2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：數(shù)列的綜合應(yīng)用【十二大題型】（含答案及解析）

重難點(diǎn)16數(shù)列的綜合應(yīng)用【十二大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】..........................................................3

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題1...............................................................................................4

【題型3數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題】.................................................................5

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】....................................................7

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】............................................................8

【題型6子數(shù)列問題】.........................................................................9

【題型7數(shù)列與函數(shù)的交匯問題】..............................................................11

【題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題】..............................................................12

【題型9數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)的交匯問題】.........................................................13

【題型10數(shù)列與平面幾何的交匯問題】........................................................14

【題型11數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】...............................................................15

【題型12數(shù)列的新定義、新情景問題】........................................................17

?命題規(guī)律

1、數(shù)列的綜合應(yīng)用

數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情

況來看，數(shù)列的綜合應(yīng)用問題以及數(shù)列與函數(shù)、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，以解

答題的形式考查，一般圍繞等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識命題，涉及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前"項(xiàng)和

公式等.去年高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識點(diǎn)1等差、等比數(shù)列的交匯問題的解題策略】

1.等差、等比數(shù)列的交匯問題的求解思路：

(1)等差與等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式求解，求解時(shí)注意對

性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

(2)數(shù)列的綜合運(yùn)算問題常將等差、等比數(shù)列結(jié)合，兩者相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化，解答這類問題的方法：

尋找通項(xiàng)公式，利用性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

【知識點(diǎn)2數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題】

1.數(shù)列的數(shù)學(xué)文化問題的解題步驟：

(1)讀懂題意：會脫去數(shù)學(xué)文化的背景，讀懂題意；

(2)構(gòu)造模型：根據(jù)題意，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推關(guān)系式的模型；

(3)求解模型：利用數(shù)列知識求解數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和等，解決問題.

【知識點(diǎn)3數(shù)列的新定義、新情景問題】

1.數(shù)列的新定義、新情景問題的求解策略

(1)新定義問題：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的

要求，“照章辦事”，逐條分析，運(yùn)算，驗(yàn)證，使得問題得以解決.

(2)新情景問題：通過給出一個新的數(shù)列的概念，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)新問

題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，

達(dá)到靈活解題的目的.

【知識點(diǎn)4數(shù)列的綜合應(yīng)用】

1.數(shù)列與不等式交匯問題的解題策略

(1)解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合

法、分析法、放縮法等；若是含參數(shù)的不等式恒成立、有解問題，則可分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來

解決.

(2)數(shù)列與不等式交匯問題的答題模板

第一步：根據(jù)題目條件，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

第二步：根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法、錯位相減法等)求和；

第三步：利用第二步中所求得的數(shù)列的和，證明不等式或求參數(shù)的范圍；

第四步：反思解題過程，檢驗(yàn)易錯點(diǎn)，規(guī)范解題步驟.

2.數(shù)列與函數(shù)交匯問題的解題策略

數(shù)列與函數(shù)綜合問題的主要類型及解題策略

(1)已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題.

(2)己知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要利用數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式、求和方

法等對式子化簡變形.

注意數(shù)列與函數(shù)的不同，數(shù)列只能看作是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)，在解決問題時(shí)要注意這一特殊

性.

3.子數(shù)列問題的解題策略

子數(shù)列是數(shù)列問題中的一種常見題型，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為子數(shù)列問題一般適用于某個數(shù)列是由幾個有規(guī)

律的數(shù)列組合而成的，具體求解時(shí)，要搞清楚子數(shù)列的項(xiàng)在原數(shù)列中的位置，以及在子數(shù)列中的位置，即

項(xiàng)不變化，項(xiàng)數(shù)變化，它體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論、函數(shù)與方程的思想，能很好地考查學(xué)生的思維.

4.數(shù)列中結(jié)構(gòu)不良題的解法

(1))先定后動，先對題目中確定的條件進(jìn)行分析推斷，再觀察分析''動”條件，結(jié)合題干要求選出最適

合自己解答的條件求解.

(2)最優(yōu)法，當(dāng)題干中確定的條件只有一個時(shí)，要根據(jù)自己的知識優(yōu)勢和擅長之處選擇更適合自己的條

件進(jìn)行解答.

5.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題的解題策略

(1)數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用中的常見模型

①數(shù)列一一分期付款模型；

②數(shù)列一一產(chǎn)值增長模型；

③數(shù)列一一其他模型;

(2)解決數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題的解題思路

①根據(jù)題意，分析題干條件，正確確定數(shù)列模型；

②利用數(shù)列知識求出數(shù)列的基本量、通項(xiàng)公式等，準(zhǔn)確求解模型;

③通過數(shù)列模型解決問題，注意不要忽視問題的實(shí)際意義.

