重慶理工大學(xué)823數(shù)理統(tǒng)計2015-2019年考研真題

重慶理工大學(xué)碩士研究生試題專用紙重慶理工大學(xué)2015年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題（A）學(xué)院名稱：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院學(xué)科、專業(yè)名稱：統(tǒng)計學(xué)考試科目（代碼）：數(shù)理統(tǒng)計（819）（試題共4頁）注意：1.所有試題的答案均寫在專用的答題紙上，寫在試題紙上一律無效。2.試題附在考卷內(nèi)交回。一、綜合題（30分）以下數(shù)據(jù)為來自某總體X的容量為9的樣本：0.8,1.6,0.9,1.2,0.4,0.7,1.0,1.2,1.1。，，經(jīng)計算，1.求樣本均值,樣本中位數(shù),順序統(tǒng)計量（10分）2.簡要說明樣本均值和樣本中位數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。（5分）3.若總體X的二階距存在，且均值為,方差為,給出參數(shù)的矩估計量及的一個無偏估計量。（5分）4.若給定總體，且,未知，給出的的置信區(qū)間以及假設(shè)檢驗的拒絕域，顯著性水平為，其中；并說明兩者之間的關(guān)系。（8分）5.若總體X的分布不是正態(tài)分布，且X的數(shù)學(xué)期望存在，設(shè)為，怎樣檢驗，給出你的方法。（2分）本題可能用到的分位數(shù)：。第1頁二、抽樣分布（30分）設(shè)是來自的樣本，是來自的樣本，且兩樣本獨立。1.請說明什么分布，什么是t分布。（10分）2.證明。（5分）3.設(shè)為任意非零常數(shù)，請給出的分布,并指出期望和方差。（5分）4.對任意非零常數(shù)，證明其中，，，。（10分）三、參數(shù)估計（30分）設(shè)某總體X的密度函數(shù)為,是來自該總體X的樣本。1.給出的極大似然估計。（10分）2.根據(jù)題1的結(jié)果給出的極大似然估計，并判斷。（10分）3.求的Fisher信息量。（5分）4.若都是的無偏估計，怎樣判斷其優(yōu)劣？又若不一定是無偏估計，如何判斷其優(yōu)劣？（5分）第2頁四、假設(shè)檢驗（30分）化肥廠用自動包裝機(jī)包裝化肥，每包的質(zhì)量服從正態(tài)分布，其平均質(zhì)量100kg，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2kg。某日開工后，為確定包裝機(jī)工作是否正常，現(xiàn)隨機(jī)抽取16袋化肥進(jìn)行檢驗。1．寫出假設(shè)檢驗的步驟，說明什么是第一類錯誤，第二類錯誤，解釋顯著性水平。（10分）2．若方差保持不變，且算得抽檢的16袋化肥的樣本均值=99.70，問這一天包裝機(jī)的工作是否正常？（）（10分）3．若還要求化肥質(zhì)量的方差不超過，且算得抽檢的16袋化肥的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=1.25，問化肥質(zhì)量的方差是否滿足要求？（）（10分）本題可能用到的分位數(shù)：，。五、方差分析（30分）用4種安眠藥在兔子身上進(jìn)行試驗，特選24只健康的兔子，隨機(jī)把它們均分為4組，每組各服一種安眠藥，安眠時間（單位：小時）如下所示：安眠藥試驗數(shù)據(jù)安眠藥安眠時間6.26.16.06.36.15.96.36.56.76.67.16.46.87.16.66.86.96.65.46.46.26.36.05.91、寫出方差分析的原假設(shè)和備擇假設(shè)，并給出進(jìn)行方差分析應(yīng)滿足的條件。（5分）第3頁2、如果該題滿足方差分析條件，完成下列方差分析表：（10分）來源平方和自由度均方F比p值因子A2.54誤差e1.33------和T3.87---------3、在顯著性水平下，四種安眠藥對兔子的影響是否顯著。（3分）4、給出的無偏估計。（3分）5、給出的置信區(qū)間。（）（2分）6、問是否顯著？（）（2分）7、某同學(xué)進(jìn)行方差分析時得出因子A不顯著，但他又進(jìn)行了多重比較，發(fā)現(xiàn)具有顯著區(qū)別，請解釋原因。（5分）本題可能會用到的分位數(shù)和平方數(shù)：第4頁重慶理工大學(xué)2016年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題學(xué)院名稱：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院學(xué)科、專業(yè)名稱：統(tǒng)計學(xué)考試科目（代碼）：數(shù)理統(tǒng)計（818）A（試題共4頁）注意：1.