數(shù)學學案：算法的含義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1算法的含義學習目標重點難點1．知道算法的含義和特征．2．體會算法思想，會用自然語言敘述算法.重點：會用自然語言敘述算法．難點:了解算法的含義和特征,體會算法的思想.1．算法的概念一般而言,對一類問題的機械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法．預習交流1算法與數(shù)學問題的解法之間有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？提示：(1)區(qū)別：算法是解決某一類問題所需要的程序和步驟的統(tǒng)稱．它可以理解為數(shù)學中的“通法通解”；而解法是解決某一個具體問題的過程，是具體的解題過程．(2）聯(lián)系：它們是一般與特殊的關系,也是抽象與具體的關系．算法的獲取要借助一般意義上具體問題求解的方法，而任何一個具體問題都可利用這類問題的一般算法解決．2．算法的特征算法是指使用一系列運算規(guī)則能在有限步驟內(nèi)求解某類問題，其中的每條規(guī)則必須是明確定義的、可行的．算法從初始步驟開始，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟,從而組成一個步驟序列，序列的終止表示問題得到解答或指出問題沒有解答．預習交流2求解某一類問題的算法一定是唯一的嗎？提示:不一定．因為一件事情往往不是只有一個解決方案，同樣,對于某一類問題，它的算法也可以是多樣的．如二元一次方程組的解法就有加減消元法和代入消元法兩種，因此求解此類問題的算法就不是唯一的．預習交流3(1）下面的結(jié)論正確的是__________．（填寫正確結(jié)論的序號)①一個程序的算法步驟是可逆的；②一個算法可以無止境地運算下去；③完成一件事情的算法有且只有一種；④算法的步驟是有限的．提示：由算法的概念及特征知①②③錯，④正確．（2)寫出解方程ax＋b＝0(a≠0)的一個算法的過程如下：第一步將不含x的常數(shù)項移到方程右邊，并改變常數(shù)項的符號;第二步__________.提示：根據(jù)解一元一次方程的方法與步驟即可得到答案為方程兩邊同除以a.一、算法的含義下列關于算法的說法，正確的有__________．①求解某一類問題的算法是唯一的；②算法必須在有限步驟操作之后停止；③算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊；④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果．思路分析：本題給出了有關算法的四種說法,找出其中正確的說法．解答時，要根據(jù)算法的概念和特征逐一判斷．解析:由算法的概念和特征可知②③④正確，但解決某一類問題的算法不一定是唯一的，故①錯．答案：②③④1．下列語句中是算法的有__________個．①從濟南到巴黎,可以先乘火車到北京，再坐飛機抵達;②利用公式S＝eq\f（1,2)ah，計算底為1、高為2的三角形的面積；③eq\f（1，2）x＞2x＋4；④求M(1,2)與N(－3,－5)兩點連線所在直線的方程，可先求直線MN的斜率，再利用點斜式求得方程．答案：3解析：因為算法是為解決某類問題而設計的一系列可操作或可計算的步驟，通過這些步驟能夠有效地解決問題，顯然四個語句中，①②④都是算法，③不是算法．2．下列對算法的理解不正確的是__________．①算法有一個共同特點就是對一類問題都有效(而不是個別問題)②算法要求是一步步執(zhí)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果③算法一般是機械的，有時要進行大量重復的計算，它的優(yōu)點是一種通法④解決某一個具體問題時，算法不同，結(jié)果不同答案：④解析：根據(jù)算法的概念知①②③正確;④中解決某一個具體問題時，算法不同，但結(jié)果相同．算法的主要特征:（1)有窮性：一個算法的步驟是有限的,它應在有限步操作之后停止，而不能是無限的．(2）確定性:算法的每一步應該是明確的，不能模棱兩可，即經(jīng)過一步操作后能得出確定的結(jié)果．(3)有序性：算法的步與步之間是環(huán)環(huán)相扣的，即“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的繼續(xù)．（4）不唯一性：對于同一個問題可以有不同的算法．二、算法的設計試設計一個算法，求底面邊長為4eq\r(2)，側(cè)棱長為5的正四棱錐的體積．思路分析：由底邊長可求底面積，由底面邊長及側(cè)棱長可求出正四棱錐的高，再由棱錐的體積公式求得體積．也可由高與側(cè)棱長、底面邊長的關系及底面積與底面邊長的關系,直接得到體積與底面邊長及側(cè)棱長的關系，從而直接求解．解法一：第一步取a=4eq\r(2），l=5；第二步計算；第三步計算；第四步計算S=a2；第五步計算V=Sh；第六步輸出運算結(jié)果．解法二：第一步取a=4eq\r(2),l=5；第二步計算V=a2·；第三步輸出運算結(jié)果．1．已知一個學生的語文成績是89,數(shù)學成績是96，外語成績是99，求他的總分和平均分的一個算法如下，請補充完整:第一步取A＝89，B＝96,C＝99；第二步計算總分S＝__________；第三步計算平均分M＝__________;第四步輸出S，M.