?舉一反三

【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】

【例1】(2024?四川綿陽三模)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛an｝滿足：aigg+l成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若數(shù)列｛“｝滿足：arbn+a2bn_1+■■■+=3-l,求數(shù)列｛6n｝的前n項(xiàng)和7加

【變式1-1](2023?全國?模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為Sn,a1+a2+3a4=25,Ka3+2,

a4,as-2成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)b"=an-，3?！?1,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和Tn.

【變式1-2](2024?上海奉賢?二模)已知數(shù)列｛斯｝和｛砥｝,其中b=2。"，nGN*,數(shù)列｛詼+%｝的前幾項(xiàng)和

為S“.

(1)若口?=2n,求Sn；

(2)若也｝是各項(xiàng)為正的等比數(shù)列，S”=3n,求數(shù)列｛an｝和為｝的通項(xiàng)公式.

【變式1-3］（2024?天津?二模）設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn,｛bn｝是等比數(shù)列,且的=/=3,a4=

b2,S3=15.

⑴求｛an｝與｛6?｝的通項(xiàng)公式;

（3年限5臬禺?dāng)?shù)，求數(shù)列｛cn｝的前2/1項(xiàng)和T2n；

(2)設(shè)cn=

I/!-l/Gjl+l

（3）若對于任意的nGN*不等式雙與+l）-A（an-l）（n+2）-12<0恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題】

【例2】（2024?陜西安康?模擬預(yù)測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)

著作《孫子算經(jīng)》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數(shù)學(xué)家的智慧，在加

密、秘密共享等方面有著重要的應(yīng)用.已知數(shù)列｛an｝單調(diào)遞增，且由被2除余數(shù)為1的所有正整數(shù)構(gòu)成，現(xiàn)將

。6"9411分13的末位數(shù)按從小到大排序作為加密編號，則該加密編號為（）

A.1157B.1177C.1155D.1122

【變式2-1］（2024?全國?模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之

（得弦）.”意即“勾”a、“股*與“弦”c之間的關(guān)系為。2+匕2=02（其中aWb）.當(dāng)a,瓦c）N*時(shí),有如下勾

股弦數(shù)組序列：（345）,（5,12,13）,（7,24,25）,（9,40,41）,-,則在這個序列中，第10個勾股弦數(shù)組中的“弦”等

于（）

A.145B.181C.221D.265

【變式2-2］（2024?四川?模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年

代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路.下圖展示了如何按照

圖①的分形規(guī)律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數(shù)是（）

第1行

第2行

第3行

圖①圖②

A.12B.13C.40D.121

【變式2-3］（2024?陜西漢中?二模）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（簡稱ICME-7）的會徽圖案，會徽的

主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中。41=41^2=42^3=…=27^8=L如果

把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第n個三角形的面積為（)

ICME-7

圖1圖2

n「n2

A.2B.,c-TD.y/n

【題型3數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題】

［例3］（23-24高二下?河南駐馬店?期中）某醫(yī)院購買一臺大型醫(yī)療機(jī)器價(jià)格為a萬元，實(shí)行分期付款，每

期付款b萬元，每期為一個月，共付12次,如果月利率為5%。，每月復(fù)利一次，則a,b滿足（）

A.12b=aB.12b=a(l+5%o)12

C.12b=a(l+5%o)D.a<12b<a(l+5%o)12

【變式3-1］（2024?山西運(yùn)城?一模）某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產(chǎn)1萬個，產(chǎn)品合格率為87

%.為提高產(chǎn)品合格率，工廠進(jìn)行了設(shè)備更新，今年1月份的產(chǎn)量在去年12月的基礎(chǔ)上提高4%,產(chǎn)品合格率

比去年12月增加0.4%,計(jì)劃以后兩年內(nèi)，每月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率都按此標(biāo)準(zhǔn)增長，那么該工廠的月不合

格品數(shù)達(dá)到最大是今年的（）

A.5月份B.6月份

C.7月份D.8月份

【變式3-2］（2023?湖南郴州?三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念,

對于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的

金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)

和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為4每期利率為r,期數(shù)為打，到期末的本利和為S,則S=4（l+r）n

s

其中，稱為期末的終值，力稱為期后終值的現(xiàn)值，即期后的元現(xiàn)在的價(jià)值為

SnnSnS4=(l+r)n-

現(xiàn)有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案

方案一：一次性付全款25萬元;

方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；

(1)已知一年期存款的年利率為23%,試討論兩種方案哪一種更好？

(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第(1))問中

的存款年利率2.5%,預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.(精確到百元)

參考數(shù)據(jù)：(1+2.5%)1°=1.28

【變式3-3](2023?廣東佛山?一模)佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以

最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心

的標(biāo)志性建筑、造型獨(dú)特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方

體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時(shí)尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個方體高度均為33.6米，中

間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.

