三角形全等的重要模型-2021-2022學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破

專題03三角形全等的重要模型

模型1、平移全等模型，如下圖:

條件不能是（）

A.ABHDEB.ACHDFC.ACIDED.AC=DF

【答案】C

【分析】直接根據(jù)三角形證明全等的條件進(jìn)行判斷即可；

【詳解】A、：AB〃DE,.?.根據(jù)ASA即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、；AC〃DF,；./DFE=NACB,.?.根據(jù)AAS即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、AC±DE,不符合三角形全等的證明條件，故此選項(xiàng)符合題意；

D、；AC=DF,.?.根據(jù)SAS即可判定三角形全等，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形證明全等所需添加的條件，正確掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵；

2.（2021?云南昆明市?八年級(jí)期末）如圖：已知4D=BE,=￡廠且5?！ā晔?，求證：AABC義ADEF.

【答案】見解析

【分析】由AD=BE可求得AB=DE,再結(jié)合條件可證明△ABC02\DEF.

【詳解】證明：AD=BE，AD+BD=BE+BD：.AB=DE

又,/BC//EF：.ZABC=/DEF

AB=DE

在△C和ADEF中\(zhòng)N4BC=NDEF：.AABC&ADEF（SAS）

BC=EF

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即SSS、SAS、

ASA、AAS和HL.

3.（2021?廣西百色市?八年級(jí)期末）如圖，已知點(diǎn)。是的中點(diǎn)，CD//BE,且CD=BE.

（1）求證：AACD烏ACBE.（2）若44=87°,ND=32°,求NB的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）61°

【分析】（1）根據(jù)SAS證明AACDgACBE；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得NACD,再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到/B=NACD.

【詳解】（1）：C是AB的中點(diǎn)，；.AC=CB,=CD//BE,，4CD=NCS￡,

一AC=CB

在AACD和ACBE中，<NACD=ACBE,：.AACD=NCBE；

CD=BE

（2）,.Z=87°,ZD=32°，AZACD=180°-ZA-ZD=180°~87°-32°=61°>

又?/AACD=ACBE，,ZB=ZACD=61°.

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)SAS證明AACDg4CBE.

4.（2021?四川瀘州市?九年級(jí)月考）如圖，AB//CD,AB=CD點(diǎn)E、F在BC上,且BF=CE.

Cl）求證：AABE04DCF（2）求證:AE//DF.

CD

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

【分析】（1）由題意易得NB=NC,BE=CF,然后問(wèn)題可得證；

（2）由（1）可得/DFC=/AEB，則有/EFD=NAEF,然后問(wèn)題可得證.

【詳解】證明：（1）,:AB〃CD,：./B=NC,

'：BF=CE,：.CF+EFBE+EF,:.BE=CF,

'：AB=CD,:.AABE2ADCF（SAS）；

（2）由（1）可得：AABE之dDCF,ZDFC=ZAEB,

,/ZDFC+ZEFD=180°,ZAEF+ZAEB=180°,；.ZEFD=ZAEF，二AEUDF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?襄城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)8、￡、C、尸四點(diǎn)在一條直線上，ZA=ZD,AB//DE,老師說(shuō)：再添加

一個(gè)條件就可以使△N2C也下面是課堂上三個(gè)同學(xué)的發(fā)言，甲說(shuō)：添加乙說(shuō)：添加ZC

//DF；丙說(shuō)：添加5￡=CR（1）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)說(shuō)法正確的是；

（2）請(qǐng)你從正確的說(shuō)法中選擇一種，給出你的證明.

【思路】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，由可得再加上條件=只需要添加一個(gè)

能得出邊相等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等，添加NC〃。F不能證明△NBC也△。￡尸；

（2）添加AB=DE,然后再利用ASA判定△N8C冬△。所即可.

【解答】解：（1）說(shuō)法正確的是：甲、丙，故答案為：甲、丙；

（2）證明：?:AB//DE,：.ZB=ZDEC,

Z-A=乙D

在AABC和中卜B=DE,

ZB=乙DEF

：.￡\ABC^/XDEF（ASA）.

6.（2021?富順縣校級(jí)月考）如圖1,A,B,C,。在同一直線上，AB=CD,DE//AF,HDE=AF,求證:

△4FC竺4DEB.如果將AD沿著邊的方向平行移動(dòng)，如圖2,3時(shí)，其余條件不變，結(jié)論是否成立？

如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

EEE

【思路】可以根據(jù)已知利用S4S判定△NFCgZV）即.如果將8。沿著邊的方向平行移動(dòng)，如圖（2）、

（3）時(shí)，其余條件不變，結(jié)論仍然成立.可以利用全等三角形的常用的判定方法進(jìn)行驗(yàn)證.

