《電路分析基礎(chǔ)》課件第3章 動態(tài)電路分析

3.1電感元件和電容元件一、電感元件二、電容元件3.2動態(tài)方程及其解

一、動態(tài)電路方程二、動態(tài)電路方程解3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)一、一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)二、一階動態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng)三、一階電路的完全響應(yīng)

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頁3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)一、階躍函數(shù)二、階躍響應(yīng)3.5二階電路的零輸入響應(yīng)

一、α＞ω0(R2＞4L/C)，過阻尼情況二、α=ω0(R2=4L/C)，臨界阻尼情況三、α<ω0(R2<4L/C)，欠阻尼情況3.6正弦函數(shù)激勵下一階電路的響應(yīng)一、正弦激勵下一階RC電路的全響應(yīng)二、一個重要結(jié)論

第3章動態(tài)電路時域分析包含電感、電容的電路稱為動態(tài)電路。整個分析過程都在時間t域里進(jìn)行，稱為時域分析。(本章共88頁)P2P84P23P48P75P67點(diǎn)擊目錄中各節(jié)后頁碼即可打開該節(jié)返回本章目錄下一頁前一頁第2-2

頁3.1電感元件和電容元件

用良金屬導(dǎo)線繞在骨架上就構(gòu)成了一個實(shí)際的電感器，常稱為電感線圈，如圖(1)所示。當(dāng)電流i(t)通過電感線圈時，將激發(fā)磁場產(chǎn)生磁通Φ(t)與線圈交鏈，其中儲存有磁場能量。與線圈交鏈的總磁通稱為磁鏈，記為Ψ(t)。若線圈密繞，且有N匝，則磁鏈Ψ(t)=NΦ(t)。1、電感的一般定義應(yīng)用磁鏈與電流的關(guān)系(習(xí)慣上稱為韋安關(guān)系)來定義電感元件。一個二端元件，如果在任意時刻t，其磁鏈Ψ(t)與電流i(t)之間的關(guān)系能用Ψ一i平面上的韋安關(guān)系曲線描述，就稱該二端元件為電感元件，簡稱電感。若曲線是通過原點(diǎn)的一條直線，且不隨時間變化，如圖2(a)所示，則稱該元件為線性時不變電感，其理想電感電路模型符號如圖2(b)所示。u(a)iLOψi(b)圖2線性時不變電感元件的韋安關(guān)系及電路模型前一頁第2-2

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設(shè)電感元件的磁鏈Ψ(t)與電流i(t)的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，則由圖2(a)可寫得

(3.1-1)上式稱為電感元件的韋安關(guān)系式。式中L稱為電感元件的電感量，單位為亨(H)。在國際單位制中，磁通和磁鏈的單位都是韋伯(Wb)，簡稱韋；2、電感的VAR(或VCR)

電感元件中，變化的電流會產(chǎn)生變化的磁鏈，并在元件兩端產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。習(xí)慣上，規(guī)定感應(yīng)電動勢的參考方向由“-”極指向“+”極。

設(shè)電感元件的電流i、電壓u與感應(yīng)電動勢e的參考方向如圖3中所標(biāo)，且電流i與磁鏈Ψ的參考方向符合右手螺旋定則，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律和韋安關(guān)系，其感應(yīng)電動勢為所以第3-3

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頁稱為電感VAR的微分形式3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-4

頁對微分式從-∞到t進(jìn)行積分，并設(shè)i(-∞)=0，可得電感元件VCR的積分形式

設(shè)t=0為觀察時刻，記t=0的前一瞬間為0_，可將上式改寫為是t=0_時刻電感元件的電流，稱為電感起始電流。3、電感元件上吸收功率與貯能

在電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)時，電感元件吸收的功率為對上式從-∞到t進(jìn)行積分并約定i(-∞)=0，求得電感元件的儲能第3-4

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頁綜上所述，對于電感元件有以下重要結(jié)論：（1）電感元件上的電壓、電流關(guān)系是微積分關(guān)系，因此，電感元件是動態(tài)元件。而電阻元件上的電壓、電流關(guān)系是代數(shù)關(guān)系，它是瞬時元件。（2）由VCR的微分形式可知：任意時刻的電感電壓與該時刻電流的變化率成正比。當(dāng)電感電壓為有限值時，其di(t)／dt也為有限值，相應(yīng)電流必定是時間t的連續(xù)函數(shù)，此時電感電流不能躍變；當(dāng)電感電流為直流時，則恒有u=0，即電感對直流相當(dāng)于短路。(3)由VCR的積分形式可知：任意時刻的電感電流i(t)均與t時刻電壓及該時刻以前電壓的“全部歷史”有關(guān)。式中，起始電流i(0-)體現(xiàn)了t=0以前電感電壓的全部作用效果，積分項(xiàng)則反映了t=0-以后電壓的作用效果。因此，電感電流具有“記憶”電壓的作用，電感元件是一種記憶元件

。與此不同．電阻元件的電流僅取決于該時刻的電壓，是無記憶的元件。

(4)貯能式表明，對于任一電流i(t)，恒有wL(t)≥0，即電感元件是儲能元件，它從外部電路吸收的能量，以磁場能量形式儲存于自身的磁場中。第3-5

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(5)如圖4所示，若電感上的電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)，則相應(yīng)的微、積分式分別改寫為圖4電感上電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)uiL4、應(yīng)用舉例

例3.1-l

圖(a）所示電感元件，已知L=2H，電流i(t)的波形如圖(b))所示。求電感元件上的電壓u(t)、吸收功率p(t)和儲能wL(t)，并畫出它們的波形。第3-6

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頁u(t)i(t)L0t/si/A11230t/su/V11232-10t/sp/W-112320t/swL/J1123(a)(b)(c)(d)(e)

例3.1-1用圖第3-7

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頁解：寫出電流i(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)，由電感元件VCR的微分形式，得將i(t)、u(t)表達(dá)式代入L吸收功率表示式得其余其余其余3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-9

頁將i(t)表達(dá)式代入L上貯能表示式，求得其余畫出u(t)、p(t)和wL(t)的波形如例3.1-1用圖中(c)、(d)、(e)所示。點(diǎn)評：(1)由波形圖可見，電感電流i和儲能wL都是t的連續(xù)函數(shù)，其值不會跳變，但電感電壓u和功率p是可以跳變的。(2)在圖(d)中，p(t)>0期間，表示電感吸收功率，儲藏能量；p(t)<0期間，表示電感供出功率，釋放能量；兩部分面積相等，表明電感元件不消耗功率，只與外電路進(jìn)行能量交換。例3.1-2

如圖(a)電路，已知電感電壓u(t)，L=0.5H，i(0)=0；試求電感上電流i(t)及在t=1s時的儲能wL(1)。3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-10