、、一一、

i⑨

⑧

(1)請根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù)，結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識，寫出一個等差數(shù)列｛/J的通項(xiàng)公式，該數(shù)列以33.6為

首項(xiàng)，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項(xiàng)；

(2)佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列，連續(xù)取用該數(shù)列前加(me/V*)項(xiàng)

的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依次為2的、

3a2、4a3......(m+l)am((巾+l)am表示高度為(^的方體連續(xù)堆疊m+1層的總高度)，請問新堆疊

坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】

【例4】(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛而滿足的+：+半+…+中=2n(7ieN*).

⑴求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列｛g｝滿足bn=^7T，

①求數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和7\；

②若不等式(-1)9<Tn+/對任意幾￡N*恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【變式4-1】(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,

—2.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式;

(2)若存在九6N*,使得白+白+…++N4a?+i成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

、'a2a3/1an+i

【變式4-2](23-24高二下?湖北?期中)已知數(shù)列｛七｝的前幾項(xiàng)和為分,且滿足Sn=2斯-2.數(shù)列｛勾｝的前幾項(xiàng)

111/1*

和為T”且滿足瓦=1,TJT+TJT++k=lF（neN）.

⑴求數(shù)列｛陶,｛勾｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若C"=c1n跖設(shè)數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為出，且對任意的neN*,/7n-|n-(-l)?n]an+i<0恒成立，求m的取

值范圍.

【變式4-3](2024,重慶?模擬預(yù)測)已知。1=萬，a九+i=2-(a九—1)(冊_]—1)…Q]—1)(幾eN*)

(1)證明：當(dāng)幾之2時(shí)，an+i=a^-3an+4；

(2)令b九=2—an,

n-1

(i)證明：當(dāng)nN2時(shí)，-1=v〉n士1；

(ii)是否存在正實(shí)數(shù)租，使得|占-九4TH恒成立，若存在，求血的最小值，若不存在，請說明理由.

\bn

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】

【例5】(2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和Sn=2an-n.

⑴求｛an｝的通項(xiàng)公式;

ttj+lC12+1。3+1“+15

(2)證明:------+--------++…+a

a-2a42n4

【變式5-1](2024?河北秦皇島?二模)己知等比數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為Sn,且數(shù)列｛Sn+2｝是公比為2的等

比數(shù)列.

(1)求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)若仇=，數(shù)列｛0｝的前〃項(xiàng)和為7”求證：Tn<i

rl

【變式5-2](2024?全國?模擬預(yù)測)已知數(shù)列｛an｝滿足3-&+3-2a2+...+30n_i+0n=4%n￡N*.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

1117

⑵若bn=a,「l,證明：—+—+

【變式5-3](2024?山東?二模)記5?為數(shù)列｛%J的前71項(xiàng)和，&2=+/=a“cos近

(1)求。3和｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列島J的前n項(xiàng)和為T”證明：

【題型6子數(shù)列問題】

【例6】(2024?河南商丘?模擬預(yù)測)當(dāng)ii2,ikGN*,且八<<…<。時(shí)，我們把吃,陽，…，氣

叫做數(shù)列｛an｝的子數(shù)列.已知｛斯｝為正項(xiàng)等比數(shù)列，且其公比為q(q41).

(1)直接給出k與k的大小關(guān)系.

(2)是否存在這樣的H，2后滿足：兄功用成等比數(shù)列，且子數(shù)列%以切%也成等比數(shù)列？若存在，請寫出一組

“-2一3的值;否則，請說明理由.

卜k

(3)若S=%+七？---4m,mCN*),證明：當(dāng)?shù)?1,qN2時(shí)，^2—l<S<am+1.

【變式6-1](2024?北京西城?二模)已知數(shù)列4aLg,…,冊，從/中選取第。項(xiàng)、第七項(xiàng)、…、第0項(xiàng)

<ik構(gòu)成數(shù)列B:啊,%，…，啊,B稱為力的k項(xiàng)子列.記數(shù)列B的所有項(xiàng)的和為7(B).當(dāng)kN2時(shí)，若B滿足:

對任意se｛l,2,…,k-l｝,is+1-is=l,則稱B具有性質(zhì)P.規(guī)定：4的任意一項(xiàng)都是力的1項(xiàng)子列，且具有性

質(zhì)P.

(1)當(dāng)n=4時(shí)，比較4的具有性質(zhì)P的子列個數(shù)與不具有性質(zhì)P的子列個數(shù)的大小，并說明理由；

(2)已知數(shù)列4:1,2,3,…,n(n>2).

(i)給定正整數(shù)kW今對4的k項(xiàng)子列B,求所有T(B)的算術(shù)平均值；

(ii)若A有ni個不同的具有性質(zhì)P的子列當(dāng),4,…,Bw滿足：V1<i<j<m,均與當(dāng)都有公共項(xiàng)，且公共

項(xiàng)構(gòu)成4的具有性質(zhì)P的子列，求機(jī)的最大值.

【變式6-2](23-24高二下?安徽?階段練習(xí))從N*中選取k(k23)個不同的數(shù)，按照任意順序排列，組成數(shù)

列｛an｝,稱數(shù)列｛即｝為N*的子數(shù)列，當(dāng)1W2@/三"寸，把％-七的所有不同值按照從小到大順序排成一列構(gòu)

成數(shù)列｛g｝,稱數(shù)列伯?｝為可*的子二代數(shù)列.

(1)若N*的子數(shù)列｛an｝(l是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，求N*的子二代數(shù)列｛^｝的前8項(xiàng)

和；

(2)若N*的子數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列，且子二代數(shù)列｛時(shí)｝共有k-1項(xiàng)，求證：｛an｝是等差數(shù)列；

(3)若k=100,求N*的子二代數(shù)列｛入｝的項(xiàng)數(shù)的最大值.

【變式6-3](23-24高三上?北京?開學(xué)考試)給定正整數(shù)后，m,其中如果有限數(shù)列｛廝｝同時(shí)滿

足下列兩個條件，則稱｛而為(乂㈤-數(shù)列.記(乂㈤-數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最小值為G(/CM).

條件①：｛an｝的每一項(xiàng)都屬于集合｛1，2,3,…,k｝；

條件②：從集合口23,…,心中任取m個不同的數(shù)排成一列，得到的數(shù)列都是｛即｝的子數(shù)列.

注：從｛即｝中選取第1項(xiàng)、第均項(xiàng)....第&項(xiàng)(其中九<?2<???<乙)形成的新數(shù)列…，氣稱為｛斯｝的

一個子數(shù)列.

⑴分別判斷下面兩個數(shù)列是否為(3,3)-數(shù)列，并說明理由:

數(shù)歹風(fēng):1,2,3,1,2,3,1,2,3；

數(shù)歹!]42：1,2,32,1,3,1；

(2)求證：G(k,2)=2k-1；

⑶求G(4,4)的值.

【題型7數(shù)列與函數(shù)的交匯問題】

【例7】(2024?青海?模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(x+y)=/(x)/(y)—2/(久)—2/(y)+6,

/(I)=4,則f(1)+f(2)+…+f(99)=()

A.2"+198B.2"+196C.2100+198D.2100+196

【變式7-1](2024?遼寧?二模)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和為5?，點(diǎn)(XSQOeN*)在函數(shù)/(%)=4尤2

+Bx+C(AB,CeR)的圖象上，貝U()

A.C°=lB.若4=0,貝歸noCN*,使5?最大

C.若4>0,則mn°eN*,使5?最大D.若力<0,則m^eN*,使S.最大

【變式7-2](2024?上海?模擬預(yù)測)已知/(久)=*2+k，數(shù)列｛an｝的前幾項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,Sn)(neN*)均在

函數(shù)y=/(%)的圖象上.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若9")=昌，令bn=gQ^J(>eN*),求數(shù)列｛%｝的前2024項(xiàng)和72024.

【變式7-3](2024?廣東?一模)已知數(shù)列｛a九｝的前〃項(xiàng)和為右,〃為正整數(shù)，且3(S九一)i)=4(a九一2).

(1)求證數(shù)歹U｛冊-1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)若點(diǎn)P(an—1,空)在函數(shù)y=10g4久的圖象上，且數(shù)列｛%｝滿足Cn=(一1嚴(yán)+1懸求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和

Tn-

【題型8數(shù)列與導(dǎo)數(shù)的交匯問題】

【例8】(2024?全國?模擬預(yù)測)設(shè)整數(shù)p>l,久>-1且久70,函數(shù)/'(久)=(1+久)P-px-1.

(1)證明:/(x)>0；

(2)設(shè)x>O證明：ln(l+x)<x；

111

(3)設(shè)neN*,證明：l+25+3E+--+疝<27iTn(n+l).

【變式8-1](2024?廣東東莞?三模)已知常數(shù)meR,設(shè)/(x)=lnx+￡,

(1)若m=l,求函數(shù)y=/O)在(1,1)處的切線方程；

(2)是否存在0<巧<冷<%3，且“132,久3依次成等比數(shù)列，使得/(久D、/(%2)>人4)依次成等差數(shù)列？請說

明理由.

(3)求證：當(dāng)爪<。時(shí)，對任意乂1,久2e(0,+oo),%!<%2>都有

【變式8-2](2024?山西?一模)已知a>0,且a力1,函數(shù)/(久)=a*+ln(l+%)-1.

(1)記an=/(n)Tn(n+1)+7?,5)!為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.證明：當(dāng)。=￡時(shí)，S64<2024；

(2)若a=：,證明：%/(%)>0；

(3)若/(久)有3個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8-3](2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(無)=ln(x+l),g(x)=嬴，其中a21.

(1)若a=l,證明：x>0時(shí)，f(x)<2g(：+i)；

(2)若函數(shù)/(x)=/(x)-g(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的值;

M〔e九3

(3)已知數(shù)列｛&J的通項(xiàng)公式為an=；^而，求證：an>an+i>G.

