新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯(cuò)題型第08講 函數(shù)的單調(diào)性（解析版）

第08講函數(shù)的單調(diào)性【基礎(chǔ)知識(shí)全通關(guān)】1．函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，如果對(duì)于定義域SKIPIF1<0內(nèi)某個(gè)區(qū)間SKIPIF1<0上的任意兩個(gè)自變量的值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，都有SKIPIF1<0，那么就說(shuō)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，都有SKIPIF1<0，那么就說(shuō)函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)圖象描述自左向右看，圖象是上升的自左向右看，圖象是下降的設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)；若有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù).此為函數(shù)單調(diào)性定義的等價(jià)形式.2．單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)SKIPIF1<0在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間SKIPIF1<0叫做函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間．注意：（1）單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念，一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上，可以有不同的單調(diào)性，同一種單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接．（2）函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來(lái)討論，所以求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求函數(shù)的定義域．（3）“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是SKIPIF1<0”與“函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)”是兩個(gè)不同的概念，注意區(qū)分，顯然SKIPIF1<0.（4）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．例如函數(shù)SKIPIF1<0分別在(－∞，0)，(0，＋∞)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說(shuō)它在整個(gè)定義域，即(－∞，0)∪(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開(kāi)寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，0)和(0，＋∞)．3．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論（1）若SKIPIF1<0均為區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則SKIPIF1<0也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的單調(diào)性相同；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的單調(diào)性相反；（3）函數(shù)SKIPIF1<0在公共定義域內(nèi)與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調(diào)性相反；（4）函數(shù)SKIPIF1<0在公共定義域內(nèi)與SKIPIF1<0的單調(diào)性相同；（5）奇函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；（6）一些重要函數(shù)的單調(diào)性：①SKIPIF1<0的單調(diào)性：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；②SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的單調(diào)性：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．4．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，如果存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足條件（1）對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；（2）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（3）對(duì)于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；（4）存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0結(jié)論SKIPIF1<0為最大值SKIPIF1<0為最小值注意：（1）函數(shù)的值域一定存在，而函數(shù)的最值不一定存在；若函數(shù)的最值存在，則一定是值域中的元素；若函數(shù)的值域是開(kāi)區(qū)間，則函數(shù)無(wú)最值，若函數(shù)的值域是閉區(qū)間，則閉區(qū)間的端點(diǎn)值就是函數(shù)的最值.5、判斷函數(shù)的單調(diào)性1．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）定義法，步驟為：取值，作差，變形，定號(hào)，判斷．利用此方法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給抽象關(guān)系式的特點(diǎn)，對(duì)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0進(jìn)行適當(dāng)變形，進(jìn)而比較出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大?。?）利用復(fù)合函數(shù)關(guān)系，若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相同，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性相反，則這兩個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，簡(jiǎn)稱“同增異減”．（3）圖象法：從左往右看，圖象逐漸上升，則單調(diào)遞增；圖象逐漸下降，則單調(diào)遞減．（4）導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．（5）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.2．在利用函數(shù)的單調(diào)性寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是函數(shù)定義域的子集或真子集，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須先確定函數(shù)的定義域；其次需掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)等基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．6、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有：（1）由SKIPIF1<0的大小關(guān)系可以判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系，也可以由SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系判斷出SKIPIF1<0的大小關(guān)系．比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上進(jìn)行比較.（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最大值和最小值．（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，此時(shí)應(yīng)將參數(shù)視為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再與已知單調(diào)區(qū)間比較，即可求出參數(shù)的取值范圍．若函數(shù)為分段函數(shù)，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．（4）利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式．首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號(hào)，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．7、函數(shù)最值的求解1．利用單調(diào)性求最值．應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后再由單調(diào)性求出最值．若函數(shù)在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是增函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0；若函數(shù)在閉區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，最大值為SKIPIF1<0.2．求函數(shù)的最值實(shí)質(zhì)上是求函數(shù)的值域，因此求函數(shù)值域的方法也用來(lái)求函數(shù)最值.3．由于分段函數(shù)在定義域不同的子區(qū)間上對(duì)應(yīng)不同的解析式，因此應(yīng)先求出分段函數(shù)在每一個(gè)子區(qū)間上的最值，然后取各區(qū)間上最大值中的最大者作為分段函數(shù)的最大值，各區(qū)間上最小值中的最小者作為分段函數(shù)的最小值.4．