高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-下冊(cè)第2版）課件：全微分

多元函數(shù)微分學(xué)全微分一、全微分的定義二、函數(shù)可微的條件三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用四、小結(jié)一、全微分的定義復(fù)習(xí)：一元函數(shù)微分的定義設(shè)函數(shù)在的某鄰域有定義，在點(diǎn)給一個(gè)增量，假設(shè)仍屬于該鄰域．如果存在不依賴于的常數(shù)，使得相應(yīng)的函數(shù)的增量

能表示為

則稱在點(diǎn)可微（分），并稱為在點(diǎn)的微分，記作或，即.設(shè)二元函數(shù)在區(qū)域上有定義．如果自變量x,y分別獲得增量

，那么，相應(yīng)的函數(shù)有增量(稱為全增量)

如對(duì),自變量分別獲得增量之后，函數(shù)的全增量為

增量復(fù)雜！能否像一元函數(shù)一樣，用的線性函數(shù)來(lái)近似代替？ρ二、函數(shù)可微的條件1、函數(shù)可微的必要條件定理1如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微分，則該函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)與必存在，且有函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)的全微分即為

一元函數(shù)：在某點(diǎn)的微分存在導(dǎo)數(shù)存在；

多元函數(shù)：在某點(diǎn)的全微分存在偏導(dǎo)數(shù)存在；？證函數(shù)在點(diǎn)處可微分，即有若給自變量x一個(gè)增量，而y固定，則有

于是等式兩端同時(shí)除以，并令，得從而，函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是存在的，且

同樣可證明，也存在，且

定理2

若函數(shù)在點(diǎn)處可微分，那么函數(shù)在這點(diǎn)必連續(xù)．因此函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).證：由函數(shù)在點(diǎn)(x,y)處可微分，有或定理2反過(guò)來(lái)是不成立的，即連續(xù)未必可微！在某點(diǎn)的全微分存在偏導(dǎo)數(shù)存在；？例如：函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是存在的，并且都等于零．但是該函數(shù)在(0,0)處卻不可微．顯然，在點(diǎn)(0,0)處，偏導(dǎo)數(shù)存在：即該函數(shù)在(0,0)點(diǎn)處是不可微的，只需證明事實(shí)上則而（見例8.1例3）這說(shuō)明因此函數(shù)在(0,0)處不可微．2、函數(shù)可微的充分條件定理3若函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)與都存在并且連續(xù)，那么在點(diǎn)處函數(shù)是可微的.與一元函數(shù)類似，我們把自變量的增量分別用來(lái)表示，則在點(diǎn)處的全微分可以寫為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)，如若三元函數(shù)可微，則函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系例1

求函數(shù)的全微分.解

因此

解

于是

例2

求函數(shù)在點(diǎn)的全微分.因此

例3

求函數(shù)的全微分.解

因此

三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用若函數(shù)在點(diǎn)處可微，那么在這點(diǎn)有當(dāng)充分小時(shí)，有或記，上式可以表示為

右端的線性函數(shù)為函數(shù)在點(diǎn)附近的局部線性化．例4

計(jì)算的近似值.解設(shè)函數(shù)

因?yàn)?/p>

顯然，要計(jì)算的值是函數(shù)在x=1.97,y=1.05時(shí)的函數(shù)值取

所以，由公式得例5

一個(gè)圓柱形構(gòu)件受壓后發(fā)生形變，它的半徑由20cm增加解設(shè)構(gòu)件的高為h，底半徑為r，體積為V,則由于

到20.05cm，高由100cm減少到99cm，求此構(gòu)件體積變化的近似值.于是

當(dāng)