所有試題的答案均寫在專用的答題紙上，寫在試題紙上一律無效。2.試題附在考卷內(nèi)交回。一、（30分）以下數(shù)據(jù)來自某總體X，且容量為8的樣本：2868,2001,2082,792,1660,4105,1416,2089（10分）給出樣本容量為n時，樣本均值和樣本方差的計算公式，說明你所給出的樣本均值和樣本方差是否為總體均值和總體方差的無偏估計，敘述估計量好壞的評價標(biāo)準(zhǔn)。（10分）利用以上數(shù)據(jù)計算樣本均值，順序統(tǒng)計量以及樣本中位數(shù)，并說明樣本均值和樣本中位數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系。（10分）若以上數(shù)據(jù)是某廠對一種元件使用壽命進(jìn)行革新得出的數(shù)據(jù)，且壽命服從指數(shù)分布，本來樣本容量應(yīng)該是10，但是由于不知道的原因，只有以上8個數(shù)據(jù)，現(xiàn)要給出總體均值的估計，給出你的方法，并說明理由。第1頁二、（30分）設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本1．（10分）給出正態(tài)分布與分布的關(guān)系，并利用此關(guān)系證明2.（10分）給出F分布與分布的關(guān)系，并利用此關(guān)系證明3．（10分）給出t分布與正態(tài)分布和分布的關(guān)系，并證明三、（30分）設(shè)總體的密度函數(shù)為，且是來自該總體的簡單隨機(jī)樣本，求：第2頁1．（10分）當(dāng)?shù)臅r候，求參數(shù)的極大似然估計。2．（10分）在第1題的條件下，求的期望、方差以及的Fisher信息量，并求的漸近分布。3．（10分）當(dāng)?shù)臅r候，求的矩估計以及極大似然估計。四、（30分）設(shè)需要對某總體的參數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗（10分）敘述假設(shè)檢驗中顯著性水平，兩類錯誤以及拒絕域的含義，并說明p值的意義。（10分）若總體為正態(tài)總體，且方差已知，取顯著性水平，樣本容量為，若要檢驗均值問題：，給出拒絕域，若現(xiàn)計算得樣本均值15.2，問是否拒絕原假設(shè)，并計算p值。（10分）在第2題的條件下，給出的的置信區(qū)間，并與檢驗問題的拒絕域比較，說明兩者之間的關(guān)系。第3頁五、（30分）取一批由同種原料織成的布，用不同的染整工藝進(jìn)行縮水率實驗，以考察不同染整工藝對布的縮水率有無顯著影響進(jìn)而尋找出縮水率較小的染整工藝。現(xiàn)有五種不同的工藝，在每一工藝下重復(fù)處理四塊布，測得其縮水率數(shù)據(jù)如下表染整工藝縮水率A1A2A3A4A54.36.85.26.56.16.34.24.16.58.38.68.29.38.77.210.19.58.811.48.9（10分）假設(shè)本題數(shù)據(jù)滿足進(jìn)行方差分析的假設(shè)，完成下表方差分析表來源平方和自由度均方F比因子A60.685誤差e總和T80.55（5分）由第1題的方差分析表得出不同染整工藝對布的縮水率有無顯著影響？（）（5分）給出模型方差的點估計量，并給出的95%的置信區(qū)間。（10分）給出進(jìn)行方差分析需滿足的條件，并舉例說明方差分析方法可以用來解決的數(shù)據(jù)分析問題。第4頁重慶理工大學(xué)2017年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題學(xué)院名稱：理學(xué)院學(xué)科、專業(yè)名稱：統(tǒng)計學(xué)考試科目（代碼）：數(shù)理統(tǒng)計（820）(A)（試題共4頁）注意：1.所有試題的答案均寫在專用的答題紙上，寫在試題紙上一律無效。2.試題附在考卷內(nèi)交回。一、簡答與證明（共30分）設(shè)來自總體為的樣本。給出分布與正態(tài)分布的關(guān)系，并利用此關(guān)系證明：服從分布，并指出該分布的自由度。（10分）利用F分布與分布的關(guān)系，證明：并計算。（10分）3.令為的無偏估計，求；并給出的分布（不證明），利用t分布、正態(tài)分布、分布的關(guān)系，證明：（10分）第1頁二、計算題（共60分）（40分）設(shè)來自總體為的樣本。當(dāng)?shù)臅r候，求的極大似然估計，并判斷是否為的無偏估計。（15分）當(dāng)?shù)臅r候，求的Fisher信息量，給出的無偏估計的C-R下界。（7分）當(dāng)?shù)臅r候，求的最大似然估計，并給出的密度函數(shù)。（10分）有三個不同的估計的時候，若三個都為無偏估計，怎樣判斷其優(yōu)劣，若至少有一個不是無偏估計的時候，怎樣判斷其優(yōu)劣，給出你的方法。（6分）當(dāng)?shù)臅r候，對于假設(shè)檢驗問題：，給出拒絕域的形式，不用計算。（2分）（20分）設(shè)來自總體為的樣本，已知顯著性水平，對于假設(shè)檢驗問題：，給出檢驗統(tǒng)計量，并給出拒絕域，當(dāng)，樣本均值為7.8的時候，是否拒絕原假設(shè)。（10分）第2頁給出的雙側(cè)置信區(qū)間，并給出假設(shè)檢驗問題：的拒絕域，說明兩者的關(guān)系。（10分）應(yīng)用題（共40分）（20分）某廠使用兩種不同的原料A、B生產(chǎn)同一類型產(chǎn)品，隨機(jī)選擇使用原料A生產(chǎn)的樣品22件，測得平均質(zhì)量為2.36（kg），樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.57（kg），取使用原料B生產(chǎn)的樣品24件，測得平均質(zhì)量為2.55（kg）,樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.48（kg），設(shè)產(chǎn)品質(zhì)量服從正態(tài)分布，兩樣本獨立。若有經(jīng)驗說明，兩總體方差相等，在時候，問能否認(rèn)為使用原材料B生產(chǎn)的平均質(zhì)量較使用原料A生產(chǎn)的平均質(zhì)量顯著大。（10分）若對于兩總體方差沒有任何的經(jīng)驗信息，怎樣檢驗兩總體均值是否有顯著差異？給出你的方法。（10分）2.（20分）某廠有四個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，為了考查四個車間產(chǎn)品中某元素含量是否一致，特在每個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取相同數(shù)量的樣品進(jìn)行測量，結(jié)果如下：車間某元素含量（%）A1A2A3A42.842.952.733.183.042.903.082.983.183.263.483.353.303.063.243.412.993.103.193.272.863.133.042.942.963.243.363.113.153.183.303.06假定數(shù)據(jù)滿足方差分析的條件，給出總偏差平方和，因子平方和和誤差平方和的計算公式及其之間的關(guān)系。（8分）在（1）的條件下，完成下表（6分）方差分析表來源平方和自由度均方F比因子A誤差e5081.5---總和T9685.875----------第3頁比較各車間產(chǎn)品中元素含量的均值有無顯著差異。（4分）給出總體方差的無偏估計量。（2分）四、案例分析（20分）高老師為了解08級統(tǒng)一班同學(xué)畢業(yè)四年后收入情況，在班級群里發(fā)出消息，調(diào)查班上同學(xué)現(xiàn)在的年收入情況，該班畢業(yè)31人，群里有28人，有13人回復(fù)，具體回復(fù)如下：同學(xué)1：年收入10萬，稅前；同學(xué)2：年20萬同學(xué)3：年收入5萬，稅后；同學(xué)4：月凈收入3200，公積金850，年終績效2.4萬，無其他收入；同學(xué)5：10.4萬；同學(xué)6：4.5萬；同學(xué)7：15—20萬同學(xué)8：約15萬；同學(xué)9：5-6萬；同學(xué)10：7萬同學(xué)11：10-12萬；同學(xué)12：約17萬；同學(xué)13：80,000。對調(diào)查數(shù)據(jù)，我們一般需要進(jìn)行一些預(yù)處理（如數(shù)據(jù)的單位是否一致、是否同一種類型數(shù)據(jù)、是否具有可比性、是否有缺失值、是否奇異值等），請對上述實際調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)據(jù)表（行表示樣本，列表示年收入），以便后續(xù)的統(tǒng)計分析。（10分）利用處理后的數(shù)據(jù)，可以進(jìn)行哪些描述性統(tǒng)計分析來對該班同學(xué)的年收入進(jìn)行評價。（5分）若該班第14位同學(xué)的年稅后收入為200萬，能否用平均值來描述收入分布的特征？若不妥，請給出更好的數(shù)字特征。