《自動控制原理》第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

自動控制原理第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型十一月24自動控制原理常用的數(shù)學模型微分方程傳遞函數(shù)狀態(tài)方程傳遞矩陣結(jié)構(gòu)框圖信號流圖數(shù)學模型:描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量之間相互關系的數(shù)學表達式,及其派生的系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。單入單出系統(tǒng)最優(yōu)控制或多變量系統(tǒng)目的:確定輸出量與輸入量之間的函數(shù)關系。第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型十一月24自動控制原理第1節(jié)線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的建立

第2節(jié)傳遞函數(shù)

第3節(jié)控制系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖

第4節(jié)信號流圖第2章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型十一月24自動控制原理2.1線性連續(xù)系統(tǒng)微分方程的建立實質(zhì):時域下描述系統(tǒng)性能的一種數(shù)學模型目的

確定被控量與給定量或擾動量之間的函數(shù)關系。方法理論推導---根據(jù)物理定律編寫實驗求取十一月24自動控制原理例2－1試列寫圖2-1所示電路輸入量與輸出量的微分方程。確定輸入、輸出量列寫與輸入、輸出有關的微分方程消去中間變量十一月24自動控制原理例2－2圖2-2為彈簧、質(zhì)量、阻尼器機械平移運動單元,試寫出在作用力作用下質(zhì)量m的位移方程。彈簧力fs(t)，阻尼力fd(t)公式:十一月24自動控制原理十一月24自動控制原理例2－3具有扭簧、質(zhì)量的系統(tǒng),在粘性介質(zhì)中做機械旋轉(zhuǎn)運動,試寫出在輸入轉(zhuǎn)矩M(t)作用下轉(zhuǎn)動慣量為J的物體的運動方程,輸出量為角位移。扭簧元件產(chǎn)生與角位移成正比的剛性阻力扭矩:K1粘性介質(zhì)中機械旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生與角速度成正比的摩擦阻尼力矩f1d/dt。由牛頓第二運動定律知十一月24自動控制原理十一月24自動控制原理建立微分方程模型步驟第1步:確定輸入輸出量第2步:劃分系統(tǒng)組成環(huán)節(jié)第3步:各環(huán)節(jié)輸入輸出關系（引入中間變量）第4步:消去中間變量第5步:整理函數(shù)式得時域模型十一月24自動控制原理求解微分方程暫態(tài)解+穩(wěn)態(tài)解奇次解+特解缺點:若輸入改變則要重新求解。

十一月24自動控制原理補充:拉氏變換及拉氏反變換目的:快速求解微分方程拉氏變換的定義時域復數(shù)域已知實函數(shù)f(t)滿足以下條件:

對于給定的有界實數(shù)σ，定義函數(shù)f(t)的Laplace變換為

十一月24自動控制原理拉氏反變換定義時域復數(shù)域若已知Laplace變換F(s),來求取f(t)的運算,稱為Laplace反變換。且有

通?？刹楸慝@得。十一月24自動控制原理拉氏變換舉例例1:設f(t)是一個單位階躍函數(shù)，其定義如下:f(t)=u(t)=1t>0=0t<0則F(s)=?F(s)=1/s

例2:已知指數(shù)函數(shù)f(t)=(t≥0)其中a是實常數(shù)。則F(s)=?F(s)=1/(s+a)十一月24自動控制原理Laplace變換的基本定理定理1:常數(shù)乘積定理定理2:加減法定理十一月24自動控制原理定理3微分定理定理4積分定理十一月24自動控制原理定理6初值定理設F(s)為f(t)的拉氏變換,且存在定理7終值定理十一月24自動控制原理拉氏變換總結(jié)拉氏變換聯(lián)系了復數(shù)域和時域拉氏變換的8個定理應用廣泛kf(t);f(t)+g(t);；df(t)/dt;；

；拉氏變換目的是為了求解微分方程,簡化計算十一月24自動控制原理例:已知函數(shù)G(S)，求g(t)(1)(2)

十一月24自動控制原理例:已知函數(shù)設因式展開為則

十一月24自動控制原理則有故十一月24自動控制原理例:已知函數(shù)G(S)，求g(t)(1)(2)

十一月24自動控制原理部分因式展開求拉氏反變換設若G(s)的極點全部為單極點,即有則可設十一月24自動控制原理且

….十一月24自動控制原理例:已知函數(shù)設因式展開為

十一月24自動控制原理則十一月24自動控制原理若G(s)有多重極點即則可設其中Ksi計算方法同前。十一月24自動控制原理且有例:系統(tǒng)微分方程模型

等式兩邊取拉氏變換假設系統(tǒng)零初始拉普拉斯變換Ψ傳遞函數(shù)定義零初始

控制系統(tǒng)具有因果性

無輸入前不工作

零時刻加載輸入信號拉氏變換與拉氏反變換

時域復數(shù)域定義:零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。（拉氏變換）（拉氏反變換）-----復數(shù)域下的控制系統(tǒng)數(shù)學模型(1)

(2)