頁解：

寫出u(t)的表達(dá)式為當(dāng)0<t≤0.5s時當(dāng)t>0.5s時，波形如(b)圖所示。例3.1-2用圖請看！電壓為零而電流不是零呦??！3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-11

頁二、電容元件

電容器是最常用的電能儲存器件。在兩片金屬極板中間填充電介質(zhì)，就構(gòu)成一個簡單的實(shí)際電容器，如圖5所示。qqiu圖5

接通電源后，會在兩個極板上聚集起等量的異性電荷，從而在極板之間建立電場，電場中儲存有電場能量。

即使移去電源，由于極板上電荷被介質(zhì)隔離而不能中和，故將繼續(xù)保留，電場也繼續(xù)存在。因此，電容器具有儲存電場能量的作用。

電容元件是電能儲存器件的理想化模型，它有精確的數(shù)學(xué)定義。

1、電容元件一般定義

一個二端元件，如果在任意時刻t，其電荷q(t)與電壓u(t)之間的關(guān)系能用q-u平面上的曲線描述，就稱該二端元件為電容元件，簡稱電容。

若曲線是通過原點(diǎn)的一條直線，且不隨時間變化，如圖6(a)所示，則稱為線性時不變電容，其理想電容的電路模型符號如圖6(b)所示。qqiu(a)OquC(b)圖6線性時不變電容元件的庫伏關(guān)系及電路模型3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-12

頁在電容上，電壓參考極性與帶正、負(fù)電荷的極板相對應(yīng)時，由圖6(a)可知，電荷量q(t)與其端電壓u(t)的關(guān)系滿足

上式稱為電容的庫伏關(guān)系式。式中C稱為電容元件的電容量，單位為法拉(F)，簡稱法。2、電容的VAR(或VCR)在電路分析中，更關(guān)心的是電容元件上的電壓、電流關(guān)系。若設(shè)電容電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，則有對上式從-∞到t進(jìn)行積分，并設(shè)u(-∞)=0，可得電容上電壓、電流微分關(guān)系電容上電壓、電流積分關(guān)系3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-13

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設(shè)t=0為觀察時刻，并記t=0的前一瞬間為0-，積分式可改寫為式中是t=0-時刻電容元件上的電壓，稱為電容起始電壓。3、電容上吸收的功率與貯能在電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下，電容元件的吸收功率和儲能分別為式中u(-∞)=03.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-14

頁對于電容元件，也有與電感元件概念上相對稱的5點(diǎn)重要結(jié)論：（1）與電感元件一樣，電容元件也是一種動態(tài)元件。電感是電流記憶電壓而電容是電壓記憶電流。（2）電容VCR的微分形式表明：任意時刻，通過電容元件的電流與該時刻電壓的變化率成正比。

當(dāng)電容電流i為有限值時，其du／dt也為有限值，相應(yīng)電壓必定是時間t的連續(xù)函數(shù)，此時電容電壓是不會躍變的；

當(dāng)電容電壓為直流電壓時，則電流i=0，即電容對于直流而言相當(dāng)于開路。

（3）電容VCR的積分形式表明：任意時刻，電容電壓u(t)與t時刻電流及該時刻以前所有時刻的電流即電流的“全部歷史”有關(guān)?；蛘哒f，電容電壓具有“記憶"電流的作用，故電容元件是記憶元件。（4）由貯能式可知，電容元件也是儲能元件，它從外部電路吸收的能量，以電場能量形式儲存于自身的電場中。(5)如圖7所示，若電容上的電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)，則相應(yīng)的微、積分式分別改寫為iuC圖7電容上電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-15

頁4、應(yīng)用舉例u(t)iL(t)1H0.05FiC(t)2Ω例3.1-3電路如例3.1-3用圖所示，已知iC(t)=e-2tA(t≥0)，uc(0-)=2V，求t≥0時的電壓u(t)。例3.1-3用圖解

首先，根據(jù)電容元件VCR的積分形式，求得3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-16

頁由歐姆定律，計(jì)算電阻電流：然后，應(yīng)用KCL，求得電感電流為電感電壓：最后，應(yīng)用KVL得電壓三、電感、電容的串聯(lián)和并聯(lián)等效

圖8（a）是n個電感相串聯(lián)的電路，流經(jīng)各電感的電流是同一電流i。根據(jù)電感元件VCR的微分形式，第k(k=1，2，…，n)個電感的端電壓為1、電感串聯(lián)等效

k=1，2，…，n

由KVL，得端口電壓式中3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-17

頁稱為n個電感串聯(lián)的等效電感。它等于n個相串聯(lián)電感之和！

由上式畫出等效電路如圖8（b）所示。

(1)由式(1)得所以電感串聯(lián)分壓公式，電感大者分得的電壓大！2、電感的并聯(lián)等效3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-18

頁圖9（a）是n個電感并聯(lián)的電路，各電感的端電壓為同一電壓u。根據(jù)電感VCR的積分形式，有k=1，2，…，n

由KCL，得端口電流式中(2)L稱為n個電感并聯(lián)的等效電感。L的倒數(shù)等于相并聯(lián)各電感倒數(shù)之和！

由上式畫出其等效電路如圖9（b）所示。3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁前一頁第3-19

頁由式（2）得

k=1，2，…，n

電感并聯(lián)分流公式。電感大者分得的電流??！3、電容串聯(lián)等效…uiu1unu2C1C2Cn(b)(a)iCu圖10電容串聯(lián)圖10（a）是n個電容相串聯(lián)的電路，流經(jīng)各電容的電流為同一電流i。根據(jù)電容VCR的積分形式，有k=1，2，…，n

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頁應(yīng)用KVL，經(jīng)類似電感并聯(lián)時的推導(dǎo)過程，可求得n個電容相串聯(lián)的等效電容C，其倒數(shù)表示式為C稱為n個電容串聯(lián)的等效電容。C的倒數(shù)等于相串聯(lián)各電容倒數(shù)之和！相應(yīng)等效電路如圖10（b）所示。再將等效電容VCR的積分形式寫成k=1，2，…，n

電容串聯(lián)分壓公式，電容大者分得的電壓??！下一頁前一頁第3-21

頁返回本章目錄4、電容并聯(lián)：電容并聯(lián)電壓u相同，根據(jù)電容VAR微分形式由KCL，有i=i1+i2+…+in∴C=C1+C2+…+Cn分流公式3.1電感元件和電容元件5、電容電感串并聯(lián)兩點(diǎn)說明（1）電感的串并聯(lián)與電阻串并聯(lián)形式相同，而電容的串并聯(lián)與電導(dǎo)形式相同。（2）電感與電容也可以利用△-Y等效，但注意：對電容用1/C代入。下一頁前一頁第3-22

