《機器人基礎(chǔ)與數(shù)字孿生系統(tǒng)》 課件第3章 機器人運動學

第3章機器人運動學【3.1齊次變換】【3.1.1】位置描述——位置矢量●剛體位姿描述：齊次變換（矩陣）、矢量法、四元數(shù)●齊次變換法:▲將運動、變換和映射與矩陣運算聯(lián)系起來，具有明顯的幾何特征。▲在操作臂運動/動力學、機器人控制算法、計算機圖學、視覺信息處理、手-眼建模標定都有廣泛應(yīng)用?！裨谧鴺讼担鸄｝中，空間任意一點可表示為列矢量Ap直角坐標系【3.1齊次變換】【3.1.2】方位描述——旋轉(zhuǎn)矩陣●坐標系｛B｝相對于坐標系｛A｝的旋轉(zhuǎn)矩陣

是正交矩陣，滿足如下關(guān)系：●所以旋轉(zhuǎn)矩陣中9個元素只有3個獨立變量●還滿足：上標T表示轉(zhuǎn)置，det表示行列式符號【3.1齊次變換】【3.1.2】方位描述——旋轉(zhuǎn)矩陣▲繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣▲繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣▲繞z軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣思考？這三個旋轉(zhuǎn)矩陣的結(jié)構(gòu)有什么關(guān)系，如果通過記住一個旋轉(zhuǎn)矩陣而得到其它兩個？如果繞某一個軸多次旋轉(zhuǎn)，我們會看到什么結(jié)果？如果依次繞x、y、z軸旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)矩陣如何計算？旋轉(zhuǎn)矩陣描述姿態(tài)【3.1齊次變換】【3.1.3】坐標系的描述●將剛體B與坐標系｛B｝固接，｛B｝的原點選擇剛體質(zhì)心，相對參考坐標系{A}，坐標系｛B｝的位姿：●思考？如果只表示位置時，坐標系{B}是什么形式？

答：（單位矩陣），如果只表示方位時，坐標系{B}是什么形式？

答：（單位矩陣），【3.1齊次變換】【3.1.4】坐標變換●平移變換方程—｛A，B｝方位相同●平移變換方程—｛A，B｝方位相同●正交矩陣：【3.1齊次變換】【3.1.4】坐標變換●一般變換方程—｛A，B｝方位和原點均不相同●過渡矩陣—公式(3.13)●再由(3.10)得到復(fù)合變換【3.1齊次變換】【3.1.4】齊次坐標和齊次變換●笛卡爾坐標—齊次坐標●齊次變換矩陣是4×4的方陣，具有如下形式：●齊次變換：矩陣形式齊次坐標齊次坐標旋轉(zhuǎn)矩陣平移矢量【3.2DH約定和MDH約定】【3.2.1】關(guān)節(jié)與連桿●自由度：物體能夠相對于坐標系進行獨立運動的數(shù)目稱為自由度●關(guān)節(jié)與連桿：工業(yè)機器人由若干運動副和桿件連接而成，這些桿件稱為連桿，連接相鄰兩個連桿的運動副稱為關(guān)節(jié)?！耜P(guān)節(jié)軸線：對于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，其轉(zhuǎn)動軸的中心線作為關(guān)節(jié)軸線。對于平移關(guān)節(jié)，取移動方向的中心線作為關(guān)節(jié)軸線?！?.2DH約定和MDH約定】【3.2.1】關(guān)節(jié)與連桿●連桿參數(shù)：物體能夠相對于坐標系進行獨立運動的數(shù)目稱為自由度?！B桿長度：關(guān)節(jié)軸線i-1指向關(guān)節(jié)軸i的公法線長度（恒為正）▲連桿扭轉(zhuǎn)角：從軸線i-1繞公垂線轉(zhuǎn)至軸線i的夾角（可正可負）▲連桿偏移量：兩條公法線的距離（帶正負號）▲關(guān)節(jié)角：兩條公法線之間的夾角（帶正負號）

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【3.2DH約定和MDH約定】【3.2.2】連桿坐標系●方法一：對于相鄰兩個連桿Ci和Ci+1，有3個關(guān)節(jié)，其關(guān)節(jié)軸線分別為Ji-1、Ji和Ji+1。在建立連桿坐標系時，首先選定坐標系的原點Oi，然后選擇Zi軸和Xi軸，最后根據(jù)右手定則確定Yi軸?！?.2DH約定和MDH約定】【3.2.2】連桿坐標系●方法二：對于相鄰兩個連桿Ci和Ci+1，有3個關(guān)節(jié)，其關(guān)節(jié)軸線分別為Ji-1、Ji和Ji+1。與建立連桿坐標系的方法一類似，在建立連桿坐標系時，首先選定坐標系的原點Oi，然后選擇Zi軸和Xi軸，最后根據(jù)右手定則確定Yi軸。【3.2DH約定和MDH約定】【3.2.3】連桿變換矩陣●方法一：對于3.2.2節(jié)方法一中建立的連桿坐標系，Ci-1連桿的坐標系經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)和兩次平移可以變換到Ci連桿的坐標系?！谝淮危阂?/p>

軸為轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角度，使新的與軸同向?！诙危貉剌S平移，使新的

移動到關(guān)節(jié)軸線與的公垂線與的交點?！?.2DH約定和MDH約定】【3.2.3】連桿變換矩陣▲第三次：沿軸平移，使新的

▲第四次：以軸為轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角度，使新的與軸同向。移動到?？傋儞Q矩陣【3.2DH約定和MDH約定】【3.2.3】連桿變換矩陣●方法二：對于3.2.2節(jié)方法二中建立的連桿坐標系，Ci-1連桿的坐標系經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)和兩次平移可以變換到Ci連桿的坐標系?！谝淮危貉?/p>

