專(zhuān)題3-3 橢圓離心率及其范圍11類(lèi)題型（解析版）-

1/58第頁(yè)專(zhuān)題3-3橢圓離心率及其范圍11類(lèi)題型匯總總覽總覽題型解讀TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】結(jié)合正余弦定理求離心率【題型2】利用對(duì)稱(chēng)性補(bǔ)成平行四邊形【題型3】雙焦點(diǎn)三角形模型之導(dǎo)邊【題型4】余弦定理用2次型【題型5】結(jié)合幾何性質(zhì)求值【題型6】與向量結(jié)合求離心率【題型7】由齊次式方程求離心率【題型8】點(diǎn)差法與離心率【題型9】橢圓的第三定義與離心率【題型10】設(shè)點(diǎn)運(yùn)算求值問(wèn)題【題型11】求離心率范圍題型題型匯編知識(shí)梳理與?？碱}型【題型1】結(jié)合正余弦定理求離心率若已知焦點(diǎn)三角形中某個(gè)角可以考慮結(jié)合正余弦定理求其它量已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，，△的內(nèi)切圓與外接圓的半徑分別為，，若，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)，則．因?yàn)椋?，則，則．由等面積法可得，整理得，因?yàn)?，所以，故．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一點(diǎn)，且，若關(guān)于平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，則的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，則三點(diǎn)共線(xiàn)，設(shè)，則，又，所以在中，由余弦定理有：，即由橢圓定義可知，可得所以在中，由余弦定理可得：，即，所以，所以.【鞏固練習(xí)1】如圖所示，已知橢圓的方程為，若點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，且，則的面積是.【答案】【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識(shí)求得，從而求得的面積.【詳解】由已知，得，則，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化簡(jiǎn)解得，所以的面積為.【鞏固練習(xí)2】已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線(xiàn)上，為等腰三角形，，則的離心率為A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關(guān)系，即得離心率.詳解：因?yàn)闉榈妊切?，，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，，由正弦定理得,所以【鞏固練習(xí)3】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)l過(guò)且和橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為【答案】【分析】利用橢圓的定義列方程，再利用余弦定理求得離心率.【詳解】設(shè)，由橢圓的定義得，解得令橢圓焦距為c，在和中，由余弦定理得，整理得，所以橢圓C的離心率為.故答案為：【題型2】利用對(duì)稱(chēng)性補(bǔ)成平行四邊形橢圓具有中心對(duì)稱(chēng)性，若遇到焦點(diǎn)三角形為直角三角形或者兩條焦點(diǎn)弦平行時(shí)可以考慮通過(guò)對(duì)稱(chēng)性補(bǔ)成平行四邊形來(lái)解題已知是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，橢圓的離心率，已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，若且，則橢圓的離心率為．【答案】【詳解】因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于，兩點(diǎn)，,故四邊形為矩形，故，又，，所以，則，又，即，且，解得，（由于，故舍去）結(jié)合，故，即又，因此，故，解得，故答案為：已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)．在中，，且滿(mǎn)足，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，即可得到，再由余弦定理及橢圓的定義求出，即可求出，最后由得到關(guān)于的方程，解得即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知四邊形為平行四邊形，又，所以，又，又，，即，，所以，所以，即，所以，解得或．又因?yàn)?，所以．故答案為：【鞏固練?xí)1】已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，就是到橢圓左焦點(diǎn)的距離；再根據(jù)橢圓的定義和“焦點(diǎn)三角形”求的值.【詳解】設(shè)，如圖，記為的左焦點(diǎn)，連接，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，由，設(shè)，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.【鞏固練習(xí)2】（高二下·廣東深圳·期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得四邊形為矩形，再根據(jù)橢圓的定義求出，再利用勾股定理構(gòu)造齊次式即可得解.【詳解】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.

【鞏固練習(xí)3】（2024·遼寧·一模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，且軸，若，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，就是到橢圓左焦點(diǎn)的距離；再根據(jù)橢圓的定義和“焦點(diǎn)三角形”求的值.【詳解】設(shè)Fc,0，如圖，記為的左焦點(diǎn)，連接，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，由，設(shè)，則.又軸，所以，即，所以，解得.所以的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.【鞏固練習(xí)4】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上（位于第一象限），且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)以及垂直可證四邊形是矩形，即可根據(jù)橢圓定義，以及勾股定理求解，根據(jù)得，即可求解離心率.【詳解】點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以線(xiàn)段互相平分，故四邊形為平行四邊形，又，故，所以四邊形是矩形，故，其中，設(shè)，則，由，得，整理得，由于點(diǎn)在第一象限，所以，由，得，即，整理得，即，解得．故選：C【題型3】雙焦點(diǎn)三角形模型之導(dǎo)邊若橢圓中出現(xiàn)了過(guò)焦點(diǎn)的弦這類(lèi)條件，可以分成2個(gè)焦點(diǎn)三角形來(lái)分析，進(jìn)而找出4條焦半徑之間的關(guān)系，再結(jié)合其它條件求出離心率已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M，N是橢圓C上兩點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，結(jié)合橢圓定義得，，在中由勾股定理得，再結(jié)合求解.【詳解】連接，設(shè)，則，，，在中，，即，所以，所以，在中，，即，所以.故選:B.已知橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的下頂點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為【答案】【分析】由題意結(jié)合橢圓定義可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，從而求出橢圓的離心率.【詳解】如圖，點(diǎn)在橢圓上，所以，由，代入上式得，在，，又，所以，即已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)．若，且，則C的離心率為．【答案】【分析】取線(xiàn)段的中點(diǎn)M，連接，由題意可得，，進(jìn)而求得，，，利用，可得，求解即可.【詳解】由題意知，，由橢圓定義，得，則，，取線(xiàn)段的中點(diǎn)M，連接，如圖所示．易知，，．在中，得，即，得，即，又，解得．已知橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，焦距為，與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)過(guò)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】作出圖形，分析可知為等腰直角三角形，設(shè)，則，利用橢圓的定義可得出，，在中，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求出該橢圓的離心率的值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，，則，所以，為等腰直角三角形，

設(shè)，則，由橢圓的定義可得，所以，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，因此，該橢圓的離心率為.【鞏固練習(xí)1】如圖所示，點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，直線(xiàn)與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接．設(shè)，則，再利用橢圓的定義及對(duì)稱(chēng)性建立方程組求出離心率.【詳解】令為橢圓M的左焦點(diǎn)，連接，由A，C是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，知四邊形是平行四邊形，又，則是矩形，令，，則，，，于是，即，解得，所以橢圓的離心率為.故選：D【鞏固練習(xí)2】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，根據(jù)題目條件和橢圓定義表示其他邊長(zhǎng)，利用勾股定理得出和的關(guān)系，分別在和直角中表示，建立等量關(guān)系求橢圓離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓的定義得，，由得，即，整理得，解得或（舍去），∴，故點(diǎn)在軸上.如圖，在直角中，，在中，，化簡(jiǎn)得，∴橢圓的離心率.【鞏固練習(xí)3】設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，，根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．【鞏固練習(xí)4】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于A(yíng)，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓定義結(jié)合勾股定理解得，進(jìn)而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，則，，由橢圓的定義可得，，因?yàn)?，即，在中，則，即，解得，可得，在△中，可得，整理得，所以橢圓E的離心率為.【鞏固練習(xí)5】已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為、，圓與的一個(gè)交點(diǎn)為，直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，設(shè)，由橢圓的定義可知，的表達(dá)式，再由的值，可，在中，可得，可得點(diǎn)為短軸的端點(diǎn)，在中，由余弦定理可得，的關(guān)系，即求出橢圓的離心率的值．【詳解】由題意知，圓過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，因?yàn)闉閳A與橢圓的交點(diǎn)，所以，因?yàn)椋O(shè)，可得，，所以，所以，在中，，即，解得或，解得或（舍去），此時(shí)點(diǎn)為橢圓短軸的頂點(diǎn)，又，解得（負(fù)值舍去），且，，在中，由余弦定理可得，整理可得，所以．故選：B．【題型4】余弦定理用2次型若橢圓中三點(diǎn)組成的三角形中有一條邊過(guò)橢圓焦點(diǎn)，可以考慮用鄰補(bǔ)角余弦值和為零來(lái)得到一個(gè)等式.橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由橢圓定義知，又，所以，再由橢圓定義，因?yàn)?，所以，所以由余弦定理可得，即，化?jiǎn)可得，即，解得或（舍去）已知，分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為.【答案】33/【分析】設(shè)，，由橢圓定義得到，分別在和上，利用，求出，故，，從而得到，求出離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓定義知，故，其中，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，故，解得，故，，由，故離心率.