【題型9數(shù)列與概率統(tǒng)計(jì)的交匯問題】

【例9】(2024?黑龍江?二模)某校組織知識競賽，已知甲同學(xué)答對第一題的概率為從第二題開始，若

甲同學(xué)前一題答錯，則此題答對的概率為；；若前一題答對，則此題答對的概率為《記甲同學(xué)回答第九題時(shí)答

錯的概率為Pn,當(dāng)律22時(shí)，恒成立，則M的最小值為()

A也B—C-D-

八，132a132J66U.66

【變式9-1](2024?山東荷澤?一模)若數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為即=(一1嚴(yán)-力，記在數(shù)列｛an｝的前幾+2(neN*)

項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為Pn，則()

2

A.=-B.Pg<PioC.Pj,0<PllD.P11<P12

【變式9-2](2024?廣東廣州?模擬預(yù)測)甲、乙、丙三人進(jìn)行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體

骰子決定傳球的方式：當(dāng)球在甲手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則甲將球傳給乙，若點(diǎn)數(shù)不大于3,則甲將球

保留繼續(xù)投擲骰子；當(dāng)球在乙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于4,則乙將球傳給甲，若點(diǎn)數(shù)不大于4,則乙將球傳

給丙；當(dāng)球在丙手中時(shí)，若骰子點(diǎn)數(shù)大于3,則丙將球傳給甲，若骰子點(diǎn)數(shù)不大于3,則丙將球傳給乙.初始

時(shí)，球在甲手中.

(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；

(2)投擲n(neN*)次骰子后，記球在乙手中的概率為p”求數(shù)列｛pn｝的通項(xiàng)公式；

14

(3)設(shè)an=(_2)"p“.p"+j求證：+a2+■■■+an<

【變式9-3](2024?全國?模擬預(yù)測)甲、乙兩名小朋友，每人手中各有3張龍年紀(jì)念卡片，其中甲手中的3

張卡片為1張金色和2張銀色，乙手中的3張卡片都是金色的，現(xiàn)在兩人各從自己的卡片中隨機(jī)取1張，

去與對方交換，重復(fù)幾次這樣的操作，記甲手中銀色紀(jì)念卡片今張，恰有2張銀色紀(jì)念卡片的概率為pn,恰

有1張銀色紀(jì)念卡片的概率為qn.

⑴求P2,</2的值.

(2)問操作幾次甲手中銀色紀(jì)念卡片就可能首次出現(xiàn)0張，求首次出現(xiàn)這種情況的概率p.

(3)記an=2pn+qn.

(i)證明數(shù)歹U｛an-1｝為等比數(shù)列，并求出｛冊｝的通項(xiàng)公式.

(ii)求馬的分布列及數(shù)學(xué)期望.(用九表示)

【題型10數(shù)列與平面幾何的交匯問題】

【例10】(23-24高三下?全國?階段練習(xí))已知等比數(shù)列｛斯｝的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn,an>0,2a2+a3=

。4，S5=4。4—1.

(1)求冊.

(2)在平面直角坐標(biāo)系式。了中，設(shè)點(diǎn)=1,2,3…)，直線(2立狂1的斜率為小，且歷=1,求數(shù)列｛既｝

的通項(xiàng)公式.

【變式10-1](2024?四川達(dá)州?二模)已知拋物線「鏟=2PMp>0),直線=k(x—p)與「交于48兩點(diǎn),

線段43中點(diǎn)=2.

（I）求拋物線r的方程；

（2）直線I與x軸交于點(diǎn)C,。為原點(diǎn)，設(shè)△BOC,△COM,△M04的面積分另ij為SABOC,SMOM,S^MO4,若S溷OC,

SZXCOM’S^MOA成等差數(shù)列,求k.

【變式10-2】（2024?安徽合肥?二模）已知｛即｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且的+&2=3,a3-a2=2,

（1）求數(shù)列｛an｝,｛6n｝的通項(xiàng)公式；

（2）如圖在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)Pi（ai，0）,P2（a2,0）,...Pn（an,0）,Pn+1（an+1,0）,

Ql（a逆1），（?2（。2力2），…，Qn（an，6n），若記△「nQ/n+l的面積為“，求數(shù)列｛4｝的前。項(xiàng)和Tn.

【變式10-3】（2024?四川內(nèi)江?模擬預(yù)測）已知橢圓C*+，=l（a>6>0）,點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)，尸1，F(xiàn)2是

左、右焦點(diǎn)，G是△PF*2的重心，且G到點(diǎn)M（-go）與點(diǎn)NQ,0）的距離之和為*

（1）求橢圓C的方程；

⑵若直線/過點(diǎn)P（4,0）,與橢圓交于4,8兩點(diǎn).若MP|,|2B|,18Pl成等比數(shù)列，求COSNAFZB的值.

