2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【轉(zhuǎn)化思想】圓中的轉(zhuǎn)化思想（解析版）

圓中的轉(zhuǎn)化思想知識(shí)方法精講1．轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題；將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題；將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。總之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無(wú)處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡(jiǎn)單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說(shuō)到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，善于對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系數(shù)法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整體代入法以及化動(dòng)為靜，由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。2．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．3．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過(guò)作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對(duì)的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對(duì)的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角．4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過(guò)來(lái)已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號(hào)“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號(hào)“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．5．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過(guò)圓心；②直線過(guò)切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡(jiǎn)記作：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，見(jiàn)垂直．6．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng)）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．7．圓錐的計(jì)算（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l＝πrl．（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積＝×底面積×高注意：①圓錐的母線與展開(kāi)后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長(zhǎng)與展開(kāi)后所得扇形的弧長(zhǎng)相等．一．選擇題（共6小題）1．（2021?棗莊）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算【分析】連接，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧，所對(duì)的弦分別相等，利用面積割補(bǔ)法可得陰影部分的面積等于弓形面積，即等于扇形減去直角三角形的面積之差．【解答】解：連接，，如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，為對(duì)角線的交點(diǎn)，由題意可得：，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，，，．弓形弓形．陰影部分的面積等于弓形的面積．．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算．通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將不規(guī)則的陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積的差是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?覃塘區(qū)期中）如圖，一張含有的三角形紙片，剪去這個(gè)角后，得到一個(gè)四邊形，則的度數(shù)是A． B． C． D．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；剪紙問(wèn)題【分析】利用三角形內(nèi)角和定理求出，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求解即可．【解答】解：如圖，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查剪紙問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理，四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．3．如圖，在中，，，，分別以，為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作圓，將截去兩個(gè)扇形，則剩余（陰影）部分的面積為．A． B． C． D．【考點(diǎn)】勾股定理；扇形面積的計(jì)算【分析】已知中，，，，則根據(jù)勾股定理可知，陰影部分的面積可以看作是直角三角形的面積減去兩個(gè)扇形的面積．【解答】解：中，，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】陰影部分的面積可以看作是直角三角形的面積減去兩個(gè)扇形的面積，求不規(guī)則的圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形的面積的和或差來(lái)求．4．（2020?錫山區(qū)校級(jí)模擬）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如圖的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫(huà)一個(gè)直徑為1的圓，把刻度尺的0刻度固定在半圓的圓心處，刻度尺可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．圖中所示的圖尺可讀出的值是A． B． C． D．【考點(diǎn)】圓周角定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；解直角三角形【分析】如圖，連接．只要證明，可得．【解答】解：如圖，把刻度尺與圓的另一個(gè)交點(diǎn)記作，連接．是直徑，，，，，由刻度尺可知，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，屬于中考創(chuàng)新題目．5．（2020?河北模擬）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的半徑為2，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最大值為A． B． C． D．5【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與軸的交點(diǎn)；三角形中位線定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【分析】為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以是的中位線，則，當(dāng)最大時(shí)，則最大．由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最大．【解答】解：如圖，連接．為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以是的中位線，則，當(dāng)最大時(shí)，則最大．由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最大．