高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：數(shù)列（4考點(diǎn)+20題型）（解析版）

專題04數(shù)列

考點(diǎn)大集合

「（數(shù)列的三種表示）

~（數(shù)列的分類）

K數(shù)列的有關(guān)七A-＜數(shù)列的通項(xiàng)公式）

-（數(shù)列的遞推公式）題型01由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式

_（。考點(diǎn)一數(shù)列的概念與表蔡）題型02由遞推關(guān)至求數(shù)列的通項(xiàng)公式

「■（觀察法公式法）題型03數(shù)列的周期性及應(yīng)用

題型04用房數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值

-（黝口法）—（爆法）

數(shù)列通項(xiàng)公式的啾求法A

L（-（梅^法）—（取倒數(shù)法）

L（三項(xiàng)遞推法）―（不動點(diǎn)法〕））

等差數(shù)列的定義

朝01等差數(shù)列的基本量求解

等差數(shù)列的概念呈堂■會中迎題型02等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

朝03等差數(shù)列的前

通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式

O考點(diǎn)二等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和朝04等差數(shù)列的單

等差數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)題型05等差數(shù)列的判定與證明

-等差的性質(zhì)H置型06含絕對值等差數(shù)列求和

數(shù)列,等差數(shù)列留n贏的桂欣

L等比數(shù)列的定義，

r等比數(shù)列的概念與公式?等比中項(xiàng)題型01等百列的基本量求解

題型02等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用

通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，

O考點(diǎn)三等比數(shù)列及其前面和題型03等比數(shù)列的判定與證明

-等比數(shù)列的性質(zhì)耀04等差與等比數(shù)列綜合

一等比數(shù)列的性質(zhì)｛

等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

整01分組轉(zhuǎn)化法會I列的前n項(xiàng)和

「公式法一迪02裂項(xiàng)相消法新列的前n項(xiàng)和

?？键c(diǎn)四數(shù)列求和及綜合問題I幾種數(shù)列痂的常用方法并項(xiàng)前法朝03錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

題型04數(shù)列與不等式證明問題

裂項(xiàng)相消法錯位相減法題型05數(shù)列中的探究性問題

整06數(shù)列新定義問題

1去考點(diǎn)大過關(guān)

考點(diǎn)一：數(shù)列的概念與表示

核心提煉：查漏補(bǔ)缺

知識點(diǎn)1數(shù)列的有關(guān)概念

1、數(shù)列的三種表示：列表法、圖象法和解析式法.

2、數(shù)列的分類

分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件

按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限

分類無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限

按項(xiàng)與項(xiàng)遞增數(shù)列q+1>%其中?EN*

間的大小遞減數(shù)列%+1<an

關(guān)系分類

常數(shù)列%+1=4

有界數(shù)列存在正數(shù)跖使同

按其他標(biāo)

擺動數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

準(zhǔn)分類

周期數(shù)列對WGN*,存在正整數(shù)常數(shù)反使4+尢=a“

3、數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛4｝的第“項(xiàng)與序號〃之間的關(guān)系可以用一個式子來表達(dá)，那么這個公式叫

做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.

4、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列｛/｝的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)凡與它的前一項(xiàng)或前幾項(xiàng))

間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式.

知識點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

1、觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時，一般對所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律

寫出此數(shù)列的一個通項(xiàng).

2、公式法

,(n=1)

(1)使用范圍：若已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S”與冊的關(guān)系，求數(shù)列｛(%｝的通項(xiàng)“,可用公式4=I

構(gòu)造兩式作差求解.

(2)用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即弓和與合

為一個表達(dá)，(要先分〃=1和〃之2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一).

3、累加法：適用于斯+1=斯+#〃)，可變形為斯+1—斯=/伽)

要點(diǎn)：利用恒等式斯=〃1+(〃2—。1)+(。3—〃2)+…+(斯一斯-1)(論2,〃￡N*)求解

4、累乘法：適用于斯+1=/(>1)?！?，可變形為?立=/5)

要點(diǎn)：利用恒等式斯=。1?詈詈…‘n>2,"CN*)求解

fli。2an-\

5、構(gòu)造法：對于不滿足a“+i=&+/(〃)，斯+1=/(")即形式的遞推關(guān)系，常采用構(gòu)造法

要點(diǎn)：對所給的遞推公式進(jìn)行變形構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求解

類型一：形如%M=p%+q(其中均為常數(shù)且pwO)型的遞推式：

(1)若°=1時，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

(2)若q=0時，數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列；

(3)若pwl且qwO時，數(shù)列｛6｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求.方法有

如下兩種：

法一：設(shè)a,#]+2=p(a"+4)，展開移項(xiàng)整理得。"+i=paa+5-1)2,與題設(shè)%+1=pa,+q比較系數(shù)(待定系

數(shù)法)得X=—^,(pwO)=＞%+i+—^="(4+一^)，即卜〃構(gòu)成以

p-1p-1p-1p-1p-1[p-lj

%+」一為首項(xiàng)，以P為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出1%+＞二]的通項(xiàng)整理可得見.

