求函數(shù)最值．【解答】解：（1），，故答案為：；（2）由題意得：，，，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（3），，，當(dāng)時，有最大值，最大值為．花園面積的最大值為．【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)矩形面積寫出函數(shù)解析式．18．小明大學(xué)畢業(yè)后積極響應(yīng)政府號召回鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，準(zhǔn)備經(jīng)營水果生意，他在批發(fā)市場了解到某種水果的批發(fā)單價與批發(fā)量有如下關(guān)系：批發(fā)量批發(fā)單價（元65（1）寫出批發(fā)該種水果的資金金額（元與批發(fā)量之間的函數(shù)關(guān)系式：并在下圖的坐標(biāo)系網(wǎng)格中畫出該函數(shù)圖象：指出資金金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．（2）經(jīng)市場調(diào)查，銷售該種水果的日最高銷量與零售價（元之間滿足函數(shù)關(guān)系，小明同學(xué)擬每日售出以上該種水果（不考慮損耗），且當(dāng)日零售價不變，請向他批發(fā)多少千克該種水果，零售價定為多少元時，能使當(dāng)日獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用【分析】（1）由表格的數(shù)據(jù)可列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，再通過函數(shù)圖象即可得出同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果．（2）由于小明同學(xué)擬每日售出以上該種水果，則此時的成本為5元，則根據(jù)銷售利潤銷售量（售價進(jìn)價），即可列出利潤關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法求頂點(diǎn)式即可．【解答】解：（1）依題意當(dāng)時，當(dāng)時，、列表得描點(diǎn)連線得，從