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頁返回本章目錄3.2動態(tài)電路方程及其解

包含有動態(tài)元件的電路稱為動態(tài)電路，因動態(tài)元件上電壓、電流關(guān)系為微、積分關(guān)系，所以對動態(tài)電路所建立的方程為微、積分方程，一般歸結(jié)為微分方程。一、動態(tài)電路方程

列寫動態(tài)電路方程的依據(jù)仍然是KCL、KVL和元件上的VAR（也常稱VCR），下面由具體的動態(tài)電路來看微分方程的列寫過程。1、一階RC串聯(lián)電路例圖3.2-1所示的RC串聯(lián)電路，t＝0時開關(guān)S閉合，求t≥0時電容上的電壓uC(t)。

電路中開關(guān)的接通或斷開、元件參數(shù)或電源數(shù)值的突然變化，這些現(xiàn)象的發(fā)生統(tǒng)稱為發(fā)生了“換路”。對于發(fā)生換路的動態(tài)電路，我們更關(guān)注換路后電路中響應(yīng)隨時間t的變化情況。對A回路列KVL方程，有由于代入上式得3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-24

頁返回本章目錄(3.2-1)2、一階RL并聯(lián)電路例圖示3.2-2所示RL并聯(lián)電路，以is(t)作為激勵，以iL(t)作為響應(yīng)，試列寫該電路方程。對節(jié)點(diǎn)a列寫KCL方程，有由于將它們代入上式并經(jīng)整理，得(3.2-2)

因（3.2-1）式、（3.2-2）式均為一階線性常系數(shù)微分方程，所以圖3.2-1和圖3.2-2所示的RC和RL電路均稱為一階電路。

此時二電路中分別只含一個獨(dú)立的動態(tài)元件。3、RLC串聯(lián)二階電路例

圖3.2-3所示的RLC串聯(lián)電路中含有兩個獨(dú)立的動態(tài)元件。若仍以us作為激勵，以uC作為響應(yīng)，列寫電路方程。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-25

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根據(jù)KVL對回路A列寫方程，有由于將它們代入上述KVL方程并整理，得這是二階常系數(shù)微分方程，所以該電路稱為二階電路。一般而言，如果電路中含有n個獨(dú)立的動態(tài)元件，那么描述該電路的微分方程就是n階的，就稱相應(yīng)的電路為n階電路。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-26

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根據(jù)以上列寫動態(tài)電路方程的例子，我們可歸納總結(jié)如下結(jié)論：

n階線性時不變動態(tài)電路，其任何處的響應(yīng)與激勵間的電路方程均是n階線性常系數(shù)微分方程。二、動態(tài)電路方程解

數(shù)學(xué)中我們知道，要解微分方程還需知道初始條件，求解動態(tài)電路微分方程所需要的初始條件就是電路響應(yīng)的初始值。

許多動態(tài)電路問題分析中初始值并不已知，而是由我們根據(jù)題意應(yīng)用電路基本概念來求得。那么如何求電路響應(yīng)初始值呢？

1.初始值的計(jì)算動態(tài)電路的初始值即是動態(tài)電路在發(fā)生換路后瞬間響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)值。若發(fā)生換路的時刻記為to，又常取t0＝0。0+表示換路后瞬間，0-就表示換路前瞬間。

設(shè)電路響應(yīng)為y（t）（或電流響應(yīng)或電壓響應(yīng)），電路初始值即指y（0+）、y’（0+)、…，一階動態(tài)電路有意義的初始值就只有y（0+）一個，二階電路的初始值有y（0+）、y’（0+)兩個初始值，依此類推，n階電路的初始值應(yīng)有n個。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-27

頁返回本章目錄由電感電流、電容電壓積分關(guān)系式可分別寫得如果電感電壓uL和電容電流iC在無窮小區(qū)間0-～0+內(nèi)為有限值，那么上兩式中等號右端積分項(xiàng)的值為零，從而有

(3.2-4)該式是非常重要的換路定律又稱開閉定律。定律表明，若在換路時刻t＝0處電感電壓uL和電容電流iC為有限值，則電感電流iL和電容電壓uC在該處連續(xù)，其值不能躍變。特別指出，除電感電流和電容電壓之外，電路中其余各處的電流、電壓值，在換路前后是可以發(fā)生躍變的。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-28

頁返回本章目錄一個重要結(jié)論：直流電源作用的線性時不變漸近穩(wěn)定的電路（微分方程特征根的實(shí)部小于零的電路），電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)（定），電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開路。

若求得iL（0-）、uc（0-），由換路定律就很容易得到iL（0+）、uc（0+）。那么又如何求得iL（0-）、uc（0-）呢？這里再明確這樣一個重要結(jié)論。解釋：直流電源作用的這類電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即是說電路中任何處的電流、電壓均不再隨時間t變化，所以由它們的電壓、電流微分關(guān)系式容易得到電感相當(dāng)于短路、電容相當(dāng)于開路的結(jié)論。

因電容電壓uC(0-)、電感電流iL(0-)的值決定于電路原有的儲能即換路前t＝0-時刻的儲能，與t≥0+（換路以后）所加的激勵無關(guān)，即是說uC(0+)=uC（0-）、iL(0+)=iL（0-）相對t≥o+所加激勵源是獨(dú)立的，稱uC（0+）、iL（0+）為獨(dú)立初始值。

其余變量的初始值稱為非獨(dú)立初始值，它們由t≥0+時所加激勵及獨(dú)立初始值共同決定。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-29

頁返回本章目錄求動態(tài)電路初始值的步驟一般歸納為如下三個步驟：（1）求獨(dú)立初始值uC（0+）、iL（0+）。①在t＝0-時若為直流電源作用達(dá)穩(wěn)態(tài)的電路，將L視為短路、C視為開路，按電阻電路所學(xué)方法，容易求得uC（0-）、iL（0-）。②再應(yīng)用換路定律求得uC（0+）、iL（0+）。（2）畫t＝0+時等效電路。如何畫？(依據(jù)替代定理)

①在t＝0+時刻，將電容C用數(shù)值等于uC（0+）的電壓源替代；

②將電感L用數(shù)值等于iL（0+）的電流源替代；③直流電壓源或電流源及電阻在換路后若仍存在于電路中，將它們照原數(shù)值畫出。注意！所畫出的等效電路是電阻電路，電路中所有的電流、電壓值都是在t＝0+時刻的值。若t≠0+，該等效電路不成立，就失去意義。（3）在t＝0+等效電路中，應(yīng)用電阻電路所學(xué)各種方法求出欲求的各非獨(dú)立初始值。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-30