P-11p-i]

1

法二：由q+i=pan+q得an=pan_x+q(〃之2)兩式相減并整理得出——=p,即[an+x-an｝構(gòu)成以4-卬為首

〃〃-

項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.求出｛%+1-%｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為累加法便可求出

類型二：形如%+i=pan+f(n)(/?1)型的遞推式：

(1)當(dāng)/(〃)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時：

法一：設(shè)a,+A"+3=p[qi+A("-l)+3],通過待定系數(shù)法確定A、B的值，轉(zhuǎn)化成以％+A+B為首項(xiàng),

以A：=(九:加)!為公比的等比數(shù)列｛%+■+用,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛Q〃+A〃+3｝的通項(xiàng)整理

可得知.

法二：當(dāng)f(ri)的公差為d時，由遞推式得：an+1=pan+f(n),an=pan_x+f(n-1)兩式相減得：

q+i-q=-?！?i)+d，令＞=冊+1-冊得:a=+d轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出bn,再用累加法便可求出

(2)當(dāng)/(〃)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時：

法一：設(shè)q+4/(〃)=〃[%_]+%/(〃-1)],通過待定系數(shù)法確定X的值，轉(zhuǎn)化成以％+2/⑴為首項(xiàng)，以

4"=「上不為公比的等比數(shù)列｛%+肛⑺卜再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛an+A/(?)｝的通項(xiàng)整理可

IArItlI?

得?！?

法二：當(dāng)/(〃)的公比為q時，由遞推式得：an+i=pan+f(n)一①，an=pan_x+/(n-l),兩邊同時乘以g得

anq=pq%+qf｛n-1)—②，由①②兩式相減得見+1一=p(an-qa^,即&^~空_=〃，構(gòu)造等比數(shù)列。

冊-qa『i

法三：遞推公式為4+i=pan+4"(其中p,q均為常數(shù))或?！?i=pan+應(yīng)〃(其中p,q,廠均為常數(shù))時,

要先在原遞推公式兩邊同時除以/包，得：第=3.之+工，引入輔助數(shù)列｛2｝(其中2=之)，得：

qqqqq

bn+l=4.J,再結(jié)合第一種類型。

qq

Pa

6、取倒數(shù)法：an+x=\(p,q,廠是常數(shù))，可變形為‘一=￡；+￡

夕斯十「5an+i，斯P

要點(diǎn)：①若p=r,則是等差數(shù)列，且公差為(可用公式求通項(xiàng)；

②若p分，則轉(zhuǎn)化為a“+i=sa.+，型，再利用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列求解

7、三項(xiàng)遞推構(gòu)造：適用于形如%+2=p%+i+q盤型的遞推式

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解.方法為:設(shè)%+2-3用=〃（%+「做,），比較系數(shù)

得h+k=p,-hk=q,可解得/7、左，于是｛。用-他,｝是公比為力的等比數(shù)列，這樣就化歸為%+1=+q型.

8、不動點(diǎn)法

（1）定義：方程/（x）=x的根稱為函數(shù)的不動點(diǎn).

利用函數(shù)/（x）的不動點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系*H=/（%）所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，

這種求數(shù)列通項(xiàng)的方法稱為不動點(diǎn)法.

（2）在數(shù)列｛4｝中，%已知，且〃之2時，an=pan_x+q（是常數(shù)），

①當(dāng)p=l時，數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列；

②當(dāng)p=0時，數(shù)列｛。"｝為常數(shù)數(shù)列；

③當(dāng)q=0時，數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列；

④當(dāng)1,4/0時，稱％=/+q是數(shù)列｛4｝的一階特征方程，

其根％叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為：%=（%-x）p"T+x；

1-P

（3）形如囚=/，a2=m2,an+2=p-an+l-^-q-an（p、“是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得

通項(xiàng)〃〃，其特征方程為/=p%+g（*）.

