數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究集合之間的關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一判斷集合之間的關(guān)系判斷兩個(gè)集合A，B之間是否存在包含關(guān)系有以下幾個(gè)步驟：第一步：明確集合A，B中元素的特征．第二步：分析集合A，B中的元素之間的關(guān)系．(1)當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，有A?B.（2）當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，但集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí)，有AB。（3）當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B，并且集合B中的元素都屬于集合A時(shí)，有A＝B.(4)當(dāng)集合A中至少有一個(gè)元素不屬于集合B，并且集合B中至少也有一個(gè)元素不屬于集合A時(shí),有A?B，且B?A，即集合A，B互不包含．【典型例題1】（1）設(shè)M＝｛菱形}，N＝｛平行四邊形}，P＝｛四邊形｝，Q＝｛正方形｝，則這些集合之間的關(guān)系為（）A.P?N?M?Q B．Q?M?N?PC．P?M?N?Q D．Q?N?M?P（2)有下列關(guān)系：①0∈{0｝;②?｛0｝；③｛0，1｝?｛(0，1)}；④{(a，b）}＝{（b，a)}．其中正確的個(gè)數(shù)為(）A．1 B．2 C．3 D．4解析：(1）由于四邊形包括正方形、菱形、平行四邊形,故集合M，N,Q均為P的子集,再結(jié)合正方形、菱形、平行四邊形的概念易知Q?M?N?P.（2）①中根據(jù)元素與集合的關(guān)系可知0∈｛0}正確;②中由空集是任意非空集合的真子集可知?｛0}正確；③中集合｛0,1}的元素是數(shù)，而集合｛(0，1）｝的元素是點(diǎn)，因此沒有包含關(guān)系，故③錯(cuò)誤；④中集合中的元素是點(diǎn)，而點(diǎn)的坐標(biāo)有順序性，因此{(lán)(a，b)｝≠{(b，a)｝，故④錯(cuò)誤．綜上,應(yīng)選B.答案：（1）B（2）B探究二確定集合的子集、真子集1．（1)集合A是集合B的真子集，需要滿足以下兩個(gè)條件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x∈B，但x?A。所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之，不成立．（2）若集合A＝{1,2｝，B＝{1，2,3｝,則A是B的子集,也是真子集，用符號A?B與AB均可，但用AB更準(zhǔn)確．2．與子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的四個(gè)結(jié)論假設(shè)集合A中含有n個(gè)元素,則有:（1）A的子集的個(gè)數(shù)為2n；(2）A的真子集的個(gè)數(shù)為2n－1;(3)A的非空子集的個(gè)數(shù)為2n－1;（4）A的非空真子集的個(gè)數(shù)為2n－2.【典型例題2】集合A＝｛x｜0≤x〈3，且x∈N｝的真子集的個(gè)數(shù)是(）A．16 B．8 C．7 D．4解析：因?yàn)?≤x〈3，x∈N，所以x＝0,1，2，即A＝{0，1，2｝,所以A的真子集的個(gè)數(shù)為23－1＝7。答案：C【典型例題3】求滿足條件{x|x2＋5＝0}M?{x｜x2－1＝0}的集合M。思路分析：M是集合｛x|x2－1＝0｝的子集，又｛x｜x2＋5＝0｝是空集，它是M的真子集，所以M不是空集．因此問題歸結(jié)為求｛x|x2－1＝0}的非空子集．解：因?yàn)閧x|x2＋5＝0｝＝?，{x｜x2－1＝0｝＝｛－1，1}，其非空子集為{－1}，{1｝，{－1，1}．探究三兩個(gè)集合相等及其應(yīng)用1．判斷兩個(gè)集合相等可以看兩個(gè)集合中的元素是否相同,有兩種方法：（1）將兩個(gè)集合的元素一一列舉出來,進(jìn)行比較;(2）看集合中的代表元素是否一致且代表元素滿足的條件是否一致,若均一致，則兩個(gè)集合相等．2．兩個(gè)集合相等的問題一般轉(zhuǎn)化為解方程(組），但要注意最后需檢驗(yàn)，看是否滿足集合元素的互異性．3．找好問題的切入點(diǎn)是解決集合相等問題的關(guān)鍵．【典型例題4】已知集合A＝{2，x，y｝,B＝{2x,2，y2}，若A＝B，求x，y的值．思路分析：A＝B→列方程組→解方程組求x,y解:∵A＝B，∴集合A與集合B中的元素相同．∴或解得或或驗(yàn)證得,當(dāng)x＝0，y＝0時(shí),A＝{2，0,0}，這與集合元素的互異性相矛盾，舍去．∴x，y的取值為或探究四根據(jù)子集的關(guān)系，確定參數(shù)的值對于兩個(gè)集合A，B，若A或B中含有待確定的參數(shù)（字母），且A?B或A＝B,則集合B中的元素與集合A中的元素具有“包含關(guān)系”，解決這類問題時(shí)常采用分類討論和數(shù)形結(jié)合的方法．1．分類討論是指：（1)A?B在未指明集合A非空時(shí),應(yīng)分A＝?和A≠?兩種情況來討論．（2）因?yàn)榧现械脑厥菬o序的，由A?B或A＝B得出的兩個(gè)集合中的元素對應(yīng)相等的情況可能有多種，因此需要分類討論．2．?dāng)?shù)形結(jié)合是指對A≠?這種情況，在確定參數(shù)時(shí),需要借助數(shù)軸來完成，將兩個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，分清實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)，確定兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系，列不等式（組)求出參數(shù)．3．解決集合中含參數(shù)問題時(shí),最后結(jié)果要注意驗(yàn)證．驗(yàn)證是指：（1）分類討論求得的參數(shù)的值，還需要代入原集合中看是否滿足互異性．（2)所求參數(shù)的取值范圍能否取到端點(diǎn)值．【典型例題5】已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0｝,Q＝{x｜ax＋1＝0｝，滿足QP，求a的取值．思路分析：先明確集合P，再結(jié)合QP對Q中的a分兩種情況討論．解：P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝｛2，－3｝．當(dāng)a＝0時(shí)，Q＝{x|ax＋1＝0}＝?,QP成立．當(dāng)a≠0時(shí)，Q＝｛x｜ax＋1＝0｝＝,要使QP成立，則有－＝2或－＝－3，即a＝－或a＝.綜上所述，a＝0或a＝－或a＝。反思本題易漏掉當(dāng)a＝0時(shí)的情況，要清楚當(dāng)a＝0時(shí)，ax＋1＝0是無解的，即此時(shí)Q為空集．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)忽略B為?這一特殊情況而致誤【典型例題6】集合A＝{x｜－2≤x≤5｝，B＝｛x|m＋1≤x≤2m－1}．(1）若B?A，求實(shí)數(shù)m滿足的條件；（2）當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)．錯(cuò)解：(1）由題意并結(jié)合數(shù)軸（如下圖)，得解得2≤m≤3。所以實(shí)數(shù)m滿足的條件是2≤m≤3.(2)當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝｛－2，－1，0,1,2，3,4,5}，所以A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－1＝255.錯(cuò)因分析:（1)中忽略了B＝?時(shí)的情形;（2）中誤認(rèn)為是求A的真子集或A的非空子集的個(gè)數(shù)．正解:(1）①當(dāng)B＝?時(shí)，??A，符合題意，此時(shí)m＋1>2m－1，解得m〈2。②當(dāng)B≠?時(shí)，由題意結(jié)合數(shù)軸(如下圖）．得解得2≤m≤3。綜合①②,