，，，的最大值為，的最大值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)、三角形的中位線定理、二次函數(shù)的性質(zhì)以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，有一定難度，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題．6．如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形，點(diǎn)恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【分析】連接，作，，證明，則，求得扇形的面積，則陰影部分的面積即可求得．【解答】解：連接，作，．，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，四邊形是正方形，．則扇形的面積是：．，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分，又，，，，，則在和中，，，．則陰影部分的面積是：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的全等的判定與扇形的面積的計(jì)算的綜合題，正確證明，得到是關(guān)鍵．二．填空題（共9小題）7．（2020秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線與軸正方向所夾的銳角為．（1）的半徑為5；（2）．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形【分析】（1）結(jié)論，利用勾股定理求解即可．（2）設(shè)交軸于，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，連接，，．求出，再證明即可．【解答】解：（1）連接．，，故答案為：5．（2）設(shè)交軸于，過(guò)點(diǎn)作交于，交于，連接，，．，，，在中，，，，，，．，，，，軸，，，，，，，．補(bǔ)充方法：證明時(shí)，可以這樣證明：，，，，，可得結(jié)論．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，垂徑定理，三角形的外角的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．8．如圖，直角中，，，，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)四分之一圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【分析】連接．根據(jù)圖中陰影部分的面積三角形的面積三角形的面積扇形的面積，列出算式即可求解．【解答】解：連接．直角中，，，，，，，三角形是等邊三角形，，，圖中陰影部分的面積．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查了扇形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形的面積計(jì)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積計(jì)算．9．如圖，水平放置的圓柱形油桶的截面半徑是，油面高為，截面上有油的弓形（陰影部分）的面積為．【考點(diǎn)】勾股定理；垂徑定理的應(yīng)用【分析】陰影部分面積的計(jì)算，可以轉(zhuǎn)化為用圓的面積減去上面沒(méi)有油的部分的面積，關(guān)鍵是求上面部分的面積．上面是一個(gè)弓形，它的面積可轉(zhuǎn)化為扇形面積減去三角形面積．【解答】解：設(shè)油面所在的弦為圓心是，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，．，，．的面積是．，扇形的面積是．上面沒(méi)油的部分的面積是，陰影部分的面積是．【點(diǎn)評(píng)】計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，可以轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差的問(wèn)題．10．如圖，圓錐的母線長(zhǎng)是3，底面半徑是1，是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點(diǎn)的最短的路線長(zhǎng)是．【考點(diǎn)】平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題；圓錐的計(jì)算；特殊角的三角函數(shù)值【分析】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，從點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點(diǎn)的最短的路線即展開(kāi)得到的扇形的弧所對(duì)的弦，轉(zhuǎn)化為求弦長(zhǎng)的問(wèn)題．【解答】解：圖扇形的弧長(zhǎng)是，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到，即扇形的圓心角是，弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．本題就是把圓錐的側(cè)面展開(kāi)成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．11．如圖，已知直角扇形的半徑，以為直徑在扇形內(nèi)作半圓，過(guò)點(diǎn)引交于點(diǎn)，則與半圓弧及所圍成的陰影部分的面積．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【分析】要求的陰影部分的面積顯然是不規(guī)則圖形的面積，不可能直接用公式，只有用“割補(bǔ)法”，連接，根據(jù)即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，連接．，，．又，，，，，．，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形面積的計(jì)算．求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．12．如圖，已知中，，，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是4．【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；切線的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算【分析】連接及，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到角為直角，又為，得到三角形為等腰直角三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，根據(jù)三線合一得到垂直于，又根據(jù)為斜邊上的中線，等于斜邊的一半，即可求出，根據(jù)扇形與扇形的圓心角及半徑相等，得到兩扇形面積相等，又三角形與三角形全等得到兩三角形面積相等，用扇形減去三角形即可得到弓形與弓形的面積相等，則陰影部分面積可轉(zhuǎn)化為三角形的面積，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等得到與相等都等于4，然后根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2即可求出所求陰影部分的面積．【解答】解：連接，，為圓的直角，又，為等腰直角三角形，又為的中點(diǎn)，，且，，扇形與扇形的圓心角都為，半徑都為2，得到，又，由為平行四邊形，得到，則．故答案為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生會(huì)利用轉(zhuǎn)化的思想把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)要求學(xué)生掌握平行四邊形及等腰直角三角形的性質(zhì)，是一道中檔題．13．已知的半徑為1．弦的長(zhǎng)為，若在上找一點(diǎn)，使，則75或15．【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；圓周角定理；特殊角的三角函數(shù)值【分析】畫(huà)出圖形，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求得三角形的邊長(zhǎng)，求得和，再求出的度數(shù)即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，，，，由垂徑定理得，，，，由勾股定理得，，，，，，當(dāng)、在半徑同旁時(shí)，．