【鞏固練習(xí)1】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓上的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】C解析：設(shè)，則，，由橢圓定義：，，，，，，化簡(jiǎn),，故選C【鞏固練習(xí)2】（2024·河北滄州·二模）已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，若，則的離心率為.【答案】【分析】利用給定條件，結(jié)合橢圓的定義、余弦定理建立關(guān)于的等式，即可求出離心率.【詳解】由及，得，，又，則，設(shè)，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，于是，且，整理得，且，因此，所以的離心率為.故答案為：

【鞏固練習(xí)3】設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)均在上，若，，則橢圓的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】B解析：設(shè)，則，，由橢圓定義：，，，，，，，，化簡(jiǎn)，，故選B【鞏固練習(xí)4】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)作直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，若且，則橢圓上的離心率為 （）A．B．C．D．【答案】C解析：設(shè)，則，，由橢圓定義：，，，，，，化簡(jiǎn),，故選C【鞏固練習(xí)5】已知橢圓的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)．若，，則橢圓的方程為A． B． C． D．【答案】【解答】解：，且，，，，，，，，則在軸上．在△中，，在△中，由余弦定理可得，根據(jù)，可得，解得，．橢圓的方程為：．【題型5】結(jié)合幾何性質(zhì)求值利用幾何圖形的性質(zhì)，如對(duì)稱(chēng)性、相似、角度和中位線(xiàn)等，可以簡(jiǎn)化復(fù)雜計(jì)算。通過(guò)構(gòu)建或識(shí)別圖形中的幾何關(guān)系，直接得出答案，避免繁瑣的代數(shù)運(yùn)算，提高解題效率和準(zhǔn)確性。已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F點(diǎn)作圓的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為T(mén)，延長(zhǎng)FT交橢圓C于點(diǎn)A，若T為線(xiàn)段AF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為．【答案】【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,連接，,由幾何關(guān)系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.如圖，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)（與，不共線(xiàn)），M在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，PN是的角平分線(xiàn)，過(guò)作垂直于PN，垂足為Q，則．【答案】2【分析】由題意作圖，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及橢圓的定義，可得的長(zhǎng)，利用三角形中位線(xiàn)，可得答案.【詳解】由題意，延長(zhǎng)交于，連接，如下圖：因?yàn)闉榈慕瞧椒志€(xiàn)且，所以，則，即，在中，易知分別為的中點(diǎn)，即為中位線(xiàn)，所以.（2024深高級(jí)高二期末）橢圓中，為上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)作的平行線(xiàn)與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的坐標(biāo)，計(jì)算即可.【詳解】結(jié)合題意可得：，，所以，因?yàn)?所以直線(xiàn)為，設(shè)，聯(lián)立，可得，因?yàn)?，所以，整理得：，即，因?yàn)闄E圓的離心率，所以.故選：B.法二：如圖，作BH垂直x軸，則，故，易知，，將代入橢圓方程可得，解得，即，令，則有

（重慶南開(kāi)中學(xué)期末）已知，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，P為C上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，的平分線(xiàn)PQ交x軸于點(diǎn)Q.若，則橢圓C的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理結(jié)合橢圓定義即可得到關(guān)于的方程，則得到離心率的值.【詳解】設(shè)，則，則，根據(jù)角平分線(xiàn)性質(zhì)定理得，即，解得，則根據(jù)橢圓定義得，，故答案為：.【鞏固練習(xí)1】已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作圓的切線(xiàn)，若兩條切線(xiàn)互相垂直，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，由題意可得，，即，則，∴，即．【鞏固練習(xí)2】已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)、三角形面積公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【詳解】由題意，，，即，，整理可得，，則，解得【鞏固練習(xí)3】已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且在第一象限，過(guò)作的外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則該橢圓的離心率為_(kāi)_____.【答案】【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，根據(jù)PA是的外角平分線(xiàn)，得到，，再利用橢圓的定義求解.【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，∵PA是的外角平分線(xiàn)，，，又O是的中點(diǎn)，，且.又，，，∴離心率為.【鞏固練習(xí)4】（2024武漢部分重點(diǎn)中學(xué)期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且（如圖），則橢圓的離心率為．

