2025年中考數(shù)學思想方法復習系列 【新定義問題】方程與不等式中的新定義問題（解析版）

方程與不等式中的新定義問題知識方法精講1．解新定義題型的方法：方法一:從定義知識的新情景問題入手這種題型它要求學生在新定義的條件下，對提出的說法作出判斷，主要考查學生閱讀理解能力，分析問題和解決問題的能力．因此在解這類型題時就必須先認真閱讀，正理解新定義的含義；再運用新定義解決問題；然后得出結論。方法二：從數(shù)學理論應用探究問題入手對于涉及到數(shù)學理論的題目，要解決后面提出的新問題，必須仔細研究前面的問題解法．即前面解決問題過程中用到的知識在后面問題中很可能還會用到，因此在解決新問題時，認真閱讀，理解閱讀材料中所告知的相關問題和內(nèi)容，并注意這些新知識運用的方法步驟．方法三：從日常生活中的實際問題入手對于一些新定義問題，出題的方向通常借助生活問題，那么處理此類問題需要結合生活實際，再將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學知識、或者將生活圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學圖形，從而利用數(shù)學知識進行解答。2．解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.一．選擇題（共6小題）1．（2021秋?渦陽縣期末）將關于的一元二次方程變形為，就可以將表示為關于的一次多項式，從而達到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且，則的值為A． B． C． D．【考點】解一元二次方程公式法；高次方程；代數(shù)式求值【分析】由題可知，將所求式子變形為再求解即可．【解答】解：，，，的根為或，，，，故選：．【點評】本題考查高次方程的解，理解題中所給降次的方法，靈活降次，準確求一元二次方程的根是解題的關鍵．2．（2021?羅湖區(qū)校級模擬）對于實數(shù)和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數(shù)運算．例如：．則方程的解是A． B． C． D．【考點】解分式方程；實數(shù)的運算【分析】根據(jù)新定義運算列出分式方程，計算即可求出解．【解答】解：已知等式整理得：，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解．故選：．【點評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．3．（2021秋?南皮縣校級月考）定義一種新運算：※，若5※，則的值為A． B．或 C． D．或【考點】有理數(shù)的混合運算；解分式方程【分析】根據(jù)題意得出兩種情況：和，得出分式方程，再求出方程的解即可．【解答】解：5※，當時，原方程化為：，解得：；當時，原方程化為：，，，，，舍去，經(jīng)檢驗是原方程的解，故選：．【點評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關鍵．4．（2021?福田區(qū)一模）對于實數(shù)，，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是通常的實數(shù)運算．例如：，則方程的解是A． B． C． D．【考點】實數(shù)的運算；解分式方程【分析】已知方程利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：，去分母得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解．故選：．【點評】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．5．（2017?杜爾伯特縣二模）定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧”方程；如果一元二次方程滿足那么我們稱這個方程為“美好”方程，如果一個一元二次方程既是“和諧”方程又是“美好”方程，則下列結論正確的是A．方有兩個相等的實數(shù)根 B．方程有一根等于0 C．方程兩根之和等于0 D．方程兩根之積等于0【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關系【分析】根據(jù)已知得出方程有兩個根或，再判斷即可．【解答】解：把代入方程得出：，把代入方程得出，方程有兩個根或，，即只有選項正確；選項、、都錯誤；故選：．【點評】本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，根與系數(shù)的關系的應用，主要考查學生的理解能力和計算能力．6．（2020秋?隨縣期末）規(guī)定一種新運算：，若，則的值為A． B．1 C．2 D．