【解答過(guò)程】解：?:AB=CD,：.AB+BC^CD+BC,即4c=80.

"JDE//AF,：.ZA=AD.

AF=DE

在△/尸。和△DE2中，\/.A=/.D,：./\AFC^/\DEB(SAS).

,AC=DB

在(2),(3)中結(jié)論依然成立.

如在(3)中，'：AB=CD,：.AB-BC=CD-BC,BPAC=BD,

'：AF//DE,:.NA=/D.

AF=DE

在△ZCF和△DE8中，|乙4=ND,：./\ACF^ADEB(SAS).

.AC=DB

模型2.對(duì)稱（翻折）全等模型，如下圖:

1.（2021?安徽九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形48CD的對(duì)角線/C,3。相交于點(diǎn)。，^ABO^^ADO，

下列結(jié)論：①②CB=CD；③△ABC-ADC；?DA=DC,其中正確結(jié)論的序號(hào)是

A

【答案】①②③

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出ZBAO=ZDAO,ZAOB=ZAOD=90°,OB=OD,再根據(jù)全

等三角形的判定定理得出A/BC四△4DC,進(jìn)而得出其它結(jié)論.

【詳解】由ZUBO妾△/。。得：AB=AD,ZAOB=ZAOD=90°,

J.ACLBDNBAC=NDAC,又AC=AC,所以，有“BC冬AADC,

：.CB=CD,所以，①②③正確.由已知條件得不到D4=DC,故④不正確.故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法:SSS,SAS,ASA,AAS,以

及HL,是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?浙江杭州市?八年級(jí)期末）如圖，已知NACB=NDBC,若要使得AX8C三ADCS,則添加的一

個(gè)條件不能是（）

A.ZA=ZDB.ZABC=ZDCBC.AB=DCD.AC=DB

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：ACS=ZDBC,BC=CB,

A、當(dāng)添加NA=ND時(shí)，可利用“AAS”判斷△ABCgZVDCB,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、當(dāng)添加N45C=/DC5時(shí)，可利用“ASA”判斷△ABC名△DCB,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、當(dāng)添加AB=DC時(shí)，利用“SSA”不能判斷AABCg^DCB,故此選項(xiàng)符合題意；

D、當(dāng)添加AC=DB時(shí)，可利用“SAS”判斷AABC名ZkDCB,故此選項(xiàng)不符合題意.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已

知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)

應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊.

3.（2020?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）如圖，N1=N2,8C=EC,請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：____,能使用

方法判定△48Cg△DEC.

【答案】/B=NE

【分析】已知Nl=/2,就是已知/NC2=/DCE,則根據(jù)三角形的判定定理ZSN唧可證得.

【詳解】可以添加

理由是：VZ1=Z2,AZl+ZBCE=Z2+ZBCE,：.ZACB=ZDCE,

ZCB=ZDCE

.?.在A/BC和ADEC中，IBC=EC,:.LABC名ADEC（ASA）.故答案是：ZB=ZE

NB=NE

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，熟練掌握“兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”是解題關(guān)鍵.

4.（2021?西安市?陜西師大附中九年級(jí)二模）如圖，在中，點(diǎn)Z）,E分別是/5、ZC邊上的點(diǎn),

BD=CE,NABE=/ACD,BE與CD相交于點(diǎn)E,求證：AB=AC.

【答案】見詳解；

【分析】依題意，BD=CE,ZABE=ZACD,ZBFD=ZCFE,可得ABDF咨ACEF,可得。8=即，BF=CF；

可得CD=BE,可得△48EZZUCD,即可；

【詳解】由題知：BD=CE,NABE=NACD,又N3FD和/CFE為對(duì)頂角，；.NBFD=NCFE；

AABE=ZACD

在ABDF和△(?￡尸中(ZBFD=ZCFE,△BDF沿ACEF(AAS)；：.DF=EF,BF=CF；

BD=CE

又CD=DF+CF,BE=BF+EF-,:.CD=BE；

ZA=ZA

在AABE和△/CD中|ZABE=ZACD,：./\ABE^/\ACD(AAS)；，/B=AC；

BE=CD

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)頂角相等、用4NS證明全等及其性質(zhì)，熟練構(gòu)造出全等的三角形是關(guān)鍵；

5.（2021?河南南陽(yáng)市?八年級(jí)期末）如圖，已知/C=/F=90。，AC=DF,AE=DB,BC與EF交于點(diǎn)O,

（1）求證：R3ABC絲RtADEF；（2）若/A=51。，求/BOF的度數(shù).