【答案】【詳解】法一：設(shè)，,則，設(shè)橢圓的焦距為，則F-c,0，所以，，因?yàn)椋裕?jiǎn)得，所以即，所以或（舍），，又因?yàn)椋?，解得，所以橢圓的離心率.法二：易知△BAF與△BFO相似，故，設(shè)，則，由對(duì)稱(chēng)性可知，即，利用余弦定理得出等式再化簡(jiǎn)即可【鞏固練習(xí)5】已知是橢圓上一點(diǎn)，是的兩個(gè)焦點(diǎn)，，點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，為原點(diǎn)，，且．則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，由題意得出是等腰直角三角形，列方程組得到含的齊次方程求解離心率即可.【詳解】如圖，設(shè)，，延長(zhǎng)交于，由題意知，為的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，又，即，則，又點(diǎn)在的平分線(xiàn)上,則，故是等腰直角三角形，因此，則，可得，，又，則，因此可得，又在中，，則，將，代入得，即，由所以，所以，.【題型6】與向量結(jié)合求離心率結(jié)合向量求離心率，可通過(guò)向量的模和點(diǎn)積等性質(zhì)，先求出橢圓或半圓的長(zhǎng)軸、短軸及焦距，再利用這些幾何量計(jì)算離心率。這種方法融合了向量代數(shù)與幾何分析，為求解離心率提供了新穎且有效的途徑設(shè)橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn).若點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P恰好在橢圓C上，且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】法一：設(shè)，由已知可得，，根據(jù)橢圓的定義有.又，所以.在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，等式兩邊同時(shí)除以可得，，解得，或（舍去），所以.法二：取中點(diǎn)M，則，由勾股可得，設(shè)則有代入消元得到關(guān)于a，c的齊次式故，下略已知橢圓：（）的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則橢圓的離心率為．【答案】5【分析】利用橢圓的定義，通過(guò)假設(shè)一條焦半徑長(zhǎng)，就可以得到其他焦半徑的表示，再利用勾股定理來(lái)消元假設(shè)的字母，最后利用一個(gè)角和余弦定理來(lái)建立一個(gè)的齊次式，求解離心率.【詳解】令橢圓：（）的半焦距為，設(shè)，則，由點(diǎn)在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，而，所以橢圓的離心率為．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為和，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在上，且，則橢圓的離心率為_(kāi)___________．【答案】【分析】由向量線(xiàn)性運(yùn)算化簡(jiǎn)已知等式得到，由向量數(shù)量積定義可求得，，可知為等邊三角形；利用橢圓定義可得，進(jìn)而可得橢圓離心率.【詳解】設(shè)與直線(xiàn)交點(diǎn)為，則為中點(diǎn)，；，，，，，則，又，為等邊三角形，則，由橢圓定義知：，橢圓離心率.【鞏固練習(xí)1】（重慶育才中學(xué)期末）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為.【答案】【分析】設(shè)，利用橢圓定義及對(duì)稱(chēng)性表示出，結(jié)合勾股定理可得，再利用余弦定理求解即得.【詳解】令橢圓：的半焦距為c，設(shè)，則，由點(diǎn)在軸上，，得，而，，因此，即，解得，在中，，在中，由余弦定理得，即，整理得，，所以的離心率為.故答案為：【鞏固練習(xí)2】設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（

）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由，設(shè)出，根據(jù)橢圓的定義可知，，再由，可知和都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】因?yàn)?，不妨令?/p>

