數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究第二講四漸開線與擺線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一圓的漸開線的參數(shù)方程解答此類題目，不僅要記住圓的漸開線的參數(shù)方程的基本形式，還要知道每個字母所表示的意義．【例題1】已知圓的直徑為2,其漸開線的參數(shù)方程對應(yīng)的曲線上的A，B兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別是eq\f（π,3)和eq\f（π，2)，求A，B兩點間的距離．思路分析:先寫出圓的漸開線的參數(shù)方程,再把A，B對應(yīng)的參數(shù)分別代入?yún)?shù)方程可得對應(yīng)的A,B兩點的坐標(biāo),然后使用兩點間的距離公式可得A，B間的距離．解：根據(jù)條件可知圓的半徑是1，所以對應(yīng)的漸開線的參數(shù)方程是(φ為參數(shù)）．分別把φ＝eq\f(π，3）和φ＝eq\f（π,2)代入,可得A，B兩點的坐標(biāo)分別為。根據(jù)兩點間的距離公式可得A，B兩點間的距離為|AB|＝eq\r（\f（3＋\r(3)π，6)－\f(π，2）2＋\f（3\r(3)－π，6)－12)＝eq\f(1,6)eq\r（（13－6\r（3））π2－6π－36\r(3)＋72）。故A,B兩點間的距離為eq\f(1,6）eq\r((13－6\r（3）)π2－6π－36\r(3)＋72).探究二圓的擺線的參數(shù)方程根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達(dá)式x＝r(φ－sinφ）,y＝r(1－cosφ）（φ為參數(shù))，可知只需求出其中的r，就能寫出相應(yīng)圓的擺線方程．?dāng)[線的參數(shù)方程由圓的半徑唯一確定，因此只需把點（1,0）代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達(dá)式即可．【例題2】已知一個圓的擺線過一定點(2，0），請寫出該圓的半徑最大時對應(yīng)的擺線的參數(shù)方程以及對應(yīng)的圓的漸開線的參數(shù)方程．思路分析：根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程(φ為參數(shù)），只需把點（2，0）代入?yún)?shù)方程求出r的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式求出r的最大值,再確定對應(yīng)的擺線和漸開線的參數(shù)方程即可．解:令y＝0,可得r（1－cosφ）＝0,由于r＞0,即得cosφ＝1，所以φ＝2kπ（k∈Z)．代入x＝r(φ－sinφ)，得x＝r（2kπ－sin2kπ)(k∈Z）．又因為x＝2，所以r(2kπ－sin2kπ)＝2,即得r＝eq\f（1,kπ)(k∈Z)．又由實際可知r＞0,所以r＝eq\f(1，kπ)（k∈N＊）．易知，當(dāng)k＝1時,r取最大值為eq\f(1,π).代入即可得所求圓的擺線的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)）；所求圓的漸開線的參數(shù)方程為（φ為參數(shù))．探究三易錯辨析易錯點：考慮φ不全面【例題3】已知一個圓的擺線過一定點（1，0），請寫出該擺線的參數(shù)方程．錯解:令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝0，代入可得x＝0。故此題無解．錯因分析：在求出cosφ＝1時，直接得出φ＝0，從而導(dǎo)致答案不全面．正解：令r(1－cosφ)＝0可得cosφ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入可得x＝r（2kπ－sin2kπ)＝1.所以r＝eq\f(1,2kπ)（k∈Z）