學生學習試卷

第頁高二數(shù)學考試注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊第九、十章，選擇性必修第一冊第一章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.關于空間向量，，，下列運算錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律可知選項A，B，C正確；根據(jù)與表示的意義可知選項D錯誤.【詳解】由數(shù)量積運算的交換律可得,選項A正確.由數(shù)量積運算的分配率可得，選項B正確.由數(shù)量積運算的數(shù)乘結合律可得，選項C正確.表示與共線的向量，表示與共線的向量，與不一定相等，選項D錯誤.故選：D.2.某生物實驗室有3種月季花種子，其中開紅色花的種子有200顆，開粉色花的種子有150顆，開橙色花的種子有180顆.從這些種子中任意選取1顆，則這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)古典概型概率計算公式求得正確答案.【詳解】這顆種子對應開花的顏色為橙色的概率為.故選：A3.在正方體中，下列向量與平行的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根據(jù)正方體的性質可解.【詳解】如圖，在正方體中，.故選：A.4.若數(shù)據(jù)的方差為0.2，則數(shù)據(jù)的方差為（）A.0.2 B.0.8 C.1.6 D.3.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各數(shù)據(jù)同時乘同一數(shù)對方差的影響求解.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差為0.2可得數(shù)據(jù)的方差為.故選：D.5.如圖，在直三棱柱中，，分別為棱的中點．設，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求解即可.【詳解】，故選：D6.已知點，，，則點到直線的距離為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點線距離的向量法公式即可求解.【詳解】,故點到直線的距離為,故選：B7.在正四面體中，為棱的中點，，則（）A. B.3 C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖形，由向量的加法和向量的數(shù)量積計算即可；【詳解】因為為棱的中點，所以，所以.故選：B.8.金秋十月，某校舉行運動會，甲、乙兩名同學均從跳高、跳遠、100米跑和200米跑這四個項目中選擇兩個項目參加.設事件“甲、乙兩人所選項目恰有一個相同”，事件“甲、乙兩人所選項目完全不同”，事件“甲、乙兩人所選項目完全相同”，事件“甲、乙兩人均未選擇100米跑項目”，則（）A.A與C是對立事件 B.C與D相互獨立C.A與D相互獨立 D.B與D不互斥【答案】C【解析】【分析】列舉出甲、乙兩名同學選擇兩個項目參加的所有情況，計算每個事件的概率，可得選項A錯誤；由相互獨立的定義可知選項B錯誤，選項C正確；由互斥事件的概念可知選項D錯誤.【詳解】設跳高、跳遠、100米跑和200米跑分別為1，2，3，4，則甲、乙兩名同學均從跳高、跳遠、100米跑和200米跑中選擇兩個項目參加的情況有：（1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213），（1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314），（2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224），（1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36種，其中A有24種情況，B有6種情況，C有6種情況，D有9種情況，則，，，.由可得A與C不是對立事件，選項A錯誤.，C與D不相互獨立，選項B錯誤.，A與D相互獨立，選項C正確.由B與D不可能同時發(fā)生可知B與D互斥，選項D錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.已知空間向量，，，則（）A. B.C. D.在方向上的投影向量為【答案】AC【解析】【分析】由空間向量的坐標運算可知選項A正確；求向量的模長可得選項B錯誤；由可知選項C正確；根據(jù)投影向量的公式可知選項D正確.【詳解】，A正確；，，，B錯誤；由得，C正確；在方向上的投影向量為，D錯誤.故選：AC.10.降雨量是指從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲透、流失，而在水平面上積聚的水層深度，一般以毫米為單位．降雨量可以直觀地反映一個地區(qū)某一時間段內(nèi)降水的多少，它對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、水利工程、城市排水等有著重要的影響．如圖，這是兩地某年上半年每月降雨量的折線統(tǒng)計圖．下列結論正確的是（）A.這年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大B.這年上半年A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)大C.這年上半年A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大D.這年上半年A地月降雨量的分位數(shù)比B地月平均降雨量的分位數(shù)大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意將A、B地月降雨量按升序排列，結合平均數(shù)、中位數(shù)、極差以及百分位數(shù)的定義逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：A地月降雨量按升序排列可得：，B地月降雨量按升序排列可得：，對于選項A：可知A地月平均降雨量為，B地月平均降雨量為，因為，所以這年上半年A地月平均降雨量比B地月平均降雨量大，故A正確；對于選項B：A地月降雨量的中位數(shù)為，B地月降雨量的中位數(shù)為，因為，所以A地月降雨量的中位數(shù)比B地月降雨量的中位數(shù)小，故B錯誤；對于選項C：A地月降雨量的極差為，B地月降雨量的極差為，因為，A地月降雨量的極差比B地月降雨量的極差大，故C正確；對于選項D：因為，可知A地月降雨量的分位數(shù)為42，B地月降雨量的分位數(shù)為40，且，所以A地月降雨量的分位數(shù)比B地月平均降雨量的分位數(shù)大，故D正確；故選：ACD.11.