頁返回本章目錄例3.2-1圖3.2-4(a)所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S打開，求初始值uC（0+）、i1（0+）、iC（0+）和u2（0+）。圖3.2-4例3.2-1用圖解（1）計(jì)算獨(dú)立初始值uC（0+）。先計(jì)算uC（0-）。題目中明確開關(guān)打開前電路處于直流穩(wěn)態(tài)，由前述結(jié)論知，在t＝0-時刻視電容為開路。（2）畫t＝0+時刻的等效電路如（b）圖。

注意電容C用6V電壓源替代

（3）計(jì)算欲求的各非獨(dú)立初始值。由（b）圖得3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-31

頁返回本章目錄例3.2-2

圖3.2-5（a）所示電路，在t＜0時開關(guān)S處于位置1且已達(dá)穩(wěn)態(tài)。在t＝0時開關(guān)S打至位置2，求初始值iR（0+）、iC（0+）和uL（0+）。圖3.2-5例3.2-2用圖

解本問題中要求的初始值都是非獨(dú)立初始值，但也必須先求獨(dú)立初始值。

若原題中電容上無電壓參考方向、電感上無電流參考方向，解題者應(yīng)先設(shè)上參考方向，再按求初始值的三個步驟求解下去。設(shè)uC、iL參考方向如（a）圖中所標(biāo)。（1）計(jì)算獨(dú)立初始值uC（0+）、iL（0+）。

由于t＜0時電路已達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，所以t＝0-時電容視為開路，電感視為短路，如（b）圖所示。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-32

頁返回本章目錄應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式及歐姆定律分別計(jì)算，得圖3.2-5例3.2-2用圖由換路定律，得（2）畫t＝0+時等效電路如（c）圖。

注意C用12V電壓源替代，L用4A電流源替代

（3）計(jì)算非獨(dú)立初始值。由歐姆定律、KCL、KVL分別求得各非獨(dú)立初始值為3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-33

頁返回本章目錄2、微分方程經(jīng)典解法這個問題中我們用經(jīng)典的方法求解由一階動態(tài)電路所列寫的微分方程，對求解出的結(jié)果，聯(lián)系電路中的有關(guān)量值賦于明確的電路響應(yīng)意義。圖3.2-6所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S由a打向b，求t≥0時電容電壓uC（t），電流iC（t）。（設(shè)圖中US＞U0）為了概念上更清晰，采用定性討論與定量分析相結(jié)合求解。定性分析（從物理概念上說明解釋）t≤０-，

開關(guān)S合于a，U0電壓源給電容C充電。由題意知電路已達(dá)穩(wěn)定，即是說給C充滿了電。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-34

頁返回本章目錄t＝0-時

電壓uC（０-）＝U0

電容上電荷q（0-）＝CU0

電流iC（0-）＝0t≥0+

，

開關(guān)S合于b，US電源接著再對電容C充電（因US＞U0）。再看幾個特定時刻：t=0+時由換路定律知

uC(0+)=uC(0-)=U0

電容上電荷在原有的基礎(chǔ)上增多，即q↑

（t）電容上電壓隨之升高，即u↑C(t)

電容上電流3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-35

頁返回本章目錄Us又給電容C充滿了電。uC(∞)=Us

,C上電壓最終上升到Us

。C上電流

最終下降至0。

但要問換路后電容上電壓按什么規(guī)律上升？電流又按什么規(guī)律下降？僅由定性討論是不能給出滿意的回答的。

這要由電路建立方程施以數(shù)學(xué)嚴(yán)密求解的結(jié)果來滿意回答吧！定量分析

（應(yīng)用數(shù)學(xué)工具嚴(yán)密求解）

換路后的電路如圖3.2-7所示。由圖中所設(shè)出的各電壓、電流參考方向，應(yīng)用各元件上的VCR和KVL，列寫出的方程為3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-36

頁返回本章目錄(3.2-5)寫（3.2-5）式對應(yīng)的特征方程及特征根式（3.2-5）微分方程的解為式中：

τ=RC具有時間量綱,稱為時間常數(shù)。，稱為方程的齊次解。，稱為方程的特解。(初始條件)因激勵源Us是常數(shù)電源，所以設(shè)特解uCp（t）也為未知常數(shù)K。(3.2-6)3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-37

頁返回本章目錄將uCp（t）＝K代入原方程（3.2-5）式，有解得K＝US。即uCp（t）＝Us。

(3.2-7)將式（3.2-7）代入式（3.2-6），得(3.2-8)再將初始條件uC（0+）＝U0代入上式，解得待定系數(shù)A＝U0－Us，(3.2-9)(3.2-10)由式（3.2-9）、式（3.2-10）分別畫得uC（t）、iC（t）波形如圖3.2-8(a)、(b)所示。回答問題

由式（3.2-9）、式（3.2-10）函數(shù)式或圖3.2-8（a）、（b）波形圖均能明確回答我們：3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-38

頁返回本章目錄uC（t）隨時間按指數(shù)規(guī)律上升且從最初的U0值最終上升至Us；iC（t）隨時間上升按指數(shù)規(guī)律下降且從最初的（Us-U0）／R值最終下降至0。微分方程解與電路響應(yīng)為討論問題方便我們重寫（3.2-9）式（32-11）（Ⅰ）

（Ⅱ）（Ⅰ）部分對應(yīng)數(shù)學(xué)解的齊次解，函數(shù)形式為取決于電路元件（R、C）固有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式，稱這部分為電路的固有響應(yīng),又因?yàn)檫@部分響應(yīng)函數(shù)形式相對所加激勵的函數(shù)形式是自由的，所以也稱它為自由響應(yīng)。（Ⅱ）部分對應(yīng)數(shù)學(xué)解的特解，函數(shù)形式受限于電路激勵源的函數(shù)形式，稱這部分為電路的強(qiáng)迫響應(yīng)，或理解為這部分響應(yīng)是電路在激勵源的“強(qiáng)迫”下所作出的反響。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-39

頁返回本章目錄(2)強(qiáng)迫響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，記為uCs(t)。關(guān)于暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱謂若滿足(1)如果自由響應(yīng)為指數(shù)衰減函數(shù)（τ＝RC＞0）;(2)特解為穩(wěn)定有界函數(shù)。則稱這時的(1)自由響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，記為uCr(t)；關(guān)于暫態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程之說(1)人們在觀察響應(yīng)波形時，對于波形隨時間t衰減或上升處于變動之中的過程稱為過渡過程，習(xí)慣稱為暫態(tài)過程；(2)對于波形不再隨時間t衰減或上升而穩(wěn)定在一定的數(shù)值上（對于直流電源作用的電路）或穩(wěn)定為有界的時間函數(shù)（如正弦函數(shù)作用的電路），稱這樣的過程為穩(wěn)態(tài)過程。(3)理論上講當(dāng)t→∞時暫態(tài)過程才結(jié)朿，而實(shí)際工程中，當(dāng)t≥（3～5）τ時就近似認(rèn)為暫態(tài)過程已結(jié)束，達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-40