（1）若方程（*）有二異根a、B,則可令%=。1??！?。2?尸"（9、Q是待定常數(shù)）；

（2）若方程（*）有二重根。=/，則可令%=（G+"02），。〃（、。2是待定常數(shù)）.

（其中《、可利用。1=叫，〃2=也求得）

?題型特訓(xùn)?精準(zhǔn)提分

【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式】

）

在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項(xiàng)。“與其前n項(xiàng)和Sc“之間關(guān)系如下%=jsS[_s（〃>2：6c=N1：），在使用這個關(guān)

系式時，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛%｝的％與S“關(guān)系時，先令〃=1求出首項(xiàng)%,然

后令〃22求出通項(xiàng)4=5“一號1，最后代入驗(yàn)證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項(xiàng)

an=Sn-，也不對n=i進(jìn)行檢驗(yàn)。

已知S,求斯的三個步驟

（1）利用m=Si求出研

（2）當(dāng)n>2時，利用斯=$"—S1T（論2）求出?！暗谋磉_(dá)式.

（3）看句是否符合佗2時如的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形

根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個不同的方向轉(zhuǎn)化.

（1）利用斯=S〃一（論2）轉(zhuǎn)化為只含S”Sl的關(guān)系式，再求解.

（2）利用S“一S“T=a”（論2）轉(zhuǎn)化為只含斯,斯t的關(guān)系式,再求解.

1.（2024.河南開封.二模）已知數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為S“=3"-l,則%=（）

A.81B.162C.243D.486

【答案】B

【解析】數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為E,=3"-1,所以%=醺-邑=35-34=162.故選：B

2.（2024.四川.模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，若S〃=2〃T-g,則數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式為（）

[1?

A.4=2B.a?=2-1

2n,n>2

n22

C.an=（-2）-D.an=2"-

【答案】D

【解析】5?=2--1-1,當(dāng)”=1時，?,=S,=20-l=l

222

n22

當(dāng)〃上2,%=3一5?_1=2-'-2-=2-嗎=；也滿足，

所以數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式為凡=2"-2.故選：D

3.（2024?福建漳州?一模）已知各項(xiàng)均不為。的數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為S“，若3S.=a“+l,則2=（）

A.----B.—C.gD.—

2323

【答案】A

【解析】因?yàn)?S,=%+1,貝!13s,=4+i+l,

兩式相減可得：3%+1=%+1-%，BP2an+i=-an,

令〃=7,可得2%=-%,且。〃"。，所以，_=-g.故選：A.

4.(2024?江蘇?一模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝滿足」一+」一+…+」-=3~g(〃￡N*),若〃5-24=7,則囚=

()

D.2

【答案】D

11

【解析】九=1時，---=不

a｛a23

1_nn—\_1

〃22時,

anan+l2n+l2n-l4/-1

1

—,：.a5a6=99,/.a6(2a6+7)=99),

a5a6

11"7

iOa=

a6=—,a5=18,a4a5=63,/.4~

,/a3a4=35,/.a3=10,

a2a3=15,/.a2=—,6%=3,「.q=2.故選：D.

5.(23-24高三上?廣東深圳?階段練習(xí)汜知q+2/+3/+…+叫=1一*("?N*),求數(shù)列an=.

--,n=1

【答案】2

—,n>2

[T

31

【解析】〃=1時，^1=1--=--,

M+2

〃22日寸，由。]+2a2+3a3+???+nc1rl—1———

n+1

有*q+2a2+3/+???+(〃—1)〃“一1

2^

n]

兩式相減，得曲L亍，則有%=吩，

〃=1時，%不符合4=5,

11

——,n=1

,2

所以與=,

—,n>2

12"

【題型2由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式】

1、累加法：形如%型的遞推數(shù)列(其中/(")是關(guān)于"的函數(shù))構(gòu)造：/I一"”一2='("2)

a2-ax=f(1)

…一D

2、累乘法：形如=%"(〃)],=/(")]型的遞推數(shù)歹U(其中/(〃)是關(guān)于"的函數(shù))構(gòu)造：，七一2)

&=")

ax

3、構(gòu)造法:

(1)形如%+i=〃4+9(為常數(shù)，〃夕。。且pwl)的遞推式，可構(gòu)造4+1+2=p(a〃+丸)，轉(zhuǎn)化為等

比數(shù)列求解.也可以與類比式為=〃％_]+9作差，由4+「4=p&-4_]),構(gòu)造｛4+]-%｝為等比數(shù)列，然

后利用疊加法求通項(xiàng).

n

(2)形如an+i=pan+d(pwO且pwl,dwl)的遞推式，當(dāng)p=d時，兩邊同除以d"1轉(zhuǎn)化為關(guān)于

的等差數(shù)列；當(dāng)pwd時，兩邊人可以同除以d向得耨=轉(zhuǎn)化為6角=9在+:.