軸平移，將移動到▲第二次：以軸為轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角度，使新的軸與同向。【3.2DH約定和MDH約定】【3.2.3】連桿變換矩陣▲第三次：沿軸平移，使移動到▲第四次：以軸為轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)角度，使新的與軸同向?？傋儞Q矩陣【3.3正向運動學遞歸】●關(guān)節(jié)矢量（關(guān)節(jié)坐標）：可以描述n個自由度的工業(yè)機器人所有連桿的位置和姿態(tài)的一組關(guān)節(jié)變量●關(guān)節(jié)空間：由關(guān)節(jié)矢量描述的空間關(guān)節(jié)坐標末端位姿正向運動學映射若各個連桿的D-H矩陣分別為

，則機器人末端的位置和姿態(tài)為：【3.3正向運動學遞歸】●下面以PUMA560機器人為例，說明正向運動學研究過程。【3.3正向運動學遞歸】●下面以PUMA560機器人為例，說明正向運動學研究過程?！嬎愀鬟B桿變換矩陣【3.3正向運動學遞歸】●下面以PUMA560機器人為例，說明正向運動學研究過程。▲PUMA560“手臂變換矩陣”▲運動學方程的求解順序【3.4逆向運動學遞歸】●雖然對于機器人的任何一組關(guān)節(jié)坐標，都具有確定的機器人末端的位姿與之對應(yīng)，但對于不同的兩組關(guān)節(jié)坐標，可能對應(yīng)相同的末端位姿關(guān)節(jié)空間末端笛卡爾空間單射復(fù)射關(guān)節(jié)位置與末端位姿

關(guān)節(jié)空間與末端笛卡兒空間映射關(guān)系●機器人的逆向運動學，用于機器人的末端在笛卡兒空間的位姿控制。由于機器人的末端笛卡兒空間到關(guān)節(jié)空間的映射是復(fù)射，所以根據(jù)機器人的末端位姿求解得到的關(guān)節(jié)坐標有多組解，即逆向運動學有多解?！?.4逆向運動學遞歸】●下面以PUMA機器人為例，說明逆向運動學研究過程。【3.4逆向運動學遞歸】●下面以PUMA機器人為例，說明逆向運動學研究過程。所謂逆向運動學求解，就是針對下式給定的末端位姿，求解機器人個關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角

【3.4逆向運動學遞歸】●下面以PUMA機器人為例，說明逆向運動學研究過程。

PUMA機器人的逆向運動學共有8組解，其解如下圖所示。由于機械約束，這8組解中部分解處于機器人的不可達空間。在實際應(yīng)用中，根據(jù)機器人的實際可達空間以及機器人當前的運動情況，確定所需要的逆向運動學的解。【3.5路徑規(guī)劃】●機器人的運動規(guī)劃著重研究如何控制機器人的運動軌跡，使機器人沿規(guī)定的路徑運動?！窆I(yè)機器人的運動，根據(jù)其運動軌跡可以分為點到點運動和路徑跟蹤運動。點到點運動只關(guān)心特定的位置點，而路徑跟蹤運動則關(guān)心整個運動路徑。點到點運動路徑示意圖軌跡跟蹤運動路徑示意圖【3.5路徑規(guī)劃】【3.5.1】關(guān)節(jié)空間●關(guān)節(jié)空間運動規(guī)劃

關(guān)節(jié)運動規(guī)劃的內(nèi)容，主要包括關(guān)節(jié)運動軌跡的選擇和關(guān)節(jié)運動位置的插值。所謂關(guān)節(jié)位置的插值，是指對于給定關(guān)節(jié)空間的起始位置和目標位置，通過插值計算中間時刻的關(guān)節(jié)位置。如果機器人按照軌跡1和軌跡2運動，則機器人運動過程中會有波動，這是不希望發(fā)生的。如果機器人按照軌跡3運動，則機器人能夠平穩(wěn)地由初始位置運動到目標位置。因此，通常選擇類似軌跡3的軌跡，經(jīng)過插值后控制機器人的運動?！?.5路徑規(guī)劃】【3.5.1】關(guān)節(jié)空間●3次多項式插值邊界條件：關(guān)節(jié)位置：關(guān)節(jié)速度：求導(dǎo)代入求解期望關(guān)節(jié)位置：期望關(guān)節(jié)速度：【3.5路徑規(guī)劃】【3.5.1】關(guān)節(jié)空間●過路徑點的3次多項式插值邊界條件：關(guān)節(jié)位置：關(guān)節(jié)速度：求導(dǎo)代入求解期望關(guān)節(jié)位置：期望關(guān)節(jié)速度：【3.5路徑規(guī)劃】【3.5.2】笛卡爾空間●機器人笛卡兒空間的路徑規(guī)劃，就是計算機器人在給定路徑上各點處的位置與姿態(tài)?！裎恢靡?guī)劃用于求取機器人在給定路徑上各點處的位置。下面分別介紹直線運動和圓弧運動的位置規(guī)劃。直線運動對于直線運動，假設(shè)起點位置為，目標位置為。則第i步的位置可以表示為假設(shè)從起點位置到目標位置的直線運動規(guī)劃為n步，則步長為【3.5路徑規(guī)劃】【3.5.2】笛卡爾空間2.圓弧運動假設(shè)圓弧由、和點構(gòu)成,其位置記為

平面的方程為【3.5路徑規(guī)劃】【3.5.2】笛卡爾空間

平面的方程為

平面的方程為【3.5路徑規(guī)劃】【3.5.2】笛卡爾空間