數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究棱柱、棱錐和棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一棱柱的結(jié)構(gòu)特征判斷一個(gè)幾何體是棱柱的依據(jù)及關(guān)鍵點(diǎn)(1）依據(jù):判斷是否是棱柱要緊扣棱柱的定義．(2)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)．①底面：兩個(gè)多邊形全等且所在平面互相平行．②側(cè)面:都是平行四邊形．③側(cè)棱：互相平行且相等．以上三點(diǎn)缺一不可．【典型例題1】（1)下列幾何體是棱柱的有（)A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)解析：棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個(gè)面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個(gè)面的公共邊都互相平行，當(dāng)一個(gè)幾何體同時(shí)滿足這三方面的特征時(shí),這個(gè)幾何體才是棱柱．①上述三方面的特征都符合，是棱柱;②沒有兩個(gè)平行平面，所以不是；③符合條件,是棱柱；④雖然有兩個(gè)平面平行，但其余各面不是平行四邊形，因此不是；⑤只有三角形的面，沒有符合的一個(gè)條件,所以不是;⑥有兩個(gè)平行平面，但其余各面中有的不是平行四邊形,所以⑥不是．因此符合條件的只有①③．答案：D(2)給出下列幾個(gè)結(jié)論:①長(zhǎng)方體一定是正四棱柱．②正方體一定是正四棱柱．③長(zhǎng)方體一定是直棱柱．④有一條側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱．⑤有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱．其中錯(cuò)誤的是__________．(填序號(hào))解析：側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱，而底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱．對(duì)照各結(jié)論知①④⑤錯(cuò)誤．答案：①④⑤探究二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征判斷棱錐、棱臺(tái)的常用方法有：(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確．(2）直接法:棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)【典型例題2】判斷以下說法，正確的是(）A．所有面都是三角形的幾何體一定是三棱錐B．三棱錐的每一個(gè)面都可作為底面C．底面是正多邊形，各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐D．正棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等解析:如圖(1)的幾何體所有的面為三角形，但不是三棱錐，故A錯(cuò)．如圖(2）中,棱AD＝1，其余棱長(zhǎng)為2,滿足題意，但不是正三棱錐,故C錯(cuò)．正棱錐中，所有側(cè)棱長(zhǎng)都相等,故D錯(cuò)．而三棱錐又稱四面體,每個(gè)面都是三角形，故每個(gè)面都可作為底面，故B正確．答案：B【典型例題3】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法:(1）用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)．(2)棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形．(3）棱錐的側(cè)面只能是三角形．(4)由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐．(5）棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確說法的序號(hào)是__________．解析:(1)錯(cuò)誤,若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)；（2)正確,棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；（3)正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；（4）正確,由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；（5)錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面PBD截成的兩部分都是棱錐．答案:(2)(3）(4)探究三有關(guān)正棱錐、正棱臺(tái)中的計(jì)算問題1．正棱錐、正棱臺(tái)中的直角三角形，正棱錐中的幾個(gè)重要的直角三角形．如圖所示,正棱錐中,點(diǎn)O為底面中心，M是CD的中點(diǎn),則△SOM，△SOC均是直角三角形，很明顯，△SMC，△OMC也是直角三角形．2．正棱臺(tái)中的幾個(gè)重要的直角梯形：如圖所示，由斜高、側(cè)棱構(gòu)成的直角梯形E1ECC1，由斜高、高構(gòu)成的直角梯形O1E1EO,由高、側(cè)棱構(gòu)成的直角梯形O1OCC1．【典型例題4】（1)若正四棱錐的底面積為4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其斜高為__________．解析：正四棱錐的側(cè)面為等腰三角形，如圖,作PE⊥CD于點(diǎn)E，則PE為斜高，E為CD的中點(diǎn)．由底面積為4，知底面邊長(zhǎng)為2,在Rt△PCE中，PC＝2,CE＝1，所以PE＝＝．答案：(2）一個(gè)正四棱臺(tái)的上、下底面面積分別為4，16，一側(cè)面面積為12，求該棱臺(tái)的斜高、高、側(cè)棱長(zhǎng)．解:如圖，設(shè)O′,O分別為上、下底面的中心，即OO′為正四棱臺(tái)的高，E，F(xiàn)分別為B′C′,BC的中點(diǎn)，則EF⊥BC，EF為斜高．由上底面面積為4，上底面為正方形,可得B′C′＝2;同理，BC＝4．因?yàn)樗倪呅蜝CC′B′的面積為12，所以×（2＋4）·EF＝12，所以EF＝4．過B′作B′H⊥BC交BC于點(diǎn)H，則BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4．在Rt△B′BH中，BB′＝＝＝．同理，在直角梯形O′OFE中,計(jì)算出O′O＝．綜上,該正四棱臺(tái)的側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為4，高為．探究四立體圖形的展開問題解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)間的最短線路問題,一般都是將空間幾何體表面按某一種方式展開，轉(zhuǎn)化為求平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．【典型例題5】如圖所示，在四面體P。ABC中，PA＝PB＝PC＝2．∠APB＝∠BPC＝∠APC＝30°,一只蜜蜂從A點(diǎn)出發(fā)沿四面體的表面繞行一周，再回到A點(diǎn)，求蜜蜂經(jīng)過的最短路程．解：將四面體沿PA剪開，并展成如圖所示的平面圖形，則AA′就是所求的最短路程．因?yàn)椤螦PA′＝90°，PA＝PA′＝2,所以最短路程AA′為．探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：對(duì)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)把握不清而致誤【典型例題6】如圖所示，關(guān)于幾何體的說法正確的序號(hào)有______．（1)這是一個(gè)六面體；(2)這是一個(gè)四棱臺(tái);（3）這是一個(gè)四棱柱;(4)此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到；(5）此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．錯(cuò)解：答案中含有(2)．錯(cuò)因分析：未對(duì)幾何體側(cè)棱延長(zhǎng)后是否交于一點(diǎn)驗(yàn)證,而直接