【題型11數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良題】

【例11】(24-25高二上?全國?課后作業(yè))已知｛a“｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為Sn,a4=-3,再從條件①:

S4=-24；條件②：的=2ci3.這兩個條件中選擇一個作為已知，求：

⑴數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式;

(2)Sn的最小值，并求當(dāng)5?取得最小值時(shí)"的值.

【變式11-1】(2024?青海西寧?二模)已知數(shù)列｛an｝,.請從下列兩個條件中任選一個，補(bǔ)

充在上面的問題中并解答.(注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.)①數(shù)列｛即｝的前幾項(xiàng)和為%=2an

n(n+l')

-2(neN*)；②數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)之積為2n=2k(neN*).

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)令b"=<2?+log2an,求數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和7人

【變式11-2](2024?四川德陽?三模)已知｛an｝是等差數(shù)列，｛%｝是等比數(shù)列，且｛既｝的前n項(xiàng)和為Sn,2al=

歷=2,a5-5(a4-a3),在①既=無源-既)，②bn+i=+2這兩個條件中任選其中一個，完成下面問題

的解答.

(1)求數(shù)列｛冊｝和｛g｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)歹!j｛$｝的前幾項(xiàng)和為Tn,求7v

【變式11-3](23-24高二下?北京懷柔?期末)己知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,且(14==18.

(1)求等差數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛g｝其前幾項(xiàng)和為7“，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為

已知，設(shè)Cn=an+bn，求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式和數(shù)列｛0｝的前n項(xiàng)和

n

條件①：Tn=3-1；

條件②：歷=2,鏟=3；

un

條件③：Vn22且neZ都有球=6?_1?%+1成立，/=2力3=53.

【題型12數(shù)列的新定義、新情景問題】

【例12】(2024?河北張家口?二模)如果項(xiàng)數(shù)相同的數(shù)列｛an｝,也｝滿足｛即｝U｛bn｝=｛1,2,3,…,2n｝,且i為奇

數(shù)時(shí)，出〈如i為偶數(shù)時(shí)，見>如其中E6｛1,2,3,…用，那么就稱｛即｝,出?｝為“互補(bǔ)交叉數(shù)列”，記(黑：固:任)

為｛an｝,｛匕｝的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對”,5?為｛即｝的前n項(xiàng)和.

(1)若｛an｝U｛bn｝=｛123,4,5,6｝,且的=5,寫出所有滿足條件的“互補(bǔ)交叉數(shù)列對"；

(2)當(dāng)｛an｝,｛砥｝為“互補(bǔ)交叉數(shù)列”時(shí)，

(i)證明：Sn取最大值時(shí)，存在%=2n；

(ii)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求目的最大值.

【變式12-1](2024?浙江?模擬預(yù)測)已知正整數(shù)小，設(shè)的，a2,a2m,b2,久優(yōu)是4nl個非負(fù)

2m12m

at-/團(tuán)>0.若對于任意i=1,2,…,2m,^.a2m+i-?i-a=<22?b2m+1-blt都

Zi=l=i=l2m+2

有am+2>bi+bi+1,則稱這癡個數(shù)構(gòu)成(S,m)—李生數(shù)組.

(1)寫出8個不全相等的數(shù)，使得這8個數(shù)構(gòu)成(8,2)—攣生數(shù)組；

(2)求最小的S,使得的,a2,a6,bi，b2,以構(gòu)成(S,3)—攣生數(shù)組；

（3）若m24,且ai，a2,a2m,bltb2,歷皿構(gòu)成（16即）一享生數(shù)組，求a9=1,2,…,2m）的最大

值.

參考公式：（i）01+乂2+%3）223（尤1%2+%2刀3+%3乂1），當(dāng)且僅當(dāng)久1=X2=刀3時(shí)取等；（過）當(dāng)正偶數(shù)九24

時(shí)，設(shè)n=2k（kGN*）,有萬62+久F/久iW（久1+久3+…+乂2上-1）。2+血+…+久2。；當(dāng)正奇數(shù)n>4

時(shí)，設(shè)幾=2k+l（keN*）,有％1工2+%2右+…+X/l<Qi+刀3+…+*2k+l）（刀2+無4+…+*2k）.

【變式12-2】（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測）對于數(shù)列｛冊｝,｛%｝,如果存在正整數(shù)當(dāng)任意正整數(shù)nW沏

時(shí)均有歷<a1<b2<a2<...<an_i<bn<an,則稱｛a“｝為｛6?｝的“沏項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”.若劭可取任意的正

整數(shù)，則稱｛an｝為｛%｝的“無限遞增相伴數(shù)列”.