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和垂徑定理，解此類題目要注意將圓的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題再進(jìn)行計(jì)算．14．如圖，陰影部分的面積為．【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算【分析】先根據(jù)題意得到扇形的面積等于扇形的面積，即圖形1的面積等于圖形3的面積，通過(guò)割補(bǔ)的方法可知陰影部分的面積圖形1的面積圖形3的面積正方形的面積．【解答】解：如圖，四邊形和四邊形為正方形，且邊長(zhǎng)為那么扇形的面積等于扇形的面積所以圖形1的面積等于圖形3的面積則陰影部分的面積圖形1的面積圖形3的面積正方形的面積．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了通過(guò)割補(bǔ)法把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形求面積的方法．本題的關(guān)鍵是利用面積之間的等量代換得到陰影部分的面積圖形1的面積圖形3的面積正方形的面積．15．如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無(wú)陰影部分的兩部分的面積之差是．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算【分析】無(wú)陰影部分的兩部分的面積之差，可以由圖中的幾個(gè)部分面積之間的轉(zhuǎn)化求解．【解答】解：無(wú)陰影的兩部分可分為1、2兩部分，面積之差，如下圖所示：由圖形可知，，由上式可得，，所以本題應(yīng)該填．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形面積之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．三．解答題（共6小題）16．（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在中，，以為直徑的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連結(jié)，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，通過(guò)證得得出，，即可證得結(jié)論；（2）連接，由圓周角定理得出，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，根據(jù)勾股定理列出，即，求出，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：是直徑，，，，，在和中，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形為菱形；（2）解：，，連接，則，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則，，即解得或（舍去），，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．17．（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求證：①是的切線；②；（2）若點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，試求陰影部分的面積．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）①連接，根據(jù)圓周角定理推出，并根據(jù)平行線的判定得出，從而得到即可證明是的切線；②連接，，根據(jù)同角的余角相等推出，并得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明；（2）連接、、，根據(jù)題意由圓心角定理推出和是等邊三角形，并得出相關(guān)角的大小即邊之間的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的判定得到，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積進(jìn)行求解即可．【解答】（1）①證明：如圖1，連接，，，（圓周角定理），，，根據(jù)題意可知，，是的切線．②如圖2，連接，，為直徑，，，，由（1）可知，，在和中，，，，故．（2）如圖3，連接、、，和交于點(diǎn)，則，根據(jù)題意點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，，和是等邊三角形，，，由（1）可知，，在和中，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是證明從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，通常要結(jié)合圓周角定理及圓心角定理求解各角、各邊之間的關(guān)系．18．（2021?羅平縣模擬）如圖，是的直徑，是弦，點(diǎn)在圓外，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、、，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）設(shè)的面積為，的面積為，若，求的值．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）由證明即可得到結(jié)果；（2）證明即即可得證；（3）把轉(zhuǎn)化為，設(shè)，用表示出半徑，再由的面積比等于相似比平方可得到答案．【解答】解：（1）證明：，又，，于點(diǎn)，，，，即，，是的切線；（2），，，，，，；（3）為直徑，，，，，，在中，，設(shè)，則，，于點(diǎn)，，，由（2）知，，而，，，設(shè)，則，的面積為，而的面積為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線、相似三角形判定及性質(zhì)，難度較大，解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為．19．（2021?商河縣校級(jí)模擬）（1）初步思考：如圖1，在中，已知，，為上一點(diǎn)且，試證明：（2）問(wèn)題提出：如圖2，已知正方形的邊長(zhǎng)為4，圓的半徑為2，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（3）推廣運(yùn)用：如圖3，已知菱形的邊長(zhǎng)為4，，圓的半徑為2，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）通過(guò)相似三角形的性質(zhì)證得結(jié)論；（2）如圖2中，在上取一點(diǎn)，使得．由，推出，推出，推出，由，當(dāng)、、共線時(shí)，的值最小，最小值為．由；（3）如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，作于．解法類似（2）；【解答】（1）證明：如圖1，，，，，．．．又，．．；（2）如圖2，在上取一點(diǎn)，使得，（3）同（2）中證法，如圖3，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的最大值，最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．20．問(wèn)題提出（1）如圖1，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，則、之間的距離為；問(wèn)題探究（2）如圖2，在邊長(zhǎng)為6的正方形中，以為直徑作半圓，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，求、之間的最大距離；問(wèn)題解決（3）窯洞是我省陜北農(nóng)村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風(fēng)景線，是因?yàn)楦G洞除了它的堅(jiān)固性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點(diǎn)家住延安農(nóng)村的一對(duì)即將參加中考的雙胞胎小寶和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞（如圖3所示）的門窗是由矩形及弓形組成，，，弓高為的中點(diǎn)，，小寶說(shuō)，門角到門窗弓形弧的最大距離是、之間的距離．小貝說(shuō)這不是最大的距離，你認(rèn)為誰(shuí)的說(shuō)法正確？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算求出門角到門窗弓形弧的最大距離．【考點(diǎn)】圓的綜合題【分析】（1）如圖1，連接，，對(duì)角線交點(diǎn)為，連接交于，證明垂直平分，四邊形為正方形，分別求出和的長(zhǎng)度即可；（2）如圖2，補(bǔ)全，連