2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)第五中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)第五中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=?1,0,1，若A∪B=?1,0,1,2,3，則集合B可以是(

)A.? B.?1,0,1 C.2,3,4 D.1,2,32.若直線ax?y?a+1=0與直線x?ay+3a?3=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.0 B.?1 C.1 D.?1或13.設(shè)曲線C是雙曲線，則“C的方程為x2?y24=1”是“A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)=sinx+3cosx，設(shè)a=fA.c>b>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b5.已知兩點(diǎn)A(?2,0)，B(0,2)，點(diǎn)C是圓x2+y2?4x+4y+6=0上任意一點(diǎn)，則A.8 B.6 C.3+2 6.已知拋物線C：y2=12x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A在C上，過A點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于B，若∠FAB=2π3，則A.23 B.43 C.7.中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體(扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分).現(xiàn)有一個(gè)如下圖所示的“曲池”，其高為3，AA1⊥底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為π2，AD?長(zhǎng)度為BC?長(zhǎng)度的3A.9π2 B.5π C.11π2D.6π8.在直角三角形?ABC中，∠A=90°,AB=2,AC=4，點(diǎn)P在?ABC斜邊BC的中線AD上，則PB?A.[?5,0] B.[?3,0] C.[0,3] D.[0,5]9.金針菇采摘后會(huì)很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時(shí)需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度?與其來摘后時(shí)間t(天)滿足的函數(shù)解析式為?=mlnt+aa>0.若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為40%；若采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為60%，則采摘后的天數(shù)為(

)(A.1.5 B.1.8 C.2.0 D.2.110.已知定點(diǎn)A3,0，B0,4，若點(diǎn)C在圓O:x2+yA.210 B.6 C.2+2二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.復(fù)數(shù)z=21+i的共軛復(fù)數(shù)z=

12.已知ABCD為正方形，若橢圓M與雙曲線N都以A、B為焦點(diǎn)，且圖象都過C、D點(diǎn)，則橢圓M的離心率為

，雙曲線N的離心率為

．13.在△ABC中，AB=43,∠B=π4，點(diǎn)D在邊BC上，∠ADC=2π3,CD=2，則AD=14.已知函數(shù)fx=ex?t，gx=?x+e，?x=maxfx,gx，其中maxa,b表示a，b中最大的數(shù)．若t=1，則15.已知函數(shù)fx=2①過點(diǎn)A0,2存在1條直線與曲線y=f②過點(diǎn)B2,10存在2條直線與曲線y=f③過點(diǎn)C?1,2存在3條直線與曲線y=f④過點(diǎn)D1,t存在3條直線與曲線y=fx相切時(shí)，t的取值范圍是其中，正確結(jié)論的序號(hào)是

．三、解答題：本題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A(1)求證：AB⊥A(2)求點(diǎn)B1到平面A(3)求二面角D?CA117.設(shè)fx=Asinωxcosφ+AcosωxsinφA>0,0<ω<π

(1)求A，φ；(2)再從以下三個(gè)條件中任選其一，使函數(shù)fx唯一確定，并求f條件①：MN=5條件②：OM=條件③：f5218.自2022北京冬奧會(huì)以來，花樣滑冰項(xiàng)目引起了廣泛關(guān)注.選手們?cè)诒掀鹞瑁龀霾椒?、旋轉(zhuǎn)、跳躍等技術(shù)動(dòng)作.“技術(shù)動(dòng)作分”由“基礎(chǔ)分”和“執(zhí)行分”相加得到.不同的技術(shù)動(dòng)作，其“基礎(chǔ)分”也不同，其中四個(gè)跳躍動(dòng)作4T，4S，4F，4Lz的“基礎(chǔ)分”如表1所示．跳躍動(dòng)作4T4S4F4Lz基礎(chǔ)分9.59.711.011.5表1選手表演完，得到相應(yīng)動(dòng)作的“執(zhí)行分”.把“執(zhí)行分”為非負(fù)值的跳躍動(dòng)作記為“成功”，否則記為“失敗”.表2為某選手在上一賽季各跳躍動(dòng)作的“技術(shù)動(dòng)作分”．4T12.0411.224.759.069.9711.6310.984S10.9810.5711.324.859.5112.07

4F13.695.5014.0212.92

4Lz13.5414.2311.218.3811.87

表2假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且選手每個(gè)跳躍動(dòng)作是否“成功”相互獨(dú)立．(1)從該選手上一賽季所有4T動(dòng)作中任選一次，估計(jì)這次跳躍為“成功”的概率；(2)若該選手在本賽季中，計(jì)劃完成4T，4S，4F這三個(gè)動(dòng)作，且每個(gè)動(dòng)作只完成一次.將這三個(gè)動(dòng)作中成功的跳躍個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；(3)在本賽季中，從四個(gè)跳躍動(dòng)作4T，4S，4F，4Lz中選出三個(gè)，使得該選手這三個(gè)動(dòng)作中“成功”的跳躍個(gè)數(shù)的期望最大，請(qǐng)直接寫出這三個(gè)動(dòng)作的名稱．19.已知函數(shù)fx=eax(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)2,f2(2)求y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)x1<x2且x1?20.設(shè)橢圓M:x2a2+y2b2=1a>b>0，且離心率為32，過點(diǎn)(1)求橢圓M的方程；(2)已知點(diǎn)T1,1，直線AT和直線BT分別與y軸交于C，D，與x軸交于E，F(xiàn)，若3S△CDT=21.設(shè)正整數(shù)數(shù)列an滿足an+1(1)若a6=1，請(qǐng)寫出(2)記集合M=an∣n∈N?，且a(3)存在常數(shù)T，對(duì)于?n∈N?都有an+T=a參考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.D