求函數(shù)最值的方法還有數(shù)形結(jié)合法和導(dǎo)數(shù)法.【知識(shí)拓展】1.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反.2.“對(duì)勾函數(shù)”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；單調(diào)減區(qū)間是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].【考點(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)01單調(diào)性的判定和證明1、下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選：C.2.已知函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0，證明函數(shù)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】?x1，x2∈(-2，+∞)，利用作差法和0比可得函數(shù)值大小進(jìn)而可證得.【詳解】證明：?x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，f(x)=SKIPIF1<0則f(x1)-f(x2)=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，因?yàn)閤1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，所以SKIPIF1<0>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上單調(diào)遞增.考點(diǎn)02：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間3.函數(shù)f(x)=SKIPIF1<0在（）A．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞增B．(-∞，1)∪(1，+∞)上單調(diào)遞減C．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增D．(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞減【答案】C【解析】分離函數(shù)得f(x)=SKIPIF1<0-1，結(jié)合函數(shù)y=-SKIPIF1<0在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移即可判斷.【詳解】f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1}.f(x)=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-1=SKIPIF1<0-1，因?yàn)楹瘮?shù)y=-SKIPIF1<0在(-∞，0)和(0，+∞)上單調(diào)遞增，由平移關(guān)系得，f(x)在(-∞，1)和(1，+∞)上單調(diào)遞增.故選：C.4、函數(shù)f(x)=xA.(?∞,?2]B.(?∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)【答案】D【解析】x2?2x?8≥0得x≥4或令x2?2x?8=t，則∴t=x2?2x?8∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4,+∞)，故選D.考點(diǎn)03：利用單調(diào)性比較大小5.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根據(jù)題意，得到函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且為定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，即可求解.【詳解】由題意知SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，可得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又由函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：C.6、定義在實(shí)數(shù)集SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是增函數(shù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系正確的是（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0是增函數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.考點(diǎn)04：利用單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍7.若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由函數(shù)是上的增函數(shù)，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.8.【多選題】（2021·湖南長(zhǎng)沙市·長(zhǎng)沙一中高二月考）已知函數(shù)SKIPIF1<0，若對(duì)任意的SKIPIF1<0[t，t+1]，不等式SKIPIF1<0恒成立，則整數(shù)t的取值可以是（）A．SKIPIF1<0 B．1 C．3 D．5【答案】CD【解析】首先判斷SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0[t，t+1]恒成立，利用一次函數(shù)的單調(diào)性，解不等式可得所求范圍.【詳解】SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上遞增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為連續(xù)函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，且SKIPIF1<0，由對(duì)任意的SKIPIF1<0[t，t+1]，不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對(duì)任意的SKIPIF1<0[t，t+1]恒成立，由SKIPIF1<0在[t，t+1]上遞增，可得SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：CD考點(diǎn)05：利用函數(shù)的單調(diào)性解決不等式問(wèn)題9.【多選題】已知函數(shù)SKIPIF1<0，則下列x的范圍滿足不等式SKIPIF1<0的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】畫出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，由圖象可知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，再利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性簡(jiǎn)化不等式，即可得到結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0，畫出函數(shù)圖象如圖所示：所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故選：BCD．10、若定義在SKIPIF1<0的奇函數(shù)f(x)在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足SKIPIF1<0的x的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)SKIPIF1<0在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也是單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：D.考點(diǎn)06：函數(shù)的單調(diào)性和最值（值域）問(wèn)題11.若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．有最大值，但無(wú)最小值 B．既有最大值，也有最小值C．無(wú)最大值，但有最小值 D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值【答案】A【解析】取SKIPIF1<0，判斷SKIPIF1<0無(wú)最小值；由于SKIPIF1<0，故結(jié)合題意得SKIPIF1<0，進(jìn)而得答案.【詳解】解：SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0，由于函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0無(wú)最小值；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于拋物線開(kāi)口向上，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取得最大值SKIPIF1<0.故選：A.12.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最小值是_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】按SKIPIF1<0的正負(fù)分類討論確定SKIPIF1<0的關(guān)系，從而可把SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0的函數(shù)，再由基本不等式求得最小值．【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函數(shù)，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函數(shù)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立．故答案為：SKIPIF1<0.考點(diǎn)07：抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題13.