頁返回本章目錄再改寫（3.2-9）式（3.2-12）(Ⅰ’)(Ⅱ’)(Ⅰ’)部分只與U0有關(guān)即只與電路的初始狀態(tài)有關(guān)，與激勵源Us無關(guān)，稱為零輸入響應(yīng),記為uCx(t)；零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)初步概念(Ⅱ’)部分只與激勵源Us有關(guān)，與電路初始狀態(tài)U0無關(guān)，稱為零狀態(tài)響應(yīng),記為uCf(t)。3.直流電源作用一階動態(tài)電路的三要素法

對于一般的直流電源作用的一階RC或一階RL動態(tài)電路，均可從動態(tài)元件兩端作戴文寧定理等效或諾頓定理等效，如圖3.2-9（a）、（b）所示。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-41

頁返回本章目錄對（a）、(b)圖分別應(yīng)用KVL、KCL列寫方程(3.2-13)(3.2-14)

為了方程的求解更具有一般性，抽去它們各自具體元件參數(shù)的物理意義，概括為更數(shù)學(xué)化的一般方程形式。若電路響應(yīng)、激勵分別用y（t）、f（t）表示，于是方程為3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-42

頁返回本章目錄(3.2-15)式中：b為常數(shù)；τ為電路的時間常數(shù)。設(shè)y（t）的初始值為y（0+），式（3.2-15）是一階非齊次微分方程，其解(3.2-16)式中：yh（t）、yp（t）分別為微分方程的齊次解、特解。令上式中t＝0+，有將A＝y(tǒng)（0+）-yp（0+）代入式（3.3-16），得(3.2-17)3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-43

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式（3.2-17）是一階線性常系數(shù)微分方程解的一般形式，對任何函數(shù)形式的激勵源情況都適用。

如果電路時常數(shù)τ＞0，f（t）為直流激勵源，則這時特解yp（t）等于常數(shù)B，有yp（t）＝y(tǒng)p（0+）＝y(tǒng)p（∞）＝B，yh（∞）＝0，所以將t＝∞代入式（3.2-17），得

所以對于這種條件下的電路，可以用y（∞）代替yP（∞）亦可代替yP（0+）與yP（t），改寫式（3.2-17）為(3.2-18)式（3.2-18）就是歸納總結(jié)出的直流電源作用下一階動態(tài)電路求響應(yīng)的三要素公式。

今后遇到這類一階電路問題的求解，就不再列寫方程、解方程而直接求出：初始值y（0+）、穩(wěn)態(tài)值y（∞）及時常數(shù)τ三個要素代入三要素公式即可快捷地求出所要求的響應(yīng)y（t），如果需要，再畫出所求響應(yīng)的波形圖。3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-44

頁返回本章目錄例3.2-3

圖3.2-13（a）所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由a打向b，求t≥0時電壓u(t)，并畫出u(t)的波形。解應(yīng)用三要素法求解。（1）求初始值u（0+）由題意知t＝0-時處于直流穩(wěn)態(tài)，可將電感L視為短路線(t=0-時等效電路省略)，所以畫t＝0+時等效電路如（b）圖，由歐姆是律及KVL可求得3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-45

頁返回本章目錄(2)求穩(wěn)態(tài)值u（∞）。開關(guān)S由a打向b且當(dāng)t＝∞時，電路又達(dá)到新的直流穩(wěn)態(tài)，此時又視電感為短路線，畫這時的等效電路如（c）圖。顯然(3)求時間常數(shù)τ。對換路后電路，求從電感L兩端看的戴維寧等效電源內(nèi)阻RO(求Ro電路太簡單未畫出)，顯然套用三要素公式，得由函數(shù)表達(dá)式畫波形圖如（d）所示。圖3.2-13例3.2-3用圖3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-46

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例3.2-4

圖3.2-14（a）所示動態(tài)電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S閉合，求t≥0時電流i（t）。解（1）求初始值。由題意知t＝0-時電路處于直流穩(wěn)態(tài)，視電容為開路，所以由電阻串聯(lián)分壓關(guān)系，算得畫t=0+時等效電路如(b)圖。列節(jié)點(diǎn)方程為解得3.2動態(tài)電路方程及其解下一頁前一頁第3-47

頁返回本章目錄（2）求穩(wěn)態(tài)值i(∞)。t=∞時電路又達(dá)新的直流穩(wěn)態(tài)，又視電容C為開路如（c）圖所示。再列節(jié)點(diǎn)方程為解得

(3)求時常數(shù)τ。

對換路后電路，畫求從電容C兩端看的戴維寧等效電源內(nèi)阻的電路如（d）圖。應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效，求得套三要素公式，得

最后，還必須提醒讀者，今后若遇有的題目圖中電容上未設(shè)電壓參考方或電感上未設(shè)電流參考方向，解題者必須先設(shè)上它們的參考方向，再按三要素步驟求解下去。3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-48

頁返回本章目錄零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)定義零輸入響應(yīng)：輸入為零僅由初始儲能產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為電路的零輸入響應(yīng)，記為yx(t)。零狀態(tài)響應(yīng)：電路中原有儲能為零僅有t≥0時的輸入作用在電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為電路的零狀態(tài)響應(yīng),記為yf(t)。全響應(yīng)：既有電路中原有儲能的作用，又有t≥0所加激勵的作用，二者共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為全響應(yīng)，記為y(t)。本節(jié)只討論直流電源作用一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-49

頁返回本章目錄一、一階電路的零輸入響應(yīng)1.一階RC電路的零輸入響應(yīng)圖3.3-1（a）所示一階RC電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S由a打向b，求t≥0時電壓uC(t)和電流iC(t)。定性分析：

參看圖（a）可見t≤0-時為電壓源Us給C充電電路，題意告知已達(dá)穩(wěn)態(tài)即是說t=0-時給C充滿了電，此時3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-50

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對于t≥0+時，參看圖(b)，為電容C放電電路，電路中無任何輸入（激勵源），所以對于（b）圖電路中任何處的響應(yīng)，都是由電容上的初始儲能產(chǎn)生,都屬于零輸入響應(yīng)。先看這樣幾個特殊時間點(diǎn)：

t＝0+時

由換路定律知：

由歐姆定律,得t↑電容放電致使電容上電荷減少電壓下降即

由歐姆定律，得t=∞

電容上電荷放完→q(∞)=0→uC(∞)=0→wC(∞)=0。由歐姆定律，得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-51