6.B

7.D

8.A

9.B

10.A

11.1+i/i+1

12.2

13.414.e

；

；

；

；?∞,?115.①②③

16.(1)在?ABC中，因?yàn)锳C=4，AB=3，BC=5，所以AB⊥AC．在直三棱柱ABC?A所以AA1⊥平面ABC.又因?yàn)锳A1∩AC=A，所以AB⊥所以AB⊥A(2)由(1)可知，AA1⊥平面ABC，所以A又AB⊥AC，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，則D2,32,0，設(shè)n=x,y,z是平面由{n??CD令x=3，則n=設(shè)點(diǎn)B1到平面A1CD的距離為d.所以d=A所以點(diǎn)B1到平面A1CD(3)因?yàn)锳B⊥平面A1所以平面A1AC的一個(gè)法向量是設(shè)二面角D?CA1?A由圖可知，二面角D?CA1?A為銳角，所以二面角D?C

17.(1)fx由圖象可知，A=2，所以fx因?yàn)閒x=2sin所以1=2sinφ，所以又0<φ<π2，解得綜上所述，A=2，φ=π(2)選擇條件①：因?yàn)镸N=5?所以T2故fx令?π2+2kπ≤有?2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx單調(diào)遞增區(qū)間為?2+6k,1+6k，k∈Z選擇條件②：因?yàn)镺M=所以2=2sinω+π由0<ω<π2，解得故fx令?π2+2kπ≤有?2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx單調(diào)遞增區(qū)間為?2+6k,1+6k，k∈Z選擇條件③：因?yàn)閒5由0<ω<π2，解得故fx令?π2+2kπ≤有?2+6k≤x≤1+6k，k∈Z，所以fx單調(diào)遞增區(qū)間為?2+6k,1+6k，k∈Z

18.(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，該選手上一賽季7個(gè)4T動(dòng)作中，有5個(gè)跳躍為“成功”，所以從該選手上一賽季所有4T動(dòng)作中任選一次，這次跳躍“成功”的概率可以估計(jì)為5(2)同(1)，從該選手上一賽季所有4S，4F動(dòng)作中分別任選一次，這次跳躍“成功”的概率分別可以估計(jì)為23X的所有可能取值為0，1，2，3．P所以隨機(jī)變量X的分布列為：X0123P15375所以E(3)由表格可知，4T動(dòng)作成功的概率為57，失敗的概率為2

4S動(dòng)作成功的概率為23，失敗的概率為14F動(dòng)作成功的概率為34，失敗的概率為14Lz動(dòng)作成功的概率為35，失敗的概率為2由34>57>23

19.(1)當(dāng)a=2時(shí)，fx=e而f2=e故曲線y=fx在點(diǎn)2,f2處的切線方程為y?e(2)fx的定義域?yàn)?∞,0∪0,+∞，且f′x=當(dāng)x變化時(shí)，f′x與fx?∞,00,11f′??0+f單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以fx的單調(diào)遞增區(qū)間為1a,+∞；單調(diào)遞減區(qū)間為?∞,0(3)當(dāng)x1<x2且令gx=fx設(shè)?x=ax?1所以當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，?′x<0；當(dāng)x∈所以?x在?∞,0上單調(diào)遞減，在(從而?x>?0所以gx的單調(diào)遞增區(qū)間為?∞,0和(當(dāng)0<x1<x2當(dāng)x1<x2<0綜上，當(dāng)x1<x2且

20.(1)當(dāng)直線AB經(jīng)過橢圓中心O時(shí)，AB=2a=4，得a=2又e=ca=3所以M:x(2)①當(dāng)直線AB的方程為y=0時(shí)，顯然A(?2,0)，B2,0直線AT的方程為y=x3+直線BT的方程為y=?x+2，所以D0,2此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，易知3S②設(shè)直線AB:x=my+4，Ax1x?=64m2?48m2+4>0，即my1+yx1+x3直線AT:y?1=y1令x=0，C0,?y令y=0，E?x則3即x也即?4?3則24m+84=0，m=?72，斜率為綜上，直線AB的斜率為0或?2

21.(1)①a6=1，a5=2，a4②a6=1，a5=2，a4③a6=1，a5=2，a4所以a1所有可能的取值：a1=6，(2)設(shè)數(shù)列an中最小數(shù)為ak①當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)，ak+1=t②當(dāng)t為奇數(shù)時(shí)，ak+1=t+5∴t≤5∴