（2021·海南高三其他模擬）已知定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的解集為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】A【解析】先判斷函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，再利用已知條件和函數(shù)的單調(diào)性得SKIPIF1<0，解不等式即得解.【詳解】任取SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減．由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時(shí)原不等式解集為SKIPIF1<0．故選：A14.設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1.求證：(1)f(0)＝1；(2)x∈R時(shí)，恒有f(x)>0；(3)f(x)在R上是減函數(shù)．【答案】見(jiàn)解析【解析】分析：(1)可通過(guò)賦值求f(0)；(2)可通過(guò)f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)證明f(x)>0；(3)利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性．解：(1)根據(jù)題意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.(2)由題意知x>0時(shí)，0<f(x)<1；當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝1>0；當(dāng)x<0時(shí)，－x>0，∴0<f(－x)<1.∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，∴f(x)·f(－x)＝1，∴f(x)＝eq\f(1,f－x)>0.故x∈R時(shí)，恒有f(x)>0.(3)設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，則f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0<f(x2－x1)<1，故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在R上是減函數(shù)．【考點(diǎn)易錯(cuò)】易錯(cuò)01函數(shù)的單調(diào)性1、下列函數(shù)定義域?yàn)镾KIPIF1<0且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，SKIPIF1<0，為指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，不符合題意；對(duì)于B，SKIPIF1<0，為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)镾KIPIF1<0且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于C，SKIPIF1<0，其定義域?yàn)镾KIPIF1<0，不符合題意；對(duì)于D，SKIPIF1<0，為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)镾KIPIF1<0且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意，故選B．【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域以及單調(diào)性的判定，涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的定義域以及單調(diào)性，即可得答案．易錯(cuò)02單調(diào)性的證明2、已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）判斷函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的單調(diào)性，并用定義法證明；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.任取SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調(diào)增函數(shù).（2）∵SKIPIF1<0，且由（1）知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調(diào)增函數(shù)，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0（不寫集合形式不扣分）.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明方法，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，（1）由SKIPIF1<0，代入解析式即可得SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0，從而可利用單調(diào)性定義證明即可；（2）由（1）知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為單調(diào)增函數(shù)，所以得SKIPIF1<0，求解不等式即可.用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號(hào)；⑤下結(jié)論.關(guān)鍵是第三步的變形，一定要化為幾個(gè)因式乘積的形式.3、定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0滿足：對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0，則A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因?yàn)閷?duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選D．4、已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如果對(duì)于SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）解不等式SKIPIF1<0.【解析】（1）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）解法一：由題意知SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．解法二：由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴不等式SKIPIF1<0的解集為SKIPIF1<0．易錯(cuò)03利用單調(diào)性求最值5、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若在區(qū)間SKIPIF1<0上，不等式SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【解析】要使在區(qū)間SKIPIF1<0上，不等式SKIPIF1<0恒成立，只需SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，只需SKIPIF1<0小于SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.6、已知函數(shù)SKIPIF1<0，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值．【解析】易知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，（1）當(dāng)1≥t＋2，即SKIPIF1<0時(shí)，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3.（2）當(dāng)SKIPIF1<0≤1<t＋2，即－1<t≤0時(shí)，f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.（3）當(dāng)t≤1<SKIPIF1<0，即0<t≤1時(shí)，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(1)＝－4.（4）當(dāng)1<t，即t>1時(shí)，f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3，f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3.設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為g(t)，最小值為φ(t)，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【名師點(diǎn)睛】求二次函數(shù)的最大（?。┲涤袃煞N類型：一是函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集SKIPIF1<0，這時(shí)只要根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向，應(yīng)用配方法即可求出最大（小）值；二是函數(shù)定義域?yàn)槟骋粎^(qū)間，這時(shí)二次函數(shù)的最大（?。┲涤伤膯握{(diào)性確定，而它的單調(diào)性又由拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸的位置（在區(qū)間上，在區(qū)間左側(cè)，還是在區(qū)間右側(cè)）來(lái)決定，若含有參數(shù)，則要根據(jù)對(duì)稱軸與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合.易錯(cuò)04：抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題7.（2020·上海高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，并滿足以下條件：①對(duì)任意，有；②對(duì)任意，有；③.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求證：在上是單調(diào)增函數(shù)；（Ⅲ）若，且，求證：.【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析．【解析】解法一：(Ⅰ)令得：因?yàn)?，所以；（Ⅱ）任取且設(shè)則因?yàn)?，所以，所以在上是單調(diào)增函數(shù)；（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，因?yàn)橛?，所以所以解法二?