高等數(shù)學（第2版）課件：定積分的應用

定積分的應用二定積分的微元法一三定積分的幾何應用定積分的經(jīng)濟應用基本信息定積分的微元法前面通過對不均勻量（如曲邊梯形的面積，變速直線運動的路程）的分析，采用“分割、近似、求和、取極限”四個步驟確定了它們的值，由此抽象出定積分的概念，因此定積分是確定許多不均勻幾何量和物理量的有效工具。問題：1哪些量可以通過定積分來求值？定積分的微元法是將一個量表達為定積分的分析方法：

2如何通過定積分來解決問題？基本信息定積分的微元法復習:計算曲邊梯形的面積A(1)分割:

(2)近似:

(3)求和:

(4)取極限:

基本信息定積分的微元法由此可知，若所求量A在區(qū)間[a,b]上滿足條件：（1）所求量在區(qū)間上具有可加性.（2）局部量可用近似表示.它們之間只相差一個的高階無窮小,以使和式的極限即為精確值.一、哪些量可由定積分表示？基本信息定積分的微元法1.分割、近似寫微元為了便于推導積分表達式，得小區(qū)間的窄曲邊梯形的面積近似值2.由微元寫積分(稱為面積元或微元)把微元“無限積累”起來，即把作積分表達式分割為n個小區(qū)間，省略下標i，步驟簡化為任取一個小區(qū)間為基本信息定積分的微元法且f(x)為連續(xù)函數(shù)定積分的元素法Ⅰ求元素:關(guān)鍵二、如何應用定積分解決問題?Ⅱ求積分基本信息定積分在幾何上的應用A1.平面圖形的面積分析：對應小平面圖形的面積近似值即面積元素為則基本信息定積分在幾何上的應用例1.

計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點基本信息定積分在幾何上的應用例2.

計算拋物線與直線所圍圖形的面積.解:

由得交點為簡便計算,選取y作積分變量,則有關(guān)鍵步驟：畫圖選擇合適的積分變量基本信息定積分在幾何上的應用旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺2.旋轉(zhuǎn)體的體積基本信息定積分在幾何上的應用分析：即體積元素為則旋轉(zhuǎn)體的體積所圍成曲邊梯形類似地，由連續(xù)曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得立體體積為基本信息定積分在幾何上的應用A基本信息定積分在幾何上的應用例3.

所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:則(利用對稱性)計算由橢圓基本信息定積分在經(jīng)濟上的應用例1.生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為

當產(chǎn)量由200增加到300時，需要追加成本多少？解:需要追加成本基本信息定積分在經(jīng)濟上的應用例2.已知生產(chǎn)某產(chǎn)品Q單位時，邊際收益為(1)生產(chǎn)了50個單位時的總收益是多少？(2)若已生產(chǎn)了100個單位，再生產(chǎn)100個單位，總收益將增加多少？解:(1)由于總收益是邊際收益函數(shù)在[0,Q]上的定積分，所以生產(chǎn)了50個單位時的總收益為(2)若已生產(chǎn)了100個單位，再生產(chǎn)100個單位，總收益的增量為基本信息小結(jié)1.微元法2.定