2024年福建省中考數(shù)學(xué)試卷含答案

2024年福建省中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（4分）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣3 B．0 C． D．2．（4分）據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×1053．（4分）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．4．（4分）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°5．（4分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝a9 B．a(chǎn)4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝26．（4分）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．7．（4分）如圖，已知點(diǎn)A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直線MN與⊙O相切，切點(diǎn)為C，且C為的中點(diǎn)，則∠ACM等于（）A．18° B．30° C．36° D．72°8．（4分）今年我國國民經(jīng)濟(jì)開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費(fèi)增長較快，第一季度社會消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（）A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D．9．（4分）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯誤的是（）A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°10．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過，B（3a，y2）兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．可以找到一個實(shí)數(shù)a，使得y1＞a B．無論實(shí)數(shù)a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一個實(shí)數(shù)a，使得y2＜0 D．無論實(shí)數(shù)a取什么值，都有y2＜0二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）因式分解：x2+x＝．12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是．13．（4分）學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識，隨機(jī)抽取了12名學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是．（單位：分）14．（4分）如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B都在第一象限．若A（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．16．（4分）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．如圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：F＝AD＝400，則f2＝CD＝．（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求證：BE＝DF．19．（8分）解方程：．20．（8分）已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分；乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；（2）若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請給予證明；若不能，請舉例說明．21．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．22．（10分）如圖，已知直線l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點(diǎn)A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積．23．（10分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，m，n滿足，．（1）求證：b2﹣12ac為非負(fù)數(shù)；（2）若a，b，c均為奇數(shù)，m，n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．24．（12分）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是．（3）今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如表所示：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒．如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）25．（14分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，AE⊥OC，垂足為E，BE的延長線交于點(diǎn)F．（1）求的值；（2）求證：△AEB∽△BEC；（3）求證：AD與EF互相平分．

2024年福建省中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（4分）下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A．﹣3 B．0 C． D．【解答】解：﹣3，0是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)，它們不是無理數(shù)；是無限不循環(huán)小數(shù)，它是無理數(shù)；故選：D．2．（4分）據(jù)《人民日報》3月12日電，世界知識產(chǎn)權(quán)組織近日公布數(shù)據(jù)顯示，2023年，全球PCT（《專利合作條約》）國際專利申請總量為27.26萬件，中國申請量為69610件，是申請量最大的來源國．?dāng)?shù)據(jù)69610用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．6961×10 B．696.1×102 C．6.961×104 D．0.6961×105【解答】解：69610＝6.961×104．故選：C．3．（4分）如圖是由長方體和圓柱組成的幾何體，其俯視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：這個立體圖形的俯視圖是一個圓，圓內(nèi)部中間有一個矩形．故選：C．4．（4分）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如圖方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【解答】解：∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABF＝60°，∵CD⊥DE，∴∠CDE＝90°，∴∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°．故選：A．5．（4分）下列運(yùn)算正確的是（）A．a(chǎn)3?a3＝a9 B．a(chǎn)4÷a2＝a2 C．（a3）2＝a5 D．2a2﹣a2＝2【解答】解：a3?a3＝a6，則A不符合題意；a4÷a2＝a2，則B符合題意；（a3）2＝a6，則C不符合題意；2a2﹣a2＝a2，則D不符合題意；故選：B．6．（4分）哥德巴赫提出“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和”的猜想，我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．