【答案】⑴見解析；（2）78°

【分析】（1）由AE=DB得出AE+EB=DB+EB,即AB=DE,利用HL即可證明RtAABC^RtADEF；

（2）根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得/ABC=39。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得NABC=/DEF=39。，由三

角形外角的性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）證明：VAE=DB,；.AE+EB=DB+EB,即AB=DE.

又；/C=/F=90°,AC=DF,/.RtAABC^RtADEF.

（2）VZC=90°,NA=51°,/ABC=/C-/A=90°—51°=39°.

由（1）知RtAABCgRtADEF,AZABC=ZDEF.AZDEF=39°.

NBOF=NABC+NBEF=390+39°=78°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的兩銳角互余，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三

角形全等是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?江蘇徐州市?八年級(jí)期末）已知：如圖，點(diǎn)C是線段43的中點(diǎn)，CD=CE,ZACD=ZBCE,求證:

（1）"DC沿ABEC；（2）DA=EB.

D

ACB

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）根據(jù)S/S證明△/OC0ZX8EC即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】證明：（1）:點(diǎn)C是線段4B的中點(diǎn)，...。二以，

-CD=CE

在2UOC和A8EC中，＜ZACD=ZBCE,:.△ADCQABEC（SAS）；

CA=CB

（2）,:△ADC咨ABEC,：.DA=EB.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

模型3.旋轉(zhuǎn)全等模型，如下圖:

1.（2021?河北滄州市?八年級(jí)期末）如圖，AABC和AAED共頂點(diǎn)A,AD=AC,Z1=Z2,ZB=ZE.BC

交AD于M,DE交AC于N,甲說(shuō)：“一定有AABCg^AED.”乙說(shuō)：“△ABMgZkAEN.”那么（）

A.甲、乙都對(duì)B.甲、乙都不對(duì)C.甲對(duì)、乙不對(duì)D.甲不對(duì)、乙對(duì)

【答案】A

【分析】利用AAS判定AABCgAAED,貝!J可得到AB=AE,再利用ASA判定AABM^^AEN.

【詳解】VZ1=Z2,AZ1+ZMAC=Z2+ZMAC,AZBAC=ZEAD,

C

1E

AB=NE

在ABAC和AEAD中，<NA4C=NE4￡>,；.Z\BAC*Z\EAD,.?.甲說(shuō)的正確；

AC=AD

,/△BAC^AEAD(AAS),;.AB=AE,

ZB=ZE

在ABAM和AEAN中，lAB=AE,.,.ABAM^AEAN(ASA),；.乙說(shuō)的正確；故選A.

Z1=Z2

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，根據(jù)題目的特點(diǎn)，補(bǔ)充適當(dāng)條件，活用判定定理是解題的關(guān)

鍵.

2.(2021?渝水區(qū)校級(jí)期中)如圖，AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE.求證：ZABD=ZACE.

【解題思路】根據(jù)等式的性質(zhì)得出乙8/。=/?！?利用S/S證明△N8D與全等，進(jìn)而解答即可.

【解答過(guò)程】證明：

ZBAC-ZCADDAE-ZCAD,：./BAD=/CAE,

AB=AC

在△ABD與△/(7￡中，\z.BAD=/.CAE,

.AD=AE

：.ABDACE(.SAS),:./ABD=NACE.

3.(2020?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí))如圖，已知48=4D,5C=￡)￡,且NC4。=10。，ZB=ZD=25°,

ZEAB=120°,則NEG9的度數(shù)為()

A.120°B.135°C.115°D.125°

【答案】C

【分析】由已知得△48C絲△4DE,故有由乙￡48=120。及/。4。=10?？汕蟮?NFS的度數(shù),

進(jìn)而得/GED的度數(shù)，在G。中，由三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可求得NEG/的度數(shù).