CXCvCTC-vvv

(3)通過配湊轉(zhuǎn)化為q+A幾+B=〃&_i+A(〃-l)+B],通過待定系數(shù)法確定A、3的值，轉(zhuǎn)化成以

q+A+B為首項(xiàng)，以A"=Q侖研為公比的等比數(shù)列｛%+Aw+3｝,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

｛“"+A"+8｝的通項(xiàng)整理可得an.

4、取倒數(shù)法：對于an+l0),取倒數(shù)得—="也+

b+canan+xaanaana

當(dāng)。=人時，數(shù)列圖是等差數(shù)列；

]hr

當(dāng)axb時，令b,=±,則6用也+上，可用待定系數(shù)法求解.

anaa

1.（2024?山東濰坊?一模）已知數(shù)列｛4｝滿足q=0,電=1.若數(shù)歹!1｛?！?。〃+1｝是公比為2的等比數(shù)列，則

“2024=（）

224

）202312°+1

A.L+「B.-~~—C.21012-1D.21011-1

33

【答案】A

2

【解析】依題意，4+肝=1，a.+a“+i=2"T,當(dāng)"N2時,a^+an=T-,貝I）.用一%_=2*2,

a

所以。2024=。2+（。4-2）+（。6----------*（。2024~2022）=1+2+23+2〉+卜2~°''

2（1一4叫22。23+1痂、生人

=1+—-----------------------.故選：A

1-43

2.（23-24高三上?河南?期中）在數(shù)列｛%,｝中，a?>0,4=1,冬土&=2”，則對？=（）

A.4舊B.15C.7223D.10

【答案】B

【解析】因?yàn)楸?2n,所以匕]+4=2〃（匕「?,即（l—2"）a*=（-2〃-1）U，得冬=沼.

"〃+1—%冊2〃—i

22222

Ctna,2

所以琉3=^X零/零*2252232215

，X2X2Xai=--------X---------X---------X???X-=225.

4124110noa2q22322121931

因?yàn)?>0,所以〃H3=15.故選:B.

3.（23-24高三下?安徽?開學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列｛。,｝滿足。用=—°4,則％=（）

2n%

A.—B.—C.-D.-

16842

【答案】B

【解析】依題意，4言=占組，則數(shù)歹u｛組｝是以;為公比的等比數(shù)列，

〃+12nn2

因此”=幺（1],所以S=5.故選：B

84⑵％8

4.（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,2.用-%+GA+1=0（?eN*）,則數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公

式為.

【答案】氏=:

Z—1

【解析】數(shù)列｛%｝中，4=1,2〃用—=0,顯然為wo,

貝U有^—=2,工+1,即+1=2（工+1）,而工+1=2,

4+144+14

1”

因此數(shù)歹！J｛f一+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

an

所以工+1=2",即。=工.

an2"-1

5.（23-24高三上?河南焦作?開學(xué)考試）己知數(shù)列｛4｝滿足。角=3見+2,a3+a2=22,則滿足4>160的最

小正整數(shù)〃二.

【答案】5

%—3a2+2〃2=5

【解析】由,解得

。3+〃2=22a3=17

又％=36+2,所以〃1=1.

另一方面由。用=3%+2,可得4什1+1=3（%+1）,

所以｛%+1｝是首項(xiàng)為4+1=2,公比為3的等比數(shù)歹U,

所以%=2x3”--1,易知｛%｝是遞增數(shù)列,

又。4=2x27—1=53,a5=2x81—1=161,

所以滿足。,>160的最小正整數(shù)〃=5.

【題型3數(shù)列的周期性及應(yīng)用】

1、周期數(shù)列的常見形式

（1）利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；

（2）相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差；

（3）相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列.

2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求

有關(guān)項(xiàng)的值或者前〃項(xiàng)的和.