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由上述定性分析可得出這樣的結(jié)論：開關(guān)S由a打向b以后電壓隨時間t增長而下降，從開始的Us到最終下降到零；電流隨時間t增長而上升，從最初的-Us/R(負(fù)值)上升至零。

但要問uC(t)、iC(t)分別以什么規(guī)律隨時間t的增長而變化？這要由定量分析的結(jié)果來回答。定量分析：對本問題，三要素法求解的結(jié)果即是定量分析的結(jié)果，不需要列寫方程求解方程。以后再求解這類問題時也不必如本例這樣經(jīng)定性、定量分析過程求解，而直接用三要素法求解即可。

本問題的時間常數(shù)τ=RC,結(jié)合定性分析中得到的uC(t)、iC(t)初始值和穩(wěn)態(tài)值，分別套用三要素公式，得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-52

頁返回本章目錄依據(jù)uC(t)、iC(t)的函數(shù)表達(dá)式畫二者的波形圖如（c）圖所示。

由圖可見，換路后隨時間t增長電壓uC(t)按指數(shù)規(guī)律下降，最終下降至零。而電流iC(t)按指數(shù)規(guī)律上升，最終上升至零。2.一階RL電路的零輸入響應(yīng)如圖3.3-2(a)所示一階RL電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由a切換至b，求t≥0時電流iL(t)和電壓uL(t)。因t＝0-時處于直流穩(wěn)態(tài)，視電感L為短路線，所以電流3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-53

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開關(guān)S切換至b點(diǎn)后，電路如(b)圖所示，電路中無任何激勵源(輸入為零)，對于t≥0+時電路中任何處的響應(yīng)，都是電感L上原有的儲藏能量產(chǎn)生，屬于零輸入響應(yīng)。當(dāng)t=∞時，原有的儲能消耗巳盡，所以時間常數(shù)τ=(L／R)套三要素公式，得由電感上電壓與電流的微分關(guān)系，得電壓根據(jù)iL(t)、uL(t)函數(shù)式畫得二者的波形如(c)圖所示。

說明：如上述討論的RC、RL一階電路的零輸入響應(yīng)例，在換路后(t≥0+)的電路中無任何激勵源，所求的任何響應(yīng)都屬于零輸入響應(yīng)，這種情況的響應(yīng)雖無標(biāo)示零輸入“x”下腳標(biāo)表示符號，但不會引起誤會。3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-54

頁返回本章目錄二、一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)1.一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖3.3-3（a）所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S由a打向b，求t≥0時電壓uC(t)，電流i(t)。

觀察（a）圖電路，開關(guān)S與a相接時是電容放電電路，t=0-時處于穩(wěn)態(tài)意味著電容C放完了電，即q(0-)=0，uC(0-)=0，wC(0-)=0，電路初始儲能為零，或稱為電路處于零狀態(tài)。

開關(guān)S打向b時(t≥0+)是電壓源Us給電容C充電電路（參看（b）圖），由換路電律知3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-55

頁返回本章目錄當(dāng)t＝∞時電路達(dá)到直流穩(wěn)態(tài)（US給C充滿了電），視電容C為開路，所以時間常數(shù)套三要素公式，分別得到由uC(t)、i(t)函數(shù)表達(dá)式畫二者的波形如（c）圖所示。當(dāng)然，這里的uC(t)、i(t)雖未加腳標(biāo)“f”但它們是零狀態(tài)響應(yīng)。

2.一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-56

頁返回本章目錄如圖3.3-4（a）所示RL一階電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S由a打向b，求t≥0時iL(t)，uL(t)，iR(t)。觀察(a)圖電路，t≤0-時開關(guān)S與a相接為電感L釋放能量電路，t＝0-時電路處于穩(wěn)態(tài)即是說L上能量釋放完，wL(0-)=0→iL(0-)=0，電路初始能量為零，或稱電路處于零狀態(tài)。開關(guān)S打向b時（t≥0+）為電流源Is給電感L儲能的電路（參看（b）圖）。由換路定律知：由KCL、OL、KVL得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-57

頁返回本章目錄在t=∞時電路達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，視電感L為短路線，故得時間常數(shù)

分別套用三要素公式，得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-58

頁返回本章目錄由iL(t)，iR(t)，uL(t)函數(shù)表達(dá)式分別畫它們的波形圖如（c）、（d）圖所示。

本問題也可以按這樣的思路求解：先用三要素法求出電感電流iL(t)，然后應(yīng)用KCL求得iR(t)，再應(yīng)用KVL求得uL(t)。

三、一階電路的全響應(yīng)由動態(tài)元件上的初始儲能和t≥0時外加輸入（激勵）共同作用所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱為電路的全響應(yīng)。對于這類線性動態(tài)電路，我們也可以分別單獨(dú)求出零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。如果需要，再將二者相加得到全響應(yīng)。1、全響應(yīng)的三種分解形式如果不局限于某具體的電路、某具體的電壓或電流響應(yīng)，用y（t）表示全響應(yīng)；用yh（t）、yp（t）分別表示自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)；用yr（t）、ys（t）分別表示暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；用yx（t）、yf（t）分別表示零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。我們可將全響應(yīng)歸納如下三種分解形式：3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-59

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(3.3-1)滿足τ＞0,yp(t)為穩(wěn)定有界函數(shù)條件(3.3-2)(3.3-3)說明：(1)式(3.3-1)、(3.3-2)是從函數(shù)形式隨時間t的變化規(guī)律看，對全響應(yīng)作分解的。(2)而式(3.3-3)是就產(chǎn)生響應(yīng)的原因?qū)θ憫?yīng)作分解的。(3)三種分解方式各有各的用處，但式(3.3-3)的分解方式因果關(guān)系明確，物理概念清晰，是現(xiàn)代電路理論學(xué)習(xí)、研究中使用最多的一種全響應(yīng)分解形式。2、應(yīng)用舉例3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-60

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例3.3-1

如圖3.3-5(a)電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由a打向b,求t≥0+時電壓u(t)的零輸入響應(yīng)ux(t)、零狀態(tài)響應(yīng)uf(t)及全響應(yīng)u(t)，并畫出它們的波形圖。

解設(shè)電流iL的參考方向如圖(a)中所標(biāo)。由題意知t=0-時電路已處于直流穩(wěn)態(tài)，L相當(dāng)于短路，所以應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式，得(1)計(jì)算零輸入響應(yīng)當(dāng)t≥0+時，令輸入為零（將12V電壓源短路）的電路如圖（b）所示。3個要素顯然容易求得，分別為代三要素公式，得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-61

頁返回本章目錄再應(yīng)用電阻并聯(lián)等效及歐姆定律，算得(2)計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)