AB=AD

【詳解】在A/BC和中〈N3=NQ，AABC學(xué)LADE(SAS)：.ZBAC=ZDAE

BC=DE

1

ZEAB=ZBAC+ZDAE+ZCAD=120°NBAC=NDAE=-x(120°-10°)=55°

2

；.NBAF=NBAC+NCAD=65°：.在"FB中，ZAFB=l800ZBZBAF=90°：.ZGFD=90°

在AFGD中，NEG尸=/。+/6月9=115。故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵求得N2/C的度數(shù).

4.（2021?江蘇鎮(zhèn)江市?八年級(jí)期末）如圖，AC1BC,DC±EC,AC=BC,DC=EC,

求證：（1）AACE三ABCD；（2）AE1BD.

B

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)垂直得到N/CS=/DC￡=90。，求出NDCB=NEC4,即可得到結(jié)果；（2）設(shè)/C交

BD于'N,/E交5。于。，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到乙4=N5,再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)換即可；

【詳解】證明：(1)Q/C_LBC,DCA.EC,ZACB=ZDCE=90°,

B

（2）如圖，設(shè)AC交BD于N,AE交BD于O,

?：\DCB=\ECA,:.ZA=/B，?:NAND=NBNC,NB+NBNC=9。°,

ZA+ZAND=90°,ZAON=9Q°,AE1BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確證明是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?四川廣元市?九年級(jí)期末）如圖，已知和AZE/中，NB=NE,AB=AE,BC=EF,

ZEAB=25°,ZF=57°,線段分別交//，EF于點(diǎn)、M，N.（1）請(qǐng)說(shuō)明=NE4C的理

由；（2）A/BC可以經(jīng)過(guò)圖形的變換得到ANEE,請(qǐng)你描述這個(gè)變換；（3）求的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）通過(guò)觀察可知“BC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°,可以得到AAEF；（3）ZAMB=82°

【分析】（1）先利用已知條件NB=/E,AB=AE,BC=EF,利用SAS可證△ABCgZ\AEF,那么就有/C=

ZF,ZBAC=ZEAF,那么NBAC/PAF=NEAF/PAF,即有NBAE=/CAF=25。；（2）通過(guò)觀察可知AABC

繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25。，可以得到AAEF；（3）由（1）知/C=/F=57。，ZBAE=ZCAF=25°,而NAMB是

△ACM的外角，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求/AMB.

【詳解】解：（1）,:NB=NE,AB=AE,BC=EF,AAABC=AAEF,

:.NC=NF,ABAC=ZEAF,：.ABAC-APAF=ZEAF-APAF,：.ABAE=ZCAF=25°；

（2）通過(guò)觀察可知A/BC繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)25°,可以得到△/￡/；

（3）由（1）知NC=ZF=57。，NB4E=NC4F=25。，；.NAMB=NC+NC4F=57。+25。=82。.

【點(diǎn)睛】本題利用了全等三角形的判定、性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等式的性質(zhì)等.

6.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△48C和△[￡>￡中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°.

Cl）當(dāng)點(diǎn)。在/C上時(shí)，如圖①，線段3D,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；

（2）將圖①中的△/￡）￡繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90°）,如圖②，線段8。，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系

和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

E

A

B圖①。3圖②C

【思路】(1)延長(zhǎng)8。交CE■于R易證妾△D4B,可得BD=CE,ZABD=ZACE,根據(jù)//EC+N

ACE=90°,可得N/B￡>+N/EC=90°,即可解題；

(2)延長(zhǎng)AD交CE于R易證/BAD=NEAC,即可證明△胡。義2\/)48,可得BD=CE,NABD=NACE,

根據(jù)N/3C+//C3=9(r,可以求得NC班葉/3CF=90°,即可解題.

【解答】證明：(1)延長(zhǎng)AD交CE于尸，

AE=AD

在△E/C和△ZX43中，乙EAC=4DAB,

.AC=AB

:.△EAC咨LDAB(SAS),：.BD=CE,NABD=NACE,

'：ZAEC+ZACE^90°,：.ZABD+ZAEC^9Q°,:./BFE=9Q°,BPEC±BD；

(2)延長(zhǎng)3。交CE于凡

VZBAD+ZCAD=90°,ZCAD+ZEAC=90°,：.ZBAD=ZEAC,

AD=AE

:在△E/C和△0/8中，\ABAD=Z.EAC,

.AB=AC

:.△EAC沿4DAB(SAS),：.BD=CE,AABD=AACE,

VZABC+ZACB=90°,：,ZCBF+ZBCF=ZABC-ZABD+ZACB+ZACE=90°,

:./BFC=90°,ECLBD.