由過(guò)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，由橢圓的定義可得，，BF1+BF則，，又因?yàn)?，所以，則和都是直角三角形，由勾股定理可得，，即，解得，所以，，又，，所以，解得，所以橢圓的離心率為.【鞏固練習(xí)3】橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)（在左側(cè)），若，則的離心率為.【答案】/0.4【分析】取中點(diǎn)，根據(jù)給定條件，可得，再利用橢圓定義，結(jié)合二倍角的余弦公式列式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為c，取中點(diǎn)，連接，則，由，得，于是，則，，由直線(xiàn)的斜率為，得，即，而，解得，即，，于是，解得，所以的離心率為.故答案為：【題型7】由齊次式方程求離心率由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程或不等式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程或不等式求解；已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨設(shè)橢圓方程為，焦點(diǎn)，離心率為e，將代入可得，所以,又是等腰直角三角形，所以，所以即，所以，解得（負(fù)值舍去）.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上（M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：依題意作下圖，由于，并且線(xiàn)段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得.如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓上異于的點(diǎn)滿(mǎn)足，，，則橢圓的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，根據(jù)數(shù)量積可得，進(jìn)而得在橢圓上，即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】

連接，依題意可得，所以，所以，所以，所以，則的坐標(biāo)為，所以，即，可得，化簡(jiǎn)得，解得，即．【鞏固練習(xí)1】（2024·山東青島·一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在C上，AB的中點(diǎn)為F，，則C的離心率為．【答案】【分析】先結(jié)合圖形求得，代入橢圓方程構(gòu)造齊次式，然后可解.【詳解】由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，垂直于x軸，又，所以，所以為等腰直角三角形，故，所以，即，所以，整理得，解得或（舍去），故.故答案為：【鞏固練習(xí)2】（廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）是橢圓上的一點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，軸，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】軸得，在直角中由正切的定義可得的齊次式，從而得出的方程，求得結(jié)論．【詳解】解：軸，，而由得，即，解得舍或.【鞏固練習(xí)3】已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線(xiàn)與交于A(yíng)，B兩點(diǎn).若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：【題型8】點(diǎn)差法與離心率橢圓垂徑定理：已知A,B是橢圓上任意2點(diǎn)，且弦不平行軸，M為線(xiàn)段AB中點(diǎn)，則有 證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，則，，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標(biāo)得① ②兩式相減得：，整理得∴【思考】（1）橢圓焦點(diǎn)在軸上時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？（1）設(shè)，，則，仍有，，∵A，B在橢圓上，代入A，B坐標(biāo)得 兩式相減得：，整理得∴若橢圓的弦中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線(xiàn)的斜率為．【答案】【分析】利用點(diǎn)差法求得正確答案.【詳解】由于，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)，，由已知，，，兩式相減得，∴．（2024深圳南山區(qū)高二期末）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，若為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用點(diǎn)差法計(jì)算得出，借助離心率公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè),因?yàn)闉榫€(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，則，兩式相減可得：，整理得，即，所以，所以.（杭州學(xué)軍中學(xué)高二上）焦距為，并且截直線(xiàn)所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】設(shè)橢圓方程為，且，及交點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入橢圓方程可得，根據(jù)弦中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系可得，結(jié)合直線(xiàn)方程得，再由橢圓的焦距求得的值，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：設(shè)橢圓方程為，且設(shè)直線(xiàn)與橢圓相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，即，所以，又在橢圓上，可得：，兩式相減得，整理得：，則，所以，又直線(xiàn)的斜率為，所以，即，所以橢圓的焦距為，所以，則，故可得：解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【鞏固練習(xí)1】已知橢圓方程為，其右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓與，兩點(diǎn)．若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】計(jì)算，設(shè)，，代入橢圓方程相減得到，解得答案.