【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程【分析】首先根據(jù)題意，可得：，所以，所以；然后根據(jù)解一元一次方程的方法，求出的值為多少即可．【解答】解：，，，，，去括號，可得：，移項，可得：，合并同類項，可得：，系數(shù)化為1，可得：．故選：．【點評】此題主要考查了解一元一次方程的方法，要熟練掌握解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．二．填空題（共5小題）7．（2021秋?建華區(qū)期末）對于非零的兩個有理數(shù)、，我們給出一種新的運算，規(guī)定：，若，則的值為．【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程；解分式方程【分析】先根據(jù)新運算得出方程，再方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：，，即，方程兩邊都乘，得，解得：，檢驗：當時，，所以是原方程的解，即，故答案為：．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算和解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關鍵，注意：解分式方程一定要進行檢驗．8．（2021秋?東莞市期末）新定義一種運算“☆”，規(guī)定☆．若2☆☆2，則的值為2．【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程【分析】根據(jù)題意，可得：，據(jù)此求出的值為多少即可．【解答】解：☆，2☆☆2，，整理，可得：，解得．故答案為：2．【點評】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，以及解一元一次方程的方法，要熟練掌握，解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1．9．（2020秋?福田區(qū)校級期末）對，定義一種新運算“※”，規(guī)定：※（其中，均為非零常數(shù)），若1※，1※．則2※1的值是9．【考點】有理數(shù)的混合運算；解二元一次方程組【分析】由已知條件，根據(jù)所給定義可得到關于、的方程組，則可求得、的值，再代入計算即可．【解答】解：※，1※，，解得：，則※※，故答案為：9．【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．10．（2020春?思明區(qū)校級期末）新定義：對非負數(shù)“四舍五入”到個位的值記為．即當為非負整數(shù)時，若則．如，．給出下列關于的結論：①；②；③若，則的取值范圍是；④當，為非負整數(shù)時，有；其中正確的結論有①③④（填寫所有正確的序號）．【考點】近似數(shù)和有效數(shù)字；解一元一次方程【分析】對于①可直接判斷，②可用舉反例法判斷，③、④我們可以根據(jù)題意所述利用不等式判斷．【解答】解：①，故①符合題意；②，例如當時，，，故②不符合題意；③若，則，解得：，故③符合題意；④為非負整數(shù)，故，故④符合題意；綜上可得①③④正確．故答案為：①③④．【點評】本題考查了解一元一次方程以及一元一次不等式組的應用和理解題意的能力，關鍵是看到所得值是個位數(shù)四舍五入后的值，問題可得解．11．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知和兩個有理數(shù)，規(guī)定一種新運算“”為：（其中，若，則．【考點】有理數(shù)的混合運算；解分式方程【分析】已知等式利用題中的新定義化簡，計算即可求出的值．【解答】解：已知等式利用題中的新定義化簡得：，即整理得：，去括號得：，移項合并得：，解得：，經(jīng)檢驗是分式方程的解，則．故答案為：．【點評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．三．解答題（共14小題）12．（2021秋?市中區(qū)期末）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定☆．如：1☆．（1）☆；（2）若☆☆，求的值；（3）“作差法”是常見的比較代數(shù)式大小的一種方法，即要比較代數(shù)式、的大小，只要作出它們的差，若，則；若，則；若，則．若2☆，☆（其中為有理數(shù)），試比較，的大小．【考點】解一元一次方程；有理數(shù)的混合運算；整式的混合運算【分析】（1）利用規(guī)定的運算方法直接代入計算即可；（2）利用規(guī)定的運算方法得出方程，求得方程的解即可；（3）利用規(guī)定的運算方法得出、，再進一步作差即可比較大?。窘獯稹拷猓海?）原式；故答案為：．（2）根據(jù)題意得：整理得，解得：；（3）已知等式整理得：，，，．