2024-2025學年新教材高中數(shù)學第6章平面向量及其應用6.2.3向量的數(shù)乘運算學案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE6.2.3向量的數(shù)乘運算學習目標核心素養(yǎng)1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運算的幾何意義．(重點)2．理解并駕馭向量數(shù)乘的運算律，會進行向量的數(shù)乘運算．(重點)3．理解并駕馭兩向量共線的性質和推斷方法，并能嫻熟地運用這些學問處理有關向量共線問題．(難點)4．理解實數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)分．(易混點)1.通過向量的加法得到向量數(shù)乘運算的直觀感知，再過渡到數(shù)乘運算及數(shù)乘運算律，養(yǎng)成數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．2．通過推斷向量共線的學習，培育邏輯推理和數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).一根細繩東西方向擺放，一只螞蟻在細繩上做勻速直線運動，假如螞蟻向東運動1秒鐘的位移對應的向量為a，那么它在同一方向上運動3秒鐘的位移對應的向量怎樣表示？是3a嗎？螞蟻向西運動3秒鐘的位移對應的向量又怎樣表示？是－3問題：類比實數(shù)的運算“a＋a＋a＝3a”你能猜想實例中a＋a＋a1．向量的數(shù)乘運算(1)定義：規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|λa|＝|λ||a|；②當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反．(2)運算律：設λ，μ為隨意實數(shù)，則有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特殊地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.(3)線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量．對于隨意向量a，b，以及隨意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ22．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa.思索：定理中把“a≠0”去掉可以嗎？[提示]定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，則實數(shù)λ可以是隨意實數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實數(shù)λ，使得b＝λa.拓展向量線性運算的常用結論(1)在△ABC中，D是BC的中點，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up7(→))＋\o(AB,\s\up7(→))))；(2)O是△ABC的重心的充要條件是eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝0；(3)與eq\o(AB,\s\up7(→))同向的單位向量為eq\f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|).1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若λa＝0，則a＝0. ()(2)(－7)·6a＝－42a.(3)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(CD,\s\up7(→))(λ≠0)，則A，B，C，D四點共線． ()[答案](1)×(2)√(4)×2．若|a|＝1，|b|＝2，且a與b方向相同，則下列關系式正確的是()A．b＝2a B．b＝－C．a＝2b D．a＝－2bA[因為a，b方向相同，故b＝2a3．化簡：2(3a＋4b)－8－2a＋8b[原式＝6a＋8b－8a＝－24．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AO,\s\up7(→))，則λ＝________.2[由向量加法的平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→)).又∵O是AC的中點，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝2eq\o(AO,\s\up7(→))，∴λ＝2.]向量的線性運算【例1】化簡下列各式：①3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；②eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7[解]①原式＝18a＋3b－9a－3b＝②原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a向量數(shù)乘運算的方法(1)向量的數(shù)乘運算類似于多項式的代數(shù)運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)向量也可以通過列方程來解——把所求向量當作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解．在運算過程中要多留意視察，恰當運用運算律，簡化運算．[跟進訓練]1．(1)化簡eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(1,4)6a－7b))；(2)已知向量為a，b，未知向量為x，y，向量a，b，x，y滿意關系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y.[解](1)原式＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝eq\f(5,3)a－eq\f(11,18)b.(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a①，,－4x＋3y＝b②，))由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b，代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3向量共線定理[探究問題]1．如何證明向量a與b共線？[提示]要證明向量a與b共線，只需證明存在實數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)即可，一般地，把a和b用相同的兩個向量m，n表示出來，視察a與b具有倍數(shù)關系即可．2．如何證明A，B，C三點在同始終線上？[提示]要證三點A，B，C共線，只需證明eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))或eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))共線即可．【例2】(1)已知e1，e2是兩個不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，求證：A，B，D三點共線；(2)已知A，B，P三點共線，O為直線外隨意一點，若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，求x＋y的值．[解](1)證明：∵eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝2e1－e2，∴eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝e1－4e2.又eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(BD,\s\up7(→))，∴eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BD,\s\up7(→)).∵AB與BD有公共點B，∴A，B，D三點共線．(2)由于A，B，P三點共線，所以向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AP,\s\up7(→))在同始終線上，由向量共線定理可知，必定存在實數(shù)λ使eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))，即eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up7(→))＋λeq\o(OB,\s\up7(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.1．本例(1)中把條件改為“eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝7e1－2e2”，則A，B，C，D中哪三點共線？[解]∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝e1＋2e2，eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2eq\o(AB,\s\up7(→)).∴eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))共線，且有公共點B，∴A，B，D三點共線．2．本例(1)中條件“eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1－8e2”改為“eq\o(AB,\s\up7(→))＝2e1＋ke2”且A，B，D三點共線，如何求k的值？[解]因為A，B，D三點共線，則eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BD,\s\up7(→))共線．設eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(BD,\s\up7(→))(λ∈R)，∵eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1與e2不共線可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，))∴λ＝2，k＝－8.3．試利用本例(2)中的結論推斷下列三點P，A，B，是否共線．①eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up7(→))；②eq\o(OP,\s\up7(→))＝－2eq\o(OA,\s\up7(→))＋3eq\o(OB,\s\up7(→))；③eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(4,5)eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up7(→)).[解]①中∵eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，∴P，A，B三點共線；②中∵－2＋3＝1，∴P，A，B三點共線；③中∵eq\f(4,5)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)))＝eq\f(3,5)≠1，∴P，A，B三點不共線．1．證明或推斷三點共線的方法(1)一般來說，要判定A，B，C三點是否共線，只需看是否存在實數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))(或eq\o(BC,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))等)即可．(2)利用結論：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數(shù)x，y，使eq\o(OA,\s\up7(→))＝xeq\o(OB,\s\up7(→))＋yeq\o(OC,\s\up7(→))且x＋y＝1.2．利用向量共線求參數(shù)的方法推斷、證明向量共線問題的思路是依據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常依據(jù)向量共線的條件轉化為相應向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，解方程從而求得λ的值．用已知向量表示未知向量【例3】(1)如圖，?ABCD中，E是BC的中點，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)a－b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a－eq\f(1,2)b(2)如圖所示，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，M，N分別是DE，BC的中點，已知eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，試用a，b分別表示eq\o(DE,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).[思路探究]先用向量加減法的幾何意義設計好總體思路，然后利用平面圖形的特征和數(shù)乘向量的幾何意義表示．(1)D[eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))＋eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)b.](2)[解]由三角形中位線定理，知DEeq\f(1,2)BC，故eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a.eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)a＝－eq\f(1,2)a＋b.eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,4)a－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a－b.1．本例(1)中，設AC與BD相交于點O，F(xiàn)是線段OD的中點，AF的延長線交DC于點G，試用a，b表示eq\o(AG,\s\up7(→)).[解]因為DG∥AB，所以△DFG∽△BFA，又因為DF＝eq\f(1,2)OD＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,4)BD，所以eq\f(DG,AB)＝eq\f(DF,BF)＝eq\f(1,3)，所以eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋b.2．本例(1)中，若點F為邊AB的中點，設a＝eq\o(DE,\s\up7(→))，b＝eq\o(DF,\s\up7(→))，用a，b表示eq\o(DB,\s\up7(→)).[解]由題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\o(AB,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up7(→))，,b＝\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))－\o(AD,\s\up7(→))，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up7(→))＝\f(4,3)a－\f(2,3)b，,\o(AD,\s\up7(→))＝\f(2,3)a－\f(4,3)b，))所以eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)干脆法．(2)方程法．當干脆表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．提示：用已知向量表示未知向量的關鍵是弄清向量之間的數(shù)量關系．[跟進訓練]2.如圖所示，在四邊形ABCD中，M，N分別是DC，AB的中點，已知eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(DC,\s\up7(→))＝c，試用a，b，c表示eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(MN,\s\up7(→)).[解]eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))＝－a＋b＋c；eq\o(MN,\s\up7(→))＝eq\o(MD,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(AN,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)c－b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a－b－eq\f(1,2)c.一、學問必備1．實數(shù)與向量可以進行數(shù)乘運算，但不能進行加減運算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2．λa的幾何意義就是把向量a沿著a的方向或反方向擴大或縮小為原來的|λ|倍，向量eq\f(a,|a|)表示與向量a同向的單位向量．3．留意記住以下結論并能運用(1)若A，B，P三點共線，則eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))且x＋y＝1.(2)在△ABC中，若D為BC的中點，則eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))．(3)在△ABC中，若G為△ABC的重心，則eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0.二、方法必備1．推斷兩個向量a(a≠0)，b是否共線，關鍵是能否找到一個實數(shù)λ，使b＝λa.若λ存在，則共線；若λ不存在，則不共線．2．共線向量定理的應用①證明向量共線：對于向量a與b，若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線(平行)．②證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則A、B、C三點共線．③求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值．特殊留意：①證明三點共線問題，應留意向量共線與三點共線的區(qū)分與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得到三點共線．②若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.1.eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)2a＋8b－4a－2b))等于()A．2a－b B．2b－C．b－a D．a－bB[原式＝eq\f(1,6)(2a＋8b)－eq\f(1,3)(4a－2b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(4,3)b－eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)b＝－a＋2b.]2．點C是線段AB靠近點B的三等分點，下列正確的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝3eq\o(BC,\s\up7(→)) B．eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(BC,\s\up7(→))C．eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq