2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【轉(zhuǎn)化思想】圓中的轉(zhuǎn)化思想（原卷版）

圓中的轉(zhuǎn)化思想知識方法精講1．轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思維方式。所謂的轉(zhuǎn)化思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決的一種方法。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題?？傊?，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在，轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有：HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"待定系數(shù)法，配方法，HYPERLINK\t"/item/%E5%8C%96%E5%BD%92%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"整體代入法以及化動(dòng)為靜，由抽象到具體等轉(zhuǎn)化思想。2．垂徑定理的應(yīng)用垂徑定理的應(yīng)用很廣泛，常見的有：（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．3．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關(guān)問題時(shí)，常常需要添加輔助線，構(gòu)成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形．利用等腰三角形的頂點(diǎn)和底角的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化．②圓周角和圓周角的轉(zhuǎn)化可利用其“橋梁”﹣﹣﹣圓心角轉(zhuǎn)化．③定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運(yùn)用定理時(shí)不要忽略了這個(gè)條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯(cuò)當(dāng)成同一條弧所對的圓周角和圓心角．4．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有：①點(diǎn)P在圓外?d＞r②點(diǎn)P在圓上?d＝r①點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r（2）點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．（3）符號“?”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“?”的左端可以得到右端，從右端也可以得到左端．5．切線的性質(zhì)（1）切線的性質(zhì)①圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)．③經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心．（2）切線的性質(zhì)可總結(jié)如下：如果一條直線符合下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，那么它一定滿足第三個(gè)條件，這三個(gè)條件是：①直線過圓心；②直線過切點(diǎn)；③直線與圓的切線垂直．（3）切線性質(zhì)的運(yùn)用由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記作：見切點(diǎn)，連半徑，見垂直．6．扇形面積的計(jì)算（1）圓面積公式：S＝πr2（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．（3）扇形面積計(jì)算公式：設(shè)圓心角是n°，圓的半徑為R的扇形面積為S，則S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l(wèi)為扇形的弧長）（4）求陰影面積常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割補(bǔ)法．（5）求陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．7．圓錐的計(jì)算（1）連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓周上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線．連接頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫圓錐的高．（2）圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．（3）圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l＝πrl．（4）圓錐的全面積：S全＝S底+S側(cè)＝πr2+πrl（5）圓錐的體積＝×底面積×高注意：①圓錐的母線與展開后所得扇形的半徑相等．②圓錐的底面周長與展開后所得扇形的弧長相等．一．選擇題（共6小題）1．（2021?棗莊）如圖，正方形的邊長為2，為對角線的交點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)．以為圓心，2為半徑作圓弧，再分別以，為圓心，1為半徑作圓弧，，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．2．（2021秋?覃塘區(qū)期中）如圖，一張含有的三角形紙片，剪去這個(gè)角后，得到一個(gè)四邊形，則的度數(shù)是A． B． C． D．3．如圖，在中，，，，分別以，為圓心，以的長為半徑作圓，將截去兩個(gè)扇形，則剩余（陰影）部分的面積為．A． B． C． D．4．（2020?錫山區(qū)校級模擬）某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組制作了如圖的三角函數(shù)計(jì)算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個(gè)直徑為1的圓，把刻度尺的0刻度固定在半圓的圓心處，刻度尺可以繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．圖中所示的圖尺可讀出的值是A． B． C． D．5．（2020?河北模擬）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，對稱軸與拋物線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，的半徑為2，為上一動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最大值為A． B． C． D．56．如圖，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心作圓心角為的扇形，點(diǎn)恰在弧上，則圖中陰影部分的面積為A． B． C． D．二．填空題（共9小題）7．（2020秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，，延長，分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線與軸正方向所夾的銳角為．（1）的半徑為；（2）．8．如圖，直角中，，，，以為圓心，長為半徑畫四分之一圓，則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果保留．9．如圖，水平放置的圓柱形油桶的截面半徑是，油面高為，截面上有油的弓形（陰影部分）的面積為．10．如圖，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)繞側(cè)面一周，再回到點(diǎn)的最短的路線長是．11．如圖，已知直角扇形的半徑，以為直徑在扇形內(nèi)作半圓，過點(diǎn)引交于點(diǎn)，則與半圓弧及所圍成的陰影部分的面積．12．如圖，已知中，，，以為直徑的半圓與相切于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積是．13．已知的半徑為1．弦的長為，若在上找一點(diǎn)，使，則．14．如圖，陰影部分的面積為．15．如圖，正方形的邊，和都是以1為半徑的圓弧，則無陰影部分的兩部分的面積之差是．三．解答題（共6小題）16．（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）如圖，在中，，以為直徑的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使，連結(jié)，．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，求．17．（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，以為直徑的經(jīng)過點(diǎn)．（1）求證：①是的切線；②；（2）若點(diǎn)是劣弧的中點(diǎn)，且，試求陰影部分的面積．18．（2021?羅平縣模擬）如圖，是的直徑，是弦，點(diǎn)在圓外，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接、、，．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）設(shè)的面積為，的面積為，若，求的值．19．（2021?商河縣校級模擬）（1）初步思考：如圖1，在中，已知，，為上一點(diǎn)且，試證明：（2）問題提出：如圖2，已知正方形的邊長為4，圓的半徑為2，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（3）推廣運(yùn)用：如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓的半徑為2，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．20．問題提出（1）如圖1，正方形的對角線交于點(diǎn)，是邊長為6的等邊三角形，則、之間的距離為；問題探究（2）如圖2，在邊長為6的正方形中，以為直徑作半圓，點(diǎn)為弧上一動(dòng)點(diǎn)，求、之間的最大距離；問題解決（3）窯洞是我省陜北農(nóng)村的主要建筑，窯洞賓館更是一道靚麗的風(fēng)景線，是因?yàn)楦G洞除了它的堅(jiān)固性及特有的外在美之外，還具有冬暖夏涼的天然優(yōu)點(diǎn)家住延安農(nóng)村的一對即將參加中考的雙胞胎小寶和小貝兩兄弟，發(fā)現(xiàn)自家的窯洞（如圖3所