⑴已知6n=2%請寫出一個數(shù)例］｛%｝的“無限遞增相伴數(shù)列｛an｝”,并說明理由？

⑵若5｝,｛3｝滿足斯+0=6n-2,其中也｝是首項(xiàng)必=1的等差數(shù)列，當(dāng)｛即｝為｛3｝的“無限遞增相伴數(shù)列”

時(shí)，求｛即｝的通項(xiàng)公式：

（3）已知等差數(shù)列｛入｝和正整數(shù)等比數(shù)列｛斯｝滿足：an=k2024f（上+i）n-i（n=1,2，…,2024）,其中人是正整

數(shù)，求證：存在正整數(shù)上使得｛即｝為Wn｝的“2024項(xiàng)遞增相伴數(shù)列”.

【變式12-3】（2024?新疆?二模）我們把滿足下列條件的數(shù)列｛斯｝稱為爪-小數(shù)列：

①數(shù)列｛an｝的每一項(xiàng)都是正偶數(shù)；

②存在正奇數(shù)加，使得數(shù)列｛七｝的每一項(xiàng)除以m所得的商都不是正偶數(shù).

（1）若a,b,c是公差為2的等差數(shù)列，求證：a,6,c不是3-L數(shù)列；

（2）若數(shù)列｛圖｝滿足對任意正整數(shù)p,q,恒有bp+q=g+0%%,且外=8,判斷數(shù)列囹是否是7T數(shù)列,

并證明你的結(jié)論；

（3）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛cn｝共有100項(xiàng)，且對任意lWnWIOO,恒有q+c2+???+4=

皆+以~|--1■琮

fc4+fcc3+fcc3+...+fcc3+k2（fc￡N*）,若數(shù)列｛4｝為111-乙數(shù)列，求滿足條件的所有兩位數(shù)左值的和.

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（2024?內(nèi)蒙古包頭?三模）設(shè)方為等差數(shù)列｛七｝的前"項(xiàng)和，若S5=4ai，的>0,則使S">an的"的最

大值為（）

A.11B.12C.20D.21

2.（2024?山東范澤?二模）已知｛總是等差數(shù)列，的=3,44=12,在數(shù)列｛"｝中比=4力4=20,若也f｝

是等比數(shù)列，貝必2024的值為（）

A.6072B.22023

C.22023+6072D.22023—6072

3.（2024?四川?模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等

差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差

構(gòu)成等差數(shù)列.若某個二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1,4,8,13,則該數(shù)列的第18項(xiàng)為（）

A.188B.208C.229D.251

4.（2024?青海西寧,一■模）等差數(shù)列｛an｝中的。2，。2024是函數(shù)f（%）=+軌-2024的極值點(diǎn)，則Iog2（iioi3

=（）

A.-B.1C.-1D.——

5.（2024?全國?二模）數(shù)列｛即｝的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，Sn是數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和，血

=3,a2—2,a3—a4,S4=7,貝！|（）

e

A.a2k<?2fc+iAN*,且k22

B.當(dāng)？i25,且N*時(shí)，數(shù)列｛冊｝是遞減數(shù)列

D.Si°o<9

11

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知n€N*,即=熹，^=（n+1）2_1，數(shù)列｛斯｝與數(shù)列｛bn｝的公共項(xiàng)按從大到

小的順序排列組成一個新數(shù)列｛4｝,則數(shù)列｛4｝的前99項(xiàng)和為（）

A竺B—r—D—

八，197199口.197199

7.（2024?湖北?二模）已知等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S”且5?=泳+小，neN*,若對于任意的ae[0,1],

不等式號<%2-（1+a）x-2a2-a+2恒成立，則實(shí)數(shù)x可能為（）

A.-2B.0C.1D.2

8.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?三模）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法

是：從第一個正三角形（邊長為1）巳開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外

作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，稱為科赫曲線.設(shè)尼的周長和面

積分別為4、S",下列結(jié)論正確的是（）

▲Pl*PlP3^0P4^

①尸5的邊數(shù)為3x44;

②必=3x；

③｛段｝既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列；

④mN>O,Sn<N

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、多選題

9.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測）某人買一輛15萬元的新車，購買當(dāng)天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款,

月利率0.3%,分12個月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，將本金

平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款

期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與己還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同等數(shù)額

的本息和，利息以復(fù)利計(jì)算.下列說法正確的是（）

A.等額本金方案，所有的利息和為2340元

B.等額本金方案，最后一個月還款金額為10030元

C.等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現(xiàn)遞增等比數(shù)列

D.等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以等額本金方案優(yōu)于等額本息方案

10.（2024?吉林?模擬預(yù)測）已知在公差不為。的等差數(shù)列｛的J中，。4=-545是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列｛入｝

的前n項(xiàng)和為Sn,且0=不；，貝!1（）

—+1

A.an=2n—13B.VnGN*,bn>—1

c.Sn=-4-￡D.VneN*,S6<Sn<S5

11.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛%J，其前〃項(xiàng)和為治，若存在常數(shù)M>0,對任意的neN*,恒