當(dāng)t≥0+時，設(shè)電感元件上儲能為零，即初始狀態(tài)為零（iLf(0+)=0)僅由t≥0+時的輸入作用的電路如圖（c）所示。所以t＝0+時刻L相當(dāng)于開路由電阻串聯(lián)分壓關(guān)系，得

當(dāng)t=∞時，電路又達(dá)新的直流穩(wěn)態(tài)，電感又視為短路，再次應(yīng)用電阻串、并聯(lián)等效及分壓關(guān)系，求得時常數(shù)τ仍為0.5s再套三要素公式，得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-62

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(3)計(jì)算全響應(yīng)。將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相加，便得全響應(yīng)：畫ux(t)、uf(t)、u(t)的波形圖如圖(d)中所示。再說明：(1)嚴(yán)格說來，對所求響應(yīng)ux(t)、uf(t)、u(t)應(yīng)加的時間區(qū)間條件為t≥0+，正如本例這樣。(2)但更多的情況，從題目條件到所求響應(yīng)加注的條件習(xí)慣書寫為t≥0，這成了同行中的共識，所以就不必苛求書寫形式上的嚴(yán)密性，隨其大流吧！例3.3-2

如圖3.3-6(a)為含受控源的電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S由b打向a,求t≥0時的電壓uC(t)和電流i(t)，并畫出波形圖。解本問題為含有受控源的一階動態(tài)電路，一般在用三要素法求解之前先對電路中含受控源部分用戴文寧定理作等效，如圖（b）所示電路，由KVL得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-63

頁返回本章目錄將圖（b）中a、d端短接并設(shè)短路電流如圖（c）電路所示。應(yīng)用KVL、KCL于(c)圖，易得畫出圖（a）電路的等效電路如圖（d）所示。3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-64

頁返回本章目錄(1)應(yīng)用三要素法求uC(t)。由圖(d)電路分別求得三要素代入三要素公式，得(2)回圖(a)原電路求電流i(t)。

應(yīng)用KVL求得電流畫uC、i的波形分別如圖3.3-7（a）、（b）所示。3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-65

頁返回本章目錄例3.3-3

如圖3.3-8（a）所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S閉合，求t≥0時電壓u(t)。解

設(shè)各量的參考方向如（a）圖中所標(biāo)。由題意知（a）圖電路在t＝0-時刻處于直流穩(wěn)態(tài)，將L看作短路，將C視為開路，所以容易求得:對求t≥0+時u1、u2，應(yīng)用對短路線壓縮、伸長變形等效將（a）圖等效為（b）圖；再依據(jù)置換定理將（b）圖分別等效為（c）圖（對求u1等效）、（d）圖（對求u2等效）。（c）圖是一階RL電路，應(yīng)用三要素法求u1

。它的三個要素易求得此時L相當(dāng)于開路代三要素公式，得3.3一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁前一頁第3-66

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(d)圖是一階RC電路，應(yīng)用三要素法求u2。

它的三個要素也易求得(t＝∞時電路又達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，C相當(dāng)于開路。)再代入三要素公式，得回（a）圖原電路，應(yīng)用KVL，得所求電壓再強(qiáng)調(diào):（1）今后遇到直流電源作用的一階動態(tài)電路問題的求解，不管是求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)都可以使用三要素法求解，而不要再去列寫微分方程、解微分方程求解。三要素法求解的結(jié)果與通過列方程解方程得到的結(jié)果完全相同，但它的求解過程簡單明了、易于掌握。（2）原則上講三要素法只適用于直流電源作用的一階動態(tài)電路的求解，但對于某些具有特征、可應(yīng)用置換定理將之等效為若干個一階電路的高階電路，亦可間接使用三要素法求解。如本節(jié)的例3.4-3就是這樣的問題。3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁前一頁第3-67

頁返回本章目錄一、階躍函數(shù)1、單位階躍函數(shù)定義單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定義為（3.4-1）

式中符號這比上節(jié)所述的換路前一瞬間、換路后一瞬間數(shù)學(xué)上更嚴(yán)密。波形如圖3.4-1所示。

說明：(1)ε(t)在t≤0-時恒為0，t≥0+時恒為1。(2)ε(t)在t=0時則由0階躍到1，這是一個躍變過程，其函數(shù)值不定。

(3)從數(shù)學(xué)看，t=0為第一類間斷點(diǎn)，函數(shù)間斷點(diǎn)處左極限值為0，右極限值為1。2、單位階躍函數(shù)的應(yīng)用(1)表示一般的階躍函數(shù)ε(t)乘以常數(shù)A，所得結(jié)果Aε(t)稱為一般的階躍函數(shù)，其表達(dá)式為3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁前一頁第3-68

頁返回本章目錄（3.4-2）

波形如圖3.4-2(a)所示，其中階躍幅度A稱為階躍量。

階躍函數(shù)在時間上延遲t0，稱為延遲階躍函數(shù)，波形如圖3.4-2(b)所示，它在t=t0處出現(xiàn)階躍，數(shù)學(xué)上可表示為

(3.4-3)(2)描述某些情況下的開關(guān)動作例如在圖4.6-3(a)中，階躍電壓Us表示電壓源Us在t=0時接入二端電路N。類似地，圖3.4-3(b)中的階躍電流Isε(t-t0)表示電流源Is在t=t0時接入二端電路N。3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁前一頁第3-69

頁返回本章目錄(3)簡潔形式表示復(fù)雜信號如圖3.4-4(a)所示矩形脈沖信號，可以看成是圖3.4-4(b)、(c)所示兩個延遲階躍信號的疊加，即

依據(jù)上例疊加單位階躍函數(shù)移位加權(quán)代數(shù)和的思想，用階躍函數(shù)還可以簡潔表示“臺階式”或稱“樓梯式”的更為復(fù)雜的信號，如圖3.4-5(a)、(b)中的f1(t)、f2(t)，不必畫疊加過程圖即可寫出用ε(t)簡潔表示的形式，即寫的規(guī)律：從時間軸負(fù)無窮向正方向“走”，若遇t=t1處是突跳點(diǎn)(第一類間斷點(diǎn))且向上跳，此處就出現(xiàn)正階躍函數(shù)，跳的高度就是正階躍函數(shù)的權(quán)系數(shù)；

若遇t=t2處是向下跳的突跳點(diǎn)，此處就出現(xiàn)負(fù)階躍函數(shù)，下跳的高度就是負(fù)階躍函數(shù)的權(quán)系數(shù)。上兩式就是按此規(guī)律快速寫出的。3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁前一頁第3-70