在空間直角坐標系中，已知，則（）A.為質數(shù)B.為直角三角形C.與所成角的正弦值為D.幾何體的體積為【答案】BCD【解析】【分析】對于ABC：根據(jù)空間向量的坐標運算分析求解即可；對于D：分析可知幾何體為三棱臺，且與該三棱臺的底面垂直，結合臺體的體積公式運算求解.【詳解】對于選項A：因為，所以不是質數(shù)，A錯誤；對于選項B：因為，則，所以為直角三角形，B正確；對于選項C：因為，所以與所成角的正弦值為，C正確；對于選項D：根據(jù)已知6個點的空間直角坐標可得幾何體為三棱臺，且與該三棱臺底面垂直，，所以幾何體的體積為，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若一組數(shù)據(jù)為1，1，2，3，2，3，5，4，3，6，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的概念可得結果.【詳解】這組數(shù)據(jù)中，3出現(xiàn)的頻數(shù)最大，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3.故答案為：13.若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則與的夾角為_________.【答案】##30°【解析】【分析】平面與平面夾角的余弦值即兩個平面法向量夾角余弦值的絕對值.【詳解】因為，所以與的夾角為.故答案為：或14.在如圖所示的方格表中選個方格，若要求每行和每列都恰有個方格被選中，則被選方格的個數(shù)之和的最大值為_________.10【答案】【解析】【分析】由題意對每一列分別減去十位，便于比較大小，可得答案.【詳解】將方格表中的第列、第列、第列、第列、第列的各數(shù)分別減去10，，，40，50，得到表格如下：由表格可知第行、第行應選的數(shù)字為，則第行應選的數(shù)字為第列的，第行應選的數(shù)字為，第行應選的數(shù)字為，從而可得被選方格的個數(shù)之和的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在空間直角坐標系中，已知，，，.（1）若，求m的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題目中點的坐標可得向量坐標，利用向量垂直建立數(shù)量積為零方程，可得答案；（2）由題目中點的坐標可得向量坐標，利用向量線性運算建立方程組，可得答案.【小問1詳解】，，因為，所以，即，解得.【小問2詳解】，，因為，所以，解得，則.16.某中學高二年級的所有學生學習完人教A版選擇性必修第一冊的《直線和圓的方程》章節(jié)后，統(tǒng)一進行了一次測試，并將所有的測試成績（滿分150分）按照，，，，，分成6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試估計該中學高二年級的所有學生該次測試成績的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中間值作代表）；（2）按照人數(shù)比例用分層隨機抽樣的方法，從測試成績在和內(nèi)的學生中抽取6人的試卷進行試卷分析，再從這6人的試卷中任選2人的試卷進行優(yōu)秀答卷展示，求被選中進行優(yōu)秀答卷展示的這2人的測試成績都在內(nèi)的概率.【答案】（1）87分.（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的概念結合頻率分布直方圖求解即可；（2）由分層抽樣可知，內(nèi)抽取4人，內(nèi)抽取2人，列出所有可能情況，利用古典概型求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知該中學高二年級的所有學生該次測試成績的平均數(shù)約為分.【小問2詳解】因為測試成績在和內(nèi)的頻率之比為2：1，所以抽取的6人中測試成績在內(nèi)的有4人，記為a，b，c，d，測試成績在內(nèi)的有2人，記為A，B.從這6人中任選2人的所有可能情況為，，，，，，，，，，，，，，共15種，其中這2人的測試成績均在內(nèi)的情況有6種，故所求概率為.17.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，，點E是的中點，.（1）證明：平面.（2）求點B到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，表示各點坐標，求與平面的法向量，利用可得結論.（2）利用點到平面的距離公式可求結果.【小問1詳解】證法一:以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A2,0,0，，，，，，，，.設是平面的法向量，則令，得.因為，所以，所以平面.證法二：設，的中點為，連接，，.在和中，有，.因為平面，平面，所以平面，同理可證平面.因為平面，，所以平面.【小問2詳解】由題意得，，點B到平面的距離.18.三人參加知識闖關比賽，三人闖關成功與否相互獨立.已知闖關成功的概率是，三人闖關都成功的概率是，三人闖關都不成功的概率是.（1）求兩人各自闖關成功的概率；（2）求三人中恰有兩人闖關成功的概率.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率乘法公式即可求解，（2）分三種情況，結合相互獨立事件的概率乘法公式求解.【小問1詳解】設兩人各自闖關成功的概率分別是.由題意得解得所以兩人各自闖關成功的概率分別是，.【小問2詳解】三人中只有闖關成功的概率；三人中只有闖關成功概率；三人中只有闖關成功的概率.故三人中恰有兩人闖關成功的概率為19.如圖，在四棱臺中，底面ABCD是正方形，，平面（1）證明：平面（2）求直線與平面所成角正弦值.（3）棱BC上是否存在一點P，使得二面角的余弦值為若存在，求線段BP的長;若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）由線面垂直得到，結合證明出結論；（2）證明出AB，AD，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用線面角的空間向量公式進行求解即可.（3）設點，其中，求出兩平面的法向量，列出方程，求出，得到答案.小問1詳解】因為底面ABCD是正