第02講復(fù)數(shù)的幾何意義-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期考點(人教A版2019)（原卷版）

第2講復(fù)數(shù)的幾何意義知識點1復(fù)平面、實軸、虛軸與復(fù)數(shù)的對應(yīng)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．(1)復(fù)平面內(nèi)點的坐標(biāo)與復(fù)數(shù)實部虛部的對應(yīng)：點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可用點Z(a，b)表示．(2)實軸與復(fù)數(shù)的對應(yīng)：實軸上的點都表示實數(shù)．(3)虛軸與復(fù)數(shù)的對應(yīng)：除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)，原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實數(shù)．知識點2復(fù)數(shù)的幾何意義注：復(fù)數(shù)的幾何意義這種對應(yīng)關(guān)系架起了復(fù)數(shù)與解析幾何之間的橋梁，使得復(fù)數(shù)問題可以用幾何方法解決，而幾何問題也可以用復(fù)數(shù)方法解決(即數(shù)形結(jié)合法)，增加了解決復(fù)數(shù)問題的途徑．(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為(a，b)而不是(a，bi)；(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應(yīng)向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是以原點O為起點的，否則就談不上一一對應(yīng)，因為復(fù)平面上與eq\o(OZ,\s\up6(→))相等的向量有無數(shù)個．知識點3復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對應(yīng)的向量為eq\o(OZ,\s\up6(→))，則向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|.由模的定義可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．注：(1)數(shù)學(xué)上所謂大小的定義是：在(實)數(shù)軸上右邊的比左邊的大，而復(fù)數(shù)的表示要引入虛數(shù)軸，在平面上表示，所以也就不符合關(guān)于大和小的定義，而且定義復(fù)數(shù)的大小也沒有什么意義，所以我們說兩個復(fù)數(shù)不能比較大?。?2)數(shù)的角度理解：復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)，兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的模表示實數(shù)，可以比較大?。?3)幾何角度理解：表示復(fù)數(shù)的點Z到原點的距離．類比向量的?？蛇M(jìn)一步引申：|z1－z2|表示復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的點之間的距離．考點一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系解題方略：利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系：復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)來表示，是解決此類問題的根據(jù)．(2)列出方程：此類問題可尋求復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求解．特別提醒：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)關(guān)系，因此復(fù)數(shù)可以用點來表示．【例1】在復(fù)平面上，與點相對應(yīng)的的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．變式1：已知復(fù)數(shù)z＝－i，復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點Z的坐標(biāo)為()A．(0，－1) B．(－1,0)C．(0,0) D．(－1，－1)【例2】復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式1：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限變式2：若x，y∈R，i為虛數(shù)單位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，則復(fù)數(shù)x＋yi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限變式3：已知復(fù)數(shù)z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z等于()A．－1＋eq\r(3)i B．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D．－2＋eq\r(3)i變式4：若復(fù)數(shù)a＋1＋(1－a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)變式5：復(fù)數(shù)z＝x－2＋(3－x)i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第四象限，則實數(shù)x的取值范圍是________．變式6：當(dāng)時，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限變式7：“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式8：設(shè)a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則“ab>0”是“復(fù)數(shù)a－bi對應(yīng)的點位于復(fù)平面上第二象限”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件變式9：復(fù)數(shù)z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i對應(yīng)的點在虛軸上，則()A．a(chǎn)≠2或a≠1 B．a(chǎn)≠2或a≠－1C．a(chǎn)＝2或a＝0 D．a(chǎn)＝0【例3】復(fù)數(shù)i(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則=（）A．1 B．C．1或 D．0變式1：若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，則復(fù)數(shù)z＝()A．1＋2i B．－1－2iC．±1±2i D．1＋2i或－1－2i變式2：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點在射線上，且，則（

）A． B． C． D．變式3：求實數(shù)a分別取何值時，復(fù)數(shù)z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)對應(yīng)的點Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)；(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方．(3)求復(fù)數(shù)z表示的點在x軸上時，實數(shù)a的值．(4)如果點Z在直線x＋y＋7＝0上，求實數(shù)a的值．【例4】復(fù)數(shù)3－5i,1－i和－2＋ai在復(fù)平面上對應(yīng)的點在同一條直線上，則實數(shù)a的值為________．【例5】i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若z1＝2－3i，則z2＝________.考點二復(fù)數(shù)的模解題方略：復(fù)數(shù)模的計算(1)計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先確定復(fù)數(shù)的實部和虛部，再利用模長公式計算．雖然兩個虛數(shù)不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小．(2)設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用模的定義轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題求解．【例6】已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝________.變式1：已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．變式2：求復(fù)數(shù)z1＝6＋8i與z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比較它們的模的大小．變式3：已知復(fù)數(shù)的實部與虛部的和為12，則（）A．3 B．4 C．5 D．6變式4：若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則等于（