（5分）試題可能用到：第4頁重慶理工大學(xué)2018年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題學(xué)院名稱：理學(xué)院學(xué)科、專業(yè)名稱：統(tǒng)計學(xué)考試科目（代碼）：數(shù)理統(tǒng)計（823）A（試題共6頁）注意：1.所有試題的答案均寫在專用的答題紙上，寫在試題紙上一律無效。2.試題與答題紙裝入原信封內(nèi)交回。選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)為來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本，未知，則下列選項錯誤的是（）(A)是統(tǒng)計量（B）是充分統(tǒng)計量(C)是統(tǒng)計量(D)不是統(tǒng)計量2.設(shè)為取自總體的一個簡單隨機(jī)樣本，，，則下列選項錯誤的是（）（A）(B)(C)(D)3.對于假設(shè)檢驗問題，分別進(jìn)行顯著性水平的假設(shè)檢驗，當(dāng)時，檢驗結(jié)論為接受原假設(shè)，當(dāng)時拒絕原假設(shè)，則下列說法錯誤的是（）(A)當(dāng)時，接受原假設(shè)(B)當(dāng)時，拒絕原假設(shè)(C)當(dāng)時，拒絕原假設(shè)(D)當(dāng)時，可能接受也可能拒絕原假設(shè)4.設(shè)隨機(jī)變量，則（）(A)(B)(C)(D)5.線性回歸模型有一組獨立觀測數(shù)據(jù)則系數(shù)的最小二乘估計值為（）(A)（B）(C)(D)二、填空題（每小題3分，共15分）6.設(shè)為來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，未知，，.則未知參數(shù)的置信水平為的雙側(cè)置信區(qū)間為__________________7.設(shè)為來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本，其中，未知，記.則假設(shè)的t檢驗統(tǒng)計量____________________.8.設(shè)總體為其一個簡單隨機(jī)樣本，則最大順序統(tǒng)計量的概率密度函數(shù)為__________.9.估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)有（至少寫出三個）__________________.10.設(shè)為來自總體的一個樣本，為總體均值的無偏估計量，則__________________.三、解答題（共120分）11.（共40分）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中.設(shè)為來自總體的一個簡單隨機(jī)樣本，為其樣本觀測值。(1)求隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)；（5分）(2)當(dāng)時，求未知參數(shù)的矩估計量；（10分）(3)當(dāng)時，求未知參數(shù)的最大似然估計量.（10分）(4)當(dāng)時，求未知參數(shù)的最大似然估計量.（10分）(5)當(dāng)時，求未知參數(shù)的Fisher信息量.（5分）12.(共30分)設(shè)為來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本，為其樣本觀測值，若樣本均值的觀測值，樣本容量。對總體的均值提出假設(shè)檢驗。()（1）給定顯著水平，寫出該檢驗問題的拒絕域。顯著水平取，是否拒絕原假設(shè)。（10分）（2）敘述兩類錯誤的含義。當(dāng)時，計算該檢驗犯第二類錯誤的概率(用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示即可)。(10分）（3）敘述假設(shè)檢驗問題P值的含義。并計算本檢驗問題的P值(用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示).（10分）（共30分）設(shè)是來自正態(tài)總體的一個簡單隨機(jī)樣本，已知。試證：(1)統(tǒng)計量與獨立且同卡方分布，并指出分布的自由度。（10分）(2)統(tǒng)計量服從F分布，指出分布的自由度，并求.（10分）(3)求常數(shù)c使得服從t分布，并指出分布的自由度。（10分）14.