第09講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第09講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【人教A版2019】模塊一模塊一對數(shù)1．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我們有：運(yùn)算數(shù)學(xué)表達(dá)式自然語言描述積的對數(shù)正因數(shù)積的對數(shù)等于同一底數(shù)的各因數(shù)的對數(shù)的和商的對數(shù)兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于同一底數(shù)的被除數(shù)的對數(shù)減去除數(shù)的對數(shù)冪的對數(shù)正數(shù)冪的對數(shù)等于冪指數(shù)乘同一底數(shù)的冪的底數(shù)的對數(shù)2．對數(shù)的換底公式及其推論(1)換底公式：設(shè)a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，則=.(2)換底公式的推論：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；

②(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；

③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).3．對數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)在對數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并.(2)先將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.(3)指對互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【題型1對數(shù)運(yùn)算法則】【例1.1】（24-25高三上·黑龍江·階段練習(xí)）已知x，y為正實(shí)數(shù)，則（

）A．3lnx+lnC．3lnx?ln【例1.2】（23-24高二下·陜西榆林·期末）生物豐富度指數(shù)d=S?1lnN是河流水質(zhì)的一個評價指標(biāo)，其中S，N分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個體總數(shù)．生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個體總數(shù)由N1變?yōu)锳．N25=N12 B．2【變式1.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求下列各式的值：(1)log2(2)log21(3)log5(4)3log(5)3log【變式1.2】（23-24高二下·湖南婁底·期末）計(jì)算下列各式的值：(1)32(2)lg8+【題型2換底公式的應(yīng)用】【例2.1】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算log89×logA．4 B．53 C．14 【例2.2】（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）設(shè)lg2=a，lg3=b，則A．b?a+1a+2b B．b+a+1a+2b C．b?a+1a?2b【變式2.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）求下列各式的值：(1)log4(2)log2(3)3log(4)log4【變式2.2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）（1）利用關(guān)系式logaN=b?ab=N證明換底公式：（3）利用（1）中的換底公式證明：loga模塊模塊二對數(shù)函數(shù)1．對數(shù)函數(shù)的定義(1)對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0,+).(2)判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的依據(jù)：

①形如y=；②底數(shù)a滿足a>0，且a≠1；③真數(shù)是x；④定義域?yàn)?0,+).