【點評】本題考查了新定義，涉及到了有理數(shù)的混合運算、一元一次方程．解題的關鍵是根據(jù)新定義進行化簡整理．13．（2021秋?西城區(qū)期末）我們將數(shù)軸上點表示的數(shù)記為．對于數(shù)軸上不同的三個點，，，若有，其中為有理數(shù)，則稱點是點關于點的“星點”．已知在數(shù)軸上，原點為，點，點表示的數(shù)分別為，．（1）若點是點關于原點的“星點”，則；若點是點關于點的“2星點”，則；（2）若線段在數(shù)軸上沿正方向運動，每秒運動1個單位長度，取線段的中點．是否存在某一時刻，使得點是點關于點的“星點”？若存在，求出線段的運動時間；若不存在，請說明理由；（3）點在數(shù)軸上運動（點不與，兩點重合），作點關于點的“3星點”，記為，作點關于點的“3星點”，記為．當點運動時，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相應點的位置；若不存在，請說明理由．【考點】數(shù)軸；一元一次方程的應用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類【分析】（1）由“星點”的定義列出方程可求解；（2）設點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)，則線段的中點表示的數(shù)為，由“星點”的定義列出方程可求解；（3）先求出，表示的數(shù)，可求，由絕對值的性質(zhì)可求解．【解答】解：（1）點是點關于原點的“星點”，，解得：，點是點關于點的“2星點”，，，故答案為：，；（2）設點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)，則線段的中點表示的數(shù)為，點是點關于點的“星點”，，，，當，使得點是點關于點的“星點”；（3）當點在線段（點不與，兩點重合）上時，存在最小值，理由如下：設點表示的數(shù)為，點是點關于點的“3星點”，點表示的數(shù)為，點是點關于點的“3星點”，點表示的數(shù)是，，當時，，當時，，當時，，當點在線段（點不與，兩點重合）上時，存在最小值，最小值為15．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，絕對值，理解“星點”的定義并運用是解題的關鍵．14．（2021秋?長沙期末）若關于的方程的解與關于的方程的解滿足，則稱方程與方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因為，方程與方程是“美好方程”．（1）請判斷方程與方程是不是“美好方程”，并說明理由；（2）若關于的方程與關于的方程是“美好方程”，請求出的值；（3）若無論取任何有理數(shù)，關于的方程，為常數(shù)）與關于的方程都是“美好方程”，求的值．【考點】絕對值；一元一次方程的解【分析】（1）分別求出兩個方程的解，再由定義進行驗證即可；（2）求出方程的解是，再由定義可得，再由的值分別求的值即可；（3）先求方程的解為，再由定義可得，再由的值分別求的值即可．【解答】解：（1）的解是，的解是，，方程與方程不是“美好方程”；（2）的解是，方程與方程是“美好方程”，，或，當時，；當時，；（3）的解為，方程與方程是“美好方程”，，或，當時，，，，無論取任何有理數(shù)都成立，，，，，；當時，，，，無論取任何有理數(shù)都成立，，，，，；綜上所述：的值為20或28．【點評】本題考查一元一次方程的解，理解定義，熟練一元一次方程的解法，絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2021秋?慶陽期末）若規(guī)定這樣一種新運算法則：．如．（1）求的值；（2）若，求的值．【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程【分析】（1）先根據(jù)新運算得出，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算即可；（2）先根據(jù)新運算得出，再根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算，最后根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解即可．【解答】解：（1）；（2），，，，，．【點評】不考查了有理數(shù)的混合運算和解一元一次方程，能正確根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算是解此題的關鍵．16．（2021秋?任城區(qū)期末）用“※”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定※．例如：1※．（1）求※5的值；（2）若※，求的值．