(3)十一月24自動控制原理傳遞函數(shù)性質(zhì)便于求一定輸入下的輸出響應傳遞函數(shù)形式取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)直觀形象反映輸入輸出關系傳遞性系統(tǒng)屬性與時域相關下圖所示控制系統(tǒng)，如以ur(t)為輸入，uR(t)為輸出，試求該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解:根據(jù)傳遞函數(shù)定義因系統(tǒng)參數(shù)不變則結(jié)合傳遞函數(shù)性質(zhì)可得思考題？X？所選輸入、輸出端口不變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不變內(nèi)部參數(shù)不變確定輸入、輸出量引入中間變量列寫與輸入、輸出有關的微分方程或方程組（時域）等式兩邊同時取拉氏變換消去中間變量,整理函數(shù)式根據(jù)定義求出傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)求取確定控制系統(tǒng)微分方程模型等式兩邊同時取拉氏變換整理函數(shù)式根據(jù)定義求出傳遞函數(shù)確定輸入、輸出量引入中間變量列寫與輸入、輸出有關的微分方程（時域）消去中間變量微分方程模型十一月24自動控制原理二、基本環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

任何一個復雜系統(tǒng)都是由有限個典型環(huán)節(jié)組合而成的?；经h(huán)節(jié)通常分為以下9種:1比例環(huán)節(jié)

時域:

復域:

傳遞函數(shù):式中K-增益十一月24自動控制原理特點:輸入輸出量成比例，無失真和時間延遲。實例:電子放大器，齒輪，電阻（電位器）十一月24自動控制原理2積分環(huán)節(jié)------輸出量是輸入函數(shù)的積分時域:

復域:

傳遞函數(shù):式中K-增益十一月24自動控制原理極點s=0K十一月24自動控制原理3.一階慣性環(huán)節(jié)時域:

復域:

傳遞函數(shù):T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù),單位為s十一月24自動控制原理當十一月24自動控制原理4.二階慣性環(huán)節(jié)式中ξ－阻尼比

n-自然振蕩角頻率（無阻尼振蕩角頻率）時域:

傳遞函數(shù):十一月24自動控制原理c(t)r(t)tsjw1s2s0十一月24自動控制原理5.二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)與二階慣性環(huán)節(jié)有相同的微分方程和傳遞函數(shù),不同的是十一月24自動控制原理特點:環(huán)節(jié)中有兩個獨立的儲能元件；可進行能量交換；輸出出現(xiàn)振蕩。

實例:RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù)。時域:

傳遞函數(shù):6微分環(huán)節(jié)

輸出量為輸入量的微分零點：s=0十一月24自動控制原理特點:輸出量為輸入量的微分，輸出量正比輸入量變化的速度，能預示輸入信號的變化趨勢。7.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的輸出函數(shù)不僅與輸入函數(shù)的導數(shù)成比例,還與輸入函數(shù)本身成比例時域:傳遞函數(shù):十一月24自動控制原理8.二階微分環(huán)節(jié)時域:傳遞函數(shù):9.延遲環(huán)節(jié)（也稱延時環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)等）其輸出量滯后于輸入量一段時間。十一月24自動控制原理特點:輸出量能準確復現(xiàn)輸入量，但須延遲一固定的時間間隔。時域:

復域:

傳遞函數(shù):十一月24自動控制原理c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量,ai,bi是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關的常系數(shù)。設零初始條件，則對上式中各項分別求拉氏變換，并令C(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為:于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為:設線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述:十一月24自動控制原理尾1型首1型-Zi-系統(tǒng)的零點,-pj—系統(tǒng)的極點K-開環(huán)放大倍數(shù),Kg-根軌跡放大倍數(shù)十一月24自動控制原理1、定義：是將系統(tǒng)中所有的環(huán)節(jié)用方框圖表示，圖中標明其傳遞函數(shù)，并且按照在系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，將各方框圖連接起來。2、繪制步驟（1）分解各環(huán)節(jié)，并寫出其傳遞函數(shù)；（2）繪出各環(huán)節(jié)的方框圖，按照信號的傳遞方向把各方框圖依次連接起來，得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。3.組成：環(huán)節(jié)（方框）、信號線、分支點、相加點第三節(jié)控制系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖十一月24自動控制原理一、求取系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖例:十一月24自動控制原理放大器反向器功放電動機測速反饋UrUeUfU1U2Uaω繪制步驟（1）分解各環(huán)節(jié),并寫出其傳遞函數(shù)；Mc’十一月24自動控制原理-rU(s)fU(s)eU(s)1KeU(s)1U(s)-(1)(2)1-2U(s)(3)1U(s)-2KaU(s)(4)2U(s)(5)-aU(s)'cmRM(s)CfKfU(s)(6)(s)W(s)W繪制步驟（2）繪出各環(huán)節(jié)的方框圖,按照信號的傳遞方向把各方框圖依次連接起來,得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。十一月24自動控制原理4、優(yōu)點：（1）清楚知道系統(tǒng)內(nèi)部組成和信號傳遞方向（2）明確物理量之間的數(shù)學關系（3）方便求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)5、數(shù)學性質(zhì)：可進行代數(shù)運算和等效變換。6.環(huán)節(jié)之間的基本連接：串接（聯(lián)）并接（聯(lián)）反饋十一月24自動控制原理變換的目的:等效原則:（變換前后）輸入不變輸出不變傳遞函數(shù)不變復雜的結(jié)構(gòu)圖求傳遞函數(shù)(簡化成不再有分支的簡單回路)簡化結(jié)構(gòu)圖十一月24自動控制原理二、動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的簡化1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的等效2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效1.2.3.例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)十一月24自動控制原理3.反饋聯(lián)接的等效變換(1)負反饋聯(lián)接