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，設(shè)，，則，，相減得到：，即，，又，，解得，，橢圓的方程為.【鞏固練習(xí)2】（華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，如圖，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得，可求橢圓離心率.【詳解】橢圓的左焦點(diǎn)為F-c,0，，過(guò)作軸，垂足為，由，得，，有，設(shè)，則有，，由，兩式相減得，則有，所以.故選：D【鞏固練習(xí)3】已知直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn).若弦被直線(xiàn)平分，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)差法解出，再由結(jié)合橢圓的性質(zhì)和離心率的定義解出即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)橄冶恢本€(xiàn)平分，設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)，所以，①因?yàn)辄c(diǎn)在直線(xiàn)上，代入可得，兩式相減可得，②又點(diǎn)在橢圓上，代入可得，兩式相減可得，代入①②可得，又橢圓中，所以離心率，故選：C【鞏固練習(xí)4】（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍.(1)求的方程；(2)若傾斜角為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件確定的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）涉及中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以考慮“點(diǎn)差法”解決問(wèn)題.【詳解】（1）由題意可得，得，所以的方程為.（2）由題意得.設(shè)，，依題意可得，且，由得，則，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi).所以為所求.【鞏固練習(xí)5】不與坐標(biāo)軸垂直的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為．若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求出，再結(jié)合進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓中，設(shè)，則，所以，因?yàn)殛P(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以，所以，由線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，得出．所以，又，∴，即，又，∴，所以所求離心率為.【題型9】橢圓的第三定義與離心率那么點(diǎn)差法是不是只能解決同時(shí)與中點(diǎn)和斜率有關(guān)的問(wèn)題呢?其實(shí)不然．其實(shí)點(diǎn)差法的內(nèi)核還是“設(shè)而不求、整體代換”的思想，建立的是曲線(xiàn)上兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)和差之間的聯(lián)系，這其實(shí)也是第三定義的體現(xiàn). 第三定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線(xiàn)(不含兩個(gè)頂點(diǎn))．其中兩定點(diǎn)分別為橢圓或雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線(xiàn)，此時(shí)．【第三定義推廣】：平面內(nèi)與兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，的斜率乘積等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線(xiàn)．當(dāng)常數(shù)大于－1小于0時(shí)為橢圓，此時(shí)；當(dāng)常數(shù)大于0時(shí)為雙曲線(xiàn)，此時(shí)．【證明】是橢圓上的一組對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)，則有 證明（點(diǎn)差法）：設(shè)，，，，，∵P，A在橢圓上，代入坐標(biāo)得① ②兩式相減得：，整理得∴法二：通過(guò)橢圓的垂徑定理轉(zhuǎn)換 中點(diǎn)弦和第三定義本質(zhì)上是一樣的（23-24高二上·浙江寧波·期末）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足直線(xiàn)與的斜率之積為，則點(diǎn)P的軌跡方程．【答案】【分析】設(shè)Px,y，根據(jù)斜率的乘積為列式運(yùn)算可得軌跡方程.【詳解】設(shè)Px,y，則，，，所以，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為，.故答案為：，.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的左頂點(diǎn)，以為直徑的圓與橢圓C在第一、二象限的交點(diǎn)分別為M，N，若直線(xiàn)AM，AN的斜率之積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組，求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)，則，依題意，，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（學(xué)軍中學(xué)期末）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線(xiàn)段AQ的中點(diǎn)．