模型4、半角全等模型

【解題技巧】過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半

角模型。

常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過(guò)旋轉(zhuǎn)到一

邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過(guò)全等的性質(zhì)得到線

段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.

1.（2020?武漢市六中位育中學(xué)八年級(jí)）（1）如圖，在四邊形48C。中，AB=AD,NB+ND=180。，E、

/分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，S.ZEAF=^ZBAD.求證：EF=BE+FD；⑵如圖，在四邊形/BCD

中，AB=AD,/8+/4DC=180。，E、/分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，^.ZEAF=^ZBAD.（1）

中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）見證明；（2）結(jié)論斯二方石+五。不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD,證明見詳解.

【分析】（1）延長(zhǎng)C5至使BM=DF,連接先證明△/8A/也△，￡）￡得至！JZ2=Z3,

再證明烏△/FE,得到斯=腔，進(jìn)行線段代換，問(wèn)題得證；

（2）在8E上截取2G,^BG^DF,連接/G.先證明A42G妾得至UNG=N尸，再證明zUEGg4

AEF,得至ljEG=E尸，進(jìn)行線段代換即可證明

【詳解】解：（1）證明：如圖，延長(zhǎng)C8至使8初=。-，連接

VZABC+ZD=ISO°,Nl+//8C=180°,：.Z\=ZD,

AB=AD

在△ASM與△/￡＞尸中，＜Z\=ZD,：./\ABM^/\ADF(SAS).：.AF=AM,Z2=Z3.

BM=DF

11

VZEAF=-ZBAD,：.Z2+Z4=-ZBAD=ZEAF.：.Z3+Z4=ZEAF,n即n

22

AM=AF

在A/Affi■與△AFE中，\AMAE=ZEAF,:.△AME出AAFE(SAS).

AE=AE

：.EF=ME,BPEF=BE+BM,：.EF=BE+DF；

(2)結(jié)論斯=2￡+FD不成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BE-FD.

證明：如圖，在BE上截取8G,使BG=DF,連接NG.

VZB+ZADC=\SO°,ZADF+ZADC=1SO°,：.ZB=ZADF.

AB=AD

?.?在A/BG與△/￡)尸中，\Z.ABG=ZADF,:.AABGmAADF(SAS),

BG=DF

1

ZBAG=ZDAF,AG=AF,：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=-ABAD,:./GAE=/EAF.

2

AG=AF

在A/GE與△/bE中，\ZGAE=ZEAF,：./\AEG^^AEF,：.EG=EF,

AE=AE

,:EG=BE-BG,:.EF=BE-FD.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變

換的思想添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，解題時(shí)注意一些題目雖然圖形發(fā)生變化，但是證明思路

和方法是類似的，屬于中考?jí)狠S題.

2.（2020?河南新鄉(xiāng)市?八年級(jí)期中）已知四邊形/BCD中，ABLAD,BCLCD,AB=BC,ZABC=120°,

NMBN=60。,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn),它的兩邊分別交ND,（或它們的延長(zhǎng)線）于E,F.

（1）當(dāng)繞8點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到NE=CF時(shí)（如圖1）,求證：4ABE%ACBF.（2）當(dāng)/繞點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)到

/母C尸時(shí)，如圖2,猜想線段/E,CF,所有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.（3）當(dāng)繞點(diǎn)2旋

轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段CF,￡尸有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

【答案】（1）見解析；（2）AE+CF=EF,證明見解析；（3）AE-CF^EF,證明見解析

【分析】（1）利用SAS定理證明（2）延長(zhǎng)DC至點(diǎn)K,使CK=AE,連接BK,分別證明AB/E

ZABCK、AKBF”XEBF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論；（3）延長(zhǎng)。。至G,使CG=/E,

仿照（2）的證明方法解答.