頁返回本章目錄還可用ε(t)表示任意函數(shù)的作用區(qū)間設(shè)給定信號f(t)如圖3.4-6(a)所示，如果要求f(t)在t=0開始作用，那么可以將f(t)乘以ε(t)，如圖3.4-6(b)所示。如果要求f(t)在區(qū)間(t1，t2)上的信號起作用，那么只需將f(t)乘以[ε(t-t1)-ε(t-t2)]即可，如圖3、4-6(c)所示。二、階躍響應(yīng)1、單位階躍響應(yīng)定義電路在單位階躍函數(shù)激勵下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位階躍響應(yīng)，簡稱為階躍響應(yīng)，以符號g(t)表示。

用數(shù)學(xué)式描述這一定義可表示為（3.4-4）明確：單位階躍函數(shù)ε(t)作用于電路相當(dāng)于單位直流源(1V或1A)在t=0時接入電路，因此對于一階電路，階躍響應(yīng)g(t)仍可用三要素法求解。2、時不變電路概念及特性如果電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)均不隨時間變化，那么該電路就稱為時不變電路。時不變電路標(biāo)志性的特征是其零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)形式與激勵接入電路的時間無關(guān)。即若則（3.4-5）下一頁前一頁第3-71

頁返回本章目錄3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)(3.4-5)式表明激勵延遲t0時間，零狀態(tài)響應(yīng)也延遲t0時間，圖3.4-7更直觀地表征時不變電路的這一特征。在線性時不變動態(tài)電路中，零狀態(tài)響應(yīng)與激勵之間的關(guān)系滿足齊次、疊加和時不變性質(zhì)。

電路的齊次、時不變、疊加三性質(zhì)可以用圖3.4-8簡明表示。圖3.4-8齊次、時不變、疊加三性質(zhì)簡圖表示這個簡圖把單位階躍函數(shù)、單位階躍響應(yīng)、線性電路的齊次性、疊加性、時不變電路的時不變性等重要基本概念綜合在一起，很有參考價值！為什么要定義階躍響應(yīng)g(t)？若加激勵如圖3.4-5中(b)圖的f2(t)你會如何求零狀態(tài)響應(yīng)？3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁前一頁第3-72

頁返回本章目錄例3.4-1

圖3.4-9(a)所示一階電路，已知R1=6Ω，R2=4Ω，C＝0.02F。(1)若以is（t）為輸入，以uC（t）為輸出，求階躍響應(yīng)g(t)；(2)若激勵電流源is的波形如圖(b)所示，求零狀態(tài)響應(yīng)uCf（t）。解

(1)用三要素法求g(t)。令is(t)=ε(t)，并考慮零狀態(tài)條件及階躍響應(yīng)定義，

因零狀態(tài)（uC(0+)=uC(0-)=0），t=0+時C視為短路，所以

t=∞時C視為開路，所以時常數(shù)套三要素公式，得V

（2）將信號分解，即,由齊次性、時不變性及疊加性，顯然下一頁前一頁第3-73

頁返回本章目錄3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)例3.4-2

圖3.4-10(a)所示電路，已知R1=6Ω，R2=4Ω，L=1.2H。(1)以us為激勵(輸入)，以i為響應(yīng)(輸出)，求該電路的階躍響應(yīng)g(t)；(2)若us為圖(b)所示的波形，求零狀態(tài)響應(yīng)if(t)。

解

(1)用三要素法求g(t)。

令并考慮零狀態(tài)條件及階躍響應(yīng)定義，因零狀態(tài)，t=0+時L視為開路，所以t=∞時L視為短路，所以時常數(shù)套三要素公式，得（2）將信號分解，即下一頁前一頁第3-74

頁返回本章目錄3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)由齊次性、時不變性及疊加性，顯然可得3.5二階電路的零輸入響應(yīng)

用二階微分方程描述的電路稱為二階電路。分析二階電路，需要給定兩個獨(dú)立的初始條件。本節(jié)以RLC串聯(lián)電路為例，僅討論二階電路的零輸入響應(yīng)。

如圖3.5-1所示RLC串聯(lián)電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時開關(guān)S由a切換至b，求t≥0時電壓uC

。以電容電壓uC作為電路響應(yīng)，列寫該電路的方程。根據(jù)KVL,有由于代入上式并整理得(3.5-1)令式中

α稱為衰減常數(shù)

稱為RLC串聯(lián)電路的諧振角頻率求解式（3.5-1）二階常系數(shù)齊次微分方程所需的兩個初始條件uC(0+)、uC’(0+)并未給出，需由題意確定。下一頁前一頁第3-75

頁返回本章目錄下一頁前一頁第3-76

頁返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)

根據(jù)題目條件知：t=0-時電路處于直流穩(wěn)態(tài)，視L為短路，電容為開路，所以由換路定律可知：考慮

所以初始條件之一初始條件之二將設(shè)定的α、ω0參數(shù)代入式（3.5-1）并加注上確定的初始條件，有(3.5-2)從圖3.5-1電路看，對于t≥0+時電路中無任何輸入，所以響應(yīng)為零輸入響應(yīng)。從（3.5-2）式方程看，它是二階常系數(shù)齊次微分方程，響應(yīng)一定是與齊次解的函數(shù)形式相同。式（3.5-2）方程的特征方程為下一頁前一頁第3-77

頁返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)(3.5-3)特征根僅與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，通常稱為電路的固有頻率，其值可能為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。當(dāng)R、L、C取不同值時，電路的固有頻率及相應(yīng)的零輸入響應(yīng)存在3種不同情況，下面將分別討論。

在討論之前先給出二階電路齊次解的各種形式，如表3-2所示，以供在討論各種情況的零輸入響應(yīng)時對照選用。

特征根

齊次解yh(t)(不相等實(shí)根)

(相等實(shí)根)(共軛復(fù)根)或(共軛虛根)或下一頁前一頁第3-78

頁返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)一、α＞ω0（R2＞4L/C），過阻尼情況此時為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，稱為過阻尼情況。令特征根

(3.5-4)由表3-2得式(3.5-2)的解為

(3.5-5)式中A1、A2為積分常數(shù)。將初始條件代入上式，得(3.5-6)由式（3.5-6）解得下一頁前一頁第3-79

頁返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)將A1、A2代入式(3.5-5)，得(3.5-7)由電容上電流、電壓微分關(guān)系，得(3.5-8)由式(3.5-7)、式(3.5-8)畫得uC(t)、i(t)波形如圖3.5-2所示。由圖可見:(1)電路在初始儲能作用下產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)uC的波形呈單調(diào)下降，表明電容不斷釋放電場能量，一直處于放電狀態(tài)。(2)在0＜t＜tm期間，由于uC的加速下降，使得放電電流的絕對值逐漸增大，電感儲能也不斷增加。在t＝tm時，電感儲能達(dá)到最大。在這期間，電容釋放的能量，一部分被電阻R所消耗，另一部分轉(zhuǎn)換成磁場能量存儲于電感中。。圖3.5-2過阻尼