）A．0 B．2 C．0或2 D．變式5：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A． B．13 C．10 D．變式6：i是虛數(shù)單位，設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則xy＝________，|x＋yi|＝________.變式7：復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在直線上，則（）A． B．2 C． D．10變式8：復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．變式9：已知復(fù)數(shù)z滿足且，則復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A． B． C． D．【例7】設(shè)復(fù)數(shù)，，且，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B． C． D．變式1：已知復(fù)數(shù)z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，則實數(shù)m的取值范圍是________．變式2：已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)z＝a＋i(i是虛數(shù)單位)，則|z|的取值范圍是()A．(1，eq\r(3)) B．(1，eq\r(5))C．(1,3) D．(1,5)變式3：已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3【例8】已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)＋i，z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.(1)求|z1|及|z2|并比較大??；(2)設(shè)z∈C，滿足條件|z|＝|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是什么圖形？變式1：已知復(fù)數(shù)z＝x－2＋yi的模是2eq\r(2)，則點(x，y)的軌跡方程是________．變式2：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為且滿足，則（

）A． B．C． D．變式3：已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡為()A．一個圓 B．線段C．兩點 D．兩個圓變式4：已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點Z的軌跡為___________．考點三復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系解題方略：復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點在原點時，向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量．(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化．【例9】向量a＝(－2,1)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i變式1：若eq\o(OZ,\s\up7(―→))＝(0，－3)，則eq\o(OZ,\s\up7(―→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．0B．－3C．－3i D．3變式2：復(fù)數(shù)z＝3+4i對應(yīng)的點Z關(guān)于原點的對稱點為Z1，則對應(yīng)的向量為（）A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i變式3：設(shè)O為原點，向量eq\o(OA,\s\up7(―→))，eq\o(OB,\s\up7(―→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2＋3i，－3－2i，那么向量eq\o(BA,\s\up7(―→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A．－1＋i B．1－iC．－5－5i D．5＋5i變式4：向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是，則＋對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A．B．C．0 D．變式5：在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋80i B．8＋2iC．2＋4i D．4＋i變式6：在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.①求向量eq\o(AB,\s\up7(―→))，eq\o(AC,\s\up7(―→))，eq\o(BC,\s\up7(―→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)；②判定△ABC的形狀．變式7：在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3－eq\r(3)i對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．2eq\r(3) B．－2eq\r(3)iC.eq\r(3)－3i D．3＋eq\r(3)i變式8：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得點對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．變式9：已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應(yīng)的點分別是A，B，C，若eq\o(OC,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))(x，y∈R)，則x＋y的值是________．練習(xí)一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的關(guān)系1、【多選】下列命題中，正確的是（）A．復(fù)數(shù)的?？偸欠秦?fù)數(shù)B．復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應(yīng)C．如果復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限，則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點也一定在第一象限D(zhuǎn)．相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù)2、在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，則實數(shù)（）A．1 B． C．2 D．3、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、在復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)的點在直線上，則實數(shù)的值為___________．5、若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面所對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．第一或第四象限6、【多選】設(shè)復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，，則下列結(jié)論正確的為（

）A．當(dāng)時，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限B．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于直線上，則C．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則D．在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，為原點，若，則練習(xí)二復(fù)數(shù)的模1、已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A． B．1 C． D．2、若復(fù)數(shù)z滿足，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的模為（

）A． B． C． D．33、復(fù)數(shù)的模為________．4、若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位，），則（）A．2 B．4 C． D．5、下列命題中，正確的是（）A．的虛部是 B．是純虛數(shù)C． D．6、下列命題中，真命題是（）．A．虛數(shù)所對應(yīng)的點在虛軸上B．“”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的充分非必要條件C．若，則D．“”是“”的必要非充分條件7、【多選】已知，，，則（

）A．的虛部是 B．C． D．對應(yīng)的點在第二象限8、已知，則“”是“z為純虛數(shù)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件9、已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．10、【多選】滿足及的復(fù)數(shù)可以是（

）A． B．C． D．練習(xí)三復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系1、在復(fù)平面內(nèi)，已知平行四邊形的三個頂點O，A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，，，則點B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．2、設(shè)復(fù)數(shù)z＝lo