AB=BC

【詳解】（1）證明：在△45E和AC8/中，＜ZBAE=ZBCF=90°,：.AABE^ACBFQSAS）；

AE=CF

（2）解：AE+CF=EF,理由如下：延長(zhǎng)。C至點(diǎn)K,使CK=4E,連接8K,

BA=BC

在AB/E與agCK中，＜ZBAE=ZBCK,：./\BAE^/\BCK（SAS）,：.BE=BK,NABE=NKBC,

AE=CK

■:NFBE=6Q°,ZABC=nO°,：.ZFBC+ZABE=60°,：.ZFBC+ZKBC=60°,:.NKBF=NFBE=60。,

BK=BE

在AKBF與4EBF中，＜ZKBF=ZEBF,

BF=BF

:AKBF沿AEBF（SAS）,；.KF=EF,:.AE+CF=KC+CF=KF=EF；

（3）解：AE-CF=EF,理由如下：延長(zhǎng)。C至G,使CG=NE,

由(2)可知，ABAE"/\BCG(&4S),:.BE=BG,ZABE=ZGBC,

AGBF=AGBC-NFBC=NABE-ZFBC=120°+ZFBC-60°-ZFBC=60°,：.ZGBF=ZEBF,

:.EF=GF,：.AE-CF=CG-CF=GF=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定

理是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?江陰市夏港中學(xué)八年級(jí)月考）（1）問(wèn)題背景:

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,且/EAF=60。，探究圖中線

段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.小明同學(xué)的方法是將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。到AADG的位置，然

后再證明AAFE之ZkAFG,從而得出結(jié)論:

（2）探索延伸:如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是邊BC,CD上的

點(diǎn)，且6=-ZBAD.上述結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

2

（3）方法應(yīng)用:如圖3,E、F分別是正方形ABCD邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、AF,并且始終保持

ZEAF=45°,連接EF并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,說(shuō)明AG=EG.（正方形四邊相等，四個(gè)角均為90。）

【答案】（1）EF=BE+FD,理由見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【分析】（1）將AABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AADG,使得AD與AB重合，即AABE04ADG,可得AE=AG,再

證明AAEF0Z\AGD,可得EF=FG即可；（2）如圖2,將AADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AABG,使得AD與AB重

合，即AADF絲AARG；然后再證AEAGgAEAF,可得GE=EF,再根據(jù)線段的和差即可解答;

（3）WAABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得至UAADH,使得AD與AB重合，即△ABEgAADH,然后再證AEAF絲AHAF

可得NH=NAEF,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NEAG=NH,即，ZEAG=ZAEF,最后根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：（1）EF=BE+FD,理由如下:

如圖1,將AABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得至IUADG,使得AD與AB重合，即AABE2AADG（SAS）

???AE=AG,ZBAE=ZDAG.VZEAF=60°,ZBAD=120°VZEAF=—ZBAD

2

JZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBADZEAF=ZEAF=60°ZEAF=ZGAF

在4AEF和^GAF中AE=AG,ZEAF=ZGAF,AF=AFAAEAG^AEAF(SAS)

EF=FGI.FG=DG+DF=BE+DFEF=BE+DF；故答案為EF=BE+DF；

G

圖I

(2)證明：如圖2,將4ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AARG,使得AD與AB重合

AAADF^AABG/.ZFAG=ZBAD,AF=AG,DF=GB

1,

,/ZEAF=-ZBADZEAF=ZEAG.

2

在4EAG和4EAF中?；AG=AF,ZEAF=ZEAG,AE=AEAAEAG^AEAF(SAS)/.GE=EF,

GE=GB+BE=DF+BEEF=BE+FD；

(3)如圖3,將ZkABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ZkADH,使得AD與AB重合，即△ABEgAADH

???AE=AH,ZBAE=ZDAH.VNEAF=45。，ZBAD=90°丁ZEAF=—ZBAD

2

JZHAF=ZDAH+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBADZEAF=ZEAF=60°/.ZEAF=ZHAF

在4AEF和4HAF中AE=AH,ZEAF=ZHAF,AF=AFAAEAF^AHAF(SAS)AZH=ZAEF

VZEAF=90°,NHAD=90。AZHAD+ZEAG=ZHAD+ZHAZEAG=ZH

VZH=ZAEFAZEAG=ZAEFAAG=EG.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過(guò)旋轉(zhuǎn)作出全等三角形是解答本題的關(guān)鍵.

4.（2022?四川綿陽(yáng)市?八年級(jí)期末）已知在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,NBAD+NBCD=

180°,AB=BC（1）如圖1,連接BD,若NBAD=90。，AD=7,求DC的長(zhǎng)度.

（2）如圖2,點(diǎn)P、Q分別在線段AD、DC上，滿足PQ=AP+CQ,求證：ZPBQ=ZABP+ZQBC

（3）若點(diǎn)Q在DC的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P在DA的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，仍然滿足PQ=AP+CQ,請(qǐng)寫出/

PBQ與/ADC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程.