(共20分)某生產(chǎn)企業(yè)的幾個車間生產(chǎn)同一種機(jī)器零件，為考查這幾個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品的直徑是否一致，特在每個車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取10個樣品進(jìn)行測量。每個零件的原始直徑數(shù)據(jù)被遺失，僅留下一張沒有完成的方差分析表如下:來源平方和自由度均方F比因子A2誤差e134.1——總和T195.5————(1)簡述進(jìn)行方差分析應(yīng)滿足的3個條件，給出該問題的原假設(shè)與備擇假設(shè)。（5分）(2)假定數(shù)據(jù)滿足方差分析的條件，試給出總偏差平方和，因子平方和和誤差平方和的計算公式，敘述三者之間滿足的關(guān)系式。（6分）(3)完成上面方差分析表。（6分）(4)試問因子A差異是否顯著？（，）（3分）重慶理工大學(xué)2019年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題學(xué)院名稱：理學(xué)院學(xué)科、專業(yè)名稱：統(tǒng)計學(xué)考試科目（代碼）：數(shù)理統(tǒng)計（823）（A卷）（試題共6頁）注意：1.所有試題的答案均寫在專用的答題紙上，寫在試題紙上一律無效。2.試題附在考卷內(nèi)交回。一、選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)為取自參數(shù)為的幾何分布的簡單隨機(jī)樣本，未知，則下列說法不正確的是（）（A）是統(tǒng)計量（B）是充分統(tǒng)計量（C）是統(tǒng)計量（D）是統(tǒng)計量2.設(shè)為取自的簡單隨機(jī)樣本，，，則下面選項服從的是（）（A）（B）（C）（D）第1頁3.設(shè)為取自某總體的簡單隨機(jī)樣本，總體均值和方差存在，則下列關(guān)于均值的無偏估計中，最有效的估計為（）（A）（B）（C）（D）4.對于參數(shù)的假設(shè)檢驗問題：，進(jìn)行顯著性水平分別為的假設(shè)檢驗，當(dāng)時，檢驗結(jié)論為接受原假設(shè)，當(dāng)時拒絕原假設(shè)，則下列說法中正確是（）（A）當(dāng)接受原假設(shè)（B）當(dāng)拒絕原假設(shè)（C）當(dāng)接受原假設(shè)（D）當(dāng)拒絕原假設(shè)5．對于正態(tài)總體，樣本容量為一定的情況下，要使參數(shù)的置信區(qū)間長度縮短，則置信水平（）（A）增大（B）降低（C）不變（D）都有可能二、填空題（每題3分，共15分）1.設(shè)為取自總體為均勻分布的簡單隨機(jī)樣本，則的矩估計為____________2.以下數(shù)據(jù)來自某總體的樣本容量為7的樣本觀測值：0.8，1.6，1.2，0.9，1.1，1.3，20，則該樣本的中位數(shù)為___________3.一元線性回歸模型，（），假設(shè)獨立同分布，均值為0，則的最小二乘估計為___________第2頁4.設(shè)來自總體的簡單隨機(jī)樣本，，現(xiàn)計算得，則顯著性水平為的假設(shè)檢驗問題的結(jié)論是_____原假設(shè)（填接受或拒絕）。5.設(shè)是來自總體為指數(shù)分布的簡單隨機(jī)樣本，則樣本均值的漸近分布為_______________三、計算題（共60分）1.（40分）設(shè)是來自總體為Pareto分布的簡單隨機(jī)樣本，其概率密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，且（1）當(dāng)?shù)臅r候，求的極大似然估計量；（10分）（2）當(dāng)?shù)臅r候，求的極大似然估計量，并判斷其無偏性；（10分）（3）當(dāng)?shù)臅r候，計算的Fisher信息量，給出無偏估計的C-R下界；（8分）第3頁（4）當(dāng)?shù)臅r候，求的極大似然估計量，并給出該估計量的密度函數(shù)。（12分）2.（20分）設(shè)為取自的樣本，其中為未知參數(shù)，方差已知，對該總體均值進(jìn)行顯著性檢驗：，顯著性水平。（1）給出該檢驗的拒絕域。當(dāng)樣本容量為36時，計算得樣本均值為9.2時，是否拒絕原假設(shè)。（6分）（2）當(dāng)時，樣本容量為36時，檢驗犯第二類錯誤的概率。（用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示，不用計算）（6分）（3）給出均值的置信水平為0.95的雙側(cè)置信區(qū)間，若要使區(qū)間長度不超過1，則樣本容量至少應(yīng)該為多少？（8分）四、應(yīng)用題（共40分）