在質(zhì)數(shù)2，3，5中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下：2352（2，3）（2，5）3（3，2）（3，5）5（5，2）（5，3）共有6種等可能的結(jié)果，其中和是偶數(shù)的結(jié)果有：（3，5），（5，3），共2種，∴和是偶數(shù)的概率為．故選：B．7．（4分）如圖，已知點(diǎn)A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直線MN與⊙O相切，切點(diǎn)為C，且C為的中點(diǎn)，則∠ACM等于（）A．18° B．30° C．36° D．72°【解答】解：∵C為的中點(diǎn)，∠AOB＝72°，∴∠AOC＝∠BOC＝36°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC＝72°，∵直線MN與⊙O相切，切點(diǎn)為C，∴∠OCM＝90°，∴∠ACM＝∠OCM﹣∠ACO＝90°﹣72°＝18°，故選：A．8．（4分）今年我國國民經(jīng)濟(jì)開局良好，市場銷售穩(wěn)定增長，社會消費(fèi)增長較快，第一季度社會消費(fèi)品零售總額120327億元，比去年第一季度增長4.7%，求去年第一季度社會消費(fèi)品零售總額．若將去年第一季度社會消費(fèi)品零售總額設(shè)為x億元，則符合題意的方程是（）A．（1+4.7%）x＝120327 B．（1﹣4.7%）x＝120327 C． D．【解答】解：根據(jù)題意得：（1+4.7%）x＝120327．故選：A．9．（4分）小明用兩個全等的等腰三角形設(shè)計了一個“蝴蝶”的平面圖案，如圖．其中△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，OE⊥OF．下列推斷錯誤的是（）A．OB⊥OD B．∠BOC＝∠AOB C．OE＝OF D．∠BOC+∠AOD＝180°【解答】解：∵△OAB與△ODC都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線l對稱，∴△OAB≌△ODC，∴∠AOB＝∠COD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD，∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠BOF＝90°，∵∠BOE＝∠DOF，∴∠DOF+∠BOF＝90°，∴OB⊥OD，故A正確；∵∠AOB與∠BOC的度數(shù)不能確定，∴無法證明∠BOC與∠AOB的關(guān)系，故B錯誤；∵△OAB≌△ODC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點(diǎn)，∴OE＝OF，故C正確；∵OB⊥OD，∴∠BOC+∠COD＝90°①，∵OE⊥OF，∴∠COF+∠EOC＝90°，∵∠COF＝∠AOE，∴∠AOE+∠EOC＝90°，∴OC⊥OA，∴∠AOB+∠BOC＝90°②，①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°，即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正確．故選：B．10．（4分）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過，B（3a，y2）兩點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．可以找到一個實(shí)數(shù)a，使得y1＞a B．無論實(shí)數(shù)a取什么值，都有y1＞a C．可以找到一個實(shí)數(shù)a，使得y2＜0 D．無論實(shí)數(shù)a取什么值，都有y2＜0【解答】解：∵二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2ax+a（a≠0），∴二次函數(shù)開口向上，且對稱軸為xa，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a﹣a2），當(dāng)a＞0時，0a，∴a﹣a2＜y1＜a，當(dāng)a＜0時，a0，∴a﹣a2＜y1＜a，故A、B錯誤，不符合題意；當(dāng)a＞0時，0＜a＜2a＜3a，由二次函數(shù)對稱性可知點(diǎn)（0，a）和點(diǎn)（2a，a）關(guān)于對稱軸對稱，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，所以當(dāng)x＝3a時，y2＞a＞0；當(dāng)a＜0時，3a＜2a＜a＜0，由二次函數(shù)對稱性可知可知點(diǎn)（0，a）和點(diǎn)（2a，a）關(guān)于對稱軸對稱，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，所以當(dāng)x＝3a時y2＞a，不一定大于0，故C正確，符合題意；D錯誤，不符合題意；故選：C．二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。11．（4分）因式分解：x2+x＝x（x+1）．【解答】解：x2+x＝x（x+1）．12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是x＜1．【解答】解：3x﹣2＜1，3x＜1+2，3x＜3，x＜1，∴不等式3x﹣2＜1的解集是：x＜1，故答案為：x＜1．13．（4分）學(xué)校為了解學(xué)生的安全防范意識，隨機(jī)抽取了12名學(xué)生進(jìn)行相關(guān)知識測試，將測試成績整理得到如圖所示的條形統(tǒng)計圖，則這12名學(xué)生測試成績的中位數(shù)是90．（單位：分）【解答】解：這12名學(xué)生測試成績從小到大排列后，處在中間位置的兩個數(shù)都是90，因此中位數(shù)是90．故答案為：90．14．（4分）如圖，正方形ABCD的面積為4，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積為2．【解答】解：連接HF、EG，∵正方形ABCD的面積為4，∴BC∥AD，BC＝AD，∵H、F分別為邊BC、DA的中點(diǎn)，∴四邊形BFHA是平行四邊形，∴AB＝HF，AB∥HF，同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四邊形EFGH的面積是EG×HF2×2＝2．故答案為：2．15．（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)的圖象與⊙O交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A，B都在第一象限．若A（1，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1）．【解答】解：根據(jù)圓和反比例函數(shù)都是中心對稱圖形，點(diǎn)A與B關(guān)于直線y＝x對稱，設(shè)直線AB的解析式為y＝﹣x+b，將點(diǎn)A（1，2）坐標(biāo)代入得，2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直線AB解析式為y＝﹣x+3，∵點(diǎn)A（1，2）在反比例函數(shù)圖象上，∴反比例函數(shù)解析式為y，聯(lián)立方程組，解得，．∴B（2，1）．故答案為：（2，1）．16．（4分）無動力帆船是借助風(fēng)力前行的．如圖是帆船借助風(fēng)力航行的平面示意圖，已知帆船航行方向與風(fēng)向所在直線的夾角∠PDA為70°，帆與航行方向的夾角∠PDQ為30°，風(fēng)對帆的作用力F為400N．根據(jù)物理知識，F(xiàn)可以分解為兩個力F1與F2，其中與帆平行的力F1不起作用，與帆垂直的力F2又可以分解為兩個力f1與f2，f1與航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2與航行方向一致，是真正推動帆船前行的動力．在物理學(xué)上常用線段的長度表示力的大小，據(jù)此，建立數(shù)學(xué)模型：F＝AD＝400，則f2＝CD＝128．（單位：N）（參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77）【解答】解：如圖，∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°，∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°，∵AB//QD，∴∠BAD＝∠ADQ＝40°，在Rt△ABD中，F(xiàn)＝AD＝400，∠ABD＝90°，∴F2＝BD＝AD?sin∠BAD＝400?sin40°＝400×0.64＝256，由題意可知，BD⊥DQ，∴∠BDC+∠1＝90°，∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°，在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°，∴f2＝CD＝BD?cos∠BDC＝256×cos60°＝256128，故答案為：128．