答案：A＋B＋Ceq\f(S,3)解析：總分S＝A＋B＋C，平均分M＝eq\f(S，3）.2．已知點P0（x0，y0)和直線l：Ax＋By＋C＝0,求點到直線距離的一個算法有如下幾步：①輸入點的坐標x0，y0；②計算z1＝Ax0＋By0＋C；③計算z2＝A2＋B2；④輸入直線方程的系數(shù)A，B和常數(shù)C；⑤計算d＝eq\f（|z1｜，\r（z2））；⑥輸出d的值．其正確的順序為__________．答案:①④②③⑤⑥解析:利用點到直線的距離公式d＝eq\f（|Ax0＋By0＋C｜,\r（A2＋B2）)即可得解．3．試設計一個算法，求表面積為16π的球的體積．解：第一步取S＝16π；第二步計算R＝eq\r(\f（S，4π))（S＝4πR2)；第三步計算V＝eq\f（4,3)πR3；第四步輸出運算結(jié)果．(1）設計算法的步驟為：①認真分析問題，找出解決此問題的一般數(shù)學方法；②借助有關的變量或參數(shù)對算法加以表述；③將解決問題的過程劃分為若干步驟；④用簡練的語言將各個步驟表示出來,即為該具體問題的算法．（2）設計算法要做到以下幾點：①寫出的算法必須能解決一類問題，并且能夠重復使用；②要使算法盡量簡單，步驟盡量少；③要保證算法正確,且計算機能夠執(zhí)行．三、算法的應用給出分段函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x,x≥1,，x2＋1，0≤x<1,））請設計算法，輸入任意非負實數(shù)x0，輸出相應的f（x0)的值．思路分析：題中給出了分段函數(shù)的解析式，要求設計算法，給出任意非負實數(shù)x0時,求相應的函數(shù)值．設計算法時,應有輸入和輸出,并要對輸入的x0的值進行判斷．解：第一步輸入x0；第二步若x0＜0,輸出“輸入的數(shù)據(jù)有誤"，結(jié)束算法；否則執(zhí)行第三步；第三步若x0≥1，則y＝2x0；否則，y＝xeq\o\al（2,0)＋1;第四步輸出y的值，結(jié)束算法．1．寫出求過兩點M（－2，－1)，N(2,3）的直線與坐標軸圍成的三角形的面積的一個算法．解:第一步取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3;第二步計算eq\f（y－y1，y2－y1）＝eq\f(x－x1,x2－x1）；第三步在第二步結(jié)果中令x＝0得到y(tǒng)的值m，得直線與y軸交點(0，m);第四步在第二步結(jié)果中令y＝0得到x的值n,得直線與x軸交點(n,0)；第五步計算S＝eq\f（1，2）｜m｜｜n|；第六步輸出運算結(jié)果S的值．2．給出一個判斷點P（x0，y0)是否在直線y＝x－1上的一個算法．解:第一步將點P(x0，y0）的坐標代入y＝x－1；第二步若等式成立,則輸出“點P(x0，y0)在直線y＝x－1上"；若等式不成立，則輸出“點P(x0，y0)不在直線y＝x－1上”，結(jié)束算法．(1)輸入自變量的值,設計算法求對應的函數(shù)值時，如果是分段函數(shù)，那么在設計算法時,要對輸入的自變量的值根據(jù)已知條件去判斷，分類求值．(2）算法是解決某一類問題的步驟,要善于從特殊問題的解決方法中總結(jié)、歸納出一般問題的解決方法及步驟．通過解決具體的實際問題提高分析、解決問題的能力．1．下列說法正確的個數(shù)是__________．①整數(shù)的加法運算法則是一個算法；②發(fā)電子郵件的操作程序是一個算法；③從徐州乘火車到南京，從南京坐飛機到海南是一個算法；④求所有能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12，…是一個算法．答案：3解析:①②③正確．由算法的有窮性知④不正確．2．對于算法：第一步輸入n;第二步判斷n是否等于2，若n＝2，則n滿足條件;若n＞2,則執(zhí)行第三步；第三步依次從2到n－1檢驗能不能整除n，若不能整除n,則執(zhí)行第四步；若能整除n，則執(zhí)行第五步;第四步輸出n；第五步結(jié)束．滿足條件的n是__________．（填序號）①質(zhì)數(shù)②奇數(shù)③偶數(shù)④約數(shù)答案:①解析：這個算法通過對2到n－1逐個驗證，看是否有其他約數(shù),依此來判斷其是否為質(zhì)數(shù)．3．早上從起床到出門需要洗臉刷牙（5min)、刷水壺（2min)、燒水(8min）、泡面（3min）、吃飯（10min)、聽廣播(8min）這幾個步驟．下列選項中最好的一種算法是__________（填序號)．①S1洗臉刷牙、S2刷水壺、S3燒水、S4泡面、S5吃飯、S6聽廣播．②S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯、S5聽廣播．③S1刷水壺、S2燒水同時洗臉刷牙、S3泡面、S4吃飯同時聽廣播．④S1吃飯同時聽廣播、S2泡面、S3燒水同時洗臉刷牙、S4刷水壺．答案：③解析:可按兩個原則：一是合理，二是節(jié)約時間，不難看出③是最合適的．4．寫出求解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝5，,4x＋5y＝13）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①,②）)的一個算法．解：用消元法，算