若直線(xiàn)PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】法一：記為橢圓左焦點(diǎn)，直線(xiàn)交橢圓于M，PF交橢圓與N，故PF是的中位線(xiàn)，故QM∥PN，由對(duì)稱(chēng)性可知Q、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故法二：構(gòu)造中位線(xiàn)如圖，取的中點(diǎn)為，連接，則由題意可得，，所以相似，所以,因?yàn)橹本€(xiàn)PQ，PF的斜率之積為，所以,設(shè)，則有，兩式相減可得，即，即，即，所以橢圓的離心率為【鞏固練習(xí)1】（2024·湖北鄂州高二期末）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，記直線(xiàn)PM，PN的斜率為，，若，則橢圓的方程為.【答案】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)后，用點(diǎn)差法即得.【詳解】設(shè)，因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以設(shè)，則，①—②得：，即，又已知，所以所以橢圓方程為:,故答案為：【鞏固練習(xí)2】已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且異于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，過(guò)作軸垂線(xiàn)，垂足為，直線(xiàn)交橢圓于另一點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率分別為，若，則橢圓離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意設(shè)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，注意到，結(jié)合，兩式相比結(jié)合斜率公式即可求解.【詳解】如圖所示：

設(shè)，則，而，又因?yàn)?，所以，解得，所以橢圓離心率為.【鞏固練習(xí)3】（2024重慶南開(kāi)中學(xué)高二期末）若橢圓C：的離心率為，左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q為C上任意兩點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則直線(xiàn)AP和直線(xiàn)AQ的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)橢圓離心率求得，設(shè)，表示出的表達(dá)式，結(jié)合橢圓方程化簡(jiǎn)，即可得答案.【詳解】由題意知橢圓C：的離心率為，即，設(shè)，則，又，故，又，故【鞏固練習(xí)4】（2024·廣東湛江·一模）已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l交橢圓C于A(yíng)，B兩點(diǎn)，若，，則橢圓C的離心率為．【答案】【分析】由題意可得出，設(shè)，則，，橢圓的定義可得，再由余弦定理可得，在中，由余弦定理即可求出橢圓C的離心率.【詳解】由，得為線(xiàn)段的中點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓外，所以，則，又，所以為線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，又，所以，由橢圓的定義可知：，得，如圖，延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)，連接，則由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，，又，故，由余弦定理可得：，在中，，由余弦定理可得，即，所以橢圓C的離心率為.【題型10】設(shè)點(diǎn)運(yùn)算求值問(wèn)題個(gè)別選填壓軸需要設(shè)點(diǎn)設(shè)線(xiàn)聯(lián)立韋達(dá)化處理，這類(lèi)題計(jì)算量比一般題目大一些，一般是通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化向量和幾何性質(zhì)（2024深圳羅湖區(qū)高二期末）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為E的上頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在E上且滿(mǎn)足，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】向量坐標(biāo)化得Q坐標(biāo)，代入橢圓方程計(jì)算求解離心率.【詳解】由題意,其中.設(shè)，由，得，即，代入橢圓得，解得離心率.【鞏固練習(xí)1】如圖，橢圓C：的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線(xiàn)且在第一象限交橢圓于P點(diǎn)，設(shè)OP與AB的交點(diǎn)為M，若，則橢圓的離心率為．【答案】【分析】聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡(jiǎn)整理，由橢圓的離心率公式可得所求值.【詳解】由題意，，則，且直線(xiàn)的方程為，由可得，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即，因?yàn)椋?，將代入橢圓方程化簡(jiǎn)得，即，所以或（舍去），所以，即，所以離心率.【鞏固練習(xí)2】已知，分別是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線(xiàn)與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N．若直線(xiàn)MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的