例如:y=是對數(shù)函數(shù)，而y=(x+1)，y=都不是對數(shù)函數(shù).2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1,x>0)的圖象和性質(zhì)如下表所示：圖象性質(zhì)定義域過定點(diǎn)函數(shù)值的變化范圍當(dāng)0<x<1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y<0當(dāng)x=1時，y=0當(dāng)x=1時，y=0當(dāng)x>1時，y<0當(dāng)x>1時，y>03．對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.【題型3對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用】【例3.1】（23-24高二下·陜西寶雞·期中）函數(shù)f(x)=log2(2x)A． B． C． D．【例3.2】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=a?x,y=logaA． B． C． D．【變式3.1】（2024高三上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù)，其中a>0,a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是（A．a(chǎn)>1,c>1 B．a(chǎn)>1,0<c<1C．0<a<1,c>1 D．0<a<1,0<c<1【變式3.2】（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應(yīng)的函數(shù)不屬于y=2x?A．① B．② C．③ D．④【題型4對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——比較大小】【例4.1】（24-25高三上·安徽安慶·階段練習(xí)）設(shè)a=log32，b=log5A．a(chǎn)>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【例4.2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a=logA．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．c<a<b【變式4.1】（24-25高三上·江蘇南通·開學(xué)考試）我們知道當(dāng)0<x<2或x>4時，2x>x2.若A．a(chǎn)>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【變式4.2】（2024·江蘇南京·三模）已知ea=lg3，b=lgln3，c=ln1A．c<b<a B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a【題型5對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用——解不等式】【例5.1】（24-25高三上·北京·開學(xué)考試）設(shè)是奇函數(shù)f(x)=ln(21?x+a)，則使f(x)<0A．(?1,0) B．(0,1)C．(?∞,0) 【例5.2】（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函數(shù)fx=log2x+1A．?∞,1 B．?1,1 C．0,1 【變式5.1】（24-25高三上·貴州六盤水·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)求關(guān)于x的不等式fx【變式5.2】（24-25高三上·陜西漢中·開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=loga(3x+1)，g(x)=loga(1)求F(x)=f(x)?g(x)的定義域，并判斷函數(shù)F(x)的奇偶性；(2)若f(x)?g(x)>0，求x的取值范圍．模塊模塊三對數(shù)型復(fù)合函數(shù)1．對數(shù)型復(fù)合函數(shù)求解對數(shù)型復(fù)合函數(shù)時，先分析該復(fù)合函數(shù)的復(fù)合型式，再借助對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來研究對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合具體問題，進(jìn)行求解即可.2．對數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問題的解題策略利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三方面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.【題型6對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用】【例6.1】（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=log(1)若a>1，求函數(shù)fx(2)若函數(shù)fx的最小值為?12【例6.2】（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=logax+1(1)判斷fx(2)若a>1，判斷fx(3)當(dāng)fx的定義域?yàn)?,a時，fx的值域?yàn)?,+∞【變式6.1】（23-24高一下·廣東江門·期中）已知函數(shù)f(x)=log(1)求函數(shù)fx(2)判斷并證明函數(shù)fx(3)求不等式fx【變式6.2】（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知函數(shù)fx=log3x2+ax+1a∈(2)若fx的值域?yàn)镽，求a(3)設(shè)a>0，若對任意t∈0,+∞，函數(shù)fx在區(qū)間t,t+1【題型7指數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合】【例7.1】（23-24高二下·山西呂梁·期末）已知函數(shù)fx=log(1)若a=?10，求函數(shù)fx(2)當(dāng)x∈1,+∞時，fx【例7.2】（23-24高二下·浙江·期中）已知函數(shù)fx(1)求m的值；(2)若fx=log4g(3)若fx≥log4a?【變式7.1】（23-24高二下·遼寧遼陽·期末）已知函數(shù)fx=a(1)當(dāng)a=4時，求fx在1(2)求關(guān)于x的不等式fx(3)若函數(shù)gx=8?ax,x<1f【變式7.2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)fx=ln(1)若fx12(2)若存在實(shí)數(shù)x，使得g4?x=?g(3)若a=0，對任意的x1，x2∈0,+∞一、單選題1．（24-25高三上·江蘇南京·開學(xué)考試）已知ax=4，loga3=y，則A．5 B．6 C．7 D．122．（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知x>0，y>0，lg2x+lg4A．2 B．22 C．233．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）若函數(shù)fx=log0.668?ax在區(qū)間2,4A．0,2 B．0,4 C．0,2 D．2,44．（24-25高三上·安徽六安·階段練習(xí)）深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為L=L0DGG0，其中L表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，L0表示初始學(xué)習(xí)率，D表示衰減系數(shù)，G表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，G0表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時，學(xué)習(xí)率為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（

）（參考數(shù)據(jù)：lg5．（2025·江蘇南通·一模）設(shè)a=2π，b=log2πA．c>b>a B．b>c>a C．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>c6．（24-25高三上·甘肅酒泉·階段練習(xí)）已知偶函數(shù)fx滿足fx?2=fx+2且在0,2上的解析式為f(x)=xA．0 B．1 C．2 D．37．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞單調(diào)遞減，若a∈R+，且滿足flog3A．19,9 B．?∞,198．（2024·山西·模擬預(yù)測）記maxa,b表示a，b二者中較大的一個，函數(shù)f(x)=?x2?7x?5，g(x)=max31?x,log3(x+2)，若A．[?5,?2] B．[?4,?3] C．?92,?二、多選題9．（24-25高三上·河北邢臺·開學(xué)考試）已知a=log510，b=log2A．a(chǎn)+b>4 B．4C．a(chǎn)b+1>3+2210．（24-25高三上·江蘇鹽城·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=logA．?a∈R，使得fB．若fx的定義域?yàn)镽，則C．若fx在區(qū)間?∞，1上單調(diào)遞增，則D．若fx的值域是?∞，11．（24-25高三上·山西大同·開學(xué)考試）已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)A．f(x)的圖象恒過某個定點(diǎn)B．f(x)在(?1,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增C．f(x)圖象上存在兩個不同的點(diǎn)關(guān)于D．若對任意x∈?12,2，f(x)<1三、填空題12．（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）計(jì)算ln1+lg2?lg13．（24-25高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)=log2x，則f(?4)=14．（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間?∞,0上單調(diào)遞減，若實(shí)數(shù)a滿足flog2a+f四、解答題15．（24-25高三上·北京順義·階段練習(xí)）對下列式子求值：(1)27(2)log16．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)f(x)=log(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)g(x)=22x+2?2x17．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）有一種候鳥每年都按一定的路線遷徙，飛往繁殖地產(chǎn)卵．科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v=12log