(2)正反饋連接

1.2.3.例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)比較點前移例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)比較點前移十一月24自動控制原理4.(相加點)比較環(huán)節(jié)的移位等效變換1)相加點前移（向輸出方向移）2)相加點后移（向輸入方向移）3)相加點易位例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)比較點前移比較點后移例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)十一月24自動控制原理5.分支點的移位等效變換1)分支點前移2)分支點后移3)分支點易位

G(s)C(s)a)Y(s)R(s)?G(s)C(s)Y(s)R(s)1G(s)十一月24自動控制原理相加點和分支點之間不可以簡單易位例:請對如下結(jié)構(gòu)圖進行化簡，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)十一月24自動控制原理例2－6試應用結(jié)構(gòu)圖的等效變換求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。分支點后移并易位反饋環(huán)節(jié)簡化、串聯(lián)環(huán)節(jié)簡化十一月24自動控制原理反饋環(huán)節(jié)、串聯(lián)環(huán)節(jié)簡化十一月24自動控制原理例2－7試應用結(jié)構(gòu)圖的等效變換求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)十一月24自動控制原理十一月24自動控制原理結(jié)構(gòu)圖化簡步驟一“看”系統(tǒng)結(jié)構(gòu)類型二“找”典型連接（串、并、反饋）由外到內(nèi)三“移”第“三”點（比較點、分支點）四“求”新傳函—由內(nèi)到外逐層化簡五“簡”成新圖—單入單出單環(huán)節(jié)十一月24自動控制原理

第四節(jié)信號流圖節(jié)點表示系統(tǒng)的變量；

支路是連接兩個節(jié)點的有向線段并有一定的支路增益。x1x2設正比例函數(shù)X2=aX1則a十一月24自動控制原理因此:（1）信號流圖源于對線性方程組的幾何描述，由節(jié)點和支路組成。（2）信號流圖能夠表示信號的傳遞和各環(huán)節(jié)之間的關系?？捎脕硖娲Y(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)。十一月24自動控制原理一、信號流圖中的術語1、源(節(jié))點：只有信號（信息）流出而沒有信號流入的節(jié)點稱為源節(jié)點，源節(jié)點流出的信號是系統(tǒng)的輸入量。2、匯(節(jié))點：只有信號流入而沒有信號流出的節(jié)點稱為匯節(jié)點，匯節(jié)點對應控制系統(tǒng)的輸出量。3.混合節(jié)點：既有信號流入也有信號流出的節(jié)點稱為混合節(jié)點十一月24自動控制原理4、支路:相鄰兩節(jié)點間的定向連線稱為支路5.傳輸:支路的傳輸系數(shù)，控制系統(tǒng)的傳輸指結(jié)構(gòu)框圖的傳遞函數(shù)，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)傳輸也稱增益。6通路:若干個支路沿信號傳輸方向順序連接成為“通路”，沿通路行進時遇到同一節(jié)點的次數(shù)不多于一次。7、前向通路：指從源點開始并終止于匯點且與其他節(jié)點相交不多于一次的通路十一月24自動控制原理8、回環(huán):是閉合的通路，也稱閉通路9、回環(huán)增益:回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e10、不接觸回環(huán):如果信號流圖中有多個回環(huán)，各回環(huán)之間沒有任何公共節(jié)點，就稱為不接觸回環(huán)，反之稱為接觸回環(huán)。

十一月24自動控制原理二、控制系統(tǒng)信號流圖繪制關鍵:確定節(jié)點、支路、傳輸原則:*1）節(jié)點確定需要結(jié)合動態(tài)結(jié)構(gòu)圖:①輸入量和輸出量應被定為節(jié)點；②信號分支點應被定為節(jié)點；③信號相加（比較）點的應被定為節(jié)點。*2）不能改變節(jié)點出現(xiàn)的先后順序；*3）支路及傳輸與動態(tài)結(jié)構(gòu)圖完全一致；十一月24自動控制原理信號流圖結(jié)構(gòu)圖的變換1.計算節(jié)點的個數(shù)（包括源點、匯點、分支點、相加點），并標注2.按照節(jié)點出現(xiàn)順序，在水平方向標注出各點3.從源點開始畫出各支路，并標出支路方向。4.標出各支路增益（正反饋，負反饋用正，負號表示）三、由控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖得到系統(tǒng)信號流圖十一月24自動控制原理123456789101234567810