云南省德宏市重點中學(xué)2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

云南省德宏市重點中學(xué)2025屆高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，是平面內(nèi)三個單位向量，若，則的最小值（）A． B． C． D．52．已知是雙曲線的左、右焦點，是的左、右頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設(shè)到直線的距離之和的最大值為，若數(shù)列的前項和恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．5．為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差6．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B．2 C．3 D．7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若集合，，則=（）A． B． C． D．9．的展開式中的系數(shù)是（）A．160 B．240 C．280 D．32010．如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．12．一物體作變速直線運動，其曲線如圖所示，則該物體在間的運動路程為（）m．A．1 B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知變量(m>0)，且，若恒成立，則m的最大值________．14．某中學(xué)舉行了一次消防知識競賽，將參賽學(xué)生的成績進行整理后分為5組，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組，已知第二組的頻數(shù)是80，則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________．15．的三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知，則________.16．下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個交點，，線段的中點為．（Ⅰ）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．18．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．19．（12分）設(shè)橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，（1）求橢圓E的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，若不存在說明理由．20．（12分）交通部門調(diào)查在高速公路上的平均車速情況，隨機抽查了60名家庭轎車駕駛員，統(tǒng)計其中有40名男性駕駛員，其中平均車速超過的有30人，不超過的有10人；在其余20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有的把握認為，家庭轎車平均車速超過與駕駛員的性別有關(guān)；平均車速超過的人數(shù)平均車速不超過的人數(shù)合計男性駕駛員女性駕駛員合計（2）根據(jù)這些樣本數(shù)據(jù)來估計總體，隨機調(diào)查3輛家庭轎車，記這3輛車中，駕駛員為女性且平均車速不超過的人數(shù)為，假定抽取的結(jié)果相互獨立，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：其中臨界值表：0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的普通方程；（2）若P，Q分別為曲線，上的動點，求的最大值.22．（10分）已知x∈R，設(shè)，，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最小值時x的取值范圍；（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由于，且為單位向量，所以可令，，再設(shè)出單位向量的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)，，，則，從而，等號可取到．故選：A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題．2、D【解析】

根據(jù)為等腰三角形，可求出點P的坐標(biāo)，又由的斜率為可得出關(guān)系，即可求出漸近線斜率得解.【詳解】如圖，因為為等腰三角形，，所以，,，又，，解得，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設(shè)線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，，，..故選：【點睛】本題考查了向量數(shù)量積，點到直線的距離，數(shù)列求和等知識，是一道不錯的綜合題.4、D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.5、C【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.6、A【解析】

由奇函數(shù)定義求出和．【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，.又當(dāng)時，，.故選：A．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．7、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對應(yīng)的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對應(yīng)的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng),難度容易.8、C【解析】試題分析：化簡集合故選C．考點：集合的運算．9、C【解析】

首先把看作為一個整體，進而利用二項展開式求得的系數(shù)，再求的展開式中的系數(shù)，二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為，令，則，又的第為，令，則，所以的系數(shù)是.故選：C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù)，掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

列舉出循環(huán)的每一步，可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，輸出的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，一般要將算法的每一步列舉出來，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

將函數(shù)解析式化簡，并求得，根據(jù)當(dāng)時可得的值域；由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得的取值范圍.【詳解】依題意，則，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則只需，故，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選：C.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.12、C【解析】

由圖像用分段函數(shù)表示，該物體在間的運動路程可用定積分表示，計算即得解【詳解】由題中圖像可得，由變速直線運動的路程公式，可得．所以物體在間的運動路程是．故選：C【點睛】本題考查了定積分的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

在不等式兩邊同時取對數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)f（x）＝，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．【詳解】不等式兩邊同時取對數(shù)得，即x2lnx1＜x1lnx2，又即成立，設(shè)f（x）＝，x∈（0，m），∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），則函數(shù)f（x）在（0，m）上為增函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，得0＜x＜e，即函數(shù)f（x）的最大增區(qū)間為（0，e），則m的最大值為e故答案為：e【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵14、30【解析】

根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計算樣本容量，再計算成績在80～100分的頻率，繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是，則樣本容量是，又成績在80～100分的頻率是，則成績在區(qū)間的學(xué)生人數(shù)是．故答案為：30【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)據(jù)處理，數(shù)形運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，所以，因為，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎(chǔ)題.16、3【解析】

分析程序中各變量、各語句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;經(jīng)判斷,此時跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題,解題的關(guān)鍵是對算法語句的理解,屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】試題分析：（1）設(shè)直線，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求根與系數(shù)的關(guān)系，并表示直線的斜率，再表示；（2）第一步由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點的橫坐標(biāo)為，直線與橢圓方程聯(lián)立求點的坐標(biāo)，第二步再整理點的坐標(biāo)，如果能構(gòu)成平行四邊形，只需，如果有值，并且滿足，的條件就說明存在，否則不存在.試題解析：解：(1)設(shè)直線，，，．∴由得，∴，．∴直線的斜率，即．即直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（2）四邊形能為平行四邊形．∵直線過點，∴不過原點且與有兩個交點的充要條件是，由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點的橫坐標(biāo)為．∴由得，即將點的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即∴．解得，．∵，，，∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形．考點：直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問涉及中點弦，當(dāng)直線與圓錐曲線相交時，點是弦的中點，（1）知道中點坐標(biāo)，求直線的斜率，或知道直線斜率求中點坐標(biāo)的關(guān)系，或知道求直線斜率與直線斜率的關(guān)系時，也可以選擇點差法，設(shè),，代入橢圓方程，兩式相減，化簡為，兩邊同時除以得，而,,即得到結(jié)果，（2）對于用坐標(biāo)法來解決幾何性質(zhì)問題，那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿足什么條件，其次用坐標(biāo)表示這些幾何關(guān)系，本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對角線互相平分，即，分別用方程聯(lián)立求兩個坐標(biāo)，最后求斜率.18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設(shè)切點橫坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉(zhuǎn)化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調(diào)遞增等價于在上恒成立．令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則．因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；又，所以，即．（2）設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則切線方程為……①設(shè)的切點橫坐標(biāo)為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得即令，則所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，使得時總有又時，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線．【點睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)證明方程有解，屬于難題.19、（1）（2）【解析】試題分析：（1）因為橢圓E:（a,b>0）過M（2，），N(,1)兩點,所以解得所以橢圓E的方程為（2）假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,則△=,即，要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上,存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且．考點：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓與橢圓的位置關(guān)系．點評：中檔題，涉及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，往往要利用韋達定理．存在性問題，往往從假設(shè)存在出發(fā)，運用題中條件探尋得到存在的是否條件具備．（2）小題解答中，集合韋達定理，應(yīng)用平面向量知識證明了圓的存在性．20、（1）填表見解析；有的把握認為，平均車速超過與性別有關(guān)（2）詳見解析【解析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算出的值，由此判斷出有的把握認為，平