有+\un-un-l\++貝！|稱也?｝為8-數(shù)列.則下列說法正確的是（）

A.若也?｝是以1為首項(xiàng)，式|q|<l）為公比的等比數(shù)列，則也?｝為8-數(shù)列

B.若｛an｝為B—數(shù)列，則｛S,｝也為B—數(shù)列

C.若｛S"為B-數(shù)列，則｛a?｝也為B-數(shù)列

D.若｛an｝,｛g｝均為B—數(shù)列，則｛an?bn｝也為B—數(shù)列

三、填空題

12.（2024?河北?模擬預(yù)測）己知數(shù)列｛an｝是公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)不等的數(shù)列出?｝是首項(xiàng)為2,公比為

q的等比數(shù)列，且珈2=匕，的3=勿，則d-q=.

13.（2024?河南駐馬店?二模）定義：對于函數(shù)/（X）和數(shù)列｛孫｝，若Qn+1—修）廣（今）+/（%）=0,則稱數(shù)列

｛X?｝具有?（久）函數(shù)性質(zhì)”.已知二次函數(shù)/（%）圖象的最低點(diǎn)為（0,-4）,且f（x+1）=〃>）+2久+1,若數(shù)列｛f｝

具有“/（%）函數(shù)性質(zhì)”，且首項(xiàng)為1的數(shù)列｛an｝滿足an=ln（xn+2）-ln（xn-2）,記｛斯｝的前幾項(xiàng)和為Sn，則數(shù)

列,?仁―5）卜勺最小值為.

14.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測）對于有窮數(shù)列｛即｝，從數(shù)列｛即｝中選取第八項(xiàng)、第項(xiàng)、…、第〃項(xiàng)

G1<i2<???<幾），順次排列構(gòu)成數(shù)列｛法｝，其中以=aik,l<k<m,則稱新數(shù)列｛勾｝為｛斯｝的一個子歹上稱｛%｝

各項(xiàng)之和為｛an｝的一個子列和.規(guī)定：數(shù)列｛an｝的任意一項(xiàng)都是｛斯｝的子列.則數(shù)列1,2,4,8,16,32的所有子列

和的和為.

四、解答題

1

15.（2024?湖南?模擬預(yù)測）已知數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)和為Sw3Sn+i=Sn+l"2=w，正項(xiàng)等差數(shù)列｛g｝滿足外

=2,且歷,加一1力3成等比數(shù)列.

⑴求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

3

(2)證明:abl+ab2H---卜abn<—

16.(2024?江蘇無錫?二模)已知正項(xiàng)數(shù)列｛a九｝的前71項(xiàng)和為外,滿足2s九二咸+。九-2.

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=券,%為數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和.若1＜曳詈對任意的幾￡N*恒成立，求k的取值范圍.

17.(2024?四川涼山?三模)如圖，點(diǎn)4(ieN*)均在x軸的正半軸上，△。4/1，/\A1A2B2...,△An_rBn

Cn分別是以a~a2,an(neN*)為邊長的等邊三角形，且頂點(diǎn)eN*)均在函數(shù)y=日的圖象上.

0aMi卷出的A3x

(1)求ai，a2,CI3的值，并寫出｛an｝的通項(xiàng)公式(不用證明)；

(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

18.(2024?廣西南寧?三模)夏日天氣炎熱，學(xué)校為高三備考的同學(xué)準(zhǔn)備了綠豆湯和銀耳羹兩種涼飲，某同

學(xué)每天都會在兩種涼飲中選擇一種，已知該同學(xué)第1天選擇綠豆湯的概率是|,若前一天選擇綠豆湯，后一

天繼續(xù)選擇綠豆湯的概率為，而前一天選擇銀耳羹，后一天繼續(xù)選擇銀耳羹的概率為今如此往復(fù).

(1)求該同學(xué)第2天選擇綠豆湯的概率;

(2)記該同學(xué)第n天選擇綠豆湯的概率為P”證明：上?_卦為等比數(shù)列；

(3)求從第1天到第10天中，該同學(xué)選擇綠豆湯的概率大于選擇銀耳羹概率的天數(shù).

19.(2024?河南?三模)已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若存在常數(shù);1(2>0),使得久即2S“+i對任意neN*

都成立，則稱數(shù)列國?｝具有性質(zhì)PQ).

(1)若數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，且S3=—9,S5=—25,求證：數(shù)列｛冊｝具有性質(zhì)P(3)；

(2)設(shè)數(shù)列｛即｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且｛即｝具有性質(zhì)P(4).

①若數(shù)列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，且4=4,求q的值；

②求2的最小值.

重難點(diǎn)16數(shù)列的綜合應(yīng)用【十二大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1等差、等比數(shù)列的交匯問題】..........................................................3

【題型2數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化問題1...............................................................................................6

【題型3數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問題】.................................................................9

【題型4數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】...................................................13

【題型5數(shù)列中的不等式證明問題】................................