【答案】（1）r>C=7：（2）見解析；（3）ZPBQ=90°+^ZADC,證明見解析

【分析】（1）根據(jù)已知條件得出ABDC為直角三角形，再根據(jù)HL證出力△氏4。也放△BCD,從而證出

4D=C。即可得出結(jié)論；（2）如圖2,延長(zhǎng)DC到K,使得CK=AP,連接BK,通過(guò)證ABPA之/XBCK（SAS）

得到：Z1=Z2,BP=BK.然后根據(jù)SSS證明得△必ABK。，從而得出

ZPBQ=Z2+ZCBQ=Z1+ZCBQ,然后得出結(jié)論；（3）如圖3,在CD延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K,使得KC=AP,

連接BK,構(gòu)建全等三角形：ABPA^ABCK（SAS）,由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS

證得：APBQ注△BKQ,則其對(duì)應(yīng)角相等：ZPBQ=ZKBQ,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360?？梢酝频茫篫

PBQ=90°+yZADC.

【詳解】（1）證明：如圖1,

---NABC+ZADC=180°,ABAD=90°,二ZBCD=ZBAD=90°,

在RtVBAD和Rt^BCD中,

[BD=BD,、

BCRt/\BAD^Rt^\BCD(HL),：.AD=DC,￡>C=7；

(2)如圖2,

延長(zhǎng)。。至點(diǎn)K,使得CK=4P,連接8K

ZABC+ZADC=180°,；.ABAD+/BCD=180°,

,//BCD+ZBCK=180°,ABAD=ZBCK,

?；AP=CK,AB=BC,:.ABPA名ABCK(SAS),

Z1=Z2,BP=BK,

?：PQ=AP+CQ,QK=CK+CQ,：.PQ=QK,

■：BP=BK,BQ=BQ,：”PBQaBKQ〈SSS),

：.APBQ=Z2+NCBQ=Z1+ZCBQ,：.ZPBQ=ZABP+ZQBC-

(3)/PBQ=90。+gN4DC；如圖3,在CD延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)K,使得KC=4P,連接8K,

ZABC+ZADC=180°,；./BAD+ZBCD=180°,

,/ABAD+/PAB=180°,ZPAB=ZBCK,

AP=CK

在ABPA和ABCK中，\/BAP=ZBCK：.LBPA/ABCK(SAS),

AB=BC

：.ZABP=ZCBK,BP=BK,：.ZPBK=ZABC,

'：PQ=AP+CQ,：.PQ=QK,

BP=BK

在△P80和ABKQ中，<BQ=BQ:.APBQWBKQ(SSS),

PQ=KQ

ZPBQ=ZKBQ,：.2ZPBQ+ZPBK=2ZPBQ+ZABC=360°,

2ZPBQ+(180°-ZADC)=360°,NPBQ=90°+^ZADC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì).在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和

公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形.

5.（2021?全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題背景：如圖，A4BC是等邊三角形，AADC是頂角為120。的等腰三角

形，以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60。角，角的兩邊分別交N3,NC邊于M、N兩點(diǎn)，連接九W.探究線段MN,

CN之間的數(shù)量關(guān)系.

嘉琪同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是：延長(zhǎng)NC至點(diǎn)E,使CE=BM,連接DE,先證明ACDE2△3?！?，再證明

△MDN-EDN,可得出線段MN,CN之間的數(shù)量關(guān)系為.請(qǐng)你根據(jù)嘉琪同學(xué)的做法，寫出證明

過(guò)程.

探索延伸：若點(diǎn)"，N分別是線段48,C4延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，其他條件不變，再探索線段的/MN,NC之間

的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

【答案】問(wèn)題背景：MN=BM+NC,證明見解析；探索延伸：MN=NC-BM,理由見解析

【分析】問(wèn)題背景：延長(zhǎng)4C至E,使得并連接構(gòu)造全等三角形，找到相等的線段，MD

DE,再進(jìn)一步證明△/陽(yáng)進(jìn)而得到MN=W+NC.

探索延伸：按要求作出圖形，先證再證AMON之(S/S),即可得出結(jié)論.