【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程【分析】（1）由新運算的定義把式子轉(zhuǎn)化為，再進行運算；（2）由新運算的定義把式子轉(zhuǎn)化為，然后解方程求；【解答】解：（1）由題意知，※．（2）由題意知，※，※，．移項得：，方程兩邊都除以得：．的值為1．【點評】本題是閱讀型題目，弄清題目中定義的含義是解題的關鍵．17．（2021秋?錦江區(qū)校級期末）小兵喜歡研究數(shù)學問題，在學習一元一次方程后，他給出一個新定義：若是關于的一元一次方程的解，是關于的方程的所有解的其中一個解，且，滿足，則稱關于的方程為關于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，當時，，所以為一元一次方程的“友好方程”．（1）已知關于的方程：①，②，以上哪個方程是一元一次方程的“友好方程”？請直接寫出正確的序號是②．（2）若關于的方程是關于的一元一次方程的“友好方程”，請求出的值．（3）如關于的方程是關于的一元一次方程的“友好方程”，請直接寫出的值．【考點】一元一次方程的定義；含絕對值符號的一元一次方程；解一元二次方程直接開平方法【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解出和，根據(jù)“友好方程”的定義判斷即可；（2）解出得解，再解出的解是，分類討論，令，即可求出的值；（3）先解出一元一次方程的解，再根據(jù)表示出，將代入到方程中化簡即可．【解答】解：（1）的解為，方程的解是，；故不是“友好方程”；方程的解是或，當時，，故是“友好方程”，故答案是：②（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，若，，則，解得；若，，則，解得；答：的值為97或95．（3），解得，，；；；即．分母不能為0；，即；；答：的值為16．【點評】本題考查解一元一次方程，理解題目定義中的“友好方程”是解題的關鍵，再通過解一元一次方程的方法求解．18．（2020?麗水模擬）新定義：如果一個矩形，它的周長和面積分別是另外一個矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是另一個矩形的“減半”矩形．（1）已知矩形的長12、寬2，矩形的長4、寬3，試說明矩形是矩形的“減半”矩形．（2）矩形的長和寬分別為2，1時，它是否存在“減半”矩形？請作出判斷，并請說明理由．【考點】一元二次方程的應用【分析】（1）分別計算出矩形是矩形周長和面積即可說明矩形是矩形的“減半”矩形．（2）假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為、，根據(jù)如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．【解答】解：（1）由題意可知：矩形的周長，面積，矩形的周長，面積，所以矩形是矩形的“減半”矩形；（2）不存在．理由如下：假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為、，則，由①得：③，把③代入②得：，，所以不存在．【點評】本題考查一元二次方程的應用，關鍵知道相似圖形的面積比，周長比的關系．19．（2020秋?江北區(qū)期末）在平面直角坐標系中，已知點，，若在坐標軸上存在點，使得，則稱點為點，的“的和諧點”．例如坐標為時，，則稱為點，的“6的和諧點”．（1）若點為點，的“的和諧點”，且為等腰直角三角形，求的值；（2），的“10的和諧點”有幾個，請分別求出坐標；（3）直接指出，的“的和諧點”的個數(shù)情況和相應的取值條件．【考點】三角形綜合題【分析】（1）先由、兩點的坐標求出，再根據(jù)等腰直角三角形的定義得到，然后根據(jù)“的和諧點”的定義即可求解；（2）設點是點，的“10的和諧點”，分類討論：①如果點在軸上，設點坐標為，得，結合取值范圍解方程即可；②如果點在軸上，設點坐標為．根據(jù)勾股定理求得，即可求解；（3）由，可知點，的“的和諧點”的個數(shù)情況分三種情況進行討論：①當時，根據(jù)兩點之間線段最短可知，的“的和諧點”沒有；②當時，軸上與3之間的任意一個數(shù)所對應的點都是，的“的和諧點”，所以有無數(shù)個；③當時，，的“的和諧點”軸上有2個，軸上也有2個，一共有4個．【解答】解：（1）點，，，為等腰直角三角形，，，即；（2）設點是點，的“10的和諧點”，分類討論：①如果點在軸上，設點坐標為．，，當時，，解得，所以點坐標為；當時，，無解；當時，，解得，所以點坐標為；②如果點在軸上，設點坐標為．．，，所以點坐標為，；綜上所述，，的“10的和諧點”有4個，坐標為，，，；（3），點，的“的和諧點”的個數(shù)情況分三種情況：①當時，根據(jù)兩點之間線段最短，，的“的和諧點”沒有；②當時，軸上與3之間的任意一個數(shù)所對應的點都是，的“的和諧點”，，的“的和諧點”有無數(shù)個；③當時，，的“的和諧點”軸上有2個，軸上也有2個，，的“的和諧點”有4個．