---J

1.（2024?廣西南寧?一模）已知數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為=。（其中awl且awO）,當(dāng)“22時，4=匚一,則

1—%-1

A.aB.—C.1--D.無法確定

1-aa

【答案】B

_1_a-l

【解析】4=%凡=1一,°3=：一1=丁

\-a】一;---

1-a

故數(shù)列｛4｝的周期為3.故々2024=々3x674+2=々2=故選：B

+1,%為奇數(shù)

2.（2024?甘肅蘭州?一模）數(shù)列｛4｝滿足%=2皿，。向1則02024=)

4為偶數(shù)

A.5B.4C.2D.1

【答案】B

3(2?+1,4為奇數(shù)

【解析】因?yàn)椋?2皿，??+1=1

-a,a”為偶數(shù)

、2n

所以%=；4=2皿°,%=；出=2必9,L,。皿|=2,

aW12=1，G1013=4，fl1014=2，010]5=1，L，

又2024=1012+3x337+1,所以出。24=%。13=4.故選：B

3.（2024?四川宜賓?二模）在數(shù)列｛%｝中，已知4=2,電=1,且滿足。,+2+%=4用，則數(shù)列｛4｝的前2024

項(xiàng)的和為（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】由題意得an+2="〃+1—an?用”+1替換式子中的“，得an+3=?！?2~an+\?

兩式相加可得%+3=-4，即為+6=-%+3=?！?，所以數(shù)列｛?！埃且?為周期的周期數(shù)列.

又〃]=2,%=1，/.=—1，=-2，。5==]?

所以數(shù)列｛〃〃｝的前2024項(xiàng)和S2024=337（4+%---^々6）+“1+%=3.故選：A.

4.（2024?山西?一模）已知數(shù)列｛見｝滿足凡4+1=2%+]—凡—1,且。1=3,則。2024=（）

A.—B.—4C.—D.—

543

【答案】B

【解析】由題意可知3%=2%—3—1=>%=—4,

0皿1125c

問理。3=-]，。4=g，〃5==3,%=-4zi…，

即｛%,｝是以6為周期的數(shù)列，所以電網(wǎng)=%337+2=2=7.故選：B

5.(2024?內(nèi)蒙古包頭?一模)已知數(shù)歹！]｛4“｝的前”項(xiàng)和為S,，q=2,%=3,an+2=an+l-an,則S?I=

【答案】6

【解析】因?yàn)?=2,%=3,an+2=an+l-an,

貝〃3=〃2-〃]=1，a4=a3~a2=—2,a5=a4—a3=—3,a6=a5—a4=—1,an=a6—a5=2,

所以數(shù)列｛〃〃｝是周期為6的數(shù)列，且S6=%+。2+。3+。4+。5+。6=2+3+1—2—3—1二()，

所以§21=S3X6+3—S3=〃]+。2+。3=6.

【題型4用函數(shù)研究數(shù)列的單調(diào)性和最值】

求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法

(1)將數(shù)列視為函數(shù)/(x)當(dāng)xGN*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)〃尤)的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用

求函數(shù)最值的方法，求出/(x)的最值，進(jìn)而求出數(shù)列的最大(小)項(xiàng).

(2)通過通項(xiàng)公式a“研究數(shù)列的單調(diào)性，

a>a,｛a<a.

利用""T(〃22)確定最大項(xiàng)，利用《""T(〃22)確定最小項(xiàng).

[42an+1[an<an+l

(3)比較法：

①若有%+i-a”=/("+1)-/(”)>。(或a“>0時,-^>1),

則即數(shù)列｛”"｝是遞增數(shù)列，所以數(shù)列｛4｝的最小項(xiàng)為q=/XD；

%+i

②若有-%=/(〃+1)一/(〃)<0(或>0時<1)

%

則4+1<an,即數(shù)列｛”"｝是遞減數(shù)列，所以數(shù)列和“｝的最大項(xiàng)為1=/(I)

1.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)歹!]｛2｝滿足％=f,a”+「2a“=f+l,若｛4“｝是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)7的取值

范圍為()

A.(-1,1)B.(一與0)C.(-1,1]D.(1,+oo)

【答案】B

【解析】將。"+1-2凡=-〃+1整理得為+1-(〃+1)=2(%-〃),

又=易知當(dāng)/=1時,q=1,%=2,不滿足｛4“｝是遞減數(shù)列，故fwl

因此數(shù)列｛%-科是以"1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

故%-九=(r_l)2i,因此%=“+?―1)2'T,

由于｛。“｝是遞減數(shù)列，故。“+|<見恒成立，得〃+1+

化簡得(1T)2"T>1,故1—>生，

因此1-/>不丁=1,解得/<0,故選：B.