【詳解】問(wèn)題背景：MN=BM+NC.理由如下：

如圖1中，延長(zhǎng)/C至E,使得CE=BM,并連接?！?/p>

D

圖1

???△3OC為等腰三角形，A/BC為等邊三角形，

:.BD=CD,ZDBC=ZDCB,NMBC=NACB=60。,

又BD=CD,且N3DC=120。，:./DBC=NDCB=30。

：.ZABC+ZDBC^/4。8+/￡>。8=60。+30。=90。，；.NMBD=/ECD=90。,

BD=CD

在4MBD與&ECD中,|NMBD=ZECD,；.AMBD冬AEC￡>(S/S),

EC=BM

：.MD=DE,NBDM=NCDE,

VZSDC=120°,NMDN=60°,:.NNDC+NBDM=NBDCNMDN=60°,

：.ZEDN=ZNDC+ZCDE=ZNDC+ZBDM=60°,即/MDN=NEDN,

MD=DE

在△nW和ADEN中，\ZMDN=ZEDN，:.￡DMN烏ADEN,

DN=DN

：.MN=EN=CE+NC,：.MN=BM+NC.故答案為：MN=BM+NC.

探索延伸：如圖2中，結(jié)論：MN=NC-BM.

理由：在C4上截取CE=8M.

圖2

：△NBC是正三角形，/.ZACB=ZABC=60°,

又,：BD=CD,ZBDC=120°,:.NBCD=NCBD=30。,:./MBD=NDCE=90。,

EC=BM

在ABMD和△CED中|ZMBD=ZDCE,：.ABMD烏ACED(”S),：.DE=DM,

BD=DC

一ND=ND

在4MDN和AEDN中\(zhòng)4EDN=AMDN,：.叢MDN%AEDN(&4S),

MD=ED

：.MN=NE=NC-CE=NC-BM.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì).本題中要證明一

條線段等于兩條線段的和或差，常常用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法來(lái)解決.

6.(2021?山東東營(yíng)市?七年級(jí)期末)(1)問(wèn)題背景：

如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E,F分別是BC,CD上的

點(diǎn)，且/EAF=60。，探究圖中線段BE,EF,FD之間的數(shù)量關(guān)系.

小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)AG,先證明A48E三AADG,再證明

A4E戶也AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是.

(2)探索延伸：如圖2,在四邊形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，Z

EAF=-ZBAD,上述結(jié)論是否依然成立？并說(shuō)明理由.

2

【答案】(1)EF=BE+DF；(2)成立，見解析

【分析】(1)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明AABE也AADG,可得AE=AG,再證明AAEF

名△AGF,可得EF=FG,即可解題；(2)延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,即可證明AABEg/kADG,

可得AE=AG,再證明AAEFg/XAGF,可得EF=FG,即可解題；

【詳解】解：(1)EF=BE+DF,證明如下：

DG=BE

在AABE和AADG中，＜NB=ZADGAABE^AADG(SAS)AE=AG,ZBAE=ADAG

AB=AD

/EAF=-/BADZGAF=ZDAG+ZDAF=/BAE+ZDAF=ABAD-NEAF=ZEAF

2

AE=AG

ZEAF=ZGAF在AAEF和AAGF中，＜ZEAF=ZGAFAAEF^AAGF(SAS)：,EF=FG

AF=AF

FG=DG+DF=BE+DFEF=BE+DF故答案為EF=BE+DF.

(2)結(jié)論EF=BE+DF仍然成立；理由：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G.使DG=BE.連結(jié)AG,如圖②,

圖②

DG=BE

在AABE和AADG中=.-.AABE^AADG(SAS),；.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

AB=AD

VZEAF=—ZBAD,/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBADZEAF=ZEAF,AZEAF=ZGAF,

AE=AG

在AAEF和AAGF中，\ZEAF=ZGAF.,.AAEF^AAGF（SAS）,；.EF=FG,

AF=AF

VFG=DG+DF=BE+DF,；.EF=BE+DF；

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模型”，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)及“半角模

型”構(gòu)造全等的方法是解題的關(guān)鍵.

模型5、三垂直全等模型

如圖：

1.（2021?廣東中山市?八年級(jí)期末）如圖，在A/BC和△CDE中，若/ACB=NCED=90°,AB=CD,CE=

AC,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.￡為8C中點(diǎn)B.2BE=CDC.CB=CDD."BC%ACDE

【答案】D

【分析】首先利用應(yīng)定理證明及A/BC2放△C￡>E,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可一一判斷.

AB=CD

【詳解】?.?//CBuNCEDugO。在RtMBC與RdCDE中,<,:.RgBgRmCDE(HL),

CE=AC

：.CB=DE,CE=A