三、解答題：本題共9小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（8分）計算：．【解答】解：原式＝1+5﹣2＝6﹣2＝4．18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求證：BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D．在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴BE＝DF．19．（8分）解方程：．【解答】解：原方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），整理得：3x﹣10＝2x，解得：x＝10，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝10時，（x+2）（x﹣2）≠0，故原方程的解為x＝10．20．（8分）已知A、B兩地都只有甲、乙兩類普通高中學(xué)校．在一次普通高中學(xué)業(yè)水平考試中，A地甲類學(xué)校有考生3000人，數(shù)學(xué)平均分為90分；乙類學(xué)校有考生2000人，數(shù)學(xué)平均分為80分．（1）求A地考生的數(shù)學(xué)平均分；（2）若B地甲類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為94分，乙類學(xué)校數(shù)學(xué)平均分為82分，據(jù)此，能否判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高？若能，請給予證明；若不能，請舉例說明．【解答】解：（1）由題意，得A地考生的數(shù)學(xué)平均分為86（分）．（2）不能．舉例如下：如B地甲類學(xué)校有考生1000人，乙類學(xué)校有考生3000人，則B地考生的數(shù)學(xué)平均分為（分），因?yàn)?5＜86，所以不能判斷B地考生數(shù)學(xué)平均分一定比A地考生數(shù)學(xué)平均分高（答案不唯一，只要學(xué)生能作出正確判斷，并且所舉的例子能說明其判斷即可）．21．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P在第二象限，線段PC交x軸于點(diǎn)D，△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意，將A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入y＝x2+bx+c得∴∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2+x﹣2．（2）由題意，設(shè)P（m，n）（m＜0，n＞0），又△PDB的面積是△CDB的面積的2倍，∴，．∴．又CO＝2，∴n＝2CO＝4．由m2+m﹣2＝4，∴m1＝﹣3，m2＝2（舍去）．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣3，4）．22．（10分）如圖，已知直線l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面內(nèi)求作直線l，使得l∥l1∥l2，且l與l1間的距離恰好等于l與l2間的距離；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下，若l1與l2間的距離為2，點(diǎn)A，B，C分別在l，l1，l2上，且△ABC為等腰直角三角形，求△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖1，直線l即為所求作的直線；（2）①當(dāng)∠BAC＝90°，AB＝AC時，如圖2，∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，根據(jù)圖形的對稱性可知：BC＝2，∴，∴，②當(dāng)∠ABC＝90°，BA＝BC時，如圖3，分別過點(diǎn)A，C作直線l1的垂線，垂足為M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∵l∥l1∥l2，直線l1與l2間的距離為2，且l與l1間的距離等于l與l2間的距離，∴CN＝2，AM＝1，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC（AAS），∴BM＝CN＝2，在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2+BM2＝12+22＝5，∴，∴，③當(dāng)∠ACB＝90°，CA＝CB時，同理②可得，，綜上所述，△ABC的面積為1或．23．（10分）已知實(shí)數(shù)a，b，c，m，n滿足，．（1）求證：b2﹣12ac為非負(fù)數(shù)；（2）若a，b，c均為奇數(shù)，m，n是否可以都為整數(shù)？說明你的理由．【解答】解：（1）證明：∵，∴b＝a（3m+n），c＝amn，則b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn＝a2（9m2﹣6mn+n2）＝a2（3m﹣n）2，∵a，m，n是實(shí)數(shù)，∴a2（3m﹣n）2≥0，∴b2﹣12ac為非負(fù)數(shù)．（2）m，n不可能都為整數(shù)．理由如下：若m，n都為整數(shù)，其可能情況有：①m，n都為奇數(shù)；②m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，①當(dāng)m，n都為奇數(shù)時，則3m+n必為偶數(shù)，又∵，∴b＝a（3m+n），∵a為奇數(shù)，∴a（3m+n）必為偶數(shù)，這與b為奇數(shù)矛盾；②當(dāng)m，n為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則mn必為偶數(shù)，又∵，∴c＝amn，∵a為奇數(shù)，∴amn必為偶數(shù)，這與c為奇數(shù)矛盾；綜上所述，m，n不可能都為整數(shù)．24．（12分）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖3所示．（1）直接寫出的值；（2）如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應(yīng)選擇的紙盒展開圖圖樣是C．（3）今有三種不同型號的矩形卡紙，其規(guī)格、單價如表所示：卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設(shè)計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當(dāng)調(diào)整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒．如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應(yīng)型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設(shè)計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費(fèi)用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設(shè)計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設(shè)計；③所用卡紙的數(shù)量及總費(fèi)用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費(fèi)用”給分，總費(fèi)用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）【解答】解：（1）如圖2：上述圖形折疊后變成如圖3：由折疊和題意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，∵四邊形EFNM是正方形，∴EM＝EF，即AG＝EF，∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB，∵A