數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)排序不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一，利用排序不等式中的亂序解決相關(guān)問(wèn)題【例1】正實(shí)數(shù)a1，a2，…,an的任一排列為a1′，a2′,…,an′,求證:++…+≥n。證明:設(shè)a1≤a2≤…≤an，則≥≥…≥,其反序和為++…+=n,原不等式的左邊亂序和，因此有++…+≥n.溫馨提示運(yùn)用排序不等式時(shí)，要特別注意每組數(shù)的大小順序.二，利用排序不等式中反序和順序解決相關(guān)問(wèn)題【例2】a，b，c∈R+,求證:an(a2—bc）+bn(b2—ac)+cn(c2—ab）≥0.證明:設(shè)a≥b≥c，要證原不等式，需證an+2+bn+2+cn+2≥anbc+bnca+cnab。又an+1≥bn+1≥cn+1an+2+bn+2+cn+2≥an+1b+bn+1c+cn+1·a。又ab≥ac≥bc，an≥bn≥cnan+1b+bn+1c+cn+1a≥anbc+bnac+cnab因此，原不等式成立.溫馨提示注意在一切和數(shù)中,最大和數(shù)所對(duì)應(yīng)的情況只能是唯一一種情況,即最大和數(shù)是順序和。三，排序不等式的應(yīng)用【例3】a,b,c∈R+，求證:a+b+c≤++≤++.證明:不妨設(shè)a≥b≥c〉0，則≥≥,a2≥b2≥c2,則a2·+b2·+c2·≤++,a2·+b2·+c2·≤++,兩式相加得a+b+c≤++。又a3≥b3≥c3，≥≥〉0，∴++≥++=++,++≥++=++.兩式相加,得++≤++。即不等式成立。溫馨提示排序不等式中注意排序原理中順序和，亂序和的各種形式和條件.各個(gè)擊破類題演練1a，b,c∈R+，求證:≥a+b+c.證明:設(shè)a≥b≥c，則ab≥ac≥bc，≥≥，于是ab×+ac×+bc×≥ab×+ac×+bc×=a+b+c,即≥a+b+c。變式提升1a，b，c∈R+，求證:a+b+c≤。證明:設(shè)a≥b≥c,則a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc。又a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c又a3≥b3≥c3且a≥b≥c得a3c+b3a+c3≤a4+b4+c4。所以abc(a+b+c）≤a4+b4+c4,即a+b+c≤.類題演練2a1,a2,…，an∈R+,b1,b2,…,bn是a1,a2，…，an的任一排列。求證:a1b1—1+a2b—1+…+anbn-1≥n.證明:設(shè)a1≥a2≥…≥an，由不等式的單調(diào)性知an-1≥an-1-1≥…≥a1—1。由排序原理得a1b1-1+a2b2-1+…+anbn—1≥a1a1-1+…+anan—1=n變式提升2a1,a2,…,an為正數(shù)，且b1，b2,…，bn是它的一個(gè)排列。求證：a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1pb1q+…+anpbnq(p,q為正數(shù)）.證明：設(shè)a1p≥a2p≥…≥anp,a1q≥a2q≥…≥anq,由排序原理得a1p·a1q+a2p·a2q+…+anp·anq≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq,即a1p+q+a2p+q+…+anp+q≥a1p·b1q+a2p·b2q+…+anp·bnq.類題演練3已知a，b，c∈R+,求證:++≥a10+b10+c10。證明:不妨設(shè)a≥b≥c〉0,則≥≥>0,且a12≥b12≥c12〉0,∴++≥++=++≥a10+b10+c10。變式提升3設(shè)a1,a2，…,an是n個(gè)正數(shù)的一個(gè)排列，求證：+++…+≤++…+。證明：設(shè)b1,b2，…,bn是a1,a2，…，an的一個(gè)排列,且b1〈b2〈…<bn,c1,c2,…,cn是a1,a2,