【點評】本題考查了勾股定理，兩點間的距離公式，同時考查學生的閱讀理解能力和知識的遷移能力．正確理解，的“的和諧點”的定義是解題的前提，運用方程思想、分類討論是解題的關鍵．20．（2020秋?九龍坡區(qū)期末）若在一個兩位正整數(shù)的個位數(shù)與十位數(shù)字之間添上數(shù)字6，組成一個新的三位數(shù)，我們稱這個三位數(shù)為的“至善數(shù)”，如13的“至善數(shù)”為163；若將一個兩位正整數(shù)加6后得到一個新數(shù)，我們稱這個新數(shù)為的“明德數(shù)”，如13的“明德數(shù)”為19．（1）38的“至善數(shù)”是368，“明德數(shù)”是；（2）若一個兩位正整數(shù)的“明德數(shù)”的各位數(shù)字之和是的“至善數(shù)”各位數(shù)字之和的一半，求出滿足條件的所有兩位正整數(shù)的值．【考點】一元一次方程的應用【分析】（1）根據(jù)“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的定義計算即可得答案；（2）設的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，分別寫出的“至善數(shù)”和“明德數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字之和，“明德數(shù)”的個位可能存在進位，故分兩類計算即可．【解答】解：（1）38的“至善數(shù)”是368；“明德數(shù)”是．故答案為：368；44；（2）設的十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則的至善數(shù)的各位數(shù)字之和是．的明德數(shù)各位數(shù)字之和是（當時）或（當時）．由題意得：時，．，不符合題意；或者：當時，．．，或，或，或，或，或，．滿足條件的所有兩位正整數(shù)的值是：39或48或57或66或75或84．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，此題屬于新定義在數(shù)字問題中的應用，讀懂定義并正確列式是解題的關鍵．21．（2020秋?鳳凰縣期末）閱讀下列材料，然后回答問題：對于實數(shù)、我們定義一種新運算，（其中、均為非零常數(shù)），等式右邊是通常的四則運算，由這種運算得到的數(shù)我們稱之為線性數(shù)，記為，其中、叫做線性數(shù)的一個數(shù)對，若實數(shù)、都取正整數(shù)，我們稱這樣的線性數(shù)為正格線性數(shù)，這時的、叫做正格線性數(shù)的正格數(shù)對．（1）若，則5，，；（2）已知，，，若正格線性數(shù)（其中為整數(shù)），問是否有滿足這樣條件的正格數(shù)對？若有，請找出，若沒有，請說明理由．【考點】實數(shù)的運算；一元一次方程的解【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可求出值；（2）根據(jù)題中的新定義化簡已知等式，由，都為正整數(shù)，為整數(shù)，確定出所求即可．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：，，；故答案為：5；3；（2）根據(jù)題中的新定義化簡，，得：，解得：，化簡，得：，依題意，，都為正整數(shù)，是整數(shù)，是奇數(shù)，，3，9，解得：，0，3，當時，，，舍去；當時，，，舍去；當時，，，綜上，時，存在正格數(shù)對，滿足條件．【點評】此題考查了實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．22．（2020秋?新賓縣期末）用“”定義一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值．【考點】有理數(shù)的混合運算；解一元一次方程【分析】（1）按規(guī)定的運算程序運算求值即可；（2）根據(jù)新運算，先把方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，再求的值．【解答】解：（1）；（2）由題可知，，則，整理得：，解得：．【點評】本題考查了新定義運算及解一元一次方程，掌握新定義運算的運算過程是解決本題的關鍵．23．（2020秋?中山區(qū)期末）當時，定義一種新運算：，例如：，，．（1）直接寫出2；（2）若，，，求出的值．【考點】有理數(shù)的混合運算；解分式方程【分析】（1）根據(jù)題中的新運算計算即可；（2）已知等式利用題中的新運算化簡，計算即可求出的值．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新運算得：；故答案為：2；（2）當時，，，化簡得：，解得：，不合題意，舍去；當時，，，化簡得：，解得：，綜上，．【點評】此題考查了解分式方程，有理