數(shù)學(xué)學(xué)案：名師導(dǎo)航數(shù)列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1數(shù)列知識梳理1.數(shù)列的有關(guān)概念（1）數(shù)列的定義:按一定次序排列起來的一列數(shù)叫做數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項。（2）數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式an=f（n)來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)來看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N+(或它的有限子集{1，2，…,n｝)的函數(shù)，即當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值。數(shù)列的通項公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。2.數(shù)列的表示（1）數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，也可用圖象法和列表法來表示.以項數(shù)n為橫坐標(biāo),相應(yīng)的項an為縱坐標(biāo)，即以（n，an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中作出點(diǎn)，它們的圖象是相應(yīng)曲線（或直線）上橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點(diǎn).圖象位于y軸右側(cè)。(2）解析法：用通項公式表示數(shù)列。（3）遞推法：如果已知數(shù)列{an}的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項）開始的任一項an與它的前一項an-1（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是表示數(shù)列的一種重要方法.3。數(shù)列的分類(1）根據(jù)數(shù)列的項數(shù)，可以把數(shù)列分為有窮數(shù)列和無窮數(shù)列.（2）根據(jù)數(shù)列中項與項的大小關(guān)系可以把數(shù)列分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動數(shù)列。知識導(dǎo)學(xué)數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的重點(diǎn).主要涉及兩方面的內(nèi)容：第一，數(shù)列的基本概念；第二,數(shù)列的基本運(yùn)算。由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù),所以與前面學(xué)習(xí)過的集合知識、函數(shù)知識有著密切的聯(lián)系,在學(xué)習(xí)本節(jié)前要先對這部分內(nèi)容進(jìn)行全面復(fù)習(xí),為本節(jié)的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)中要注意:由數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的某些項，并猜出通項公式是高考中常出現(xiàn)的題型；數(shù)列的通項公式是研究數(shù)列的關(guān)鍵，它體現(xiàn)了數(shù)列的本質(zhì),即數(shù)列的項數(shù)與項之間的對應(yīng)關(guān)系.疑難突破1。根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式。剖析：通項公式是一個數(shù)列｛an｝的第n項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，可以用一個公式an=f（n)來表示，當(dāng)用確定的序號代替通項公式中的n，可以求出數(shù)列的各項.數(shù)列的通項公式確定了，數(shù)列也就確定了.(1）對于通項公式,應(yīng)該注意：①不是所有的數(shù)列都能寫出它的通項公式,如π精確到1,0.1,0.01，0.001，…的不足近似值構(gòu)成的數(shù)列,即3，3.1,3.14，3.141就沒有通項公式；②同一個數(shù)列的通項公式不一定是唯一的,如數(shù)列—1，1,-1，1，…的通項公式可以寫成an=(—1)n，也可以寫成an=—sin（）π，n∈N+，等等，所以僅由前幾項可以歸納出無限多個“通項公式"；③對某些數(shù)列，通項公式可寫成一個式子也可用分段式表達(dá)，如數(shù)列—1，1，-1，1，…的通項公式還可以寫成：an=（2)求通項公式時，要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化關(guān)系，在所給數(shù)列的前幾項中，看看哪些部分是變化的，哪些是不變的,再探索各項中變化部分與序號間的關(guān)系，由此歸納出構(gòu)成的規(guī)律,寫出通項公式.那么在給出數(shù)列的前幾項求通項時，主要從哪幾個方面來考慮呢？①有時將數(shù)列的各項結(jié)構(gòu)形式加以變形，將數(shù)列的各項分解成若干個基本數(shù)列對應(yīng)項的“和”“差”“積”“商"后再進(jìn)行分析歸納.這就要求我們熟練掌握一些基本數(shù)列，如｛｝、{n2}、{2n±1｝、｛(—1）n｝等。②負(fù)號用(—1）n或（—1)n+1來調(diào)節(jié)，如-1,2,-3,4，—5,…的通項公式可以寫為an=（—1）nn。③分式形式的數(shù)列，分子找通項,分母找通項,要充分借助于分子、分母的關(guān)系,如1，,,，,…,可以寫為，，,，,…，所以通項公式為an=.④此類問題沒有固定模式，主要靠觀察（觀察規(guī)律）、比較(比較已知的數(shù)列）、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)列）等方法找出規(guī)律。⑤對于比較復(fù)雜的通項公式，有時要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決，這些都將在以后的學(xué)習(xí)中陸續(xù)接觸到.2。遞推公式與通項公式，都可以用來寫出數(shù)列中的任意項，都是給出數(shù)列的一種方法，那么它們究竟還有什么不同？剖析：根據(jù)這兩個公式都可以寫出數(shù)列的任意項。遞推公式:已知數(shù)列｛an｝的第1項（或前幾項)，且任一項an與它的前一項an—1（或前n項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.通項公式：一個數(shù)列｛an}的第n項an與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果可以用一個公式an=f（n)來表示,我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.仔細(xì)體會定義它們也是有很大的不同,主要如下：通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關(guān)系。對于通