Ⅰ)因?yàn)閷?duì)任意，有，且對(duì)任意，所以，當(dāng)時(shí)故．（Ⅱ）因?yàn)?，所以所以在上是單調(diào)增函數(shù)，即在上是單調(diào)增函數(shù)（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，而，所以所以8．函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，對(duì)任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.(1)求f(2)的值；(2)解不等式f(m－2)≥3.【答案】(1)3.(2)(2,4]．【解析】(1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，又f(4)＝5，∴f(2)＝3.(2)f(m－2)≥f(2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2≤2,m－2＞0))，∴2＜m≤4.∴m的范圍為(2,4]．【鞏固提升】1.【多選題】（2021·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A．y=SKIPIF1<0在R上為減函數(shù) B．y=|f(x)|在R上為增函數(shù)C．y=SKIPIF1<0SKIPIF1<0在R上為增函數(shù) D．y=SKIPIF1<0f(x)在R上為減函數(shù)【答案】ABC【解析】令SKIPIF1<0可判斷出ABC不正確，利用單調(diào)函數(shù)的定義判斷可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，若f(x)=x，則y=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，在R上不是減函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若f(x)=x，則y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若f(x)=x，則y=SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，在R上不是增函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則對(duì)于任意的x1，x2∈R，設(shè)x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，對(duì)于y=SKIPIF1<0f(x)，則有y1-y2=[SKIPIF1<0f(x1)]SKIPIF1<0[SKIPIF1<0f(x2)]=f(x2)SKIPIF1<0f(x1)>0，則y=SKIPIF1<0f(x)在R上為減函數(shù)，D正確.故選：ABC2.已知fx=1+2x?xA.在區(qū)間?2,1上單調(diào)遞增B.在0,2上單調(diào)遞增C.在?1,1上單調(diào)遞增D.在1,2上單調(diào)遞增【答案】D【解析】fx記t=fx當(dāng)x∈?2,1時(shí)，而y=ft在當(dāng)x∈0,2時(shí)，當(dāng)x∈?1,1時(shí)，而y=ft在當(dāng)x∈1，2時(shí)，f而y=ft在故選：D3.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.4.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0（）A．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，利用定義可得出函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)．又因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+SKIPIF1<0）上單調(diào)遞增的是A．SKIPIF1<0 B．y=SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，注重對(duì)重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)的考查，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，屬于容易題.6.設(shè)SKIPIF1<0是定義域?yàn)镾KIPIF1<0的偶函數(shù)，且在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知函數(shù)為偶函數(shù)，把SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上，再比較大?。驹斀狻縎KIPIF1<0是R的偶函數(shù)，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在(0，+∞)單調(diào)遞減，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，解題關(guān)鍵在于利用中間量大小比較同一區(qū)間的取值．7.若定義在SKIPIF1<0的奇函數(shù)f(x)在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足SKIPIF1<0的x的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，得到函數(shù)SKIPIF1<0在相應(yīng)區(qū)間上的符號(hào)，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積大于等于零，分類轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)自變量不等式，最后求并集得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槎x在SKIPIF1<0上的奇函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也是單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以滿足SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式，考查分類討論思想方法，屬中檔題.8.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.9.下列函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的知識(shí)可選出答案.【詳解】SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故A不滿足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故B滿足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故C不滿足SKIPIF1<0在定義域內(nèi)不單調(diào)，故D不滿足故選：B10.已知偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間SKIPIF1<0上是減函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間(﹣∞，0]上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，對(duì)于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）<f（3）=f(﹣3)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C?D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）<f（2），故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D.11.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y＝f（x）﹣3x在[0，+∞）單調(diào)遞增，若f（m）+3≤f（1﹣m）+6m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．[SKIPIF1<0，+∞） D．（﹣∞，SKIPIF1<0]【答案】D【分析】設(shè)SKIPIF1<0，由題意可知函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，并且在[0，+∞）單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍【詳解】解：設(shè)SKIPIF1<0，由題意可知函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，并且在[0，+∞）單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0在[0，+∞）單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，SKIPIF1<0]，故選：D12.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若兩函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上的單調(diào)性相同，則把區(qū)間SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的“穩(wěn)定區(qū)間”.已知區(qū)間SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“穩(wěn)定區(qū)間”，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】依題意可知函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上同增或者同減，則根據(jù)同增或同減分兩種情況討論即可.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增,若區(qū)間SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的“穩(wěn)定區(qū)間”，則函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上同增或者同減，①若兩函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0;②若兩函數(shù)在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，不等式組無(wú)解.綜上所述；SK