2.(23-24高三下.湖南長沙?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%,｝滿足a.=3〃—(〃eN*RwR),貝廣b<3”是“｛a1｝是

遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當(dāng)6<3時，a“=3n-b>0,則I""|=|3"-口=3"-6,｛|a"|｝是遞增數(shù)列；

反之，當(dāng)。=3時，\an1=377-3,數(shù)列｛|?！皘｝遞增，

因此數(shù)列｛I%I｝是遞增數(shù)列時，b可以不小于3,

所以“<3”是241｝是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A

3.(2024?遼寧?一模)若函數(shù)/(x)使得數(shù)列巴=/(〃)，“eN*為遞減數(shù)列，則稱函數(shù)〃x)為“數(shù)列保減函

數(shù)”，已知函數(shù)〃x)=lnx-依為“數(shù)列保減函數(shù)”，則。的取值范圍()

A.[in3,+oo)B.(ln2,+co)C.[1,+co)D.(0,+co)

【答案】B

【解析】由題可知+1)</⑺對任意的〃cN*恒成立，

即a>In[1+J)對任意的〃eN*恒成立，

因?yàn)椤?1+!在”21時單調(diào)遞減，y=lm在/>0時單調(diào)遞增，

n

.[y=ln[l+：]在〃上1時單調(diào)遞減，

+在w=l時取最大值，且最大值為ln2,.〔aAlnZ.故選：B.

4.(2024?安徽阜陽?一模)已知數(shù)列｛%｝滿足aa=2/+/l〃(XeR),則“｛a.｝為遞增數(shù)列“是“》0”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】由｛??｝為遞增數(shù)列得，%-4=[2(〃+If+X(n+l)]-(2n2+加)=幾+4〃+2>0,〃eN卡,

則4>-(4〃+2)對于〃€、恒成立，得4>一6.可得;120=2>-6,反之不行，故選：C.

5.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足4+2=3%-2q,6=4%=2,｛4｝單調(diào)遞增，貝巾的

取值范圍為()

A.(-oo,l)B.(-co/]C.(-oo,l)U(l,2)D.(-oo,2)

【答案】D

【解析】由an+2=3an+i-2a.得an+2-an+1=2(??+1-??),

又｛4“｝單調(diào)遞增，故。角一%>0,

所以數(shù)列｛?！?「〃”｝是以2-％=2-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以%+i-g=(2-九>2"T,又｛an｝單調(diào)遞增，

所以(2-九>2"7>0對任意正整數(shù)〃恒成立，

所以2-;1>0,得4<2,故選：D.

考點(diǎn)二：等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

?核心提煉；查漏補(bǔ)缺

知識點(diǎn)1等差數(shù)列的概念及公式

1、等差數(shù)列的定義

(1)文字語言：一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù);

(2)符號語言：“一冊=44*,d為常數(shù)).

2、等差中項(xiàng)：若三個數(shù)a,A,b組成等差數(shù)列，則A叫做。，。的等差中項(xiàng).

3、通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式

(1)通項(xiàng)公式：=q+("-1)”.

(2)前"項(xiàng)和公式：S“=叼+—，="(4+*.

22

(3)等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①通項(xiàng)公式：當(dāng)公差4工0時，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。“=%+5-1必=而+%-1是關(guān)于"的一次函數(shù)，

且一次項(xiàng)系數(shù)為公差”.若公差d>0,則為遞增數(shù)列，若公差d<0,則為遞減數(shù)列.

②前“項(xiàng)和：當(dāng)公差d*0時，S“=,/+如六4=5"+(%-3)〃是關(guān)于〃的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.

知識點(diǎn)2等差數(shù)列的性質(zhì)

已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，S“是其前”項(xiàng)和.

1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)：

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=am+(ji-m)d｛n,mE,N*).

(2)^k+l=m+n(k,l,m,nGN"),貝/+可=+a〃.

(3)若｛4｝的公差為d,貝|｛。2“｝也是等差數(shù)列，公差為2d.

(4)若｛2｝是等差數(shù)列，貝支2見+能,｝也是等差數(shù)列.

2、等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

(1)S?,=〃(％+的“)=???="("“+?！?1)；

⑵邑"_1=(2〃-1)”“；

⑶兩個等差數(shù)列｛4｝,也｝的前n項(xiàng)和S“，T”之間的關(guān)系為>=%

i2n-\"n

(4)數(shù)列鼠,S2m-S/S—J…構(gòu)成等差數(shù)列.

(5)若項(xiàng)數(shù)為2〃，貝IJS偶一8奇="〃，寸"二j';

)偶an+l

S片n

(6)若項(xiàng)數(shù)為2〃一1,則S偶=(幾-1)?！?，S奇S奇-S偶=